重點 1：自然數與整數
1.數系：
註：自然數(N)又稱為正整數
2.數線：取一點為原點，坐標為 0，令一單位長度為 1，規定原點右方為正，左方為負，如圖
註：數線三元素為：原點、方向、單位長
重點 2：有理數與無理數
1.有理數：凡是可以表示成分數 m
n 形式的數(m，n 為整數，且 m0)，稱為有理數(或分數)，否則稱為無理數。
有理數包含：
整數(正整數、零、負整數) 分數(真分數、假分數、帶分數) 小數(純小數 、混小數)
或
整數(正整數、零、負整數) 有限小數
循環小數
2.有理數性質：
(1)有理數都可以化成有限小數或無限小數(包含循環小數等) (2)有理數的表示法不唯一，如1 2 3
2 等。常化簡為最簡分數(分子，分母為整數且互質) 4 6 (3)具封閉性：任意兩個有理數作加、減、乘、除(除數不可以為 0)的運算後，仍然為有理數
註：兩個整數相加、相減、相乘，得到的結果還是整數，但兩個整數相除不一定是整數 即整數對加、減、乘法具有封閉性，但是除法不具有封閉性
(4)當兩有理數a= c
b d 時，bd 0，必有 ad＝bc
例 2.1：(1)化簡 3 17
3 7
－ 1 17
1 7
(2)
18 7 6 5
(3)若
x 8
39 ＝－
4
3，求 x 之值
例 2.2：設 a，b 皆為整數，則下列哪些敘述是正確的？
(1) a＋b 為整數 (2) a－b 為整數 (3) ab 為整數 (4) b
a為整數 虛數(I)
正整數(Z) 零 負整數(Z)
整數( Z ) 分數 小數
有理數(Q) 無理數( Q )
實數(R)
複數(C)
重點 3：數線上的有理數
利用相似三角形性質，以尺規作圖得數線上的有理數(或稱有理點)，如右圖 步驟：找出
3
1所代表的點
1.作一數線，定出原點 O，並取一點 C 坐標為 1 2.過 O 點做一射線 L，並在 L 上依次取OAABBC 3.連接C C ，
並分別過 A，B 兩點做 AA //C C ， BB //C C ，分別與數線交於 A，B ，C 4.由相似三角形性質可知 A，B ，C 將C C 三等分。則點 A的坐標就是
3 1
例 3.1：在數線上找出 3
2所代表的點。
重點 4：有理數與有限小數、循環小數
1.有理數必可化為有限小數(除得盡)或循環小數(除不盡)
2.有限小數：最簡分數中，分母只含 2 或 5 的質因數，則此最簡分數可化為有限小數 3.有限小數或循環小數可以化為分數，故循環小數為有理數
例 4.1：試將下列有理數寫成小數：
(1)1
4 (2)1
6 (3)1 7
例 4.2：試將下列小數化為最簡分數：
(1) 0.36 (2)4.18
例 4.3：下列哪些數可化成有限小數？(多選) (A)5
3 (B) 12
73 (C) 30
5172 (D) 7
3 (E) 100 2
43
例 4.4：試將 7
6表成小數之後，並求小數點後第 2016 位數字為何？
O A
B C
C
A B
||
||
||
L
重點 5：有理數的稠密性(denseness)
定義：任意兩個有理數之間至少有一個有理數存在。即相異兩有理數之間有無限多個有理數，故有理數在數線上是 非常稠密的，稱此性質為有理數在數線上具有稠密性
註：任意兩有理數之中點為最佳代表點
即設 a，b 是兩有理數，且 a＜b，則中點 2 a b
是介於 a，b 之間的有理數 (因為 a＜
2 a b
＜b ) 註：整數的離散性：若 x，yZ，xy，則 x－y 1
例 5.1：試在1 4，3
8之間找出三個有理數，並說明可找到多少個有理數？
重點 6：無理數
1.意義：凡是無法表示成分數 m
n 形式的數(m，n 為整數，且 m0)，或「不是有理數的數」，稱為無理數。
一般以 Q表示無理數。無理數也稱為不循環的無限小數 2.性質：
(1)數線上不是有理數之點，稱為無理數，故數線上的數是由有理數、無理數所組成 (2)設 a，b 為有理數，若 a＋b 2＝0，則 a＝b＝0
3.無理數的近似值求法：
(1)電子計算機法 (2)查表法 (3)十分逼近法 (4)直式開方法 4.無理數在數線上的表示法：如下圖
(1)利用平方根的尺規作圖
(2)利用母子相似三角形的比例性質
5.可以利用尺規作圖，將數表示在數線上的數有：
(1)所有的有理數
(2)無理數型如na ，其中 a＞0，n＝2k，k 為整數
例 6.1：試在數線上畫出 2。(提示：利用兩邊長為 2和 1 的直角三角形)
例 6.2：下列哪些數可以利用尺規作圖，在數線上標示出來？(多選)
