第四章 個案商品研究
第一節 固定期限利率交換利差連動債券
一、產品內容
個案商品一為 UBS(瑞士銀行)投資產品中的 10 年期美元計價固定期限 利率交換利差連動債券，每季配息，發行機構可於每次配息日執行贖回權 利，產品內容如表四-1：
表格 四-1 產品條款
發行機構 英商駿茂銀行(Lloyds TSB bank Plc，Moody’s Aaa/S&P ‘s AA) 債券面額 10,000 USD
總發行額 3,050,000 USD 債券發行日 2005 年 10 月 20 日 債券到期日 2015 年 10 月 20 日 債券幣別 USD
到期贖回金額 票面金額的 100%
附息日 1、4、7、10 月的 20 日，
計息期間 從 2006 年 1 月 20 日到 2015 年 10 月 20 日 計息方式 7.850% x n/N
n=在計息期間內 CMS30 – CMS2 > 0 之天數
N=計息期間天數(calendar days)。(每月 30 天，每年 360 天) CMS30 與 CMS2 分別為 30 年與 2 年期美元交換利率，此交換利 率為半年附息之交換利率，每月 30 天，每年 360 天。
強制贖回 自 2006 年 1 月 20 日起，發行機構可在每一次配息日以票面金 額的 100%強制贖回。
二、評價分析
由產品內容可以得知，商品特質類似於可贖回的浮動債券，因此在評 價時必須先模擬出未來的交換利率走勢以得出債券的配息多寡，並且考量 在每季贖回可能性，以評估出債券價格。以下先回顧過去 CMS 的走勢，再 加以說明評價的過程。
0 1 2 3 4 5 6 7
2004/3/12 2004/6/4 2004/8/27 2004/11/19 2005/2/11 2005/5/6 2005/7/29
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
CMS2 CMS30 spread
圖 四-1 歷史交換利率走勢圖 資料來源：British Bankers' Association (BBA)
圖中顯示 30 年期 CMS 與 2 年期 CMS 自發行前約一年半的走勢。左方刻 度為 30 年期 CMS 與 2 年期 CMS，右方刻度為兩個交換利率之差，也就是 spread。可以看出 30 年期 CMS 一直維持約在 5%上下的水準，而 2 年期 CMS 從 2%逐漸逼近 5%左右。利差則都是維持在大於 0 的水準。
(一)殖利率曲線與遠期利率之估計
由於產品期間長達十年，而標的利率涵蓋了 30 年的 CMS，所以評價時 需考量的時間長達 40 年，也因此需要建立長達 40 年的殖利率曲線。首先 從 DataStream 找出發行日(2005 年 10 月 20 日)當天的 USD 6M LIBOR 與 USD 12M LIBOR 報價
表格 四-2 LIBOR 報價
期限(月) Rate
6M LIBOR 4.37125%
12M LIBOR 4.58375%
表格 四-3 交換利率報價
期限(年) Rate 期限(年) Rate
1 4.585% 8 4.890%
2 4.680% 9 4.920%
3 4.720% 10 4.950%
4 4.755% 12 5.005%
5 4.795% 15 5.070%
6 4.825% 20 5.140%
7 4.860% 30 5.220%
接著利用非線性內插法(Cubic Spline)內插出以半年為單位的交換利 率，再利用拔靴法(Bootstrapping)來算出一年以上以半年為單位之殖利 率，已知公式：
2 1 1 1 2
1 2
1 2
1 (0 ,1.5)1.5 (0,1.5)1.5 5
. 1 1 ) 1 , 0 ( 5
. 1 5 . 0 ) 5 . 0 , 0 ( 5
.
1 × ×e−r × +S × ×e−r × +S × ×e−r × + × ×e−r × =
S
M
1 2 1
1 2
1 2
1 2
1 (0 ,2)2 (0 ,2) 2
2 5 . 1 ) 5 . 1 , 0 ( 2
1 ) 1 , 0 ( 2
5 . 0 ) 5 . 0 , 0 (
2× ×e−r × +S × ×e−r × +S × ×e−r × +S × ×e−r × + ×e−r × =
S
(4-1) 其中
5 .
