)5(71

高雄市明誠中學 高二(下)平時測驗 日期：95.06.22 班級 普二 班

範

圍 3-7 離差

座號

姓 名 一、選擇題(每題 5 分)

1.(複選)測量一條繩子的長度 8 次，得到下面的長度資料（單位：公尺）

2.41，2.43，2.44，2.45，2.46，2.46，2.47，2.48

如果將上面的各數據都乘以 100，再減去 240，得到新的數據，試問下列各敘述哪些是 正確的？(A)新數據的算術平均數為 5 (B)新數據的標準差大於 2

(C)原數據的算術平均數為 2.45 (D)原數據的標準差大於 0.2 (E)原數據的中位數為 2.455

【解答】(A)(B)(C)(E)

【詳解】

新數據為 1，3，4，5，6，6，7，8 新數據平均數 =

8

1(1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 8) = 5

新數據標準差 = ∑ −

= 8

1

)2

5 7 (

1

k xk =

7

36 > 2 原數據之平均數為(5 + 240) ÷ 100 = 2.45 原數據之標準差為

7

36 ÷ 100 = 0.02……

原數據的中位數為^{2.45 2.46} 2

+ =2.455

2. (複選)某次考試甲、乙兩科成績的直方圖如下（因考 生人數多，所以成績分布的直方圖可視為平滑曲 線），試判斷下列哪些敘述是正確的？

(A)甲班的算術平均數較乙的算術平均數大 (B)甲的中位數比乙的中位數大

(C)甲的全距比乙的全距大 (D)甲的標準差較乙的標準差大

【解答】(C)(D)

3. (複選)設有兩組資料X，Y，資料X在全距、算術平均數、中位數、四分位差、標準差分別 為RX，MX，MeX，QDX，SX，資料Y的全距、算術平均數、中位數、四分位差、標準差分 別為RY，MY，MeY，QDY，SY；現在將兩組資料合併，設合併後資料全距、算術平均數、

中位數、四分位差、標準差分別為R，M，Me，QD，S，則下列敘述哪些是正確的？(A) R介於RX，RY兩者之間 (B) M介於MX，MY兩者之間

(C) Me介於MeX，MeY兩者之間 (D) QD介於QDX，QDY兩者之間 (E) S介於SX，SY兩者之間

【解答】(B)(C)

【詳解】

設兩組資料X，Y之個數分別為m，n，則M =

n m

nM mM_{X Y}

+

+ ，由內分點公式可知M介於M_X，

MY兩者之間，代表集中趨勢的中位數亦同，故(B)(C)均正確，但差量如全距、四分位差 及標準差於資料合併之後，若資料較集中，則差異變小，反之則變大，故(A)(D)(E)不一 定正確

4. (複選)假設某班有 50 人，最近二次數學平時考，每位同學第二次成績均比第一次多 10 分，則下列有關二次平時考成績的統計，哪些正確？

(A)全距相等 (B)算術平均數相等 (C)中位數相等 (D)標準差相等 (E)四分位差不同

【解答】(A)(D)

【詳解】

設X，Y分別表第一次，第二次平時考的成績，則Y = X + 10

⇒ y= x + 10 且SY = SX，另外，四分位差亦相等

∴ 全距相等，標準差相等，四分位差相等 ∴ 選(A)(D)

5. (複選)有一群抽樣資料X：1，1，2，3，5，5，5，7，8，9，9，另一群抽樣資料Y：2001，

2001，2002，2003，2005，2005，2005，2007，2008，2009，2009，則下列何者正確？

(A) X之中位數 = 5 (B) Y之算術平均數 = 2005 (C) Y之中位數 = 2005 (D) X之標準差SX = 3 (E) Y之標準差SY = SX

【解答】(A)(B)(C)(D)(E)

【詳解】

(A) X之中位數 = 5 (B) Y之算術平均數 =

11

1 (2001 × 2 + 2002 + 2003 + 2005 × 3 + 2007 + 2008 + 2009 × 2) = 2005 (C) Y之中位數 = 2005

(D) X之算術平均數 = 11

1 (1 × 2 + 2 + 3 + 5 × 3 + 7 + 8 + 9 × 2) = 5，X之標準差SX = 3 (E) Y之標準差SY = 3 ∴ SY = SX

6. (複選)常態分布曲線有哪些特性？

(A)對稱性 (B)不連續性 (C)中位數等於算術平均數 (D)全體資料中與算術平均數之差小於一個標準差的比率不超過全體的

2 1

【解答】(A)(C)

