22 ( C ) (A)9 (B)18 (C)27 (D)36 (E)45 3456 +++2 + 5 + 8 + 11 26 7 [] a a + 3 3 1 2 3 1 2 3 4 +++ (A)2 (B)5 (C)8 (D)11 (E)26  4

(1)

高雄市明誠中學高三數學平時測驗日期：98.02.19 班級三年班

範圍

選修(Ⅰ)

2-1.2.3 矩陣(A) 座號

姓名一、選擇題 (每題 10 分)

1、( BC ) (複選)對矩陣的乘法，下列性質何者恒成立？（各小題的乘法都是可乘的）

(A)AB BA (B)A(B+C) AB+AC (C)(AB)C A(BC) (D)若X 0，則X 0 (E)



2  (AB)² A²2ABB²

解析：(D)設 X 0 0≠0，但 X²  3 0

 

 

0 0 3 0

 

 

  0 0 3 0

 

 

   0 0 0 0

 

 

  (E)(A+B)² A +AB+BA+B ，但 AB≠BA ² ²

2、( B ) 關於矩陣的乘法運算請選出正確的選項：

(A)若 AB = AC 且 A 為方陣，A0，則 B = C

(B)I(B+C) = (B+C)I，其中 I 為單位矩陣 (C)(AB A B)(  ) A²B²

1 1 1

( ) A B AB (D)A²2ABB² (AB)² (E) ^ ^  ^

解析：(A)反例： 4 2 1 0 10 2 4 2 4 1 ，但

10 5 3 1 25 5 10 5 3 1

      

        

           

        



 

 



1 0 4 1

3 1 3 1

 

  

   

  

(C) (矩陣乘法不具交換性)

(D) (同上)

(E)

2 2

( B A B)(  )A ABBA B

2 2 2

(  )  A ABBAB

1 1 1

 B A 

A A B (AB)

 a b c d

 

 

 ，A

3、( A ) 設二階方陣 X 滿足 2A+ 3B+X 3AB+ 2X，設 X  1 2 3 4

 

 

 ，B ，則

+ + + (A)94 (B)85 (C)70 (D)60 (E)28

 

  4

5 6 7 8

 

  a b c d 

解析：X A+ 4B 1 2 3 4

 

  

 

5 6 7 8

 

 

   19 22 25 28

 

 

 ，a+ + +b c d  94 4、( D ) 設 A，B 為二階方陣，若 3A+B 1 2

3 4

 

 

 ，AB  3 6 13 4

 

  

 ，且 A ，

則 + + + (A)1 (B)3 (C)5 (D)7 (E)9



  a c d

a b c d

 

 

  a b c d 

解析：二式相加 4A 4 8 ，A ∴ +b+ + 16 0

 

 

 

1 2 4 0

 

 

   7

5、( C ) 若方陣 A 1 2 3 6

  

 

 ，則 A²7A+ 12I₂ (A) 1 2 (B)

3 4

 

 

 

1 0 1 4

 

 

  (C) 0 0 (D) 0 0



 

 0 2 1 1

 

 

  (E) 1 0 0 1

 

  

 

 1 2 7

3 6

  

 

 

1 2 3 6

  

 

  ^

1 2 3 6

  

 

 

1 0 0 0 12 0 1 0 0

   

    

    解析： A²7A+ 12I₂

6、( E ) 在矩陣[a_ij]_{3 4}_ 中，設a  i_ij + 3 j3，i  1，2，3， j  1，2，3，4，求a₂₁+a₂₂+a₂₃+a₂₄  (A)2 (B)5 (C)8 (D)11 (E)26

解析：a₂₁+a₂₂+a₂₃+a₂₄ 2 + 5 + 8 + 11 26

7、( C ) 若，則

2 2

a b c d c d a b

 

 

  

  3 4

5 6

 

 

  a²b² c² d²  (A)9 (B)18 (C)27 (D)36 (E)45

(2)

a  b 

解析： 3 4， 1，

2 6 a b a b

  

  



4 2 5 c d c d

  

  

 c  3，  1 d

2 2

a b c²d² 16 + 1 + 9 + 1 27 

8、( C ) 某國政府長期追蹤全國國民的經濟狀況，依訂定的標準將國民分為高收入和低收入兩類。統計發現高收入的人口一直是低收入人口的兩倍，且知在高收入的人口中，每年有四成會轉變為低收入。請問在低收入的人口中，每年有幾成會轉變為高收入？

(A)6 成 (B)7 成 (C)8 成 (D)9 成

解析：設低收入的人口中每年有 P 成會轉變為高收入，

k 年 高收入低收入

高收入 0.6 P

低收入 0.4 1 P

1 k 年

轉移矩陣，因為每年高收入人口數維持在低收入人口數的 2 倍，

故

0.6 0.4 1

P P

 