S1 ：由 Cubic Spline 找出的交換利率 )
, 0 ( t
r ：市場 0~t 期的殖利率
從公式可知在每次計算所需要的殖利率時，都只會有一個未知數，例 如：r(0,1.5)、r(0 ,2)等。所以可由上述的拔靴法算出所需要的 1.5 年、2 年等殖利率。
表格 四-4 半年期殖利率表
年限 殖利率 年限 殖利率 年限 殖利率 年限 殖利率
0.5 4.3713% 8 4.8500% 15.5 5.0760% 23 5.1932%
1 4.5838% 8.5 4.8667% 16 5.0868% 23.5 5.1988%
1.5 4.5918% 9 4.8840% 16.5 5.0970% 24 5.2042%
2 4.6288% 9.5 4.9014% 17 5.1068% 24.5 5.2096%
2.5 4.6520% 10 4.9187% 17.5 5.1160% 25 5.2150%
3 4.6689% 10.5 4.9357% 18 5.1248% 25.5 5.2205%
3.5 4.6857% 11 4.9524% 18.5 5.1332% 26 5.2260%
4 4.7048% 11.5 4.9685% 19 5.1412% 26.5 5.2316%
4.5 4.7264% 12 4.9842% 19.5 5.1487% 27 5.2375%
5 4.7468% 12.5 4.9991% 20 5.1559% 27.5 5.2435%
5.5 4.7631% 13 5.0135% 20.5 5.1628% 28 5.2499%
6 4.7786% 13.5 5.0272% 21 5.1694% 28.5 5.2566%
6.5 4.7974% 14 5.0403% 21.5 5.1756% 29 5.2638%
7 4.8169% 14.5 5.0528% 22 5.1817% 29.5 5.2714%
7.5 4.8340% 15 5.0647% 22.5 5.1875% 30 5.2796%
然而市場上 Swap rate 報價只到 30 年，對於評價時間長達 40 年的情 況並不能滿足評價上的需求。但一般而言殖利率曲線有期間越長越平緩的 特性所以可以假設超過 30 年以上的殖利率等於 30 年期殖利率，以便進行 評價。得出 40 年的半年殖利率曲線後，最後再利用之前所提到的非線性 內插法求出 40 年每日的殖利率曲線。
圖 四-2 LIBOR 利率期間結構
接著可以利用每日的殖利率曲線來算出 1 天後、2 天後、…、直到 14220 天後的 180 天期遠期利率f(t1,t2)：
[
(0, t ) (0, t2)]
/( )) , (
) ( ) , ( )
t , 0 ( t2)
, 0 (
1 2 2 1
1 2
1
1 2 2 1 1 1 2
) ( ) , ( ) , 0 ( )
, 0
( 2 2 1 1 1 2 2 1
t t t r
t r
t t f
t t t t f t r
t r
e e
e r t t r t t f t t t t
−
⋅
−
⋅
=
⇒
−
⋅ +
⋅
=
⋅
⇒
⋅
= − ⋅ − ⋅ −
⋅
−
(4-2)
(二)波動度參數估計
在第三章中討論有關於波動度的設定中，本文採用型態三的設定，也 就是各遠期利率波動度不會隨著時間而改變。然而理論上利率動態過程中 的波動度與實際市場上報價有所不同，所以需要針對模型需求來校準 (Calibration)參數。
假設遠期利率波動度為：Fi
( ) ( )
t i t =si =vT−−caplet:σ 1 (4-3) 已知一個利率上限選擇權(Cap)等於多個利率上限買權(Caplet)，而在 LFM 下利率上限買權的價值可由 Black 模型求出：
0.04 0.042 0.044 0.046 0.048 0.05 0.052 0.054
0.5 3.5 6.5 9.5 12.5 15.5 18.5 21.5 24.5 27.5 30.5
(
i i i)
Black(
i i i) (
i)
i( ( )
i)
LFM T T K v Cpl T T K v P T Bl K v
Cpl 0 , −1, , , = 0, −1, , , = 0, τ ,Fi 0, (4-4)
( )
( ) ( ( ) )
( ) ( (
i( )
i) ) ( (
i( )
i) )
i i i i i i
v F K d KN v
F K d N F
K T F E v F K Bl
, 0 , ,
0 , 0
, 0 ,
2 1
1
−
=
−
= − +
(4-5)
其中：
( )
( ) ( ( ) )
i i i
i
i v
v K v F
F K
d ln 0 / /2
, 0 ,
2 1
= + ；
( ( ) ) ( ( ) )
i i i
i
i v
v K v F
F K
d ln 0 / /2
, 0 ,
2 2
= −
1
1 1− −
− =
= i T− caplet i i
i T v s T
v i
因此可以求出Tj年期的利率上限選擇權(Cap)：
( ) ( ) ( i( )
i T cap)
j
i
i i
j K P T Bl K F T v j
T
Cap − −
∑
== 1
1
, 0 , ,
0 ,
,
0 τ (4-6) 由於 Cap 和 Caplets 有等式關係，因此可利用：
( ) ( ( ) ) ( ) ( i( )
i T caplet)
j
i
i i cap
T i i
j
i
i
iP T Bl K F T v j P T Bl K F T− v i −
=
−
−
=
∑
−∑
= 1 11 1
1
, 0 , ,
0 ,
0 , ,
0 τ
τ (4-7)
來求出各遠期利率的波動度。例如 1 年期的 Cap 只有一個 Caplet，所 以vT−cap =vT−caplet
0
0 ，之後再用vT−caplet
0 帶入求 2 年 Cap 可得到 T caplet vi− 及
caplet
vT −
5 .