二、填充題( 每題 10 分)

1. 設變數X的數值資料為 7，13，9，6，12，18，16，15 等 8 個，則 (1)算術平均數 x= 。 (2)中位數Me = 。

(3)四分位差Q.D. = 。 (4)標準差S = 。

【解答】(1) 12 (2) 12.5 (3) 7.5 (4) 7 132

【詳解】

為了計算方便可先作平移變量，Y = X − 12（平移值A = 12）

X：6，7，9，12，13，15，16，18，Y：− 6，− 5，− 3，0，1，3，4，6 (1)y=

8

1( − 6 − 5 − 3 + 0 + 1 + 3 + 4 + 6) = 0 ⇒ x =y+ 12 = 0 + 12 = 12 (2) Me =

2 13 12+ =

2

25= 12.5（x值最中間兩個數的平均值）

(3) X：6 7 9 12 13 15 16 18 ↑ ↑ ↑

Q1 Me Q3

∵ Q1 = 2

9

7+ = 8，Q3 = 2

16

15+ = 15.5 ∴ Q.D. = Q3 − Q1 = 15.5 − 8 = 7.5

(4)∵ S_Y = ^{2 2 2 2 2 2 2 2} ( )² 1 8 ] 8 6 4 3 1 0 ) 3 ( ) 5 ( ) 6 1[(

8

1 y

− − + + + + +

− +

− +

− −

= (36 25 9 0 1 9 16 36) 7

1 + + + + + + + = 7

132 4.34

∴ S_X = SY = 4.34

2. 甲班 50 名學生期末考數學成績統計如下。試求：

分數 30～40 40～50 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100

人數 3 7 9 13 10 6 2

(1)算術平均數 = 分。 (2)中位數Me = 分。

(3)樣本標準差S = 分。 (4)四分位差Q D. .= 分。

（S = =

2 2

1

( ) 1

n i i

x n x n

=

−

−

∑

1 ) (

1

2

−

∑ −

=

n x x

n

i i

2 2

1 1

1( ) 1

n n

i i i i

i i

f d f d

n n

= =

−

−

∑ ∑

）

【解答】(1) 64.2 (2) 64 ⁸

13 (3) ⁴ 723

7 (4) 22¹³ 18

【詳解】

分數 fi

以下 累積

組中點 x_i di =

10

−65 xi

di2

fidi fi di2

30～40 3 3 35 − 3 9 − 9 27 40～50 7 10 45 − 2 4 − 14 28 50～60 9 19 55 − 1 1 − 9 9 60～70 13 32 65 0 0 0 0 70～80 10 42 75 1 1 10 10 80～90 6 48 85 2 4 12 24 90～100 2 50 95 3 9 6 18

合計 − 4 116

(1)算術平均數 = 65 + 50

−4× 10 = 64.2

(2)中位數 Me = 60 +

50 19 2 10

13

− × = 64 ⁸ 13

(3)樣本標準差 S = h 1( ) ] 1[

1 2 ₂

i i i

i f d

d n

n ∑ f − ∑

− = 10 ( 4) ]

50 116 1 49[

1 ₂

−

×

− ⁴ 723

=7

(4) ₁

50 10 4 7

50 10 52

9 9

Q

= + − × = ， ₃

3 50 32 4 1

70 10 75

10 2

Q

× −

= + × = 四分位差Q D. .= _{3 1} 1 7 1

75 52 22

2 9 1

Q −Q = − = 3

8

3. 有 5 個數值資料x1，x₂，x₃，x₄，x₅，其平方和為 151，兩兩之積和為 237，則此 5 個資料 的算術平均數為 ，變異數為 。

【解答】5；6.5

【詳解】

∵

即 = 151， = 237 又

2 2 2 2 2

1 2 3 4 5

1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 4 5

151

237

x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x

⎧ + + + + =

⎨ + + + + + + + + =

⎩ …

∑= 5

1 2

i xi _∑

=

<

≤ 5

2 1 i j xixj

2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 1 3 1 4 4 5

(x +x + +x x +x ) =(x +x +x +x +x )+2(x x +x x +x x + +x x ) 即 ^{5 2}= + 2 = 151 + 2 × 237 = 625⇒ = 25 ∴

1

(∑ )

