数学教育学习领域
数学
课程及评估指引
(中四至中六)
课程发展议会与香港考试及评核局联合编订
香港特别行政区政府教育局建议学校采用
二零零七年 (二零一七年十二月更新)
( 空 白 页 )
页 数
引 言 i
第 一 章 概 论 1
1.1 背 景 1
1.2 课 程 理 念 1
1.3 课 程 宗 旨 2
1.4 与 初 中 课 程 及 中 学 毕 业 后 出 路 的 衔 接 2
第 二 章 课 程 架 构 5
2.1 设 计 原 则 5
2.2 数 学 教 育 学 习 领 域 的 课 程 架 构 7
2.3 高 中 数 学 课 程 的 宗 旨 10
2.4 高 中 数 学 课 程 架 构 11
2.5 必 修 部 分 13
2.6 延 伸 部 分 41
第 三 章 课 程 规 画 75
3.1 主 导 原 则 75
3.2 规 画 策 略 76
3.3 学 习 进 程 79
3.4 课 程 统 筹 85
第 四 章 学 与 教 87
4.1 知 识 和 学 习 87
4.2 主 导 原 则 87
4.3 选 择 学 与 教 模 式 与 策 略 90
4.4 课 堂 互 动 96
4.5 学 习 社 群 99
4.6 照 顾 学 习 差 异 99
4.7 在 学 与 教 中 运 用 资 讯 科 技 100
第 五 章 评 估 103
5.1 评 估 的 角 色 103
5.2 进 展 性 和 总 结 性 评 估 103
5.3 评 估 目 标 105
5.4 校 内 评 估 105
5.5 公 开 评 核 108
第 六 章 学 与 教 资 源 113
6.1 学 与 教 资 源 的 目 的 及 功 能 113
6.2 主 导 原 则 113
6.3 资 源 的 类 别 114
6.4 学 与 教 资 源 的 运 用 118
6.5 资 源 的 管 理 118
附 录 121
1. 学 与 教 的 参 考 书 目 121
2. 常 用 网 址 132
词 汇 释 义 139
参 考 文 献 144
课 程 发 展 议 会 —香 港 考 试 及 评 核 局 数 学 教 育 委 员 会 及 辖 下 工 作 小 组 名 录
检 视 中 学 数 学 课 程 专 责 委 员 会 名 录
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教 育 统 筹 局 ( 教 统 局 , 现 改 称 教 育 局 ) 于 2005 年 发 表 报 告 书 1, 公 布 三 年 高 中 学 制 将 于 2009 年 9 月 在 中 四 级 实 施 ,并 提 出 以 一 个 富 弹 性 、连 贯 及 多 元 化 的 高 中 课 程 配 合 , 俾 便 照 顾 学 生 的 不 同 兴 趣 、 需 要 和 能 力 。 作 为 高 中 课 程 文 件 系 列 之 一 ,本 课 程 及 评 估 指 引 建 基 于 高 中 教 育 目 标 ,以 及 2000 年 以 来 有 关 课 程 和 评 估 改 革 的 其 他 官 方 文 件 , 包 括 《 中 学 教 育 课 程 指 引 》
( 2017)和《 数 学 教 育 学 习 领 域 课 程 指 引( 小 一 至 中 六 )》( 2017)。请 一 并 阅 览 所 有 相 关 文 件 , 以 便 了 解 高 中 与 其 他 学 习 阶 段 的 連 系 , 并 掌 握 有 效 的 学 习 、 教 学 与 评 估 。
本 课 程 及 评 估 指 引 阐 明 本 科 课 程 的 理 念 和 宗 旨 , 并 在 各 章 节 论 述 课 程 架 构 、 课 程 规 画 、 学 与 教 、 评 估 , 以 及 学 与 教 资 源 的 运 用 。 课 程 、 教 学 与 评 估 必 须 互 相 配 合 , 这 是 高 中 课 程 的 一 项 重 要 概 念 。 学 习 与 施 教 策 略 是 课 程 不 可 分 割 的 部 分 , 能 促 进 学 会 学 习 及 全 人 发 展 ; 评 估 亦 不 仅 是 判 断 学 生 表 现 的 工 具 , 而 且 能 发 挥 改 善 学 习 的 效 用 。 读 者 宜 通 观 全 局 , 阅 览 整 本 课 程 及 评 估 指 引 , 以 便 了 解 上 述 三 个 重 要 元 素 之 间 相 互 影 响 的 关 系 。
课 程 及 评 估 指 引 由 课 程 发 展 议 会 与 香 港 考 试 及 评 核 局( 考 评 局 )于 2007 年 联 合 编 订 ,并 于 2014年 1月 作 首 次 更 新 ,以 落 实 新 学 制 检 讨 中 有 关 高 中 课 程 及 评 估 的 短 期 建 议 , 务 求 让 学 生 和 教 师 尽 早 受 惠 ; 第 二 次 更 新 则 包 括 新 学 制 中 期 检 讨 中 课 程 及 评 估 的 建 议 。为 配 合 学 校 课 程 持 续 更 新 ,回 应 于 2014 年 11月 至 2015年 4月 期 间 在「 新 学 制 中 期 检 讨 与 前 瞻 」中 所 收 集 的 意 见 ,以 及 进 一 步 加 强 数 学 课 程 之 纵 向 衔 接 和 与 其 他 学 科 间 的 横 向 连 系 , 课 程 发 展 议 会 数 学 教 育 委 员 会 于 2015年 12月 成 立 三 个 专 责 委 员 会 检 视 及 修 订 小 一 至 中 六 数 学 课 程 。 是 次 数 学 课 程 的 修 订 是 建 基 于 《 数 学 教 育 学 习 领 域 课 程 指 引 ( 小 一 至 中 六 )》( 2017) 中 订 明 的 数 学 教 育 的 课 程 宗 旨 、 课 程 设 计 和 评 估 的 主 导 原 则 。
课 程 发 展 议 会 是 一 个 咨 询 组 织 , 就 幼 稚 园 至 高 中 阶 段 的 学 校 课 程 发 展 事 宜 , 向 香 港 特 别 行 政 区 政 府 提 供 意 见 。 议 会 成 员 包 括 校 长 、 在 职 教 师 、
1 该报告书名为《高中及高等教育新学制—投资香港未來的行动方案》,下称「334 报告书」。
ii
职 业 训 练 局 的 代 表 ,以 及 教 育 局 的 人 员 。考 评 局 则 是 一 个 独 立 的 法 定 机 构 , 负 责 举 办 公 开 评 核 , 包 括 香 港 中 学 文 凭 考 试 。 委 员 会 成 员 分 别 来 自 中 学 、 高 等 院 校 、 政 府 部 门 及 工 商 专 业 界 。
教 育 局 建 议 中 学 采 用 本 课 程 及 评 估 指 引 。 考 评 局 会 根 据 学 科 课 程 而 设 计 及 进 行 各 项 评 核 工 作 , 并 将 印 发 手 册 , 提 供 香 港 中 学 文 凭 考 试 的 考 试 规 则 及 有 关 学 科 公 开 评 核 的 架 构 和 模 式 。
课 程 发 展 议 会 及 考 评 局 亦 会 就 实 施 情 况 、 学 生 在 公 开 评 核 的 表 现 , 以 及 学 生 与 社 会 不 断 转 变 的 需 求 , 对 学 科 课 程 作 出 定 期 检 视 。 若 对 本 课 程 及 评 估 指 引 有 任 何 意 见 和 建 议 , 请 致 函 :
九 龙 油 麻 地 弥 敦 道 405号 九 龙 政 府 合 署 4楼
教 育 局 课 程 发 展 处
总 课 程 发 展 主 任 ( 数 学 ) 收
传 真 : 3426 9265
电 邮 : ccdoma@edb.gov.hk
1
本 章 旨 在 说 明 数 学 科 作 为 三 年 制 高 中 课 程 必 修 科 目 的 背 景 、 理 念 和 宗 旨 , 并 阐 述 本 科 与 初 中 课 程 、 高 等 教 育 , 以 及 就 业 出 路 等 方 面 如 何 衔 接 。
1.1 背 景
本 指 引 是 课 程 发 展 议 会 ─香 港 考 试 及 评 核 局 数 学 教 育 委 员 会 ( 高 中 ) 根 据 2005 年 5 月 发 表 的 334 报 告 书 的 建 议 , 为 三 年 制 高 中 课 程 而 编 订 的 。 从 小 学 至 初 中 , 数 学 是 核 心 科 目 。 在 高 中 课 程 中 , 数 学 亦 是 核 心 科 目 之 一 。 数 学 课 程( 中 四 至 中 六 )是 数 学 课 程( 中 一 至 中 三 )的 延 续 ,并 建 基 于《 数 学 教 育 学 习 领 域 课 程 指 引 ( 小 一 至 中 六 ) 》 ( 2017) 所 订 立 的 数 学 课 程 发 展 方 向 , 让 学 生 在 数 学 知 识 、 技 能 、 正 面 价 值 观 及 态 度 各 方 面 得 以 进 一 步 发 展 。
本 指 引 旨 在 勾 画 数 学 课 程 ( 中 四 至 中 六 ) 的 整 体 宗 旨 、 学 习 目 标 及 学 习 重 点 。 本 指 引 亦 为 课 程 规 画 、 学 与 教 策 略 、 评 估 及 资 源 等 方 面 , 提 供 一 些 建 议 , 并 鼓 励 学 校 因 应 本 身 的 情 况 、 需 要 和 特 质 , 适 当 地 采 用 本 指 引 内 的 建 议 。
1.2 课 程 理 念
