《计算机图形学基础》
第九讲 射影几何＋纹理映射 第九讲 射影几何＋纹理映射
刘永进
射影几何 射影几何
（Projective Geometry）
仿射变换（ ）
仿射变换（affine transformation）
平移
z
平移
z
旋转
⎟⎟⎞
⎜⎜
⎛
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
⎟ =
⎟⎞
⎜⎜
⎛
′
′ 11 12
y x t
a a
t a
a y
x x
z
旋转
z
缩放
⎟⎟
⎜ ⎠
⎜
⎟⎝
⎟
⎜ ⎠
⎜
⎝
⎟ =
⎟
⎜ ⎠
⎜
⎝ 1 0 0 1 1
22
21 a t y
a
y y
z
错切
t A ⎥⎤
⎢⎡
′ H
z
六个自由度
x x 0 ⎥⎦x⎢ ⎤
⎣
= ⎡
′ =
H 1
A T
z
可由三对对应点计算得出
变换的数学建模 变换的数学建模
由一般到特殊
射影几何学
研究图形在射影变换下不变的性质的 研究图形在射影变换下不变的性质的 几何学
几何学
法国建筑工程师Desargues 法国建筑工程师Desargues
《用透视表示对象的一般方法》 用透视表示对象的 般方法
中心投影（透视）
中心投影（透视）
l
投影中心
投影中心
B A
B
投影线
l’A’ B’
投影线
l理想点（无穷远点）
理想点（无穷远点）
l
投影中心
B A
A’ B’
投影线
l’A
欧氏直线补充了理想点后，称为射影直线
平面到平面的中心投影（透视）
平面到平面的中心投影（透视）
π’
M’ π
M
M
理想直线（无穷直线）
理想直线（无穷直线）
π’
π M’
M
欧氏平面补充了理想点后，称为射影平面
齐次坐标 齐次坐标
直线：无穷远点
平面：无穷远线
0 ,
), ,
(
2 1 2
1
= ≠
⇒
λ λ λx x x
x x
x
0 ,
,
), ,
, (
) ,
( ⇒
λ 1 λ 2 λ 3=
x1 y=
x2 λ≠
xx x
x y
x
, ) ( , , ), , ,
(
3 3
3 2
1 y x
y x
齐次坐标 齐次坐标
直线：无穷远点
代表无穷远点
) 0 , 1 ( )
0 ,
(
x1=
x1不代表任何点
代 无穷 点
) 0 0 (
) , ( )
,
(
1 1不代表任何点
)
0
,
0
(
齐次坐标 齐次坐标
平面：无穷远线
) 0 , ,
(
x1 x2以(x
1,x
2)为方向参数的直线上无穷远点 )
( 1 , 0 , 0 ) 轴上的无穷 点 ( x轴上的无穷远点
) 0 1 0
( 0 , 1 , 0 ) y轴上的无穷远点 ( y轴上的无穷远点
) 0 , 0 , 0
( 不代表任何点 )
0 , , 1
( k 斜率为k的直线上无穷远点
齐次坐标 齐次坐标
平面上的直线
3
0
2
1x
+
u y+
u=
u齐次坐标表示
3
0
3 2
2 1
1x
+
u x+
u x=
u齐次坐标 齐次坐标
平面上的二次曲线
0 2
2
2
12 22 2 13 23 332
11x
+
a xy+
a y+
a x+
a y+
a=
a
齐次坐标表示
0 2
2
2
12 1 2 22 22 13 1 3 23 2 3 33 322 1
11x
+
a x x+
a x+
a x x+
a x x+
a x=
a
(x
1,x
2,x
3) 的二次齐次式
齐次坐标 齐次坐标
平面上的两条直线
平面上的两条直线
) (
) 0 (
0 :
) 0 (
0 :
3 3 2
2 1
1
3 3 2
2 1
1
=
⋅
= +
+
=
⋅
= +
+
x b x
b x
b x
b b
x a x
a x
a x
a a
3 3 2
2 1
1
交点：
2 1
2 1
1 3
1 3
3 2
3 2
3 2
1
: : : :
b b
a a
b b
a a
b b
a x a
x
x
=
2 1
1 3
3 2
b a
x = ×
齐次坐标 齐次坐标
点几何
以点为基本元素，点有坐标，直线有方程。
直线看做点移动的轨迹。
3 0
3 2
2 1
1x + u x + u x = u
齐次坐标 齐次坐标
线几何
线几何
以直线为基本元素 直线有坐标 点有方 以直线为基本元素，直线有坐标，点有方 程。点看做直线转动的包络。
程。点看做直线转动的包络。
= 0 +
+ u x u x x