=

i xi ∑

= 5

1 2

i xi ∑

=

<

≤ 5

2

1 i j xixj ∑

= 5

1

i xi x=

5 1 ∑

= 5

1 i xi = 5 S² =

1 5

1

− [∑ − (

= 5

1 2

i xi 5 x )² ]=

4

1× [151 −5 × 25] = 4 151−125=

4 26= 6.5

4. 將 40 個數值資料平分成A，B兩組，已知A組的算術平均數為 5，變異數為 3；B組的算術 平均數為 7，變異數為 1，則此 40 個資料的算術平均數為 ，變異數為 。

【解答】6；¹¹⁶ 39

【詳解】

(1) x =

40 20 7 20

5× + × = 6

(2)∵ SA2 = 19

1 [∑ −

= 20

1 2

i xi 20× x_A²]，9 = 19

1 ∑

= 20

1 2

i xi −

19

20 × 5² ⇒ = 57 + 500 = 557，

同理S

∑= 20

1 2 i xi B2 =

19 1 ∑

= 20

1 2

i yi −

19 20 ²

xB ，1 = 19

1 ∑

= 20

1 2

i yi −

19

20× 7² ⇒ = 999

∴全部 40 個數的變異數S

∑= 20

1 2 i yi 2 =

39

1 (∑ + ) −

= 20

1 2

i xi ∑

= 20

1 2 i yi

39 40 ²

x = 39

1 (557 + 999) − 39

40× 36 =¹¹⁶ 39 5. 某次考試本班成績奇差，總平均 43.6，標準差為 13.5。老師決定每人加 18 分，則加分

後的總平均為 ，標準差為 。

【解答】61.6；13.5

【詳解】

每人加 18 分，即將原來分數作平移變換∵ Y = X + 18

∴ y= x + 18 = 43.6 + 18 = 61.6，標準差不變SY = SX+18 = SX = 13.5

6. 有 10 位同學數學成績平均為 60 分，標準差 4 分。已知 10 人中 8 人的成績為 54，56，

57，58，60，61，64，65，則另外兩人的成績為 。

【解答】59，66

【詳解】

設另外兩人成績為a，b，令y = x − 60，則 x：54，56，57，58，60，61，64，65，a，b

y：− 6，− 4，− 3，− 2，0，1，4，5，p，q，其中（p = a − 60，q = b − 60）

∴ y= x − 60 = 0 ⇒ 10

1 ( − 6 − 4 − 3 − 2 + 0 + 1 + 4 + 5 + p + q) = 0⇒ p + q = 5……c

∵ S_Y = SX = 4

∴9

1[( − 6)² + ( − 4)² + ( − 3)² + ( − 2)² + 0² + 1² + 4² + 5² + p² + q²] = 16⇒p² + q² = 37…d

解c，d得 或 ⇒ 或 ，故另兩人的成績為 59 分及 66 分

⎩⎨

⎧

=

−

= 6

1 q

p

⎩⎨

⎧

−

=

= 1 6 q

p

⎩⎨

⎧

=

= 66 59 b a

⎩⎨

⎧

=

= 59 66 b a

7. 某次測驗，第一組學生 40 人，平均成績 80 分，標準差 4 分；第二組學生 20 人，平均 成績為 86 分，標準差 5 分，則合併兩組學生共 60 人的

(1)平均分數為 。(2)標準差為 。

【解答】(1) 82 分 (2) 5.2

【詳解】

(1)∵ x₁= 80，x₂= 86 ∴ 平均成績 x =

20 40

86 20 80 40

+

× +

× = 82（分）

(2)設第一組 40 人之成績為x1，x2，…，x40

第二組 20 人之成績為y1，y2，…，y20

則x₁= 80， = 4，

X1

S x₂= 86， = 5 ∴ =

X2

S

2 X1

S 39

1 [∑ −

= 40

1 2

i xi 40× x₂²] ⇒ 16 = 39

1 ∑

= 40

1 2

i xi −

39 40× 80²

⇒ ∑ = 16 × 39 + 40 × 80

= 40

1 2

i xi ² = 624 + 256000 = 256624 又 ²=

X2

S 19 1 ∑

= 20

1 2

i yi −

19 20 ²

x2 ⇒ 25 = 19

1 ∑

= 20

1 2

i yi −

19 20× 86 ²

⇒ ∑ = 25 × 19 + 20 × 86

= 20

1 2

i yi ² = 475 + 147920 = 148395

∴ SX2 = 59

1 (∑ + ) −

= 40

1 2

i xi ∑

= 20

1 2 i yi

59 60 ²

x = 59

1 (256624 + 148395) − 59 60× 82 ²

SX = 1 ² 1579 [256624 148395 60 82 ]