数 学 科 作 为 高 中 核 心 科 目 , 其 课 程 的 基 本 理 念 如 下 :
在 科 技 为 本 和 资 讯 发 达 的 社 会 , 数 学 是 一 强 而 有 力 的 工 具 , 帮 助 学 生 掌 握 传 意 、 探 究 、 推 测 、 逻 辑 推 理 及 运 用 各 种 方 法 解 决 问 题 的 能 力 ;
数 学 提 供 各 种 获 取 、 组 织 和 应 用 资 讯 的 方 法 , 并 透 过 图 像 、 图 表 、 符 号 、 描 述 和 分 析 , 在 传 达 意 念 方 面 担 当 重 要 角 色 。 因 此 , 高 中 阶 段 的 数 学 可 以 帮 助 学 生 为 终 身 学 习 奠 定 稳 固 的 基 础 ; 同 时 可 以 提 供 一 个 平 台 , 帮 助 学 生 在 瞬 息 万 变 的 世 界 中 获 取 新 知 识 ;
现 代 社 会 的 很 多 发 展 、 计 画 和 决 策 , 在 某 种 程 度 上 都 有 赖 应 用 度 量 、
2
学 经 验 , 有 助 他 们 成 为 理 解 数 学 的 公 民 并 更 容 易 应 付 工 作 上 的 要 求 ;
数 学 是 一 个 可 以 帮 助 学 生 更 加 理 解 世 界 的 工 具 , 并 提 供 一 个 修 读 其 他 高 中 学 科 和 专 上 教 育 的 基 础 ; 及
数 学 是 一 种 智 力 的 锻 炼 。学 生 可 藉 学 习 数 学 科 ,发 展 想 象 力 、积 极 性 、 创 造 力 和 思 考 的 灵 活 性 , 并 发 展 欣 赏 自 然 界 美 的 能 力 。 数 学 是 一 种 训 练 , 在 人 类 文 化 中 , 担 当 重 要 的 角 色 。
1.3 课 程 宗 旨
整 体 宗 旨
数 学 教 育 学 习 领 域 整 体 的 课 程 宗 旨 是 培 养 学 生 :
(a) 明 辨 性 思 考1、 创 意 、 构 思 、 探 究 及 数 学 推 理 的 能 力 和 运 用 数 学 建 立 及 解 决 日 常 生 活 、 数 学 或 其 他 情 境 的 问 题 之 能 力 ;
(b) 透 过 数 学 语 言 与 人 沟 通 , 具 备 清 晰 及 逻 辑 地 表 达 意 见 的 能 力 ; (c) 运 用 数 字 、 符 号 及 其 他 数 学 物 件 的 能 力 ;
(d) 建 立 数 字 感 、 符 号 感 、 空 间 感 、 度 量 感 及 鉴 辨 结 构 和 规 律 的 能 力 ; 及 (e) 对 数 学 学 习 持 正 面 态 度 及 欣 赏 数 学 中 的 美 学 及 文 化 。
1.4 与 初 中 课 程 及 中 学 毕 业 后 出 路 的 衔 接 1.4.1 与 初 中 数 学 课 程 的 衔 接
1 注:过去译作「批判性思考」。2015 年起,建议使用「明辨性思考」作为 critical thinking 的中译,以 强调其要义是谨慎思考,明辨分析。为保持课程文件用语的一致性,所有于 2015 年或以后更新的中、小 学课程文件均会相应更新。我们理解其他华语地区的教育专业部门及群体多采用「批判性思考」或「批 判思维」,我们将按需要予以注明。
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域 课 程 指 引 ( 小 一 至 中 六 ) 》 ( 2017) 所 订 立 的 发 展 方 向 , 目 的 是 帮 助 学 生 巩 固 在 基 础 教 育 中 获 得 的 学 习 成 果 , 拓 阔 和 深 化 他 们 的 学 习 经 验 , 进 一 步 加 强 在 数 学 学 习 上 的 正 确 价 值 观 和 态 度 。 为 确 保 由 初 中 至 高 中 阶 段 课 程 的 紧 密 衔 接 , 本 课 程 的 设 计 贯 穿 两 个 阶 段 的 课 程 架 构 。
数 学 课 程 ( 中 四 至 中 六 ) 延 续 初 中 的 设 计 , 帮 助 学 生 面 对 二 十 一 世 纪 的 挑 战 。 课 程 重 视 培 养 学 生 的 明 辨 性 思 考 、 创 意 、 探 究 以 及 数 学 推 理 、 运 用 数 学 建 立 及 解 决 日 常 生 活 和 数 学 情 境 的 问 题 之 能 力 。
本 课 程 设 有 「 探 索 与 研 究 」 学 习 单 位 , 提 供 机 会 让 学 生 进 一 步 加 强 探 究 、 沟 通 、 推 理 和 构 思 数 学 概 念 的 能 力 ; 课 程 亦 设 有 「 数 学 的 进 一 步 应 用 」 学 习 单 位 , 让 学 生 能 把 所 学 的 各 个 数 学 课 题 整 合 , 从 而 认 识 在 初 中 阶 段 所 获 得 对 具 体 事 物 的 经 验 和 高 中 阶 段 抽 象 概 念 之 间 的 关 系 。
1.4.2 与 中 学 毕 业 后 出 路 的 衔 接
数 学 课 程 ( 中 四 至 中 六 ) 的 另 一 目 的 是 为 学 生 中 学 之 后 的 发 展 ( 包 括 接 受 专 上 教 育 、 职 业 训 练 和 就 业 ) 作 准 备 。 此 课 程 包 括 必 修 部 分 及 延 伸 部 分 。 为 了 扩 大 学 生 在 学 习 和 工 作 上 的 空 间 , 延 伸 部 分 设 有 两 个 单 元 进 一 步 发 展 学 生 的 数 学 知 识 。 这 两 个 单 元 是 为 ︰
有 意 继 续 进 修 需 要 更 多 数 学 知 识 作 为 基 础 的 学 科 者 而 设 ; 或
有 意 发 展 自 然 科 学 、 电 脑 、 科 技 和 工 程 等 事 业 的 学 生 而 设 。
单 元 一 ( 微 积 分 与 统 计 ) 着 重 统 计 和 数 学 的 应 用 。 本 单 元 是 为 在 学 科 或 职 业 上 需 要 对 数 学 , 尤 其 是 对 统 计 , 有 较 广 阔 和 深 入 理 解 的 学 生 而 设 。 单 元 二 ( 代 数 与 微 积 分 ) 重 视 深 入 的 数 学 内 容 。 本 单 元 是 为 日 后 选 修 数 学 或 从 事 与 数 学 有 密 切 关 联 的 专 业 的 学 生 而 设 。
学 生 在 公 开 考 试 的 表 现 , 将 会 分 为 必 修 部 分 、 单 元 一 及 单 元 二 来 报 告 , 供 各 方 面 人 士 参 考 。
下 图 展 示 由 旧 学 制 的 数 学 课 程 过 渡 至 数 学 课 程 ( 中 四 至 中 六 ) 的 情 况 。
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旧 学 制 数 学 课 程 数 学 课 程 ( 中 四 至 中 六 )
数 学 课 程 ( 中 四 至 中 六 ) 支 援 学 生 在 多 种 职 业 领 域 中 及 不 同 发 展 路 向 上 的 需 要 , 为 学 生 提 供 不 同 的 选 择 组 合 , 详 情 可 参 考 第 二 章 的 内 容 。
附加数学课程
高级程度/高级补 充程度数学课程
必 修 部 分
延 伸 部 分
( 单 元 一 或 单 元 二 )
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数 学 课 程 架 构 设 定 学 生 在 高 中 阶 段 须 掌 握 的 重 要 知 识 、 技 能 、 价 值 观 和 态 度 。 学 校 和 教 师 在 规 画 校 本 课 程 和 设 计 适 切 的 学 、 教 、 评 活 动 时 , 须 以 课 程 架 构 作 依 据 。
2.1 设 计 原 则
本 课 程 按 以 下 原 则 设 计 :
(a) 建 基 于 基 础 教 育 阶 段 已 涵 盖 的 知 识
为 保 持 不 同 学 习 阶 段 课 程 的 连 贯 性 ,本 课 程 建 基 于 学 生 在 小 一 至 中 三 基 础 教 育 阶 段 数 学 课 程 所 涵 盖 的 知 识 、 技 能 、 价 值 观 和 态 度 而 设 计 。
(b) 提 供 一 个 均 衡 、 有 弹 性 和 多 元 化 的 课 程
新 学 制 实 施 后 ,会 较 以 往 有 更 多 不 同 程 度 及 性 向 的 学 生 在 高 中 阶 段 修 读 数 学 。数 学 课 程( 中 四 至 中 六 )提 供 必 修 部 分 及 延 伸 部 分 。必 修 部 分 作 为 所 有 学 生 的 学 习 基 础 ,提 供 必 要 的 数 学 概 念 、技 能 和 知 识 ,以 满 足 他 们 在 不 同 发 展 路 向 上 的 需 要 。延 伸 部 分 包 括 两 个 单 元 ,提 供 额 外 的 数 学 知 识 ,以 满 足 那 些 想 学 更 多 数 学 或 更 深 入 学 习 数 学 的 学 生 的 需 要 。 数 学 课 程 ( 中 四 至 中 六 ) 为 教 师 提 供 弹 性 , 让 他 们 能 :
为 学 生 在 课 程 上 提 供 选 择 以 满 足 不 同 需 要 , 例 如 必 修 部 分 , 必 修 部 分 与 单 元 一( 微 积 分 与 统 计 ),或 必 修 部 分 与 单 元 二( 代 数 与 微 积 分 ) ;
