(B)(D) E E E (B) ( ) L (C) ( L ) (D) (E) L ) zyxzyxzyx 3137432 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=−+=+− E E E (A) ( ⎩⎨⎧=+=+ ⎩⎨⎧=+=+ 3232 cybxacybxa )3()2()3()2( cybxacybxa ⎩⎨⎧=+=+ ⎩⎨⎧=+=+ cybxacybxa 3232 cybxacybxa

(1)

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：97.12.17 班級

範圍

2-6、3-1

一次方程組，圓方程式座號

姓名一、選擇題(每題 10 分)

1. 滿足 x + 6y = 2xy，3x + 8y = xy 且 xy ≠ 0 時，實數 x，y 共若干組？

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

【解答】(B)

【詳解】

∵ x + 6y = 2xy，3x + 8y = xy，且 xy ≠ 0 xy ≠ 0 時，同除以 xy ∴

xy y

x

+6 = 2 且

xy

y x

8

3 + = 1

∴約分後 x 6+

1 = 2 且

y

x 8+

y

3 = 1 ⇒ x = 2，y = − 1，∴ 原方程組共 1 組解

2. 若方程組之解為(4，1)，則方程組 之解(x，y)為

(A) (2，−

⎩⎨

⎧

= +

2 2 2

1 1 1

c y b x a

⎩⎨

⎧

= +

2 2 2

1 1 1

3 2

c y b x a

3

1) (B) (2，3) (C) (2，− 3) (D) ( 2，

3

1) (E) (−2，−

3 1)

【解答】(D)

【詳解】

⇒ ，

⎩⎨

⎧

= +

2 2 2

1 1 1

3 2

c y b x a

⎩⎨

⎧

= +

2 2

2

1 1

1

) 3 ( ) 2 (

c y b x a

c y b x

a

2 4

3 1

x y

⎧ =

⎨ =

⎩ ⇒

2 1 3 x y

⎧ =

⎪⎨ =

⎪⎩

3. 若

d c

b

a

= 3，則行列式

d c d c

b a b a

−

− 5 3 2

5 3

2 之值為(A) 9 (B) 19 (C) 29 (D) 39 (E) 49

【解答】(D)

【詳解】

d c d c

b a b a

−

− 5 3 2

5 3 2

× (− 3)

=

c c d

b a a

−

5 13

5

13 = (− 13) ×

d c c

b a a

−

− 5 5

× (− 5)

= (− 13) ×

d c

b a

−

− = 13

d c

b a

= 39

4. (複選)方程組(L) 中，各方程式分別表平面E

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

=

− +

= +

−

3 1 3 7

4 3 2

z y x

1，E2，E3，則下列何者正確？

(A) (L)恰有一組解 (B) (L)無限多解 (C) (L)無解 (D)三平面共線 (E) E₁，E₂，E₃兩兩相交於一線且三線不共點

【解答】(B)(D)

【詳解】

(2)

將方程組的增廣矩陣作列運算：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

=

− +

= +

−

3 1 3 7

4 3 2

z y x

z y

x

1 2 3 4

1 7 3 1 1 1 1 3

⎡ − ⎤

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

1 3

R ↔R

互換

1 1 1 3 1 7 3 1 1 2 3 4

⎡ ⎤

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

1 2

1 3

( 1) ( 1)

R R R R

− +

1 1 1 3

0 6 4 2

0 3 2 1

⎡ ⎤

⎢ − − ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

2 3 ( )1

2 R +R 1 1 1 3

0 6 4 2 0 0 0 0

⎡ ⎤

⎢ − − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∴ 方程組無限多解，又E1，E2，E3係數均不成比例⇒ 三平面交於一線 5. 有一圓通過A(1，1)，且與圓C：x² + y² − 4x − 2y = 0 有相同的圓心(a，b)，則

(A)圓心為(1，2) (B)半徑為 5 (C)圓方程式為(x − 2)² + (y − 1)² = 5 (D) a + b = 3 (E)圓面積為 5

π

【解答】(D)

【詳解】C：(x − 2)² + (y − 1)² = 5 ⇒ 圓心P(a，b) = (2，1)，半徑r =AP= 1

6. (複選)設方程式ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 表示xy平面上的一個圓，則下列敘述何者正確？

(A) a = 1 (B) b = 0 (C) c之值可為 − 2 (D) a = c (E) d² + e² − 4af > 0

【解答】(B)(C)(D)(E)