u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0 u
两直线的交点 两直线的交点：
v u
ux p
×
=
⎭ ⇒
⎬⎫
= 0 0 vx = 0⎭⎬
对偶原理
u x + u x + u x = 0对偶原理
点几何
3 0
3 2
2 1
1x + u x + u x = u
点几何
两点决定 直线 1. 两点决定一直线；
2. 点a,b所决定的直线，其坐标为a ×b；
2. 点a,b所决定的直线，其坐标为a ×b；
3. 三点共线的条件为
3 2
1 a a
a
0
3 2
1
3 2
1 =
=
c c
c
b b
b c
b a
3 2
1 c c
c
对偶原理
u x + u x + u x = 0对偶原理
线几何
3 0
3 2
2 1
1x + u x + u x = u
线几何
两直线决定 点 1. 两直线决定一点；
2. 直线a,b所决定的点，其坐标为a ×b；
2. 直线a,b所决定的点，其坐标为a ×b；
3. 三直线共点的条件为
3 2
1 a a
a
0
3 2
1
3 2
1 =
=
c c
c
b b
b c
b a
3 2
1 c c
c
平面射影几何对偶原理
关于平面上的元素（点与直线）的每个 关于平面上的元素（点与直线）的每个 射影命题，都对应着另一个对偶命题，
射影命题，都对应着另 个对偶命题，
第二命题由第一命题得来，即将每一元 素换为其对偶元素。如果两个命题之一 成立 那么另 命题也成立
成立，那么另一命题也成立。
一维射影几何学
对象：一维几何图形 对象： 维几何图形
特征：用一个独立参数描述的几何图形
实例：点列和线束
基本不变量：交比
射影对应、对合对应
两点A(a),B(b)连线上任一点M(x)的坐标 两点 ( ), ( )连线上任 点 ( )的坐标
可用矢量a,b的线性组合来表示。
B(b)
M(x) a
a×b
A(a) M(x)
λ a+λ b b b λ
1a+ λ
2b
a+ λb
共线三点的简比(ratio) ( )
A, B, C三点共线，这三点的简比定义为： , , 点共线，这 点的简比定义为：
AC ABC) AC
(ABC) = BC = − CB (
B C
A
共线四点的交比(cross ratio)
B C
D
A
B
) ) (
( BC ABC
AC BD
CD AC
AB ⋅
) ) (
,
( ABD
BD BC AD
BC CD AD
AB = =
= ⋅
BD
共线四点的交比(cross ratio)
B C
D
A
B
) 0 )
( (
, ,
,
,b a + λ1b a + λ2b λ1λ2 λ1 − λ2 ≠ a
λ
2
) 1
,
( λ
= λ
CD AB
2
调和分割
AD CD AC
AB ) = 1− ⇒ = −
(AB,CD) = 1− ⇒ BC = − BD (
D
C B
A
A
调和分割
几何反演 几何反演
复变函数中的保圆变换
偏微分方程中球的Green函数
线束的交比 线束的交比
s
A B C D
λ b
A B
a a + λ1b b a + λ2b
线束的交比 线束的交比
s b
a + )× =
( λ a s b s
s b
a
× +
×
=
× + 2 ) (
λ λ s
b s
a
s b
a
× +
×
=
× +
1 1 ) (
λ
λ a× s + λ2b× s
s s
b×
λ b s
a×
a a + λ1b b a + λ2b
线束的交比 线束的交比
) 1
( = λ
CD AB
2
) ,
(AB CD λ
s
A B C D
λ b
A B
a a + λ1b b a + λ2b
线束的交比
线束的交比
1) ,
( λ
= λ
CD AB
λ2
t
s
A B C D
λ b
A B
a a + λ1b b a + λ2b
k4
k3
k4
D
k2
C D
k1
B
A
1BD AC ⋅
BC AD ⋅
k4
k3
D
k2
C D
k1
A B
A
) )(
(
) )(
( 3 1 4 2 k k
k k
k k
k k
BC AD
BD
AC − −
⋅ =
) )(
(k4 k1 k3 k2 BC
AD ⋅ − −
一维射影对应 Λ 一维射影对应
设有两点列 线束 动点 线束 坐
Λ
设有两点列（线束），动点（线束）坐 标坐标为
p + μq p′ + μ′q′标坐标为