因 应 学 生 的 个 别 情 况 编 排 教 学 次 序 ; 及
调 适 教 学 内 容 。
(c) 切 合 不 同 学 生 的 需 要
数 学 课 程( 中 四 至 中 六 )提 供 空 间 让 教 师 组 织 不 同 的 活 动 ,以 切 合 不 同 学 生 的 学 习 需 要 。 「 探 索 与 研 究 」 学 习 单 位 让 教 师 为 个 别 学 生 设
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为 基 础 课 题 和 非 基 础 课 题 。基 础 课 题 是 所 有 学 生 均 应 致 力 掌 握 的 概 念 和 知 识 。教 师 可 自 行 决 定 非 基 础 课 题 的 内 容 是 否 适 合 其 学 生 。延 伸 部 分 包 括 两 个 不 同 导 向 的 单 元 。对 于 在 数 学 上 有 较 佳 表 现 的 学 生 ,或 是 较 有 兴 趣 学 习 数 学 的 学 生 ,又 或 是 需 要 更 多 数 学 知 识 和 技 能 ,为 日 后 工 作 和 进 修 作 准 备 的 学 生 来 说 ,他 们 可 从 延 伸 部 分 中 ,选 择 修 读 其 中 一 个 单 元 。单 元 一( 微 积 分 与 统 计 )着 重 数 学 的 应 用 ,而 单 元 二( 代 数 与 微 积 分 )则 较 重 视 数 学 概 念 和 知 识 。希 望 学 习 更 多 数 学 的 学 生 可 根 据 自 己 的 兴 趣 和 需 要 选 择 修 读 最 合 适 的 单 元 。
(d) 达 至 广 度 和 深 度 之 间 的 平 衡
数 学 课 程( 中 四 至 中 六 )参 考 数 学 学 者 和 数 学 教 育 专 业 人 士 的 意 见 及 海 外 同 等 程 度 的 数 学 课 程 ,为 高 中 阶 段 的 学 生 涵 盖 最 重 要 和 合 适 的 内 容 。 延 伸 部 分 的 广 度 和 深 度 为 学 生 提 供 一 个 较 严 谨 的 学 习 本 科 的 机 会 。
(e) 达 至 理 论 和 应 用 之 间 的 平 衡
为 帮 助 学 生 建 构 数 学 知 识 和 技 能 ,高 中 数 学 科 同 样 重 视 数 学 的 理 论 和 在 日 常 生 活 及 数 学 情 境 中 的 应 用 。课 程 亦 包 括 个 别 数 学 课 题 的 发 展 和 历 史 背 景 , 让 学 生 明 白 数 学 如 何 从 前 人 的 努 力 中 演 变 出 来 。
(f) 培 养 终 身 学 习 的 能 力
现 代 科 技 日 新 月 异 ,我 们 须 面 对 知 识 领 域 迅 速 扩 张 和 不 断 涌 现 的 新 挑 战 。学 生 必 须 学 会 学 习 、具 备 明 辨 性 思 考 的 能 力 、懂 得 分 析 和 解 决 问 题 及 懂 得 如 何 与 别 人 有 效 地 沟 通 , 才 能 面 对 现 今 与 日 后 的 种 种 挑 战 。 本 课 程 亦 提 供 机 会 培 养 学 生 上 述 的 能 力 。
(g) 提 升 正 面 的 价 值 观 及 积 极 的 学 习 态 度
正 面 的 价 值 观 及 积 极 的 学 习 态 度 对 数 学 学 习 尤 为 重 要 。这 些 元 素 已 渗 透 于 数 学 课 程 ( 中 四 至 中 六 ) 内 , 特 别 是 透 过 「 探 索 与 研 究 」 单 位 , 期 望 能 帮 助 学 生 培 养 对 学 习 数 学 的 兴 趣 , 令 他 们 热 心 参 与 数 学 活 动 , 灵 敏 地 及 自 信 地 在 日 常 生 活 中 运 用 数 学 ,持 开 放 态 度 及 具 有 独 立 思 考
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2.2 数 学 教 育 学 习 领 域 的 课 程 架 构
数 学 教 育 的 课 程 架 构 是 数 学 科 的 学 与 教 活 动 的 整 体 组 织 框 架 。 课 程 架 构 由 互 相 关 连 的 部 分 所 组 成 , 包 括 :
学 科 知 识 和 技 能 , 在 各 范 畴 内 以 学 习 目 标 及 学 习 重 点 表 示 ;
共 通 能 力 ; 及
正 面 的 价 值 观 和 积 极 的 态 度 。
课 程 架 构 设 定 学 生 由 小 一 至 中 六 各 不 同 的 学 习 阶 段 需 要 学 习 、 重 视 及 应 具 备 的 各 种 技 能 , 并 让 学 校 和 教 师 能 灵 活 调 适 数 学 课 程 , 以 配 合 学 生 的 不 同 需 要 。
下 页 的 图 展 示 出 数 学 课 程 架 构 各 个 重 要 部 分 。
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9项共通能力
数 代 数 度 量
图 形 与 空 间
数 据 处 理
价值观及态度
数 与 代 数 度 量 、 图 形 与 空 间
数 据 处 理
( 延 伸 部 分 ) ( 必 修 部 分 ) ( 延 伸 部 分 )
单 元 一
( 微 积 分 与 统 计 )
数 与 代 数 度 量 、 图 形 与 空 间
数 据 处 理
单 元 二
( 代 数 与 微 积 分 ) 进 阶 学 习 单 位
数 学 课 程
提 供 学 习 内 容 , 藉 以 发 展 学 生 的 思 维 能 力 及 培 养 学 生 的 共 通 能 力
和 学 习 数 学 的 正 面 态 度
学 习 范 畴
提 供 数 学 课 程 内 一 个 包 含 不 同 课 题 的 学 习 重 点 的 组 织 架 构
学 与 教 及 评 估 的 连 系
数 学 科 的 整 体 宗 旨 和 学 习 目 标
小一 至 小六
小一 至 小六
中一 至 中三
中四 至 中六
中一 至 中三
中四 至 中六
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学 习 范 畴 是 数 学 知 识 及 概 念 在 组 织 课 程 中 的 分 类 , 其 主 要 作 用 是 将 数 学 内 容 组 织 起 来 , 整 体 地 发 展 学 生 的 知 识 、 技 能 、 价 值 观 和 态 度 。 数 学 课 程 的 内 容 可 归 纳 为 小 学 的 五 个 学 习 范 畴 和 中 学 的 三 个 学 习 范 畴 。 特 别 地 , 数 学 课 程( 中 四 至 中 六 )的 必 修 部 分 分 为 三 个 学 习 范 畴 ,分 别 是「 数 与 代 数 」、
「 度 量 、 图 形 与 空 间 」 及 「 数 据 处 理 」 。 延 伸 部 分 的 内 容 纵 横 交 织 , 并 非 以 学 习 范 畴 来 画 分 其 内 容 。
2.2.2 共 通 能 力
在 数 学 教 育 学 习 领 域 里 , 共 通 能 力 既 是 过 程 技 巧 , 亦 是 学 习 成 果 。 这 些 共 通 能 力 十 分 重 要 ,能 够 帮 助 学 生 学 会 学 习 。九 项 共 通 能 力 分 别 是 协 作 能 力 、 沟 通 能 力 、 创 造 力 、 明 辨 性 思 考 能 力 、 运 用 资 讯 科 技 能 力 、 数 学 能 力 、 解 决 问 题 能 力 、 自 我 管 理 能 力 及 自 学 能 力 。
共 通 能 力 并 不 是 数 学 概 念 学 与 教 上 附 加 的 事 物 , 而 是 其 中 的 组 成 部 分 。 共 通 能 力 能 帮 助 学 生 获 得 和 掌 握 数 学 知 识 及 概 念 。 通 过 数 学 活 动 的 情 境 发 展 学 生 的 沟 通 能 力 、 创 造 力 和 明 辨 性 思 考 能 力 , 有 助 提 升 学 生 达 致 课 程 整 体 目 标 的 能 力 。 数 学 在 日 常 生 活 中 的 应 用 、 数 学 的 进 一 步 应 用 及 探 索 和 研 究 亦 应 受 到 重 视 。
2.2.3 价 值 观 及 态 度
除 了 知 识 及 技 能 外 , 通 过 数 学 教 育 发 展 正 面 的 价 值 观 与 积 极 的 态 度 亦 非 常 重 要 。 例 如 具 责 任 感 、 投 入 感 、 持 开 放 态 度 等 价 值 观 和 态 度 , 对 学 生 确 立 人 生 及 学 习 目 标 是 必 需 的 。 通 过 适 当 的 学 与 教 策 略 可 以 培 育 学 生 正 面 的 价 值 观 和 积 极 的 态 度 , 这 不 但 有 助 提 升 学 生 的 学 习 效 能 , 亦 有 助 培 养 他 们 的 良 好 品 格 。 整 个 数 学 课 程 ( 中 四 至 中 六 ) 以 及 课 程 的 学 习 重 点 渗 透 着 以 下 的 价 值 观 及 态 度 , 使 学 生 能 :
培 养 学 习 数 学 的 兴 趣 ;
展 示 对 参 与 数 学 活 动 的 热 忱 ;
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展 示 在 日 常 生 活 中 应 用 数 学 的 信 心 ,包 括 阐 明 自 己 的 论 证 及 挑 战 别 人 的 论 据 ;