1 ，以此反覆運算，可求得一條十年的波動度期間結構。最後將超過 十年的部分，設定與第十年相同，得出長達 40 年的波度動結構。
表格 四-5 2005/10/20 利率上限選擇權 Cap 報價
到期年限 Cap 報價 到期年限 Cap 報價
1 13.45% 6 19.70%
2 17.39% 7 20.01%
3 19.07% 8 19.60%
4 19.80% 9 19.40%
5 20.01% 10 19.45%
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40
圖 四-3 波動度期間結構
(三)相關係數參數估計
在相關係數的參數部分，首先要有市場的相關係數，然後再根據第三 章的相關係數降階處理方式得出所需要的矩陣。因為商品計息方式包含 30 年期的 CMS，所以在模擬未來遠期利率時，需模擬出未來第一天後，第兩 天後，直到 14,220 天後的遠期利率，再根據公式(3-8)推演出未來隨著每 天經過的遠期利率：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ Δ − Δ + Δ +Δ
× +
= Δ
+
∑
= Δ
Δ t t t Z t t
t t F
t F t t
t F t t
F k k kd
k
t
j j j
j j j j i k
t k t
k σ σ
τ σ τ σ ρ
β 1 2
exp
2 ,
而模擬時，可以依照模型的遠期利率設定分成 180 組，共 14220 個遠 期利率。每組共有 79 個遠期利率。
表格 四-6 遠期利率模擬分組
第 1 組 第 2 組 … 第 179 組 第 180 組
(
1,181;0)
F F
(
2,182;0)
… F(
179,359;0)
F(
180,360;0) (
181,361;0)
F F
(
182,362;0)
… F(
359,539;0)
F(
360,540;0) (
361,541;0)
F F
(
362,542;0)
… F(
539,719;0)
F(
540,720;0)
M M … M M
(
14041,14221;0)
F F
(
14042,14222;0)
… F(
14219,14399;0)
F(
14220,14400;0)
因此根據遠期利率的模擬分組，市場相關係數也需分成 180 組。然而 設定殖利率曲線時，假設 30 年後的殖利率等同於 30 年的殖利率，所以在 t=0 時的遠期利率從 30 年後到 40 年時，這 10 年間的遠期利率也會一樣。
因此求取市場相關係數時，除了按照上述模擬的分組方式外，超過 30 年 的遠期利率之間的關係數都會為 1。
市場的歷史相關係數可利用之前求出每日殖利率曲線的方式，求得一 段區間內(如 180 天)每日殖利率曲線的變化情形，在配合預期理論得出每 日不同期限的遠期利率。即可求出遠期利率間的歷史相關係數矩陣。為了 表達方便，以下列出第一組的相關係數。
表格 四-7 相關係數表-第一組
(
1,181;0)
F F
(
181,361;0)
… F(
10400,10621;0)
F(
10621 ,10801;0) (
1,181;0)
F 1 0.9531 … 0.1993 0.1749
(
181,361;0)
F 0.9531 1 … 0.2611 0.2170
M M M
OM M
M M M M M M
(
10400,10621;0)
F 0.1993 0.2611 … 1 0.9936
(
10621 ,10801;0)
F 0.1749 0.2170 … 0.9936 1
如上表，可以得出 60x60 的相關係數矩陣，其秩為 60。之後利用第三 章的降階方法，將估計出來的相關係數矩陣透過遞迴投影的方式，來得出 最後的相關係數矩陣。在降階的過程中，可以利用r
( )
A = min{
A−X F}
當作 停止條件，來找出所求的相關係數矩陣。此處：
A：原市場相關係數矩陣，在此為第 1 組到第 180 組的相關係數矩陣。
X：欲求出的降階後相關係數矩陣
2
A F：=
∑
j i
aij ,
2 ，為 Frobenius norm
( )
Ar 為 A 與 X 之間的距離函數(distance function)
(四)蒙地卡羅模擬
根據第三章的利率動態過程，可以進行遠期利率的模擬，並求出 30 年與 2 年的固定年期交換利率，以決定商品的配息多寡。在模擬時，依照 模型的遠期利率設定分成 180 組，共 14220 個遠期利率。
表格 四-8 第一組蒙地卡羅模擬過程
時點 組內共 79 個遠期利率
0 F
(
1,181;0)
F(
181,361;0)
… F(
13861,14041;0)
F(
14041,14221;0)
1 F
(
1,181;1)
F(
181,361;1)
… F(
13861,14041;1)
F(
14041,14221;1)
M M O M M
181 F
(
181,361;181)
… F(
13861,14041;181)
F(