59 + − × = 59 = 5.17 5.2

8. 設變量x表一群數值x₁，x₂，x₃，…，x_n，令x中各變量 2 倍後減去 5 所成新的變量為y，即 y表 2x₁ − 5，2x2 − 5，2x3 − 5，…，2xn − 5，

(1)若y的算術平均數為 35，則x的算術平均數為 。 (2)若x的標準差為 7，則y的標準差為 。

(3)若y的中位數為 33，則x的中位數為 。 (4)若x的四分位差為 10，則y的四分位差為 。

【解答】(1) 20 (2) 14 (3) 19 (4) 20

【詳解】(1) y = 2x − 5 ⇒ y= 2 x − 5 ∵ y= 35 ∴ x = 2

1(y + 5) = 20 (2) y = 2x − 5 ⇒ SY = 2SX ∵ S_X = 7 ∴ SY = 2 × 7 = 14

(3)∵ y的中位數為 33 ∴ 33 = 2Me − 5 ⇒ Me = 19 ∴ x的中位數為 19 (4)將資料平移不會影響四分位差，但資料數值伸縮時，四分位差隨之伸縮 ∴ y的四分位差 = 2．(x的四分位差) = 2 × 10 = 20

9. 高三某班第一次模擬考試，數學及英文成績次數分布表如下：

數學成績 25～3535～4545～5555～6565～7575～8585～95 英文成績 20～3030～4040～5050～6060～7070～8080～90總計

人數 2 7 10 18 10 7 2 56

試求：

(1)數學全距為R1，英文全距為R2，則R1 + R2 = 。

(2)數學、英文之算術平均數分別為x₁，x₂，則x₁+x₂ = 。 (3)數學、英文之中位數分別為Me，Me′，則Me + Me′ = 。

(4)數學、英文之四分位差分別為Q.D.，Q.D.′，則Q.D. − Q.D.′ = 。 (5)數學、英文之標準差分別為S ，S ，則S =

x1 x₂ x₁ ，S =

x2 。

【解答】(1) 140 (2) 115 (3) 115 (4) 0 (5) SX = SY = 10 55 112

【詳解】

(1)數學全距R1 = 95 − 25 = 70，英文全距R2 = 90 − 20 = 70 ∴ R1 + R2 = 70 + 70 = 140

(2)數學成績次數分布表如下：平移值A = 60，組距h = 10，di = h

A x_i −

組別 以下累 積次數

次數 f_i

組中點 x_i d_i =

10

−60 xi

d_i² f_id_i f_id_i² 25～35 2 2 30 − 3 9 − 6 18 35～45 9 7 40 − 2 4 −14 28 Q₁→ 45～55 19 10 50 −1 1 −10 10

Me→ 55～65 37 18 60 0 0 0 0

Q₃→ 65～75 47 10 70 1 1 10 10 75～85 54 7 80 2 4 14 28

85～95 56 2 90 3 9 6 18

合計 56 0 112

∵ 數學與英文成績相差 5 分 ∴ x₁ = x2 + 5

⇒ x₁=x₂ + 5，又x₁= 60 + 56

10× 0 = 60

⇒ x₂ = 60 − 5 = 55 ∴ x₁+x₂ = 115 (3)數學成績之中位數Me為第

2

56= 28 個數值落在 55～65 這一組內

∴ Me = 55 + 18 2 19

56 − ×10 = 55 + 5 = 60，又Me = Me′ + 5 ⇒ Me′ = 55

故Me + Me′ = 115

(4)∵ 英文成績是數學成績x₁的平移 5 分

∴ 英文、數學四分位差相等 ⇒ Q.D.′ = Q.D. ∴ Q.D. − Q.D. ′ = 0 (5)數學成績的標準差S = 10 ×

x1

1 1 2

[112 (0) ] 55 −56× = 10

55 112

∴ S

x2= = S

x1= 10

1−5

Sx

55 112

10.甲，乙兩班分別有 13 個學生與 12 個學生參加學力測驗，兩班學生的成績分別為 甲班：8，7，18，15，18，21，18，14，15，16，20，20，21。

乙班：17，17，15，16，8，18，18，19，20，18，19，21。

則甲班成績的四分位差為 ，乙班成績的四分位差為 。

【解答】5.5；2.5

【詳解】

甲班學生成績排序 7，8，14，15，15，16，18，18，18，20，20，21，21 乙班學生成績排序8，15，16，17，17，18，18，18，19，19，20，21 甲班成績的第一四分位數Q₁ =