愿 意 与 他 人 协 作 ,分 享 意 见 及 经 验 ,完 成 数 学 课 业 或 活 动 和 解 决 数 学 问 题 ;
了 解 并 履 行 个 人 的 责 任 ;
持 开 放 的 态 度 参 与 讨 论 数 学 问 题 ,愿 意 聆 听 及 尊 重 他 人 的 意 见 ,懂 得 重 视 及 欣 赏 他 人 的 贡 献 ;
独 立 思 考 , 解 决 数 学 问 题 ;
锲 而 不 舍 地 解 决 数 学 问 题 ; 及
欣 赏 数 学 的 精 确 性 、美 感 和 在 文 化 方 面 的 贡 献 ,以 及 其 在 人 类 活 动 上 所 发 挥 的 作 用 。
教 师 应 设 计 合 适 的 学 习 活 动 , 帮 助 学 生 透 过 学 习 数 学 知 识 , 建 立 以 上 的 价 值 观 和 态 度 。
2.3 高 中 数 学 课 程 的 宗 旨
数 学 课 程( 中 四 至 中 六 )为 数 学 课 程( 中 一 至 中 三 )的 延 续 ,其 宗 旨 如 下 :
(a) 进 一 步 发 展 学 生 的 数 学 知 识 、 技 能 和 概 念 ;
(b) 为 学 生 提 供 个 人 发 展 及 日 后 就 业 途 径 的 数 学 工 具 ;
(c) 为 希 望 日 后 进 修 数 学 或 与 数 学 有 关 学 科 的 学 生 奠 定 基 础 ;
(d) 培 养 学 生 的 共 通 能 力 ,尤 其 是 运 用 数 学 解 决 问 题 ,推 理 及 传 意 的 能 力 ; (e) 培 养 学 生 对 数 学 学 习 的 兴 趣 , 并 建 立 积 极 的 学 习 态 度 ;
(f) 培 养 学 生 在 生 活 中 运 用 数 学 的 能 力 和 信 心 ; 及 (g) 协 助 学 生 发 挥 数 学 才 华 。
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下 图 展 示 出 数 学 课 程 ( 中 四 至 中 六 ) 的 架 构 :
【 备 注 :学 生 可 只 修 读 必 修 部 分 ,亦 可 修 读 必 修 部 分 及 单 元 一( 微 积 分 与 统 计 ) 或 必 修 部 分 及 单 元 二 ( 代 数 与 微 积 分 ) 。 学 生 最 多 只 能 从 延 伸 部 分 中 修 读 其 中 一 个 单 元 。 】
为 配 合 学 生 不 同 的 需 要 、 兴 趣 和 取 向 , 数 学 课 程 ( 中 四 至 中 六 ) 由 必 修 部 分 和 延 伸 部 分 组 成 。 所 有 学 生 都 须 要 修 读 必 修 部 分 。
延 伸 部 分 包 括 两 个 单 元 , 分 别 是 单 元 一 ( 微 积 分 与 统 计 ) 及 单 元 二 ( 代 数 与 微 积 分 ) 。 延 伸 部 分 的 设 立 , 旨 在 让 数 学 课 程 ( 中 四 至 中 六 ) 更 有 弹 性 和 多 元 化 , 让 学 生 可 以 学 到 必 修 部 分 以 外 的 数 学 知 识 。 学 生 可 以 因 应 不 同 的 需 要 和 兴 趣 , 最 多 修 读 其 中 一 个 单 元 。
下 图 展 示 学 生 修 读 数 学 课 程 ( 中 四 至 中 六 ) 的 不 同 选 择 :
(1) 学 生 只 修 读 必 修 部 分 中 的 基 础 课 题
基 础 课 题 非 基 础 课 题
必 修 部 分
(2) 学 生 修 读 必 修 部 分 中 的 基 础 课 题 和 部 分 非 基 础 课 题
必 修 部 分 延 伸 部分
数 学 课 程 ( 中 四 至 中 六 )
单 元 一
( 微 积 分 与 统 计 )
单 元 二
( 代 数 与 微 积 分 )
12
基 础 课 题
非 基 础 课 题
必 修 部 分
(3) 学 生 修 读 必 修 部 分 中 的 所 有 课 题
基 础 课 题 非 基 础 课 题
必 修 部 分
(4) 学 生 修 读 必 修 部 分 及 单 元 一 ( 微 积 分 与 统 计 )
必 修 部 分
单 元 一
( 微 积 分 与 统 计 )
(5) 学 生 修 读 必 修 部 分 及 单 元 二 ( 代 数 与 微 积 分 )
必 修 部 分
单 元 二
( 代 数 与 微 积 分 )
数 学 课 程( 中 四 至 中 六 )为 核 心 科 目 ,最 多 可 占 整 个 高 中 课 程 总 课 时 的 15%
( 约 375 小 时 )2。 数 学 课 程 ( 中 四 至 中 六 ) 的 必 修 部 分 和 延 伸 部 分 的 课 时
2 新高中课程设计以 2,500 小时作为规画的参考基数。为了让学校可因应校本情况作规画,以照顾学校的 多样性和不同学生的学习需要,以及同时符合国际认可的准则,我们建议学校以 2,400±200 小时作为三
13
建 议 课 时
( 大 约 时 数 )
必 修 部 分 10% 12.5% ( 250 小 时
313 小 时 ) 必 修 部 分 与一 个 单 元 15%( 375 小 时 )
2.5 必 修 部 分
必 修 部 分 按 照 数 学 课 程 ( 中 四 至 中 六 ) 设 计 的 原 则 设 计 , 其 中 包 含 两 个 特 点 。
其 一 , 必 修 部 分 为 所 有 学 生 提 供 学 习 基 础 , 同 时 具 足 够 的 弹 性 以 照 顾 不 同 学 生 的 学 习 需 要 。 课 程 内 容 画 分 为 基 础 课 题 及 非 基 础 课 题 。 基 础 课 题 的 内 容 连 贯 ,包 括 必 要 的 概 念 和 知 识 ;而 非 基 础 课 题 则 提 供 更 丰 富 的 学 习 内 容 。 其 二 , 必 修 部 分 内 容 的 设 计 重 视 数 学 与 人 类 不 同 活 动 的 密 切 关 系 。 学 生 透 过 不 同 的 学 习 活 动 , 认 识 国 际 上 数 学 词 汇 、 符 号及 解 难 策 略 的 应 用 。 此 外 , 必 修 部分 中 的 「 数 学 的 进 一 步 应 用 」 学 习 单 位 , 能 让 学 生 认 识 及 欣 赏 他 们 在 初 中 和 高 中 所 学 习 的 不 同 数 学 知 识 之 连 贯 性 。
必 修 部 分 的 学 习 重 点 让 学 生 理 解 数 学 知 识 和 技 能 的 发 展 及 解 决 问 题 的 应 用 , 包 括 在 现 实 生 活 中 的 应 用 。 此 外 , 透 过 「 统 计 的 应 用 及 误 用 」、「 排 列 与 组 合 」、「 数 学 的 进 一 步 应 用 」 等 学 习 单 位 , 学 生 可 综 合 运 用 初 中 和 高 中 的 不 同 数 学 知 识 , 理 解 和 评 价 现 实 生 活 中 较 复 杂 的 情 况 。
年总课时的弹性范围。
一直以来,学校投放于学与教的时间受多种因素影响,包括学校整体课程规画、学生的能力及需要、学 生的已有知识、教学及评估策略、教学风格及学校提供的科目数量等。学校应运用专业判断,灵活分配 课时,以达到特定的课程宗旨与目标,并配合校情及学生独特的需要。
14
必 修 部 分 中 , 各 学 习 范 畴 内 各 个 学 与 教 的 重 要 和 关 键 的 项 目 , 从 学 习 目 标 到 学 习 重 点 , 均 有 显 著 的 从 属 关 系 。 其 中 学 习 目 标 旨 在 阐 述 学 与 教 的 宗 旨 和 方 向 。 在 学 习 目 标 之 下 , 学 习 重 点 的 厘 定 , 旨 在 详 细 说 明 学 生 须 学 到 的 学 习 内 容 。在 课 程 中 ,学 习 重 点 则 按 内 容 归 类 并 编 排 入 不 同 的 学 习 单 位 内 。 必 修 部 分 包 含 三 个 学 习 范 畴 , 分 别 为 「 数 与 代 数 」、「 度 量 、 图 形 与 空 间 」 及「 数 据 处 理 」。此 外 ,必 修 部 分 亦 设 有「 进 阶 学 习 单 位 」让 学 生 能 综 合 运 用 各 范 畴 内 的 知 识 和 技 能 , 以 解 决 现 实 生 活 和 数 学 情 境 中 的 问 题 。
2.5.2 必 修 部 分 的 学 习 目 标
必 修 部 分 三 个 学 习 范 畴 的 学 习 目 标 胪 列 如 下 :
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数 与 代 数 范 畴 度 量 、 图 形 与 空 间 范 畴 数 据 处 理 范 畴 期 望 学 生 能 :
延 伸 数 的 概 念 至 复 数 ;
进 一 步 运 用 代 数 符 号 探 究 及 描 述 数 量 间 的 关 系 ;
运 用 代 数 符 号 概 括 及 描 述 数 列 的 规 律 , 并 应 用 有 关 结 果 解 应 用 题 ;
从 数 值 、 符 号 及 图 像 角 度 阐 释 较 复 杂 的 代 数 关 系 ;
处 理 较 复 杂 的 代 数 式 及 关 系 式 , 及 应 用 有 关 知 识 和 技 能 建 立 及 解 较 复 杂 的 现 实 生 活 中 的 问 题 , 并 证 明 所 得 结 果 的 真 确 性 ; 及