14041,14221;181)
M O M M
3600 … F
(
13861,14041;3600)
F(
14041,14221;3600)
根據表四-8，以第一組的模擬過程為例來說明模擬的方式。
(
1,181;0)
F181( )
0F = 代表在時點 t=0 時第 1 天到第 181 天的 180 天期遠期利 率。在模擬時，隨著天數的經過(Δt)，不同的遠期利率將會變成即期利率 (到期)，例如當第 1 天過去時，F
(
1,181;0)
變為F(
1,181;1)
=L(
1,181)
，而當第 181 天時，F(
181,361;0)
變成F(
181,361;181)
=L(
181,361)
，此時F(
1,181;0)
已經在上個時點到期，因此將不再模擬，從資料中剔除。例如：
第 1 天：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ − + Δ
× +
⋅
× ⋅
=
∑
= 181 181
2 181 181
181 , 181 181
181
181 0
360 1 2
0 360
1 0
5 . 0 1
0 0 5 . 0 0
exp 0
1 Z
F F F
F
j j
j j
j σ σ σ
σ ρ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ − + Δ
× +
⋅
× ⋅
=
∑
=
361 361
2 361 361
181 , 181 361
361
361 0
360 1 2
0 360
1 0
5 . 0 1
0 0 5 . 0 0
exp 0
1 Z
F F F
F
j j
j j
j σ σ σ
σ ρ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
⎢
( )
⎣
⎡ ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
× +
⋅ + ⋅
× +
⋅
× ⋅
= 1 0.5 0
0 0 5
. 0 0
5 . 0 1
0 0 5
. 0 360
exp 0 0
361 361 361 361
, 181 181
181 181 181
, 361 181
361 F
F F
F σ ρ σ F ρ σ
( ) ( )
⎥⎥
⎦ Δ ⎤ +
− 361 361
2
361 0
360 1 2
0 σ Z
σ
M
( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
0]
360 1 2
0 360
1 0
5 . 0 1
0 0 5 . 0 0
exp 0 1
14221 14221
2 14221 14221
181 , 14221 14221
14221 14221
Z
F F F
F
j j
j j j
Δ +
× − +
⋅
× ⋅
=
∑
=
σ
σ σ σ ρ
直到第 3600 天時， 對第一組而言此時Fk<3780
( )
⋅ 的遠期利率都已到 期，只需模擬F(
3601,3781;3600)
= F3781(
3600)
到F14221(
3600)
共 60 個遠期利率。如此按照上述的方式，可以將 180 組內所有的遠期利率模擬出來。經 過 3600 天後，將擁有所有所需要的利率資料，再按照公式(3-11)：
( ) ( ( ) )
( ( ) )
∑ ∏
∏
= =
=
+
− +
= n
k k
j j j
k n
k k k
t F
t t F
S
1 1
1
1 1 1 1 1
δ δ
δ
可以算出 30 年期與 2 年期的 CMS，之後再按照商品利息支付設定的方 式得出利息。例如，第一季(第一個 90 天)中 30 年期大於 2 年期的 CMS 總 共有 90 天，則該季利息支付年利率為 7.85% x 90/90 = 7.85%。因此知道
每季的利息支付大小後，再將本金與每季利息折現回期初，則可以算出無 贖回權下的債券價格，也就是純粹債券(Pure Bond)的價格。然而由於商 品具有贖回權性質，在每個付息日時，發行者有權來執行該贖回權，為評 估該項權利的價值，利用最小平方蒙地卡羅來處理。按照第三章所述，將 模擬 10000 次時每季的債券價格記錄下來，就是未來債券價格變化的路 徑，如此可以求出贖回權的最佳執行時機以及價格，最後商品價格等於純 粹債券減去贖回贖價值。
(五)評價結果與利潤分析
按照前述的評價方法及根據蒙地卡羅模擬 10000 次的結果，可以得出 在商品條款下所需要支付的利息天數，進而推算出利息以及商品價格。同 時，也運用最小平方蒙地卡羅來處理商品的贖回條款。最後以 100 元為本 金單位，得出的價格為：
表格 四-9 債券價值分析表
含贖回權價值 93.794
不含贖回權價值 106.83
零息債券 58.60
93.794
106.83
58.6
48.23
13.036 0
20 40 60 80 100 120
含贖回權價值 不含贖回權價值 零息債券 利息收入 贖回權價值