2 15 14+

2 20 20+

= 14.5，第三四分位數Q3 = = 20 所以甲班成績的四分位差 = Q₃ − Q₁ = 20 − 14.5 = 5.5

乙班成績的第一四分位數Q1 = 2

17

16+ = 16.5，第三四分位數Q3 = 2

19 19+ = 19 所以乙班成績的四分位差 = Q3 − Q1 = 2.5

11.某校高二學生在一次月考之後，抽出 35 個學生，統計他們的成績，畫出成績直方圖，

如下：

(1)求中位數。 (2)求標準差。 (3)求四分位差。

【解答】(1) 51.5 (2) 281 10 119

【詳解】

35 個同學的成績分布表如下 成績 人數 組中點 xi fi di fi di2

累積次數 15～25 2 20 - 6 18 2 25～35 3 30 - 6 12 5 35～45 6 40 - 6 6 11 45～55 10 50 0 0 21 55～65 7 60 7 7 28 65～75 5 70 10 20 33 75～85 2 80 6 18 35

合計 35 5 81

(1)中位數：在 45～55 這一組裡⇒ Me = 45 +

35 11 2 10

10

− × = 51.5

(2)標準差S_X =10× ^{7 2 7 2}

1 1

1 1

[ (

34 i ^{i i} 35 i ^{i i}

f d f d

= =

∑

∑

(3) ₁

35 5 4 1

35 10 41

6 4

Q

= + − × = ， ₃

3 35 21 4 1

55 10 62

7 2

Q

× −

= + × = 四分位差Q D. .= _{3 1} 1 1

62 41 21 2 4

Q −Q = − = 1

4

12.某次數學測驗，全班 50 位同學成績的以下累積次數分布表如下圖，試求此測驗的 (1)平均分數 x 為何？

(2)標準差 S =

2 1

( ) 1

n i i

x x n

=

−

−

∑

【解答】(1) 65.2 (2) ⁴⁴⁹⁸ 7

【詳解】

分數 次數

f_i

組中點 x_i d_i =

10

−65 xi

f_i d_i d_i² f_i d_i²

30～40 1 35 − 3 − 3 9 9

40～50 2 45 − 2 − 4 4 8

50～60 5 55 − 1 − 5 1 5

60～70 33 65 0 0 0 0

70～80 6 75 1 6 1 6

80～90 2 85 2 4 4 8

90～100 1 95 3 3 9 9

總計 50 1 45

(1) x= 65 + 50

10．1 = 65.2

(2) S = 10 (1)² ) 1 50 ( 50 45 1 1 50

1

− −

− ． = 10

49 50

1 49 45

− ． ⁴⁴⁹⁸

= 7

13.某班某月英文成績之累積次數分布曲線如下：

求：

(1)全距 分。 (2) 70～80 分有 人。

(3)不及格（60 以下）有 人。 (4)中位數 分。

(5)算術平均數 分。 (6)四分位差 分。 (7)標準差 。

【解答】(1) 70 (2) 10 (3) 18 (4) 70 (5) 67 (6) 31²

3 (7) ^{20 43} 7

【詳解】

組別 以上累積次數 次數 f_i

30～40 50 5

40～50 45 7

50～60 38 6

60～70 32 7

70～80 25 10

80～90 15 10

90～100 5 5

(1)全距 = 100 − 30 = 70

(2) 70 分以上 25 人，80 分以上 15 人 ∴ 70～80 分有 25 − 15 = 10 人

(3) 60 分以上有 32 人，故不及格者有 50 − 32 = 18 人，即表中 5 + 7 + 6 = 18 人

(4)

50 18

60 2 10 70 Me 7

= + − × =

(5) _{（A = 75）}

組別 組中點 xi

次數 fi

累i di = h

A x_i −

fi di di2

fi di2

30～40 35 5 5 − 4 − 20 16 80 40～50 45 7 12 − 3 − 21 9 63 50～60 55 6 18 − 2 − 12 4 24 60～70 65 7 25 − 1 − 7 1 7 70～80 75 10 35 0 0 0 0 80～90 85 10 45 1 10 1 10 90～100 95 5 50 2 10 4 20

總計 50 − 40 204

令A = 75，h = 10 ∴ x = 75 + ⁴⁰ 50

− × 10 = 67

(6)第一四分位數Q1落在 50～60 之間 ⇒ Q1 = 50 +

50 12 4 10

6

− × 50⁵

= 6

第三四分位數Q₃落在 80～90 之間 ⇒ Q3 = 80 +

3 50 35

4 10

10

× −

× = 82¹ 2 故四分位差Q.D. = Q3 − Q1 = 31²

3 (7) S² =

49

1 [204 − (40)² 50

1 ] × 10² =¹⁷²⁰⁰

49 ⇒ S = ^{20 43} 7

14.若一組抽樣資料為 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，24，24，24，…，24（共 24 個 24），求