应 用「 数 与 代 数 」 范 畴 内 的 知 识 和 技 能 来 概 括 、 描 述 及 传 递 数 学 意
运 用 归 纳 和 演 绎 方 法 来 学 习 平 面 图 形 的 性 质 ;
以 适 当 的 符 号 、术 语 及 理 由 来 作 与 平 面 图 形 有 关 的 几 何 证 明 ;
进 一 步 运 用 代 数 关 系 来 探 究 及 描 述 二 维 空 间 的 几 何 知 识 , 并 应 用 有 关 知 识 解 应 用 题 ;
运 用 三 角 函 数 来 探 究 及 描 述 二 维 空 间 和 三 维 空 间 的 几 何 知 识 ,并 应 用 有 关 知 识 解 应 用 题 ; 及
应 用 「 度 量 、 图 形 与 空 间 」 范 畴 内 的 知 识 和 技 能 来 概 括 、 描 述 及 传 递 数 学 意 念 及 进 一 步 解 各 学 习 范 畴 内 的 应 用 题 。
理 解 离 差 的 度 量 ;
选 择 及 运 用 集 中 趋 势 及 离 差 的 度 量 来 描 述 和 比 较 数 据 ;
进 一 步 研 究 及 判 断 由 数 据 得 出 的 推 论 的 可 信 性 ;
掌 握 计 数 的 基 本 技 能 ;
应 用 简 单 公 式 来 建 立 及 解 较 复 杂 的 概 率 问 题 ; 及
综 合 统 计 及 概 率 的 知 识 , 以 解 较 复 杂 的 现 实 生 活 中 的 问 题 。
16
念 及 进 一 步 解 各 学 习 范 畴 内 的 应 用 题 。
17
为 照 顾 不 同 学 生 的 学 习 需 要 , 必 修 部 分 的 内 容 画 分 为 基 础 课 题 及 非 基 础 课 题 。 数 学 课 程 ( 中 四 至 中 六 ) 的 基 础 课 题 , 内 容 与 初 中 的 基 础 课 题 连 贯 。 基 础 课 题 包 括 重 要 概 念 和 知 识 , 所 有 学 生 均 须 致 力 学 习 。 基 础 课 题 按 以 下 原 则 选 取 :
包 括 学 习 必 修 部 分 的 内 容 所 需 的 基 本 概 念 和 知 识 , 及 其 在 现 实 生 活 中 的 简 单 应 用 ; 及
由 不 同 环 节 组 成 的 连 贯 自 足 的 学 习 整 体 , 让 学 生 可 以 从 多 角 度 体 会 数 学 的 不 同 经 验 。必 修 部 分 还 包 括 了 比 基 础 课 题 更 广 泛 和 更 深 入 的 课 题 — 非 基 础 课 题 。 非 基 础 课 题 提 供 更 丰 富 的 学 习 内 容 , 为 只 修 读 必 修 部 分 的 学 生 打 好 基 础 , 以 应 付 日 后 升 学 及 工 作 上 的 需 要 。 教 师 可 因 应 学 生 所 需 , 自 行 调 适 非 基 础 课 题 的 教 学 内 容 。
延 伸 部 分 的 单 元 一 和 单 元 二 的 内 容 建 基 于 必 修 部 分 中 基 础 课 题 和 非 基 础 课 题 的 学 习 。 因 此 , 修 读 延 伸 部 分 任 何 一 个 单 元 的 学 生 应 一 并 修 读 必 修 部 分 中 的 基 础 课 题 和 非 基 础 课 题 。
2.5.4 必 修 部 分 的 学 习 内 容
必 修 部 分 的 课 时 占 总 课 时 的 10%至 12.5%( 约 250 小 时 至 313 小 时 )。具 体 的 课 时 分 配 须 视 乎 学 生 的 学 习 途 径 、 取 向 及 进 度 。
每 个 学 习 单 位 备 有 相 应 的 教 学 时 数( 以 小 时 为 单 位 ),以 协 助 教 师 编 排 和 调 适 教 学 进 度 。 为 方 便 教 师 参 考 , 学 习 重 点 中 的 非 基 础 课 题 以 底 线 标 示 。
18
备 注 :
1. 学 习 单 位 分 成 三 个 学 习 范 畴 (「 数 与 代 数 」、「 度 量 、 图 形 与 空 间 」 和 「 数 据 处 理 」) 和 一 个 进 阶 学 习 单 位 。 2. 相 关 的 学 习 重 点 归 于 同 一 学 习 单 位 内 。
3. 画 有 底 线 的 学 习 重 点 为 非 基 础 课 题 。
4. 表 中 「 注释」 栏 的 内 容 可 视 为 学 习 重 点 的 补 充 资 料 。
5. 学 习 单 位 旁 的 教 学 时 数 旨 在 协 助 教 师 判 断 课 题 的 教 学 深 度 。 教 学 时 数 仅 作 参 考 之 用 , 教 师 可 因 应 个 别 情 况 自 行 调 节 。
6. 学 校 可 编 配 最 多 313 小 时 ( 即 占 总 课 时 的 12.5%) 予 需 要 较 多 课 时 学 习 的 学 生 。
学 习 单 位 学 习 重 点 时 间 注 释
数 与 代 数 范 畴
1. 一 元 二 次 方 程 1.1 以 因 式 法 解 二 次 方 程 19
1.2 由 已 知 根 建 立 二 次 方 程 已 知 根 只 限 于 实 数 。 1.3 由 绘 画 拋 物 线 y = ax2 + bx + c 的 图 像 及 读
取 该 图 像 的 x 截 距 解 方 程 ax2 + bx + c = 0
19
1.4 以 二 次 公 式 解 二 次 方 程 只 修 读 基 础 课 题 的 学 生 :
不 须 以 a ± bi 的 形 式 来 表 示 非 实 根
不 须 简 化 诸 如2
48的 根 式 1.5 理 解 二 次 方 程 的 判 别 式 与 其 根 的 性 质 之关 系
由 于 学 生 在 学 习 重 点 1.8 中 认 识 了 复 数 的 存 在 性 ,因 此 当
< 0 时 ,学 生 必 须 指 出「 方 程 没 有 实 根 」或「 方 程 有 两 个 非 实 根 」。1.6 解 涉 及 二 次 方 程 的 应 用 题 教 师 应 选 择 与 学 生 经 验 有 关 的 应 用 题 。
解 涉 及 诸 如 5
1 6
6
xx 等 较 复
杂 方 程 的 应 用 题 属 非 基 础 课 题 ,并 在 学 习 重 点 5.4 中 处 理 。
20
1.7 理 解 根 与 系 数 的 关 系 及 以 此 关 系 建 立 二 次 方 程
根 与 系 数 的 关 系 包 括 :
a
b
和a
c
,其 中
和
为 方 程 ax2 + bx + c = 0 的 根 且 a 0。1.8 欣 赏 数 系 ( 包 括 复 数 系 ) 的 发 展 可 讨 论 诸 如 数 系 的 分 层 、循 环 小 数 与 分 数 互 化 等 课 题 。
1.9 进 行 复 数 的 加 、 减 、 乘 和 除 运 算 只 限 于 a bi 形 式 的 复 数 。
注 ︰ 二 次 方 程 的 系 数 只 限 于 实 数 。
2. 函 数 及 其 图 像 2.1 认 识 函 数 、 定 义 域 和 上 域 、 自 变 量 和 应 变 量 的 直 观 概 念
10
2.2 认 识 函 数 的 记 法 及 运 用 表 列 、 代 数 和 图 像 方 法 来 表 达 函 数
以 下 表 达 方 式 亦 可 接 受 :
1
2
21
2.3 理 解 二 次 函 数 图 像 的 特 征 二 次 函 数 图 像 的 特 征 包 括 :
顶 点
对 称 轴
开 口 方 向
与 两 轴 的 关 系学 生 须 以 图 解 法 求 二 次 函 数 的 极 大 值 和 极 小 值 。
2.4 以 代 数 方 法 求 二 次 函 数 的 极 大 值 和 极 小 值
须 包 括 配 方 法 。
学 生 须 解 与 二 次 函 数 的 极 大 值 和 极 小 值 有 关 的 应 用 题 。
3. 指 数 函 数 与 对 数 函 数
3.1 理 解 有 理 数 指 数 的 定 义 16 定 义 包 括 和 。
22
3.2 理 解 有 理 指 数 的 定 律 有 理 指 数 定 律 包 括 :
a
p a q = a p + q
qp aa = a p q
(a
p)q = a pq a
p b p = (ab) p
p
p p
b a b
a
3.3 理 解 对 数 的 定 义 及 其 性 质 ( 包 括 换 底 公 式 )
对 数 性 质 包 括 :
log
a 1 = 0 log
a a = 1 log
a MN = log a M + log a N log
aN
M = log a M log a N
log
a M k = k log a M log
b N =b N
a a
log log
23
3.4 理 解 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 性 质 及 认 识 其 图 像 的 特 征
性 质 和 特 征 包 括 :
函数的定义域
当 a >1(0 < a < 1)及 x 递增时,函数 f (x) = a x 和 f (x) = log a x 递增(递减) y = a
x 与 y = log a x 对称于 y = x
两轴的截距
(从直观得)函数递增率/递减率 3.5 解 指 数 方 程 和 对 数 方 程 诸 如 4x 3 2x 4 = 0 或 log (x 22) +log (x + 26) = 2 等可 变 换 为 二 次 方 程 的 方 程 , 在 学 习 重 点 5.3 中 处 理 。