【詳解】

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 表一圓 ⇒ b = 0，a = c ≠ 0 ax² + ay² + dx + ey + f = 0 ⇒ x² + y² +

a d

x +

a e

y +

a f = 0

[ ² ( ) ] [² ² ( ) ]² ( )² ( )

2 2 2

d d e e f d e

x x y y

a a a a a a a

⇒ + + + + + = − + + ²

2 ⇒ (x +

a d

2 )² + (y + a e

2 )² = ²₂ 4a

d

+ ²₂ 4a

e

− a

f > 0

⇒ (x + a d

2 )² + (y + a e

2 )² = ¹₂ ( ² ² 4

4 d e af

a + − )> 0 ⇒ d ² + e² − 4af > 0

二、填充題( 每題 10 分)

1. 方程組

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−

= +

1 1 1

1 3 1

x y

x

y 的解(x，y) = 。

【解答】(1，

2 1)

【詳解】

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−

= +

1 1 1

1 3 1

x y

x

y ……c

……d

，解c+d ⇒ y 1 = 2，

x

1= 1，則 x = 1，y = 2 1

(3)

2.

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

+ =

− +

+ =

− −

2 7 8 3

5 2 1

4 3

2

y x y x

y x y

x 之解(x，y) = 。

【解答】(1，2)

【詳解】

設令3

x

−

y

1 = s，

y x

+ 2

1 = t，則 2 4 1 ∴ s = 1，t = 5 8 7

s t s t

⎧ − =

⎨ + =

⎩

1 4 ⇒ ⇒ x = 1，y = 2

⎩⎨

⎧

= +

=

− 4 2

1 3

y x

3. 已知xyz ≠ 0 且 8x − 3y − 6z = 0，10x − 5y − 8z = 0，則 3 ₂² 2 ₂² ²₂ 5

4 5 6 2

x y z xy

x y z z

− + +

− − + x之值為。

【解答】 ⁷

−52

【詳解】

，過原點

又 =(

⎩⎨

⎧

=

−

=

−

0 8 5 10

0 6 3 8

z y x

____\ ____\

1 2

n × n

8 5

6 3

−

− ,

10 8

8 6

−

− ,

5 10

3 8

−

− )= (− 6，4，(− 10) )= 6− ( 3，(− 2)，5)

設 x = 3 t，y = − 2 t，z = 5 t 代入

則原式 =3(3 )²₂ 2( 2 )²₂ (5 )² ₂ 5(3 )( 2 ) 4(3 ) 5( 2 ) 6(5 ) 2(5 )(3 )

t t t t t

t

t t t t

− − + + −

− − − + = ^{27 8 25 30}

36 20 150 30

− + −

− − + = ⁷

−52

4. 設 ，若方程組無限多解，則a =

⎩⎨

⎧

= + +

−

= + +

8 ) 5 ( 2

3 5 4 ) 3 (

y a x

a y

x

a

。

【解答】−1

【詳解】

3 2

a+ = 4 5 a =

+ 8

3 5− a

，由 ³

2

a+ = 4

5 a+ ⇒ a² + 8a + 7 = 0 ⇒ (a + 1)(a + 7) = 0

⇒ a = − 1，− 7 代入 ⁴ 5 a =

+ 8

3

5− a，得a = − 7

5. 有一工程，如甲、乙、丙三人合作，10 天可完成；如乙、丙二人合作，15 天可完成；如甲作 15 天後餘下由丙來作，丙再作 30 天才完成，問如丙獨做需天完成。

【解答】60

【詳解】

設一工程甲獨作需 x 天，乙獨作需 y 天，丙獨作需 z 天完成

(4)

∴

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

= +

= + +

30 1 15

1 1) (1 15

1 1) 1 (1 10

z x

z y

z y x

⇒

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

= +

= + +

"

15 1 2 1

15 1 1 1

10 1 1 1 1

z x

z y

x 　 c

d

e 由c − d得

x 1=

30

1 ⇒ x = 30，代入e得 30

1 + z 2=

15

1 ⇒ z = 60

6. 甲，乙二人同解方程組 ，若甲看錯a得解為(2，− 1)，乙看錯b得解為(1，− 1)，求

正確的(a，b) =

⎩⎨

⎧

= +

=

− 7

3 2

y bx

ay x

，又正確的解(x，y) = 。

【解答】(1，4)，(

3 5，

3 1)