圖 四-4 債券價值分析圖
從上圖中可以看出此債券的合理價格大致為 93.794 元，零息債券約佔 總價值的 62%左右，而發行商以面額發行時，不計入管理費、申購費等費 用下，期初利潤為 6.206 元。而持有到期的狀況下，利息收入為 48.23 元。
另外贖回權價值達 13.036，表示發行者執行該贖回權的機率很高。根 據最小平方蒙地卡羅的計算，高達 9 成以上的機率，發行商會在第一年執 行該贖回權。這是由於在計算贖回權價值時，將它視為債券買權的性質，
可以發現在期初時，不含贖回權的債券價格(Pure Bond 的價格)對債券買 權而言，是屬於價內的情況。所以除非強烈預期未來利率走勢將繼續使得 債券價格上升，不然買權持有者馬上執行該項權利的機率很大，也就是本 商品中的提前贖回的狀況發生。
因此對於投資人而言，投資此種類似商品時，要注意贖回條款的設計，
雖然市面上大部分可贖回債券發行時，發行者往往不會在觸及贖回條件的 第一時間就買上執行贖回的權利，但是投資人進行投資與否的評估時卻不 能太樂觀地預期債券會持有至到期或是將預期利息收入估計的太高。
(六)敏感度分析
1、 Delta(殖利率曲線平移對債券價格的影響)
在這裡避險參數 Delta 代表的是當殖利率曲線水平移動的時候，對債 券價格的影響程度(%)。先計算出殖利率曲線往下及往上平移各 10bp 時，
對債券價格的影響，之後再配合 Effective Duration 的觀念來計算 Delta：
( ) ( )
[ ] [ ( ) ( ) ]
( ) ( ( ) )
( )
r r Vr r V r r V
r r V
r r V r V r V r r Delta V
Δ Δ
−
− Δ
= +
Δ
Δ
−
− +
− Δ
= +
2
2
(4-8)
在殖利率曲線水平變動的情況下，共有幾個因素會影響到債券價格的 高低。首先是折現的利率，當殖利率曲線變大時，折現率也會跟著提高，
因此債券價格會跟著變低。其次是票面利息的高低，當殖利率越高時會使 得計算出來的交換利率跟著變大，在三十年期交換利率持續大於兩年期交 換利率時，債券價格將變高。最後是可贖回權利的價值，計算債券價格時 必須把可贖回權利的價值從中扣除，當殖利率曲線往上移動，一般而言會 使得普通債券(Pure Bond)的價格變低，連帶使得贖回權利價值下降，而 使得可贖回債券價值上升。
表格 四-10 殖利率曲線變動影響表
由上表可以看出，Delta=0.002719%，表示殖利率曲線往上 1bp 時，商 品價格會增加 0.002719%，呈現略約增加的情況。Delta 之所以不是負數
水平上移 10bp 殖利率曲線不變 水平下移 10bp
普通債券價值 106.01 106.83 107.64
贖回權價值 12.188 13.036 13.869
債券價值 93.822 93.794 93.771
Delta 0.002719%
是因為在殖利率曲線往上時，雖然普通債券價值(Pure Bond)和贖回權價 值都會下降，但是由於贖回權價值下降的幅度相對較大，所以使得最後的 債券價格反而變大；同理，當殖利率曲線往下時，贖回權利價值的變動大 於普通債券的變動，因此債券價格最後變小。
形成這樣的原因可以從兩方面來解釋。首先就經濟直覺而言，當手上 持有的買權已經價內或深度價內時，通常此時選擇權本身的 Delta 會相當 大，因此當標的資產的價格往價外移動時，會使得選擇權的價值發生較大 幅度的變動。再加上本商品債券配息的方式和一般債券不同，根據模擬出 的配息天數，發現利率上升的確會使得付息天數增加，進而讓利息增加。
所以在這樣交互影響下，最後使得上述債券 Delta 為正的情況發生。另外 一方面，就是在評價的過程中，設定發行者在一觸及贖回條件時，會執行 該權利。雖然利用最小平方蒙地卡羅法可以估計贖回權的價值，但是商品 內容中並沒有明訂贖回的條件，而在評價時為了簡化起見，設定面額作為 發行者的贖回執行價。實際上發行者的贖回條件，以及就算期望的執行贖 回權價值大於繼續持有價值時，發行人究竟會否贖回都不明確，所以也有 可能造成估計的偏誤，形成上面的狀況。
2、 Gamma
接著討論當殖利率曲線變動對債券價格的二階影響，套用計算債券 Effective Convexity 的觀念：
( ) ( ) ( )
( )
r r Vr V r r V r r Gamma V
Δ
− Δ + + Δ
= −
2
2 (4-8)
表格 四-11 殖利率曲線變動影響表
(
r−0.001)
V 93.771
( )
rV 93.794
(
r+0.001)
V 93.822 Gamma 5.33 x 10−5
Gamma 為正代表有凸性的存在，數字代表殖利率曲線移動 1bp 時，價 格的二階影響。
3、Vega(殖利率曲線平移對債券價格的影響)
Vega 是為了要瞭解波動度期間結構的變化對債券價格的影響，也就是 當波動度平行上移或下移 1%對價格會有什麼樣的影響。而 Vega 計算方式 可以定義如下：
( ) ( )
[ ] [ ( ) ( ) ]
( ) ( )
σ