 

 

2

0.6 3

0.4 1 1 3 P

P

  

 

   

   

  

 2 3 1 3

  

  

  

6 2 1 2 8

10 3 3P 3 P 10

      ，故每年有八成會轉變為高收入。

9、( 全 ) (複選)下列何者恆成立？ (A) (A^t)^t  A (B) (A+B)^t  A^t+B^t (C) (AB)^t A^tB^t (D) (A+B) A+ r B (E) ( s)A

 r  r r  r (sA)

10、( ^BC_D ) (複選)若 1 2 3 4 5 6

 

 

 

1 2

1 1

 

  

 

 

 

 a b c d

 

 

  d

，則下列何者成立？

(A)a 2 (B)b 3 (C)c+  4 (D) +a b  1 (E)abcd＜0

解析： 1 2 3 ∴

4 5 6

 

 

 

1 2

1 1

 

  

 

 

 

 2 3 a 5 9

 

 

   2，b  3，c  5，  9 d

二、填充題 (每題 10 分) 1、設 2 3 +2

4 5 6

xy 

 

  

 

1 5 4 6 z y

 

  

   1

6 6

y z x z x y

  

 

    

 ，求x  _____，y  _____，z  _____。

答案：1；2；3

解析：x + 2y z  y + z ，22 y  x z ，5 + 8 x+y，解之得x  1，y 2，z  3 2、設 2

3 4 x y a b a b x y

 

 

  

   0 1

3 2

 

 ，則^axby  ______。

答案：3

解析：x2y 0，3x4y  2 x  2， y  1

ab 1，a+b 3a 2，b  1，故axby  41  3

(3)

  ^_

3、若A ，B ，求 AB

1 2 0 1 1 0 4 1 0

 

 

 

 

0 0 0 0 0 0 1 4 9

 



 

 

 ______。

答案：

0 0 0 0 0 0 0 0 0

 

 

 

 1 0 0 1

 

 

 ，且 0＜θ＜π，求θ 4、若方陣A cos sin ，求 A

sin cos

 

 

θ θ

 2

  ______，若 A⁴  ______。

答案： cos 2 sin 2 ； sin 2 cos 2

  

 

 

θ θ

θ θ 2

π

解析：旋轉矩陣 A cos sin  Aⁿ sin cos

  

 

 

θ θ

θ θ  cos sin

sin cos

n n

  

 

 

θ θ

(1)A

(2)A ，則 cos4θ

2  co

sin co sin

s 2 2 s 4 4

sin 2 cos 2

  

 

 

θ θ

sin 4 cos 4

 

 

θ θ

θ θ 

4  

 1 0 0 1

 

   1，sin4θ  04θ 2π θ 2 π



cos sin

3 3

sin cos

3 3

  

 

 

π π

cos sin

4 4

sin cos

4 4

 

 

 

 

 

π π

π π，若 Aⁿ

5、設 A  I ，求最小自然數₂ n ______。

答案：24

解析：旋轉矩陣

A

cos sin

3 3

sin cos

3 3

  

 

 

π π

cos( ) sin( )

4 4

sin( ) cos( )

4 4

 

    

 

 

   

 

 



cos( ) sin( )

4 3 4 3

sin( ) cos( )

4 3 4 3

   

      

 

 

   

     

 

 

cos sin

12 12

sin cos 12 12

  

 

 

π π

Aⁿ 

cos( ) sin( )

1 0

12 12

0 1 sin( ) cos( )

12 12

n n

 

  

  

     

 

 

 ，cos

12nπ 1，sin 0 2

12n 12n k n  n

  

， 24k，最小 24

6、設 A 1 2 ，B ，若 X+Y 2 1

 

  

 

5 6 8 5

 

   A，XY  B，求 X  ______，Y ______。  答案： 3 4 ；

5 2

 

 

 

2 2 3 3

 

 

  

 

解析：解聯立 X Y A X Y B

  

   

 X  3 4

5 2

 

 

 ，Y 1

2(AB)  2 2 3 3

 

 

  

 

 1 2(A+B) 7、設 A 1 0 3 ，B

2 1 0

 

  

   1 0 0

0 0 1

 

 

 ，C 3 4 1 5 2 1

  

 

 ，若 3X2A + 3B  2X + 5C，求 X  ______。

答案： 14 20 29 29 8 2

  

 

 

(4)



解析：移項，X 2A3B + 5C  14 20 29 29 8 2

  

 

 

8、設 A 1 2 ，B ，若 AB 1 3

 

 

 

2 0 3 1 1 2

 

 

   a b c

x y z

 

 

 ，則 + y +a c  ______。

答案：10

解析：AB =  ，∴ +

 ^a

1 2 1 3

 

 

 

2 0 3 1 1 2

 

 

 