3.6 欣 赏 对 数 在 现 实 生 活 情 境 中 的 应 用 可 讨 论 诸 如 以 黎 克 特 制 表 示 地 震 强 度 、 以 分 贝 表 示 声 音 强 级 等 应 用 。 3.7 欣 赏 对 数 概 念 的 发 展 可 讨 论 诸 如 对 数 概 念 发 展 的 历 史 及
如 何 以 对 数 概 念 设 计 昔 日 的 某 些 计 算 工 具( 例 如 :对 数 尺 和 对 数 表 )等 课 题 。
24
4. 续 多 项 式 4.1 进 行 多 项 式 除 法 14 亦 可 接 受 长 除 法 以 外 的 方 法 。 4.2 理 解 余 式 定 理
4.3 理 解 因 式 定 理 学 生 须 运 用 因 式 定 理 因 式 分 解 诸 如
x3
a
3的 多 项 式 。4.4 理 解 最 大 公 因 式 和 最 小 公 倍 式 的 概 念 “H.C.F.”、“gcd” 等 简 称 皆 可 使 用 。 4.5 进 行 有 理 函 数 的 加 、 减 、 乘 和 除 不 包 括 多 于 两 个 变 数 的 有 理 函 数 之
运 算 。
有 理 函 数 在 第 三 学 习 阶 段 称 为「 代 数 分 式 」。
5. 续 方 程 5.1 运 用 图 解 法 解 分 别 为 二 元 一 次 及 二 元 二 次 的 联 立 方 程 , 其 中 二 元 二 次 方 程 只 限 于 y = ax2 + bx + c 的 形 式
10
5.2 运 用 代 数 方 法 解 分 别 为 二 元 一 次 及 二 元 二 次 的 联 立 方 程
25
5.3 解 可 变 换 为 二 次 方 程 的 方 程 ( 其 中 包 括 分 式 方 程 、 指 数 方 程 、 对 数 方 程 和 三 角 方 程 )
三 角 方 程 的 解 只 限 于 0 至 360 的 区 间 。
5.4 解 涉 及 可 变 换 为 二 次 方 程 的 方 程 之 应 用 题
教 师 应 选 择 与 学 生 经 验 有 关 的 应 用 题 。
6. 变 分 6.1 理 解 正 变 和 反 变 及 其 在 解 现 实 生 活 问 题 时 的 应 用
7
6.2 理 解 正 变 和 反 变 的 图 像
6.3 理 解 联 变 和 部 分 变 及 其 在 解 现 实 生 活 问 题时的应用
7. 等 差 数 列 与 等 比 数 列 及 其 求 和 法
7.1 理 解 等 差 数 列 的 概 念 及 其 性 质 17 等 差 数 列 的 性 质 包 括 :
T
n = ½ ( Tn–1 + Tn+1 )
若 T1 , T2 , T3 , …为 等 差 数 列 , 则 k T1 + a , k T2 + a , k T3 + a , … 亦 为 等 差 数 列26
7.2 理 解 等 差 数 列 的 通 项
7.3 理 解 等 比 数 列 的 概 念 及 其 性 质 等 比 数 列 的 性 质 包 括 :
T
n2 = Tn1 Tn+1
若 T1 , T2 , T3 , … 为 等 比 数 列 , 则 k T1 , k T2 , k T3 , …亦 为 等 比 数 列 7.4 理 解 等 比 数 列 的 通 项7.5 理 解 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 有 限 项 求 和 公 式 及 运 用 该 些 公 式 解 有 关 的 应 用 题
例 如 ︰ 涉 及 等 差 数 列 或 等 比 数 列 求 和 的 几 何 题 。
7.6 探 究 某 些 等 比 数 列 的 无 限 项 求 和 公 式 及 运 用 该 公 式 解 有 关 的 应 用 题
例 如 ︰ 涉 及 等 比 数 列 的 无 限 项 求 和 的 几 何 题 。
7.7 解 现 实 生 活 中 相 关 的 应 用 题 例 如 ︰ 涉 及 利 息 、增 长 或 折 旧 的 应 用 题 。
8. 不 等 式 与 线 性 规 画
8.1 解 复 合 一 元 一 次 不 等 式 16 须 包 括 涉 及 逻 辑 连 词 「 和 」 或 「 或 」 的 复 合 不 等 式 。
须 解 三 角 不 等 式 的 问 题 。
27
8.2 以 图 解 法 解 一 元 二 次 不 等 式 8.3 以 代 数 方 法 解 一 元 二 次 不 等 式
8.4 在 直 角 坐 标 平 面 上 表 示 二 元 一 次 不 等 式 的 图 像
8.5 解 联 立 二 元 一 次 不 等 式 8.6 解 线 性 规 画 应 用 题
9. 续 函 数 图 像 9.1 描 绘 及 比 较 不 同 函 数 的 图 像 , 包 括 常 值 函 数 、 线 性 函 数 、 二 次 函 数 、 三 角 函 数 、 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 图 像
11 包 括 定 义 域 、极 大 值 或 极 小 值 的 存 在 性 、 对 称 性 、 周 期 性 的 比 较 。
9.2 运 用 y = f (x) 的 图 像 解 方 程 f (x) = k 9.3 运 用 y = f (x) 的 图 像 解 不 等 式 f (x) > k、
f (x) < k、f (x) k 和 f (x) k
28
9.4 从 表 列 、符 号 和 图 像 的 角 度 理 解 函 数 f (x) 的 变 换 , 包 括 f (x) + k、f (x + k)、k f (x) 和 f (kx)
度 量 、 图 形 与 空 间 范 畴
10. 直 线 方 程 10.1 理 解 直 线 方 程 7 学 生 须 在 给 定 条 件 下 , 诸 如 :
直 线 上 任 意 两 点 的 坐 标
直 线 的 斜 率 及 该 直 线 上 一 点 的 坐 标
直 线 的 斜 率 及 其 y 截 距 求 直 线 的 方 程 。学 生 须 由 直 线 方 程 描 述 有 关 直 线 的 特 征 , 包 括 :
斜 率
与 两 轴 的 截 距
某 点 是 否 在 该 直 线 上 不 包 括 法 线 式 。学 生 须 认 识 斜 率 与 倾 角 的 关 系 。
29
10.2 理 解 两 直 线 相 交 的 各 种 可 能 情 况 学 生 须 从 直 线 方 程 判 断 两 直 线 相 交 时 交 点 的 数 目 。
在 第 三 学 习 阶 段 ,学 生 须 解 联 立 二 元 一 次 方 程 。
注 :建 议 教 师 于 中 四 首 学 期 安 排 教 授 此 学 习 单 位 。
11. 圆 的 基 本 性 质 11.1 理 解 圆 上 弦 和 弧 的 性 质 23 圆 上 弦 和 弧 的 性 质 包 括 :
等 弧 所 对 的 弦 相 等
等 弦 截 取 等 弧
由 圆 心 至 弦 的 垂 直 线 平 分 该 弦
由 圆 心 至 弦( 直 径 除 外 )的 中 点 的 连 线 垂 直 该 弦
弦 的 垂 直 平 分 线 经过 圆 心
等 弦 至 圆 心 等 距
与 圆 心 等 距 的 弦 相 等30
学 生 须 理 解 给 出 三 个 不 共 线 的 点 ,有 而 且 只 有 一 个 圆 经 过 这 三 点 。
弧 与 所 对 的 圆 心 角 成 正 比 例 的 性 质 应 在 第 三 学 习 阶 段 阐 述 弧 长 计 算 公 式 时 讨 论 。
11.2 理 解 圆 上 角 的 性 质 圆 上 角 的 性 质 包 括 :
一 弧 所 对 的 圆 心 角 为 该 弧 所 对 的 圆 周 角 的 两 倍
同 弓 形 内 的 圆 周 角 皆 相 等
弧 与 所 对 的 圆 周 角 成 正 比 例
半 圆 内 的 圆 周 角 为 直 角
若 圆 周 角 是 一 直 角 ,则 其 所 对 的 弦 是 一 直 径11.3 理 解 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 包 括 :
圆 内 接 四 边 形 对 角 互 补
圆 内 接 四 边 形 的 外 角 等 于 其 内 对 角31
11.4 理 解 四 点 共 圆 和 圆 内 接 四 边 形 的 判 别 法 四 点 共 圆 和 圆 内 接 四 边 形 的 判 别 法 包 括 :
若 A 和 D 为 位 于 直 线 BC 同 一 侧 的 两 点 , 并 且BAC = BDC, 则 A、
B、C 与 D 四 点 共 圆
若 四 边 形 有 一 对 对 角 互 补 ,则 该 四 边 形 为 圆 内 接 四 边 形
若 四 边 形 的 外 角 等 于 其 内 对 角 ,则 该 四 边 形 为 圆 内 接 四 边 形11.5 理 解 圆 切 线 和 其 内 错 弓 形 的 圆 周 角 的 性 质
性 质 包 括 :
圆 的 切 线 垂 直 于 经 过 切 点 的 半 径
经 过 半 径 的 外 端 且 垂 直 于 这 半 径 的 直 线 是 圆 的 切 线
经 过 切 点 且 垂 直 于 切 线 的 直 线 经 过 圆 心32
由 圆 外 一 点 至 圆 作 两 切 线 , 则 : - 由 外 点 至 切 点 的 长 度 相 等 - 两 切 线 所 对 的 圆 心 角 相 等 - 圆 心 与 切 线 交 点 的 连 线 平 分两 切 线 间 的 夹 角