(1)中位數： 。 (2)四分位差： 。(3)標準差： 。 3 3

【解答】(1) 17 (2) 9 (3)10

【詳解】

(1) 1 + 2 + 3 + … + 24 = 2

25

24× = 300，又 1 + 2 + 3 + … + 16 = 2

17

16× = 136，故 Me = 17 (2) 1 + 2 + 3 + … + 11 = 66 ∴ Q₁ = 12

1 + 2 + 3 + … + 21 = 231 ∴ Q₃ = 21 ∴ Q.D. = 21 − 12 = 9

(3)資料數共有 1 + 2 + 3 + … + 24 = 2

25

24× = 300 個

_∑ =_∑ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= =

24

1 24

1

6 4900 49 25 24

i xi i k k ，_∑²⁴ = _∑ ⋅ = ⋅ =

1

24

1

2 2 2

90000 2 )

25 (24

＝ ＝

i xi i k k

∴ S = 1 4900 ² [90000 300( ) ]

299 − 300 =

3 29900 2991 ⋅ =

100 =3 3 3 10

15.以下哪些人的說法正確？ 。

甲說：0，1，2，3，4，5 六個數的標準差與 3，1，2，5，0，4 六個數的標準差相同。

乙說：0，1，2，3，4，5 六個數的標準差與 10，11，12，13，14，15 六個數的標準差 相同。

丙說：0，1，2，3，4，5 六個數的標準差與 10，12，14，16，18，20 六個數的標準差 相同。

丁說：0，1，2，3，4，5 六個數的標準差與 0，2，4，6，8，10 六個數的標準差相同。

戊說：0，1，2，3，4，5 六個數的標準差與 0，

2 1，1，

2 3，2，

2

5六個數的標準差相同。

【解答】甲、乙

【詳解】

X：0，1，2，3，4，5，標準差SX

(1) 0，1，2，3，4，5 與 3，1，2，5，0，4，六個數完全相同 ∴ 標準差相同 (2) X + 10，得 10，11，12，13，14，15 ⇒ 平移後，標準差不變 ∴ 標準差相同 (3) 2X + 10，得 10，12，14，16，18，20 ⇒ 標準差 = 2SX

(4) 2X，得 0，2，4，6，8，10 ⇒ 標準差 = 2SX

(5) 2

X ，得 0，

2 1，1，

2 3，2，

2

5 ⇒ 標準差 = 2 1SX

∴ 甲、乙對

16.甲班 44 位學生數學段考成績不佳，平均分數 40 分，母體標準差 8 分，老師決定將成績 以y = ax + b的方式加分（其中x為原分數，y為加分後分數，a > 0），將成績提高到平均 分數 50 分，母體標準差 9 分，按照這個計算方式，甲班學生George加分後分數將超過 100 分，請問George原分數至少 分（原分數皆為整數）。

【解答】85

【詳解】

∵ y = ax + b（a > 0） ∴ Sy = aSx ⇒ 9 = a × 8 ⇒ a = 8 9

又y= a x + b = 8

9 x+ b ⇒ 50 = 8

9× 40 + b ⇒ b = 5 y =8

9x + 5，y = 8

9x + 5 ≥ 100 ⇒ x ≥ 84.5，取整數x = 85 分

17.本校舉行數學競試，三年級 20 位代表平均成績 70 分，標準差 6 分；二年級 20 位代表 平均成績 55 分，標準差 4 分；一年級 10 位代表平均 50 分，標準差x分，試求：

(1)全部參加競試同學平均成績為 分。

(2)若全部參加競試同學成績的標準差為 96 ，則x = 分。

【解答】(1) 60 (2) 24

【詳解】

(1)x = 50

1 (70 × 20 + 55 × 20 + 50 × 10) = 60 (2)設三年級 20 位學生成績為x1，x₂，…，x₂₀ 二年級 20 位學生成績為y1，y₂，…，y₂₀ 一年級 10 位學生成績為z1，z₂，…，z₁₀ 則 1 ₁² ₂² ₂₀^{2 2}

[( ) 20 70 ]

19 x +x + +… x − × = 6 1 ₁² ₂² ₂₀^{2 2}

[( ) 20 55 ]

19 y +y + +… y − × = 4

20 20 10

2 2 2 2

1 1 1

1 [( ) 50 60 ]

