大學入學考試中心 指定科目考試 研究用試卷

大學入學考試中心 指定科目考試 研究用試卷

數學考科

(數學乙卷四)試題第一部份

作答時間：70 分鐘 作答方式：

˙選擇題用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡 皮擦拭，切勿使用修正液

˙非選擇題用黑色或藍色原子筆，直接作答於試題所標示 的答案欄內

祝考試順利

本 試 卷 之 著 作 權 屬 於 財團法人大學入學考試中心基金會

本 試 卷 (含 參 考 答 案 )預 定 於 97年 6月 4日

公 布 在 大 考 中 心 網 站 http://www.ceec.edu.tw

壹 、 單 選 題 ( 佔 1 2 分 )

說明：第1-2題，選出一個最適當的選項，劃記在答案卡之「解答欄」。答對得6 分，答錯或劃記多於一個選項者倒扣1.5分，倒扣到本大題之實得分數為 零為止。未作答者，不給分亦不扣分。

1. 假設某大學商管學院學生微積分考試的分數，平均數為 61，標準差為 11 的常態分 布。根據 68-95-99.7 規律，所有商管學院學生當中，此次考試分數超過 50 的大約占 多少百分比？

(1) 16% (2) 34% (3) 68% (4) 84% (5) 95%

2. 班佛法則：銀行存款的首位數為 a (即存款數字的第一位數為 a ，例如存款金額為 483216 的首位數是 4)的比例約有 ₁₀ 1

log (1 )

+a ，根據班佛法則，銀行存款的首位數 為4 ，或5 ，或 6 ，或 7 的人約有多少比例：

(log 2 0.3010 , log 3 0.4771 , log 5 0.6990₁₀ ≈ ₁₀ ≈ ₁₀ ≈ )

(1) 20% (2) 30% (3) 40% (4) 50% (5) 60%

貳、多重選擇題(24 分)

說明：第3-5題，每題有4個選項，其中至少有一個選項是正確的。請選出正確選 項，標示在答案卡之「解答欄」。每題8分，各選項獨立計分，每答對一 個選項，可得2分；每答錯一個選項，倒扣2分，完全答對得8分。整題未 作答者，不給分亦不扣分。若在備答選項以外之區域劃記，一律倒扣2分。

倒扣到本大題之實得分數為零為止。

3. 設實係數多項式 f

(

) =

+

+

+

(

) = 0

選出正確的選項？

(1) a=−2 (2) b=6

(3)

− 2

(

) = 0

( 1 ) = − 1

4. 速算大師很快的算出「讓 n 為 ³¹ 35 位數的正整數 n 恰有一個。」針對這個 n ，選 出正確的選項：(log 12 1.0791₁₀ ≈ ，log 14 1.1461₁₀ ≈ )

(1) 10³³≤n³¹≤10³⁴ (2) 1.09 log n<

(3) logn<1.13 (4) n=13

5. 圖 A、圖 B、圖 C、圖 D 是繪製於同樣刻度大小的直角坐標系統上的四個散佈圖，如 下圖所示：

選出正確的選項：

(1) 四個圖中相關係數最小的是圖B (2) 四個圖中相關係數最接近0 的是圖 D (3) 四個圖中相關係數最接近1 的是圖 C (4) 四個圖中相關係數最接近1 的是圖 A

圖 A 圖 B

X Y

X Y

圖C 圖D

X Y

X Y

參、選填題(40 分)

說明：1.第A-E題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(6–17)。

2.每題完全答對得8分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 若多項式 f

(x )

(x )

(x )

(x )

○ ⁶ ○ ^{7 。}

B. 投擲一公正骰子 4 次，出現的點數依序排成一數列，設此數列為 a a a a₁

, , ,

1

, , ,

a a a a 填入一個二階行列式 ^{1 2}

3 4

a a

a a 中，則讓此滿足此二階行列式 ^{1 2}

3 4

a a

a a ^的

值為奇數之數列有多少組？有

○ ⁸ ○ ⁹ ○ ¹⁰

C. 設矩陣

1 2

a

 

 

=   −  

2 1

 3 2 

 

=    

2 7 5 1

C

=     − −    

○ ¹¹

D. 某一班級在本學期中，每週有四節藝能課，包含兩節體育課，一節音樂課與一節生 活科技課。根據學校排課原則：

(1)兩節體育課不能排在同一天或相鄰的兩天；

(2)每班一天中最多只能有兩節藝能課。

請問：該班級從星期一至星期五的課表，這四節藝能課的排課分布有

○ ¹² ○ ¹³ ○ ¹⁴

不同的方法（只考慮此四節藝能課從星期一至星期五分布情形，不考慮在每天的哪 一節課）。

E. 擲三枚均勻硬幣遊戲規定如下：同時擲三枚均勻硬幣一次，若恰有一枚出現正面可 得10 元，恰有二枚出現正面可得 20 元，恰有三枚出現正面可得 30 元，未出現正面

則需付出 x 元。若希望這是公平的遊戲，則 x 應該訂為

○ ¹⁵ ○ ¹⁶ ○ ¹⁷

(卷四)試題第二部份(佔 24 分)

說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄 標明題號（一、二），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣 分。每題配分標於題末。

一、 設二次多項式 f

(x )

(1) 求 f

(x )

(2) 求二次函數 ( )y= f x 在閉區間

[

]

二、 蛋糕師傅做好一個體積528 立方英吋的蛋糕，欲分割、裝飾後出售；將分為兩種 大小，大塊蛋糕每個體積48 立方英吋，賣 90 元，小塊蛋糕每個體積 32 立方英吋，

賣70 元。大塊蛋糕每塊裝飾好總成本 42 元，小塊蛋糕每塊裝飾好總成本 30 元。

蛋糕要全部用完，分割時只考慮體積不考慮形狀，且顧客來源不用顧慮，請回答 下列問題：(14 分)

(1) 有多少種分售方式？

(2) 當分成大、小蛋糕各多少塊才可得到最大利潤？

(3) 最大利潤為多少元？

問卷

各位同學：

首先非常感謝你們協助進行此次的研究測試。此試題是為了瞭解我國目前 高中生在數學推理及理解方面的能力，以作為未來命題研究的參考。另外，請 你幫我們填寫此份問卷。

大學入學考試中心 第一處敬上

請依題號劃記在答案卡之「解答欄」

18. 你覺得這份試題具有哪些特色（可多選）

(1)測驗基本概念 (2)測驗重要的進階知識 (3)評量閱讀與理解能力 (4)評量分析與思考能力

(5)評量邏輯與推理能力 (6)評量資料的歸納與統整能力 (7)評量概念的連結與運用 (8)試題能鑑別考生程度

19. 你覺得這份試題有哪些待改進的地方(可多選)

(1)記憶性試題的比重過重 (2)欠缺學科的統整性試題 (3)題幹選項過於冗長 (4)試題內容敘述不清 (5)試題不易鑑別考生程度

20. 這份試卷你所用的時間(單選)

(1)相當足夠，有時間再做檢查 (2)足夠，但沒時間檢查

(3)不夠，剩下 題未來得及作答 (4)完全不夠，僅能做完三分之二的試題 21. 你覺得非選擇題作答時間三十分鐘是否足夠(單選)

(1)非常足夠，有時間可檢查 (2)足夠，剛好做完

(3)不夠，只能作答一半

22. 你覺得整卷的試題難度為何(單選)

(1)太難了 (2)難度適中 (3)太過簡單 23. 你覺得整卷的計算量為何(單選)

(1)太過複雜 (2)尚可 (3)計算量並不重