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# 射影几何 射影几何

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(1)

## 《计算机图形学基础》

(2)

(3)



z

z

=

11 12

y x t

a a

t a

a y

x x

z

z

=

1 0 0 1 1

22

21 a t y

a

y y

z

t A

′ H

z

x x 0 x

=

=

H 1

A T

z

(4)







(5)

l

l’

l

(6)

l

l’

(7)

(8)

(9)





2 1 2

1

λ λ λ

x x x

x x

x

λ 1 λ 2 λ 3

x1 y

x2 λ

x

x x

x y

x

3 3

3 2

1 y x

y x

(10)



x1

x1

1 1

(11)



x1 x2

1

2

(12)



3

2

1x

u y

u

u

3

3 2

2 1

1x

u x

u x

u

(13)



12 22 2 13 23 33

2

11x

a xy

a y

a x

a y

a

a

### 2

12 1 2 22 22 13 1 3 23 2 3 33 32

2 1

11x

a x x

a x

a x x

a x x

a x

a

1

2

3

(14)



3 3 2

2 1

1

3 3 2

2 1

1

x b x

b x

b x

b b

x a x

a x

a x

a a

3 3 2

2 1

1

2 1

2 1

1 3

1 3

3 2

3 2

3 2

1

b b

a a

b b

a a

b b

a x a

x

x

2 1

1 3

3 2

b a

x = ×

(15)



### 直线看做点移动的轨迹。

3 0

3 2

2 1

1x + u x + u x = u

(16)





### 程。点看做直线转动的包络。

= 0 +

+ u x u x x

u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0 u

v u

ux p

×

=

⎭ ⇒

⎬⎫

= 0 0 vx = 0⎭⎬

(17)

### 对偶原理

u x + u x + u x = 0



### 点几何

3 0

3 2

2 1

1x + u x + u x = u



3 2

1 a a

a

0

3 2

1

3 2

1 =

=

c c

c

b b

b c

b a

3 2

1 c c

c

(18)

### 对偶原理

u x + u x + u x = 0



### 线几何

3 0

3 2

2 1

1x + u x + u x = u



3 2

1 a a

a

0

3 2

1

3 2

1 =

=

c c

c

b b

b c

b a

3 2

1 c c

c

(19)

(20)











(21)

a×b

1

2

(22)



### A, B, C三点共线，这三点的简比定义为： , , 点共线，这 点的简比定义为：

AC ABC) AC

(ABC) = BC = − CB (

(23)

) ) (

( BC ABC

AC BD

CD AC

AB

) ) (

,

( ABD

AB = =

= ⋅

BD

(24)

### B

) 0 )

( (

, ,

,

,b a + λ1b a + λ2b λ1λ2 λ1 − λ2a

λ

2

) 1

,

( λ

= λ

CD AB

2

(25)

### 调和分割

AB ) = 1− ⇒ = −

(AB,CD) = 1− ⇒ BC = − BD (

(26)







(27)

s

λ b

### A B

a a + λ1b b a + λ2b

(28)

### 线束的交比 线束的交比

s b

a + )× =

( λ a s b s

s b

a

× +

×

=

× + 2 ) (

λ λ s

b s

a

s b

a

× +

×

=

× +

1 1 ) (

λ

λ a× s + λ2b× s

s s

b×

λ b s

a×

a a + λ1b b a + λ2b

(29)

) 1

( = λ

CD AB

2

) ,

(AB CD λ

s

λ b

### A B

a a + λ1b b a + λ2b

(30)

1

) ,

( λ

= λ

CD AB

λ2

t

s

λ b

### A B

a a + λ1b b a + λ2b

(31)

k4

k3

k4

k2

k1

1

BD AC

(32)

k4

k3

k2

k1

) )(

(

) )(

( 3 1 4 2 k k

k k

k k

k k

BD

AC − −

⋅ =

) )(

(k4 k1 k3 k2 BC

(33)



p + μq p′ + μ′q



q

p q

p + μ , + μ μ μ

μ, μ

0

′ 0

a b

d

b + ′ + = 0, ≠ 0

′ +

d d c

c b

aμμ μ μ



(34)

b 0

,

0 ≠

=

′ + +

′ +

d c

b d a

c b

aμμ μ μ

d b

= −

′ μ

μ aμ + c μ

(35)

(36)

A B C D E

(37)

(38)

A B C D

(39)

(40)

(0 0) (0 1)

(0, 0) (0, 1)

(1 0) (1 1)

(1, 0) (1, 1)

(0 0) (0 1)

(0, 0) (0, 1)

(1, 0) (1, 1)

(41)

(42)



(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

## f ( )

(50)



(51)



z

z

z

z



(52)
(53)
(54)

### radius = 1.0; length = 2.0; slices = 32

y

Slices

z = 2Pi/theta

z

x

z

halfLength -halfLength

(55)

(56)

(57)
(58)

minApprox

### maxApprox x平面

(59)
(60)

（五）性騷擾申評會應對申訴案件做出成立或不成立之決議；評議成

a a 1935 1935 年秋，趙一曼任東北人民革命軍第三軍 年秋，趙一曼任東北人民革命軍第三軍

• 與生命教育主題相關的各類多元選修課程：「幸 福學、學幸福」、「哲學與生活運用」、「電影

詳夫觀命之法當以命宮限數為先男怕孤驛凶星有天福天貴者不妨女怕破刃厄星有

（Publically Available Specification, PAS），命名為 PAS 2050，一份可由 公眾無償取得、使用於評估產品生命週期排放之規格文件；以及另一份 溫室氣體排放與減量主張之守則（The Code

Theory Z’( Maslow,1971) ， 在 生理、安全、愛、自尊、自我實現之 上，有一最高的需求層次，就是個人 靈性成長 (Spiritual Growth) 或自 我超越 (Self Transcendence)

6.如图,将平面图形 ABCDEFG 绕AG 边所在的直线旋转一周,作出由此形成 的几何体