若对应点的参数 满足双一次方程
qp q
p + μ , + μ μ μ ′
若对应点的参数
μ, μ满足双 次方程
0′ 0
′ a b
d
b + ′ + = 0, ≠ 0
′ +
d d c
c b
aμμ μ μ
则称这两点列（线束）成射影对应
b 0
,
0 ≠
=
′ + +
′ +
d c
b d a
c b
aμμ μ μ
d b −
= −
′ μ
μ aμ + c μ
若 ’是 的射影函数 ’’是 ’的射影函数 若μ’是μ的射影函数，μ’’是μ’的射影函数，
则 μ’’是μ的射影函数（传递性）。
则 μ 是μ的射影函数（传递性）。
若两个 维基本图形成射影对应 则对 若两个一维基本图形成射影对应，则对
应四元素的交比相等。
应四元素的交比相等。
若两个一维基本图形成射影对应，则对 若两个 维基本图形成射影对应，则对
应四元素的交比相等。
若两个 维基本图形对应四元素的交比 若两个一维基本图形对应四元素的交比
相等，则必成射影对应。
若两个一维基本图形成射影对应的充要 若两个一维基本图形成射影对应的充要
条件为：对应元素的交比相等。
交比是射影不变量！
交比是射影不变量！
射影对应 Λ 与透视 Λ 射影对应 Λ 与透视 Λ
点列和线束成射影对应，并且对应线通 过对应点的特殊射影对应 称为透视对 过对应点的特殊射影对应，称为透视对 应。
A B C D E
d e
a b c d e
( A , B , C , L ) ( Λ a , b , c , L )
如果两个点列和同一线束成透视对应，
则称两个点列成透视对应。几何特征为：
两个点列对应点的连线共点 两个点列对应点的连线共点。
d e
a’ b’ c’ d’ e’
a b c d
( a , b , c , L ) ( Λ a ′ , b ′ , c ′ , L )
A’ D’
A B C D
A
B’ C’ D’
( A , B , C , L ) ( Λ A ′ , B ′ , C ′ , L )
( ) ( )
纹理映射 纹理映射
（texture mapping）
(0 0) (0 1)
(0, 0) (0, 1)
(1 0) (1 1)
(1, 0) (1, 1)
(0 0) (0 1)
(0, 0) (0, 1)
(1, 0) (1, 1)
x
p
p x
f ( ) = p
f ( )
可展曲面：
可展曲面：
可展曲面是一个有度量的曲面，并且可以 可展曲面是 个有度量的曲面，并且可以
无扭曲（即是无伸缩，剪切）地展开到一
无 曲 即是无伸缩 剪切 展开到
个平面上。
子午线投影（Central Meridian）
赤道附近尺度保持较好 两极变化很大
赤道附近尺度保持较好，两极变化很大
Albers Projection
面积尺度保持较好，但形状变化较大
横向子午线投影 横向子午线投影
（Transverse Meridian Projection）
（Transverse Meridian Projection）
space-oblique Mercator projection
方位投影 方位投影
（Azimuthal Projection）
（Azimuthal Projection）
中心点出发的方向保持一致，但形状和尺度变化较大
球面投影（立体投影）
球面投影（立体投影）
（Stereographic Projection）
（Stereographic Projection）
保角度，但不保面积和度量
x
p
p x
f ( ) = p
f ( )
绝大部分曲面都不是可展曲面：
绝大部分曲面都不是可展曲面：
对应到平面必然引起扭曲等变形
一一对应到平面必然引起扭曲等变形
实例分析 实例分析
几何 何
z
Cylinder
z
Cylinder
z
Torus
z
Sphere
纹理 纹理
radius = 1.0; length = 2.0; slices = 32
ySlices
z = 2Pi/theta
z
x
z
halfLength -halfLength
y (0,1) (0,0)
(1 0) (1,1) x
(1,0)
(0.5,1)
(0.5,0.5) (1,0.5) (0,0.5)
(0.5,0)
Z=0 平面
minRadiusminRadiusx平面
majRadius majRadius
y平面
z平面 平面
minApprox