【詳解】

甲看錯 a 得解(2，− 1)代入d ⇒ 2b − 1 = 7 ⇒ b = 4 乙看錯 b 得解(1，− 1)代入c ⇒ 2 + a = 3 ⇒ a = 1

∴ (a，b) = (1，4)，原方程組 解得(x，y) = (

⎩⎨

⎧

= +

=

− 7

3 2

y bx

ay

x

……c

……d

⎩⎨

⎧

= +

=

− 7 4

3 2

y x

3 5，

3 1)

7.小明使用高斯消去法，在紙上解三元一次聯立方程式如下：⇒ ⇒ … ⇒

，數字a，b，c不慎汙損，請幫他找回(a，b，c)為

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

0 12

0

5 1 0

18 2

1

c b a

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

− 6 1 0 0

5 0 1 0

2 0 0 1

。

【解答】(−1，25，10)

【詳解】

由題意可知之解為 ……f

f代入c，2 + 10 − 6a = 18，a = −1；f代入d，− 5 + 30 = b，b = 25 f代入e，60 − 6c = 0，c = 10 ⇒ (a，b，c) = (−1，25，10)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

=

−

= + +

0 12

5

18 2

cz y

b z y

az y

x

……c

……d

……e ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

6 5 2

z y x

8. 通過三點(1，− 1)，(0，2)，(2，− 2)三點的圓方程式是，其面積 = 。

【解答】x² + y² − 10x − 4y + 4 = 0，25

π

【詳解】

設圓C為x² + y² + dx + ey + f = 0

(5)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

) 2 2 (

) 2 0 (

) 1 1 (

，

三點代入圓C ⇒ 得

則C：x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

− + +

= + + + +

= +

− + +

0 2

2 4 4

0 2

0 4 0

0 1

1

f e d

f e

f e d

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

=

−

=

4 4

10

f e d

2 + y² − 10x − 4y + 4 = 0 ⇒ (x − 5)² + (y − 2)² = 25，故圓面積 =

π r

² = 25

π

9. 圓心在(− 1，4)，且通過(2，0)之圓的方程式為。

【解答】(

x

+1)²+(

y

−4)² =25

【詳解】設圓心 A(− 1，4)，點 P(2，0)，則半徑 r =AP= 5⇒(

x

+1)²+(

y

−4)² =25

10. A(1，2)，B(− 3，0)，求以AB為直徑的圓K方程式，得。(一般式)

【解答】 x² + y² + 2x − 2y − 3 = 0

【詳解】

直徑式：(x − 1)(x + 3) + (y − 2)(y − 0) = 0，得x² + y² + 2x − 2y − 3 = 0

11. 直線y = mx + 2 通過圓x² + y² + 2x − 6y − 1 = 0 之圓心，則m = 。

【解答】− 1

【詳解】

x

² + y² + 2x − 6y − 1 = 0 ⇒ (x + 1)² + (y − 3)² = 11，∴y = mx + 2 過(− 1，3) ⇒ m = − 1 12. 圓 3x² + 3y² + 9x − 6y + 1 = 0 的圓心坐標為。

【解答】圓心( − 2 3，1)

【詳解】

x

² + y² + 3x − 2y + 3

1= 0 ⇒ (x + 2

3)² + (y − 1)² =

12 35 3 1 1 4

9+ − = ，圓心( − 2 3，1) 13.一圓C過點(2，1)且與兩坐標軸均相切，則圓C的方程式為。（有二解）

【解答】(x − 1)² + (y − 1)² = 1 或 (x − 5)² + (y − 5)² = 25

【詳解】

圓C過第一象限的點(2，1)且與x軸，y軸均相切⇒圓心必在第一象限內且與x軸，y軸等距 設圓心(t，t)，t > 0，半徑t，則圓的方程式為(x − t)² + (y − t)² = t²

過點(2，1) ⇒ (2 − t)² + (1 − t)² = t² ⇒ t² − 6t + 5 = 0 ⇒ t = 1 或t = 5 故圓的方程式為(x − 1)² + (y − 1)² = 1 或 (x − 5)² + (y − 5)² = 25

16.設方程式x² + y² − 2mx + 2(m − 2)y + 4m² − 2 = 0 之圖形為一圓，則 m 範圍。

【解答】− < <3

m

1

【詳解】圖形為一圓，則

d

²+ −

e

² 4

f

> ⇒0 ( 2 )−

m

²+[2(

m

−2)]²−4(4

m

²−2)> 0 ⇒ 4m² + 4(m − 2)² −16 +8 >0

⇒ −8m

m2 2 −16m + 24 >0

2 2 3 0

( 3) ( 1)

3 1

m m

m

⇒ + − <

⇒ + − < 0

< <

⇒ −