若 直 线 与 圆 相 切 ,则 弦 切 角 等 于 其 内 错 弓 形 上 的 圆 周 角
若 直 线 经 过 弦 上 一 端 点 且 与 弦 所 成 的 角 等 于 其 内 错 弓 形 上 的 圆 周 角 , 则 此 直 线 与 圆 相 切11.6 运 用 圆 的 基 本 性 质 作 简 单 几 何 证 明 证 明 中 可 以 涉 及 第 三 学 习 阶 段 的 几 何 知 识 。
12. 轨 迹 12.1 理 解 轨 迹 的 概 念 6
33
12.2 描 述 及 描 绘 满 足 某 些 已 知 条 件 的 点 之 轨 迹
条 件 包 括 :
与 一 点 保 持 固 定 距 离
与 两 点 保 持 相 等 距 离
与 一 直 线 保 持 固 定 距 离
与 两 平 行 线 保 持 相 等 距 离
与 两 相 交 直 线 保 持 相 等 距 离12.3 以 代 数 方 程 描 述 点 的 轨 迹 学 生 须 求 简 单 轨 迹 的 方 程 ,其 中 包 括 直 线 、 圆 和 形 式 如 y = ax2 + bx + c 的 拋 物 线 之 方 程 。
34
13. 圆方程 13.1 理 解 圆 方 程 7 学 生 须 在 给 定 条 件 下 , 诸 如 :
圆 心 的 坐 标 及 半 径 的 长 度
圆 上 任 意 三 点 的 坐 标 求 圆 的 方 程 。学 生 须 由 圆 方 程 描 述 有 关 圆 的 特 征 , 包 括 :
圆 心
半 径
某 点 在 圆 内 、 圆 外 或 圆 上 13.2 求 直 线 与 圆 交 点 的 坐 标 及 理 解 直 线 与 圆相 交 的 各 种 可 能 情 况
学 生 须 求 圆 的 切 线 方 程 。
14. 续 三 角 学 14.1 理 解 正 弦 、 余 弦 和 正 切 函 数 及 其 图 像 和 性 质 , 包 括 极 大 值 、 极 小 值 和 周 期 性
25 须 包 括 含
、90 、180 …… 等
的 正 弦 、 余 弦 和 正 切 的 数 式 之 化 简 。35
14.2 解 三 角 方 程 a sin = b、a cos = b、
a tan = b( 其 解 限 于 0 至 360 区 间 ) 和 其 他 的 三 角 方 程( 其 解 限 于 0 至 360 区 间 )
解 可 变 换 为 二 次 方 程 的 方 程 属 非 基 础 课 题 , 并 在 学 习 重 点 5.3 中 处 理 。
14.3 理 解 三 角 形 面 积 公 式 ½ ab si n C 14.4 理 解 正 弦 和 余 弦 公 式
14.5 理 解 希 罗 公 式 14.6 理 解 投 影 的 概 念
14.7 理 解 一 线 与 一 平 面 的 相 交 角 和 两 平 面 的 相 交 角
须 包 括 倾 角 的 概 念 。
14.8 理 解 三 垂 线 定 理
14.9 解 二 维 和 三 维 空 间 中 相 关 的 应 用 题 三 维 空 间 的 应 用 题 包 括 求 两 直 线 的 交 角 、直 线 与 平 面 的 交 角 、两 平 面 的 交 角 、点 与 点 的 距 离 、点 与 线 的 距 离 , 和 点 与 面 的 距 离 。
36
数 据 处 理 范 畴
15. 排 列 与 组 合 15.1 理 解 计 数 原 理 的 加 法 法 则 和 乘 法 法 则 11
15.2 理 解 排 列 的 概 念 和 记 法 “Prn”、“nPr”、“ nPr” 等 记 法 皆 可 使 用 。 15.3 解 不 同 物 件 的 无 重 排 列 应 用 题 须 包 括 诸 如「 求 物 件 的 排 列 ,其 中 三
个 指 定 物 件 必 须 相 邻 」 等 应 用 题 。 不 包 括 圆 形 排 列 。
15.4 理 解 组 合 的 概 念 和 记 法 “Crn”、 “nCr”、 “ nCr”、 “
rn ” 等 记 法 皆 可 使 用 。
15.5 解 不 同 物 件 的 无 重 组 合 应 用 题
16. 续 概 率 16.1 认 识 集 合 的 记 法 , 包 括 并 集 、 交 集 和 余 集 的 记 法
10 须 包 括 温 氏 图 的 概 念 。
16.2 理 解 概 率 加 法 定 律 及 互 斥 事 件 和 互 补 事 件 的 概 念
概 率 加 法 定 律 指 「 P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 」。
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16.3 理 解 概 率 乘 法 定 律 和 独 立 事 件 的 概 念 概 率 乘 法 定 律 指 「 P (A B) = P (A) P (B), 其 中 A 和 B 为 独 立 事 件 。」
16.4 认 识 条 件 概 率 的 概 念 和 记 法 须 包 括 法 则 「 P (A B) = P (A) P (B | A) 」。
不 包 括 贝 叶 斯 定 理 。
16.5 运 用 排 列 与 组 合 解 与 概 率 有 关 的 应 用 题
17. 离 差 的 度 量 17.1 理 解 离 差 的 概 念 13 17.2 理 解 分 布 域 和 四 分 位 数 间 距 的 概 念
17.3 制 作 及 阐 释 框 线 图 及 运 用 框 线 图 比 较 不 同 组 别 的 数 据 分 布
框 线 图 亦 可 称 为 「 箱 形 图 」。
17.4 理 解 分 组 数 据 和 不 分 组 数 据 的 标 准 差 之 概 念
学 生 须 认 识「 方 差 」这 名 称 和 方 差 等 于 标 准 差 的 平 方 。
学 生 须 理 解 的 标 准 差 公 式 为 :
=
N x
x1 )2 ( N )2 (
。
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17.5 运 用 合 适 的 量 度 方 法 比 较 不 同 组 别 数 据 的 离 差
17.6 理 解 标 准 差 在 涉 及 标 准 分 和 正 态 分 布 的 现 实 生 活 问 题 时 的 应 用
17.7 理 解 下 列 情 况 对 数 据 的 离 差 之 影 响 : (i) 对 数 据 的 每 一 项 加 上 一 个 相 同 的 常 数 (ii ) 对 数 据 的 每 一 项 乘 以 一 个 相 同 的 常 数 18. 统 计 的 应 用 及 误
用
18.1 认 识 抽 取 调 查 样 本 的 不 同 技 巧 及 制 作 问 卷 的 基 本 原 则
4 学 生 须 认 识 「 总 体 」 和 「 样 本 」的 概 念 。
学 生 须 认 识 概 率 抽 样 和 非 概 率 抽 样 的 方 法 。
学 生 须 认 识 在 制 作 问 卷 时 ,有 些 因 素 会 对 问 卷 的 信 度 和 效 度 产 生 影 响 ,例 如 :问 题 的 形 式 、用 语 和 排 序 及 回 应 的 选 择 。
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18.2 讨 论 及 认 识 各 种 日 常 活 动 或 调 查 中 统 计 方 法 的 应 用 及 误 用
18.3 评 估 从 新 闻 媒 介 、 研 究 报 告 等 不 同 来 源 所 获 得 的 统 计 调 查 报 告
进 阶 学 习 单 位
19. 进 阶 应 用 解 较 复 杂 的 现 实 生 活 和 数 学 应 用 题 , 并 在 解 题 过 程 中 寻 找 能 提 供 解 题 线 索 的 资 料 , 探 究 不 同 的 解 题 策 略 或 综 合 不 同 数 学 环 节 的 知 识 主 要 焦 点 为 :
(a) 探 究 及 解 现 实 生 活 中 较 复 杂 的 应 用 题 (b) 欣 赏 不 同 数 学 环 节 间 的 关 连
14 例 如 :
解 诸 如 税 、分 期 付 款 等 财 务 上 的 简 单 应 用 题
分 析 及 阐 释 由 调 查 得 到 的 数 据
探 究 及 阐 释 与 现 实 生 活 情 境 有 关 的 图 像
探 究 托 勒 密 定 理 及 其 应 用
为 两 组 线 性 相 关 性 较 强 的 数 据 建 模 , 以 及 探 讨 如 何 将 诸 如y = m
x
+ c 和 y = k ax 等 简 单 的 非 线 性 关 系 变 换 为 线 性 关 系40
探 究 斐 波 那 契 数 列 与 黄 金 比 之 间 的 关 系
欣 赏 密 码 学 的 应 用
探 究 塞 瓦 定 理 及 其 应 用
分 析 数 学 游 戏( 例 如 :探 究 注 水 问 题 的 通 解 )20. 探 索 与 研 究 通 过 不 同 的 学 习 活 动 , 发 现 及 建 构 知 识 , 进 一 步 提 高 探 索 、 沟 通 、 思 考 和 形 成 数 学 概 念 的 能 力
10 此 非 一 个 独 立 和 割 裂 的 学 习 单 位 。教 师 可 使 用 建 议 的 时 间 ,让 学 生 参 与 不 同 学 习 单 位 内 的 活 动 。