σ σ σ
σ σ
σ σ σ
σ σ
σ
Δ
Δ
−
− Δ
= +
Δ
Δ
−
− +
− Δ
= +
2
2 V V
V V
V Vega V
(4-9)
表格 四-12 波動度期間結構變動影響表
(
σ −0.001)
V 93.734
( )
σV 93.794
(
σ +0.001)
V 93.805 Vega 0.0036
三、發行商的策略分析
根據評價的結果，可以發現由於此種債券為每天計息，根據過往的歷 史資料來看，30 年期 CMS 大於 2 年期 CMS 的情況，也就是 spread 大於 0 的機率很高，代表著每日落入計息區間的機率很大。對於發行商而言，自 然是希望未來的殖利率曲線變得更為平緩，以減少利息的支付。對於發行 商不利的狀況為產品發行後利率開始往下並使得 spread 一直維持大於 0 的狀況，如此一來發行者有可能會需要支付比目前市場水準還高的利息給 投資人。但是因為發行商擁有贖回權利，可以在上述不利的情況發生時執 行贖回，而讓本身有了下檔的保護。
若是發行商要進行避險，可以考慮到市場上買入利率價差選擇權，以 規避未來三十年交換利率大幅大於兩年交換利率的風險。但是由於產品每 日計息的特性，加上市場上不易存在每日到期的利率價差選擇權，使得此 避險的方式較為困難。發行者或可考慮和金融機構另外簽訂交易來避險，
唯另外要考慮避險的成本。
四、投資人的策略分析
根據歷史資料與模擬的結果，spread 維持在正的機率很大，尤其是模 擬的狀況顯示，頭一年的四次配息的結果常常是領到至少最高利息的 8、9 成以上，顯示投資人幾乎可以拿回比市場定存還高的報酬。對於投資人所 需考量的風險而言，是在殖利率曲線變得平緩，造成長短天期的利差縮小 甚至反轉時，如此一來投資人可以獲得的利息將大幅縮水，並且由於商品 期間長達 10 年，若是利率走勢對投資人不利，投資人的資金將會面臨很 大的市場風險。
此外，就算長短天期的利差並未縮減，由於發行商具有贖回條款，可 在累積配息達到一定的程度，依照市場的慣例把商品贖回。如此會使得投
資人面臨再投資的風險，所以投資人在購買此種商品時，需注意產品實際 期間可能比產品條款內容所註明還短，並且對於預期實際領到的利息也要 小心估計。
第二節 滾雪球型連動債券
一、產品內容
表格 四-13 產品條款
商品名稱 十年期美元高利率連動債券
發行機構 BNP 法國巴黎銀行
發行商信用評等 Moody’s：Aa2；S&P：AA-
最小投資金額 美金五萬元，並以萬元為單位累加
發行日 2004 年 6 月 30 日 到期日 2014 年 6 月 30 日 連結標的 6 個月美元 LIBOR
計息期間 票面年息
第一年 11%
第二年 11% + 2% - 6M 美元 LIBOR
第三年 前次配息票面利率 + 3% - 6M 美元 LIBOR
M M
第九年 前次配息票面利率 + 9% - 6M 美元 LIBOR 計息方式
第十年 前次配息票面利率 + 10% - 6M 美元 LIBOR 配息日 自 2005/12/30 起，每半年配息，到 2014/6/30 止。
贖回條款 發行後半年，發行者可在每次付息日時將債券買回。
二、評價分析
由於利率模型建構的方式和第一節中十分類似，因此為節省篇幅，一 些評價資料的求出方式將不再描述中間求出的過程，而僅就資料本身做呈 現。
(一)殖利率曲線與遠期利率之估計
首先從 DataStream 找出發行日(2004 年 6 月 30 日)當天的 USD 6M LIBOR 與 USD 12M LIBOR 報價
表格 四-14 LIBOR 報價
期限(月) Rate
6M LIBOR 1.9400%
12M LIBOR 2.4625%
表格 四-15 交換利率報價
期限(年) Rate 期限(年) Rate
1 2.412% 6 4.532%
2 3.177% 7 4.712%
3 3.672% 8 4.857%
4 4.032% 9 4.982%
5 4.307% 10 5.090%
接著按照之前所提的拔靴法以及內插法來計算每半年的殖利率，以作 為之後求出遠期利率之用。
表格 四-16 半年期殖利率表
年限 殖利率 年限 殖利率 年限 殖利率
0.5 1.9400% 4 4.0394% 7.5 4.8452%
1 2.4625% 4.5 4.1912% 8 4.9217%
1.5 2.8257% 5 4.3272% 8.5 4.9940%
2 3.1665% 5.5 4.4524% 9 5.0622%
2.5 3.4410% 6 4.4567% 9.5 5.1261%
3 3.6687% 6.5 4.6699% 10 5.1861%
3.5 3.8663% 7 4.7621% 10.5 5.2429
在得出十年期的半年殖利率曲線後，接著可以利用半年的殖利率曲線 來算出半年後、1 年後、…、直到十年後的 180 天期遠期利率 f(t1,t2)，來 作為未來模擬 6 個月 LIBOR 之用。
(二)波動度參數估計
接著波動度的估計，按照之前校準的方式，由市場上的 Cap 報價來推 出模擬時所需要的參數。