49 i ⁱ i ⁱ i ⁱ

x y z

= = =

+ + − ×

∑ ∑ ∑

⇒

⇒ = 184704 − 98684 − 60804 = 25216

∴ x =

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

× +

×

∑ =

∑ +

∑ +

=

× +

×

= + + +

=

× +

×

= + + +

=

=

= 96 49 50 60 184704

60804 55

20 19 16

98684 70

20 19 36

10 2 1 20 2

1 20 2

1 2

2 2 20 2

2 2 1

2 2 20 2

2 2 1

i i

i i

i xi y z

y y

y

x x

x

…

…

∑= 10

1 2 i zi

10 2 1

2 50

9 10 9

1∑ − ×

i= zi =

9 25000 25216 −9 =

216 = 24 9 18.求 2，3，9，7，14，15，18，6，8，10，12 的

(1)中位數為 。 (2)四分位差（Q₃ − Q1）為 。

【解答】(1) 9 (2) 8

【詳解】

由小至大排序：2，3，6，7，8，9，10，12，14，15，18 (1)中位數為第^{11 1} 6

2

+ = 項 9

(2) Q1 = 6，Q3 = 14 ∴ 四分位差 = Q3 − Q1 = 8

19.某校 204 班有學生 47 人，某次數學測驗成績經計算算數平均數與標準差後，發現成績 有誤，甲多算了 20 分，乙少算了 20 分，經重新計算算數平均數與標準差後，則以下哪 些人的說法正確？ 。

甲說：標準差必不變。 乙說：算數平均數必不變。 丙說：全距必不變。

丁說：中位數必不變。 戊說：變異數必不變。

【解答】乙

【詳解】

(1)甲多算 20 分，乙少算 20 分，全班新總分數與原來總分不變⇒算術平均數不變，乙對 (2)假設甲是全班分數最低，乙是全班分數最高

⇒ 全距變大，變異數、標準差也變大 ∴ 甲、丙、戊不對

(3)假設甲是全班分數排行第 24 位，即中位數的位置又與前後的分數不同 ⇒ 中位數變了 ∴ 丁不對

20.有 1000 位高一學生基礎數學成績的中位數為 72 分，四分位差 12 分，則數學成績及格 的學生至少有多少位？

【解答】750

【詳解】

1000 位學生成績由小而大排列之，則

中位數Me為第 500 位及第 501 位成績的平均數

第一個四分位數Q₁為第 250 位及第 251 位的算術平均數 第三個四分位數Q₃為第 750 位及第 751 位的算術平均數

∵ Q.D. = 12 ∴ Q3 − Q1 = 12

∴ Q₃的最小值為 72 ⇒ Q1的最小值 = 72 − 12 = 60

∴ 從第 251 位以後學生成績恆大於或等於 60 故至少有 1000 − 251 + 1 = 750 位學生成績及格

21.有 21 個數值，其算術平均數為 32，標準差為 3。今發現其中數「35」必須刪除，求所 剩 20 個數值之變異數。

【解答】³⁴¹¹ 380

【詳解】

設此 21 個數值為x1，x2，…，x20，x21，且其中x21 = 35

= 32 × 21 = 672，又x

∑= 21

1

k xk 21 = 35 ∴ 正確的 ∑ = 672 − 35 = 637 又由標準差為 3 可得 3

= 20

1

k xk

2 = 20

1 [∑ −

= 21

1 2

k xk

21

1 (∑ )

= 21

1

k xk ²]

∴ ∑ = 3

= 21

1 2

k xk ² × 20 + 21

1 (672)² = 21684 ∴正確的 ∑ =21684 − 35

= 20

1 2

k xk ² = 20459 所求正確的變異數 S²=

19

1 [∑ −20(

= 20

1 2

k xk

20

1

20

k k

x

∑

)²] = 19

1 [20459 −20×(⁶³⁷)²

20 ] ³⁴¹¹

= 380

22.