总 教 学 时 数 : 250 小 时
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延 伸 部 分 是 为 日 后 进 修 及 工 作 中 需 要 更 多 数 学 知 识 和 技 能 的 学 生 而 设 , 也 为 对 数 学 有 兴 趣 和 具 备 足 够 程 度 、 可 因 修 读 更 多 的 数 学 而 受 益 的 学 生 提 供 多 一 个 选 择 。 延 伸 部 分 旨 在 拓 展 学 生 在 必 修 部 分 以 外 的 视 野 。 学 生 若 修 读 延 伸 部 分 , 须 处 理 一 些 较 必 修 部 分 更 为 复 杂 的 问 题 。
延 伸 部 分 提 供 两 个 单 元 供 学 生 选 择 , 分 别 为 单 元 一 ( 微 积 分 与 统 计 ) 及 单 元 二 ( 代 数 与 微 积 分 ) 。 学 生 最 多 只 容 许 修 读 一 个 单 元 。
单 元 一 ( 微 积 分 与 统 计 ) 是 为 那 些 将 来 在 学 科 或 职 业 上 需 要 更 多 及 更 深 入 的 数 学 知 识 、并 希 望 在 高 中 阶 段 多 学 习 一 些 数 学 应 用 的 学 生 而 设 ,它 旨 在 :
提 供 必 修 部 分 以 外 的 技 能 与 概 念 ;
强 调 数 学 的 应 用 性 多 于 其 严 谨 性 , 从 而 扩 阔 学 生 在 数 学 方 面 的 视 野 ; 及
提 供 微 积 分 与 统 计 的 直 观 概 念 、 相 关 基 本 技 能 及 有 用 工 具 , 为 学 生 将 来 深 造 和 就 业 作 准 备 。
单 元 二 ( 代 数 与 微 积 分 ) 是 为 那 些 希 望 从 事 与 数 学 有 关 的 职 业 、 并 希 望 在 高 中 阶 段 学 习 更 高 深 的 数 学 知 识 的 学 生 而 设 , 它 旨 在 :
提 供 必 修 部 分 以 外 的 技 能 与 概 念 ;
强 调 数 学 的 理 解 , 以 便 学 生 将 来 学 习 涉 及 较 多 数 学 知 识 的 学 科 ; 及
帮 助 学 生 为 将 来 深 造 和 就 业 作 准 备 ,建 立 稳 固 的 代 数 与 微 积 分 的 基 础 。
2.6.1 单 元 一 及 单 元 二 的 组 织
单 元 一 ( 微 积 分 与 统 计 ) 及 单 元 二 ( 代 数 与 微 积 分 ) 的 组 织 有 别 于 必 修 部 分 。 单 元 的 内 容 纵 横 交 织 , 其 课 程 内 容 是 以 领 域 而 非 以 范 畴 来 画 分 。 两 个 单 元 均 以 学 习 目 标 显 示 学 与 教 的 宗 旨 与 方 向 。 每 一 学 习 目 标 再 细 分 为 个 别 的 学 习 重 点 。
单 元 一( 微 积 分 与 统 计 )分 成 三 个 领 域 , 分 别 是「 基 础 知 识 」、「 微 积 分 」 和 「 统 计 」 。 单 元 二 ( 代 数 与 微 积 分 ) 亦 分 成 三 个 领 域 , 分 别 是 「 基 础 知
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上 领 域 的 学 习 单 位 , 称 为 「 进 阶 学 习 单 位 」 , 旨 在 增 强 学 生 探 究 、 沟 通 、 推 理 及 建 构 数 学 概 念 的 能 力 。
2.6.2 单 元 一 及 单 元 二 的 学 习 目 标
单 元 一 ( 微 积 分 与 统 计 ) 及 单 元 二 ( 代 数 与 微 积 分 ) 的 学 习 目 标 分 别 胪 列 如 下 :
单 元 一 ( 微 积 分 与 统 计 ) 的 学 习 目 标
基 础 知 识 微 积 分 统 计
期 望 学 生 能 :
应 用 二 项 展 式 学 习 概 率 与 统 计 ;
以 建 模 、绘 画 图 像 和 应 用 指 数 函 数 及 对 数 函 数 解 应 用 题 ; 及
理 解 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 关 系 , 并 应 用 它 们 解 现 实 生 活 中 的 应 用 题 。
认 识 极 限 作 为 微 积 分 学 的 基 础 ;
透 过 现 实 情 境 理 解 微 积 分 的 概 念 ;
求 简 单 函 数 的 导 数 、不 定 积 分 和 定 积 分 ; 及
应 用 微 积 分 的 知 识 解 现 实 生 活 中 的 应 用 题 。
理 解 概 率 、随 机 变 量 、离 散 和 连 续 概 率 分 布 的 概 念 ;
以 二 项 、泊 松 和 正 态 分 布 理 解 统 计 推 理 的 基 础 概 念 ;
运 用 统 计 推 理 和 思 考 知 道 何 时 以 及 如 何 应 用 统 计 方 法 作 出 推 断 和 验 证 结 论 ; 及
发 展 对 不 确 定 现 象 的 数 学 思 维 能 力 ,并 应 用 相 关 知 识 和 技 巧 解 应 用 题 。
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基 础 知 识 代 数 微 积 分
期 望 学 生 能 :
认 识 奇 函 数 和 偶 函 数 及 它 们 的 图 像 ;
理 解 数 学 归 纳 法 原 理 ;
以 二 项 式 定 理 展 开 二 项 式 ;
理 解 简 单 三 角 函 数 ,涉 及 复 角 的 重 要 三 角 恒 等 式 和 公 式 ; 及
认 识 e。
理 解 矩 阵 和 最 高 为 三 阶 方 阵 的 逆 矩 阵 的 概 念 、运 算 和 性 质 ;
解 线 性 方 程 组 ;
理 解 向 量 的 概 念 、 运 算 和 性 质 ; 及
应 用 向 量 的 知 识 解 二 维 和 三 维 空 间 的 应 用 题 。
理 解 极 限 作 为 微 积 分 学 的 基 础 ;
理 解 函 数 的 导 数 、 不 定 积 分 和 定 积 分 的 概 念 和 性 质 ;
求 简 单 函 数 的 导 数 、不 定 积 分 和 定 积 分 ;
求 函 数 的 二 阶 导 数 ;
应 用 微 积 分 的 知 识 描 绘 曲 线 ; 及
应 用 微 积 分 的 知 识 解 现 实 生 活 中 的 应 用 题 。2.6.3 单 元 一 及 单 元 二 的 学 习 内 容
修 读 必 修 部 分 及 其 中 一 个 单 元 的 课 时 占 总 课 时 的 15% ( 大 约 375 小 时 ) 。 每 个 学 习 单 位 备 有 相 应 的 时 数 ( 以 小 时 为 单 位 ) , 以 协 助 教 师 编 排 校 本 课 程 。
两 个 单 元 的 建 议 学 习 重 点 分 别 胪 列 如 下 :
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备注:
1. 学 习 单 位 分 成 三 个 领 域 (「 基 础 知 识 」、「 微 积 分 」 和 「 统 计 」) 和 一 个 进 阶 学 习 单 位 。 2. 相 关 的 学 习 重 点 归 于 同 一 学 习 单 位 内 。
3. 表 中 「 注释」 栏 的 内 容 , 可 视 为 学 习 重 点 的 补 充 资 料 。
4. 学 习 单 位 旁 的 教 学 时 数 旨 在 协 助 教 师 判 断 课 题 的 教 学 深 度 。 教 学 时 数 仅 作 参 考 之 用 , 教 师 可 因 应 个 别 情 况 自 行 调 节 。
学 习 单 位 学 习 重 点 时 间 注 释
基 础 知 识
1. 二 项 展 式 1.1 认 识 展 式 (a
b)n, 其 中 n 为 正 整 数 3 学 生 须 认 识 求 和 记 法 ()。
不 包 括 以 下 内 容 :
三 项 式 的 展 开
最 大 系 数 、最 大 项 和 二 项 式 系 数 性 质
求 近 似 值 的 应 用45
2. 指 数 函 数 和 对 数 函 数
2.1 认 识 e 的 定 义 和 指 数 级 数
2 3
1 2! 3!
x x x
e
x
8
2.2 理 解 指 数 函 数 和 对 数 函 数 须 包 括 以 下 函 数 :
y
ex
y
lnx2.3 运 用 指 数 函 数 和 对 数 函 数 解 应 用 题 学 生 须 解 包 括 复 利 息 、人 口 增 长 和 放 射 性 元 素 的 衰 变 有 关 的 应 用 题 。
2.4 将 y
kax 和y k f x
( )
n 化为线性关系式,其中 a、 n 和 k 为实数,
a
0,a
1, ( ) 0f x
和 f x( )
1当 取 得 x 及 y 的 实 验 数 据 时 ,学 生 须 描 绘 对 应 的 直 线 图 像 ,并 从 图 像 的 斜 率 和 截 距 来 确 定 未 知 常 数 的 值 。 教 学 时 数 小 计 11
微 积 分
3. 函 数 的 导 数 3.1 认 识 函 数 极 限 的 直 观 概 念 5 学 生 须 认 识 有 关 函 数 的 和 、 差 、 积 、 商 、纯 量 乘 法 极 限 和 复 合 函 数 极 限 的 定 理 ( 不 须 证 明 )。