表格 四-17 2004/06/30 利率上限選擇權 Cap 報價
到期年限 Cap 報價 到期年限 Cap 報價
1 35.92% 6 23.29%
2 32.32% 7 20.48%
3 29.42% 8 22.20%
4 27.45% 9 21.20%
5 25.88% 10 20.40%
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
圖 四-5 波動度期間結構
(三) 相關係數參數估計
首先一樣經由求出市場相關係數，利用商品發行日前 180 天的歷史資 料，求出相關係數矩陣。而於商品為每半年付息一次，並且每次付息時必 須要考量當時即期六個月美元 LIBOR 大小，因此在長達 10 年的商品期間 中，評價時將會需要模擬 20 個半年期遠期利率，也因此需要求出 20x20 的相關係數矩陣大小。
表格 四-18 相關係數表
(
180,360;0)
F F
(
360,540;0)
… F(
3420,3600;0)
F(
3600 ,3780;0) (
180,360;0)
F 1 0.9632 … 0.8613 1
(
360,540;0)
F 0.9632 1 … 0.9217 0.9632
M M M O M M
(
3420 ,3600;0)
F 0.8613 0.9217 … 1 0.8613
(
3600 ,3780;0)
F 1 0.9632 … 0.8613 1
如上表，可以得出秩為 20 的相關係數矩陣。之後再次利用第三章的降階 方法，將估計出來的相關係數矩陣透過遞迴投影的方式，來得出最後的相 關係數矩陣。
(四)蒙地卡羅模擬
利用之前第三章的利率動態過程，來進行本商品所需遠期利率的模 擬。如下表所示，20 個遠期利率在每半年後，將會一一變成即期利率，即 可用來計算每個付息點時的支付利息水準。例如，在第三個半年時，計息 方式為 11% + 2% - 6M 美元 LIBOR，而此時原本在期初的F
(
540,720;0)
將會 變成F(
540,720;540)
= L(
540,720)
也就是所需的 6M 美元 LIBOR，所以第三個 半年的票面年息為 11% + 2% - L(
540,720)
。因此經過 3600 天後，將會得 知商品的付息狀況，最後再將每期的利息和本金折現回期初，以計算債券 價格。另外，同樣利用最小平方蒙地卡羅來處理發行者的贖回權，設定當 期望債券價格小於面額時，發行商會執行該贖回權，以評估在每個支付利 息的時點時，評估發行商是否會贖回債券。表格 四-19 遠期利率模擬表
(
180,360;0)
F F
(
360,540;0)
… F(
3420,3600;0)
F(
3600,3780;0) (
180,360;180)
F F
(
360,540;180)
… F(
3420,3600;180)
F(
3600,3780;180)
- F
(
360,540;360)
… F(
3420,3600;360)
F(
3600,3780;360)
- - … M M
- - - F
(
3420,3600;3420)
M- - - - F
(
3600,3780;3600)
如上表所示，模擬的時間間隔為半年，也就是 180 天。共 20 個遠期利 率中，每 180 天就會有一個遠期利率到期變成 6 個月即期利率，因此可利 用每半年的即期利率用來計算此時付息金額的大小，經過十年後可以得出 所有的債券利息，
(五)評價結果與利潤分析
經過 10,000 次蒙地卡羅模擬後，可以得出債券價格。而在模擬時，同 樣設定贖回條件為在債券價格大於 100 時，發行商會買回本債券。另外，
由於商品付息方式的設計，每次付息時都需扣掉 6 個月美元 LIBOR，所以 若是模擬時出現負的付息，將一律把該次發行者需支付利息設定為零。
同時，一樣也運用最小平方蒙地卡羅來處理商品的贖回條款。最後以 100 元為本金單位，得到的商品價格如下表所示：
表格 四-20 債券價值分析表
含贖回權價值 95.8629
不含贖回權價值 109.2562
零息債券 57.1218
95.8629
109.2562
57.1218
52.1344
13.3933
0 20 40 60 80 100 120
含贖回權價值 不含贖回權價值 零息債券 利息收入 贖回權價值
圖 四-6 債券價值分析圖
從上圖中可以看出此債券的合理價格大致為 95.8629 元，零息債券約 佔總價值的 60%左右，而發行商以面額發行時，不計入管理費、申購費等 費用下，期初利潤為 4.1317 元。而持有到期的狀況下，利息收入為 52.1344 元。
贖回權價值達 13.3933，根據最小平方蒙地卡羅，模擬發行商贖回的 狀況，發現第一年內就贖回的比率高達 45%，而發行商直到最後一期都不 贖回的比率也達 43%，因此模擬的結果隱含著發行商在第一年贖回有將近 一半的機率。
圖 四-7 6 個月 USD LIBOR 走勢圖