(1) 2 (2) 5 (3) 2 (4) 3 2＋ 3 (5) 2
3
例 6.3：已知 a，b 是有理數，且(2－ 2)a＋5 2b＝4＋3 2，求 a，b 的值。
例 6.3：利用直式開方法，求 10 的近似值。(以無條件捨去法求至小數第一位)
例 6.4：下列的敘述哪些是正確的？(多選)
(1)無理數加無理數也是無理數 (2)無理數乘無理數也是無理數 (3)不為零的有理數乘上無理數是無理數 (4)有理數減無理數必是無理數 (5)無理數除以無理數也是無理數
重點 7：實數
1.意義：數線上所有的點稱為實數，即每一個實數都可以在數線上找到代表的點 2.性質：
(1)有理數與無理數合起來稱為實數
(2)實數具封閉性：兩實數的加、減、乘、除後還是實數(規定作除法時除數不可為 0) 例 7.1：判斷下列各數在數系中屬於哪一類的數？
(1) 0 (2)4.612 (3) 0.101001000100001000001… (4)1+ 2
重點 8：實數的運算性質
1.運算性質：設a，b，c 是任意實數，則：
(1)交換律：加法：a＋b＝b＋a 乘法：a×b＝b×a
(2)結合律：加法：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c 乘法：a×(b×c)＝a×b)×c (3)乘法對加法的分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c
(4)消去律：加法(移項)：若a＋c＝b＋c，則 a＝b 乘法(約分)：若 c0，a×c＝b×c，則 a＝b (5)單位元素：加法：a＋0＝0＋a＝a 乘法：a×1＝1×a＝a
2.實數的大小(次序)關係：
A 任意兩實數可以比較大小，即規定愈在數線右邊的點，所對應的實數愈大 B 實數大小關係的性質：設a，b，c 是任意實數，則：
(1)三一律：對於任何兩個實數a，b，有 a＜b，a＝b，a＞b 三種大小關係，而恰只有一個成立 (2)遞移律：
(i)若a＞b 且 b＞c，則 a＞c (ii)若 a＝b 且 b＝c，則 a＝c (iii)若a＜b 且 b＜c，則 a＜c (3)不等式的加法性質：若a＞b，則 a＋c＞b＋c
(4)不等式的乘法性質：
(i)若a＞b 且 c＞0，則 ac＞bc (ii)若 a＞b 且 c＜0，則 ac＜bc (5)對於任何一個實數a，則a2 0恆成立
例 8.1：試比較下列各組數的大小：
(1) a＝
2 1，b＝
3 2，c＝
5 4，d＝
7
6 (2) a＝
2 3，b＝
3 4，c＝
5 6，d＝
7 8
例8.2：比較下列各數的大小：a＝ 7 ＋ 6 ，b＝ 10 ＋ 3 ，c＝ 11＋ 2
例8.3：比較下列各數的大小：a＝ 5 － 3 ，b＝ 6 － 4
重點9：實數的絕對值
1.定義：實數 x 的絕對值，記為x，讀做 x 的絕對值，定義為x＝
0 ,
0 ,
x x
x x
當 當
2.幾何意義：
(1)對任意實數 x，則x 0
(2)若數線上 P 點坐標是 x，則x表示 P 點與原點的距離 例 9.1：若 x 是實數且x＋3＝4，試求 x 之值。
例 9.2：已知 x、y 都是實數，滿足x＋y＋(2x y15)2＝0，試求 x、y 之值。
例 9.3：設 x＞0，化簡 1 2
2
2
x x
重點 10：分式的運算
分式的運算方式與分數運算相同，先行檢視分子、分母之公因式可以先約分，再作通分等四則運算
例 10.1：試化簡下列各式：
(1) 2 2 2 2
x x
x x
(2)
3
2 2
3 2
1 6 1 6 12 8
x x x
x x
x x x
重點 11：乘法公式 常用之乘法公式：
1.完全平方：
(1)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (2)(a－b)2＝a2－2ab＋b2 (3)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca) 註：(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab 或(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
2.配方法：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 3.平方差：a2－b2＝(a＋b)(a－b)