資料值 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 次數 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 求上表資料值的四分位差。

【解答】4

【詳解】1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 ³⁶ 9,^{3 36} 27

4 4

+ + + + + + + + + + = ⇒ = × =

Q₁ = ^{9 10 5 5}

2 2

x +x +

= = 5，Q₃ = ^{27 28} 2 x +x

= 2 9

9+ = 9 ∴ Q.D. = 9 − 5 = 4

23.求 3123，3125，3119，3122，3126 之算術平均數與標準差。

【解答】3123； 7.5

【詳解】

x= 3120 + 5

1(3 + 5 − 1 + 2 + 6) = 3120 + 3 = 3123

先把每個數值資料減去 3123，得 0，2，− 4，− 1，3， 'x = 0 標準差 =

4

1 ⁵ ₂

1

( ' ) 4 1

k k

x x

=

∑

2 ，∴ S = 15 2

24.有 10 個未分組的數值資料，已知∑¹⁰ = 155， = 2551，求其算術平均數與標準差。

＝1

k xk ∑¹⁰

1 2 k＝xk

【解答】15.5；4.06

【詳解】

算術平均數 = 101 ∑

= 10

1

k xk = 15.5 標準差 = ^{10 2 2}

1

1[ 10( ) ] 9 _k x^k x

=

∑

公式一：

n個數值資料：x1，x2，…，xn，其平均數為 x ，標準差為SX；m個數值資料：y1，y2，…，

ym，其平均數為y，標準差為SY，把二組數值資料合併，試證合併後的標準差S的平方(即 變異數)為

S² =

1 1

− + n

m [(n − 1)SX2 + (m − 1)SY2 + n m

mn

+ (x −y)²]。

【證明】

= (n − 1)S

∑= n

k xk

1 2

X2 + nx²，∑ = (m − 1)S

= m

k yk

1 2

Y2 + my ² S² =

1 1

− + n

m [ ∑⁺ −

= n m

k zk

1 2

n m+

1 ( ∑⁺ )

= n m

k zk

1

2]，其中zk為合併後的數值資料 S² =

1 1

− + n

m [∑ + −

= n

k xk

1

2 ∑

= m

k yk

1 2

n m+

1 (∑ + )

= n

k xk

1

∑= m

k yk

1 2] S² =

1 1

− + n

m [(n − 1)S_X² + nx²+ (m − 1)S_Y² + my²− n m+

1 (n x+ my)²]

S² =

1 1

− + n

m [(n − 1)S_X² + (m − 1)S_Y² +

n m

y m y x mn x

n y m n m x n n m

+

−

−

− +

+

+ ) ² ( ) ^{2 2 2} 2 ^{2 2}

( ]

S² =

1 1

− + n

m [(n − 1)S_X² + (m − 1)S_Y² +

n m

y x mn y

mn x mn

+

− + ² 2

2

] S² =

1 1

− + n

m [(n − 1)SX2 + (m − 1)SY2 + n m

mn

+ ( x−y)²]

公式二：

設n個資料的數值為x₁，x₂，x₃，…，x_n，已知它們的算術平均數為a，標準差為b，c為一 定數，

(1)試以a，b，c表示下列各數值：cx₁²，cx₂²，cx₃²，…，cx_n²的算術平均數 c(

n n 1−

b² + a²)。

(2)試證cx1，cx2，cx3，…，cxn的標準差為 | c | b。

【詳解】

(1)設n個資料x1，x2，…，xn的算術平均數a =

n x x

x₁+ ₂ + + _n

，標準差為b，

則cx₁²，cx₂²，…，cx_n²的算術平均數 =

n1 ∑ = ∑

= =

n

i

n

i i

i x

n cx c

1 1

2 2

∑= n

i xi

n ¹ 1 2

∑ − +

= = n

i xi a a

n ¹

]2

) 1 [(

=1[ ( ) 2 ( ) ]

1 1

2

∑ − 2 + ∑ − +

= =

n

i

n

i

n

i i

i a a x a a

n x ∑¹

=

= 1 1 ) (

2 ] ) 1 (

[ 1 1

1 1

1

2 + ∑ − ∑

∑ −

−

−

=

=

=

n

i n

i i

n

i i a

x n a n a

n x n

n +1( 2)

n na

= n n 1−

b² + 2a (a − a) + a² = n n 1−

b² + a² 平均數 _∑

= n

i xi

n c

1

2 = c(

n n 1−

b² + a²)

(2)設cx₁，cx₂，…，cx_n的標準差S = ∑ −

− ⁼

n

i cxi A

n 1

)2

1 (

1 ，其中A為平均數

則A = c x ， x = _∑

= n

i xi

n ¹ 1

S = ∑ −

− ⁼

n

i cxi cx

n 1

)2

1 (

1 = ∑ −

− ⁼

n

i xi x

n c 1

2

2 ( )

1 1

= ∑ −

− ⁼

n

i xi x

c n

1

2

2 ( )

1

1 = | c | ∑ −

− ⁼

n

i xi x

n 1

)2

1 (

1 = | c | b