由圖中可以看出發行日前近五年的六個月 USD 的 LIBOR 走勢圖，自從 2000 年利率來到相對高點後，一路下降至 2003、2004 的低點，因此可以 合理預期利率的下檔空間有限，未來的走勢維持目前水準或是往上的機率 會較大。對具有買權性質的贖回權而言，第一年內利率走勢只要不大幅往 上，都是發行者可以執行的時機；然而模擬的結果正如由歷史資料對預期 利率走勢的判斷，在目前利率相對低檔的狀況，會有相當比例的利率路徑 走勢往上，因此造成也有一定比例發行商到最後都不執行贖回的狀況。
(六)敏感度分析
1、 Delta(殖利率曲線平移對債券價格的影響)
此處避險參數 Delta 一樣代表的是當殖利率曲線水平移動的時候，對 債券價格的影響程度(%)。先計算出殖利率曲線往下及往上平移各 10bp 時，對債券價格的影響，之後再配合 Effective Duration 的觀念來計算 Delta：
0 1 2 3 4 5 6 7
1999 2000 2001 2002 2003 2004
%
( ) ( )
[ ] [ ( ) ( ) ]
( ) ( ( ) )
( )
r rV
r r V r r V
r r V
r r V r V r V r r Delta V
Δ Δ
−
− Δ
= +
Δ
Δ
−
− +
− Δ
= +
2
2
(4-10)
表格 四-21 殖利率曲線變動影響表
在殖利率曲線水平變動的情況下，對本商品而言，一樣會有折現率、
票面利息高低與贖回權價值等幾個因素來影響最後的商品價格。首先是折 現率，當殖利率曲線提高時，折現率也會跟著提高，因此債券價格會跟著 變低。第二是票面利息的高低，對本商品而言，付息方式的設計屬於逆浮 動的型態，也就是當未來 6 個月美元 LIBOR 往上時，將會使本債券付息減 少，進一步降低債券價格。最後是可贖回權利的價值，當殖利率曲線往上 移動，會使得普通債券(Pure Bond)的價格變低，連帶使得贖回權利價值 下降，而使得可贖回債券價值上升。
由上表可以看出，Delta=-0.198%，表示殖利率曲線往上 1bp 時，商品 價格會減少0.198%。
2、 Gamma
接著討論當殖利率曲線變動對債券價格的二階影響，套用計算債券 Effective Convexity 的觀念：
( ) ( ) ( )
( )
r rV
r V r r V r r Gamma V
Δ
− Δ + + Δ
= −
2
2 (4-11) 水平上移 10bp 殖利率曲線不變 水平下移 10bp 普通債券價值 105.2076 109.2562 114..2044
贖回權價值 11.1447 13.3933 16.3503
債券價值 94.0629 95.8629 97.8541
Delta -0.198%
表格 四-22 殖利率曲線變動影響表
(
r−0.001)
V 97.8541
( )
rV 95.8629
(
r+0.001)
V 94.0629
Gamma 9.9726 x 10−5
Gamma 為正代表有凸性的存在，數字代表殖利率曲線移動 1bp 時，價 格的二階影響。
3、Vega(殖利率曲線平移對債券價格的影響)
Vega 是為了要瞭解波動度期間結構的變化對債券價格的影響，也就是 當波動度平行上移或下移 1%對價格會有什麼樣的影響。而 Vega 計算方式 可以定義如下：
( ) ( )
[ ] [ ( ) ( ) ]
( ) ( )
σ
σ σ σ
σ σ
σ σ σ
σ σ
σ
Δ
Δ
−
− Δ
= +
Δ
Δ
−
− +
− Δ
= +
2
2 V V
V V
V Vega V
(4-12)
表格 四-23 波動度期間結構變動影響表
(
σ −0.001)
V 95.7016
( )
σV 95.8629
(
σ +0.001)
V 96.1174
Vega 0.0208 三、發行商的策略分析
不同於 CMS 價差型商品的計息方式，本商品隨著年數的增加，票面利 率的加碼也跟著增加，但基本上是屬於逆浮動債券，也就是當 6 個月美元
LIBOR 走勢上升，則票面付息會變少；反之，則付息增加。
因此發行商希望的是利率走勢往上，將可以省去不少的利息支付。就 算往後的利息走勢持續平緩或是向下而使得發行商要支付越來越多的利 息。具有贖回權的發行商，依然可以將債券買回而讓市場風險降低到一定 幅度。若發行商要進行動態避險，可以考慮在市場上購買長天期的利率上 限選擇權，或是進行利率交換來鎖住浮動利率所可能帶來的風險，如此一 來將可以減少現金流量的不確定性。
四、投資人的策略分析
根據歷史的 6 個月美元 LIBOR 走勢與模擬的結果，可以發現由於商品 發行時點是位於 6 個月美元 LIBOR 的歷史相對低點，因此除了第一年的保 障配息，之後的配息狀況，會跟隨利率走勢而變動，有時甚至呈現零配息 的狀況。投資人不能太樂觀地將表面上的高配息當作實際上將得到的報 酬。尤其是在發行商具有贖回權的狀況下，只要累積配息達到一定的程 度，發行商通常會把商品贖回，此時投資人又將面臨再投資的風險。所以 投資人看到票面配息很高的商品時，需注意發行商通常有鎖定商品的風 險，因此評估投資與否時，要將贖回的狀況考量進去，以免產生期待落空 的狀況。