4.完全立方：
(1)(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝(a3＋b3)＋3ab(a＋b) (2)(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3＝(a3－b3)－3ab(a－b)
註：a3＋b3＝(a＋b)3－3ab(a＋b) 5.立方和：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2) 6.立方差：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2) 7.展開式公式：
(1)(x＋)(x＋)＝x2＋(＋)x＋
(2)(x＋)(x＋)(x＋)＝x3＋(＋＋)x2＋(＋＋)x＋
8.繁分數化簡公式：
(1) a b c d
＝bc d a (2)
b c d
＝ 1 b c d
＝bc
d (3) a b d ＝
a b d 1 ＝
b d a
例 11.1：展開並化簡下列各式：
(1) (a－b＋c)(a＋b＋c) (2) (2a＋3b)3 (3) (a－1)(a＋1)(a2－a＋1)(a2＋a＋1)
例 11.2：試將下列各式因式分解：
(1) x3－8 (2) 8x3＋12x2＋6x＋1 (3) 4x2－y2－4x＋4y－3
重點 12：求值 利用乘法公式求值：
(1) a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
(2) a3＋b3＝(a＋b)3－3ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2) (3) a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)
例 12.1：設 x＝2－ 3 ，求下列各式的值：
(1) x＋
x
1 (2) x2＋ 12
x (3) x3＋ 13 x
例 12.2：已知 1 4
x ，試求下列各式之值： x (1) 2 12
x x (2) 3 13 x x
重點 13：根式的運算
1.意義：若實數 x 滿足 x2＝a 0，稱 x 是 a 的平方根，記為 x＝ a 或－ a ，其中 a 讀作(二次)根號 a，
一個正數的平方根有 2 個。而一般稱含有根號的式子稱為根式 2.實數根式運算性質：
(1)當 a，b
0 時， ab＝ a b ；b a ＝
b
a ，b 0 (2)對任意實數 x，則 x2 ＝x
3.根式的有理化：
意義：將分母化為沒有根號的過程稱為有理化分母，即分子、分母同時乘上分母之有理化因子
例 13.1：(1)化簡 18 32 (2)展開並化簡( 2 6)2
例 13.2：試化簡下列各式：
(1) 1
2 3 (2) 3 3
5+ 3 5 3
重點 14：雙重根號
1.意義：設 A，B 0，且 A B，則型如 A B 或 A B 等，稱為雙重根號 2.雙重根式運算公式：設x， y 為正整數，則：
(1)若 x，y 0，則 (xy)2 xy ＝ ( x)22 x y( y)2 ＝ ( x y)2 ＝ x ＋ y (2)若 x y 0，則 (xy)2 xy ＝ ( x)22 x y( y)2 ＝ ( x y)2 ＝ x － y
例 14.1：化簡下列各雙重根式：
(1) 8 2 15 (2) 5 2 6 (3) 10 96 (4) 4 7
例 14.2：已知 3 2 2 的整數部分為 a，小數部分為 b，求 a＋
b
1的值。
重點 15：算幾不等式
1.定義：設兩數 a，b 0，則 2
b
a ab ，且當 a＝b 時，等號才成立，稱為算幾不等式 其中 2
b a
為 a，b 兩數的算術平均數(等差中項)， ab 為 a，b 兩數的幾何平均數(等比中項) 即算幾不等式就是算術平均數 幾何平均數
說明 1：
2 2 2
22 2 2
a b ab a b
a b ab
(1)當ab時，
22 0 a b
，即 2
a b ab
(2)當ab時，
22 0 a b
，即 2
a b ab
說明 2：圖中 CD ab ，半徑
2
OD a b ，即ODCD，所以 2
a b ab
當ab時，OD與CD重合，此時 2
a b ab
例 15.1：使用一條長為 24 公分的繩子圍一長方形，求所有長方形中面積最大的長方形面積為何？
並求此長方形的長、寬。