0 2 7 5 3 3



  y +c 0 + 3 + 7  10

9、設方陣 A ，

(1)若 A ，則



5 5 5

3 3 3

1 1 1

 

   

 

 

kA k

2   ？

(2)若 A+A +…+A A，則 ？ (3)若(I+A) I + ，則？

2 8 n

8  mA

n  m 



5 5 5

3 3 3

1 1 1

 

   

 

 

5 5 5

3 3 3

1 1 1

 

   

 

 



15 15 15

9 9 9

3 3 3

 

   

 

 

答案：(1)A²  3A，∴k  3

(2)因 A² 3A，∴A³ 3A² 9A 3 A，A² ⁴  3 A² ²  3³A，A⁵  3 A，A 3⁵A，……

∴ A+A +…+A (1 + 3 + 3²+…+ 3 )A

4 6

2 8 ⁷  3⁸

1 3 [1 (1  )

]A

 3280A (3)(I+A)² I + 2A+A² I + 2A+ 3A I + 5A

(I + A)⁴ (I + 5A)² I + 10A+ 25A²  I + 85A

(I + A)⁸ (I + 85A)² I + 170A+ 7225A²  I + 21845A ∴m21845 10、設 A 1 2 3 ，B

4 5 6

 

 

   5 8 4

7 3 0



 

 ，求(1)(A+B)^t  ？ (2)A^t+B^t  ？

答案：(1)(A+B)^t  ，(2)A^t+B^t

t

 ^_ 6 10 7

11 8 6

 

 

 

6 11 10 8

7 6

 



 

 

 1 4 2 5 3 6

 

 

 

+ 5 7 8 3 4 0

 

 

 



6 11 10 8

7 6

 

 

 

11、設 A ，( 1 ) 若 A

 ⁿ 

0 1 1 0

 

  I ，則最小自然數² n  ？ ( 2 ) 求¹⁰⁰

1 n n

A



 ^{ ？}

答案：( 1 ) 4 ( 2 ) 0

解析：( 1 )

3 3

cos sin

2 2

3 3

sin cos

2 2

A

 

 

 

  

 

 

 

3 3

cos sin

1 0

2 2

3 3 0

sin cos

2 2

n

n n

A n n

 

 

1

 

    

 

 

 

 

 

cos3 1 2 sin3 0

2 n

n

 

 

 





 ^{，n 至少要 4}

( 2 ) 因AA²A³A⁴ 0，故¹⁰⁰ ² ³ ⁴ ⁹⁷ ⁹⁸ ⁹⁹ ¹⁰⁰) 0

1

( ) (

n n

A A A A A A A A A



        



(5)

12、使用圓球和球袋作機率實驗。球只有黑白兩色，袋中裝有兩顆球，因此只有三種可能情況：

雙白球稱為狀態 1，一白球一黑球稱為狀態 2，雙黑球稱為狀態 3。對這袋球做如下操作：

自袋中隨機移走一球後，再隨機移入一顆白球或黑球（移入白球或黑球的機率相等）。每次操作可能會改變袋中球的狀態。

( 1 ) ( ) 如果現在袋子內的球是一白一黑（即狀態 2），請問經過一次操作後，袋中會變成兩顆黑球（狀態 3）的機率是多少？(1) 1

4 (2) 1

3 (3) 1

2 (4) 2 3

( 2 ) ( ) 把從狀態 j 經過一次操作後會變成狀態的機率記為i p （例如上題的機率就是_ij p ），₃₂

由此構成一矩陣。針對矩陣，下列選項有哪些是正確的？

(1) 矩陣滿足

3 3 P

ji

P

P p_ij  p (2) 是轉移矩陣（即每行之和皆為 1）

(3) 的行列式值為正 (4) P

P p11 p₃₃

( 3 ) ( ) 把矩陣P連續自乘次後的矩陣記為k P^k。已知矩陣P^k中( , )i j 位置的值，等於從狀態 j 經過次操作後，變成狀態的機率。針對多次操作，下列選項有哪些是正確的？ k i (1) 從一白一黑（狀態 2）開始，經過次操作後，變成雙白（狀態 1）的機率與變成

雙黑（狀態 3）的機率相等。

k

(2) 從雙白（狀態 1）開始，經過次操作後，回到雙白（狀態 1）的機率，比變成雙黑（狀態 3）的機率大。

k

(3) 從雙白（狀態 1）開始，經過次操作後，回到雙白（狀態 1）的機率，會隨著次數的增加而遞減。

k k

(4) 不論從哪種狀態開始，經過次操作後，變成任何一種狀態的機率，會隨著趨近於無窮大而趨近於

k k

1 3。答案：( 1 ) (1) ( 2 ) (2)(4) ( 3 ) (1)(2)(3)

解析：( 1 ) 將第次狀態到第k k1次狀態的機率列表如下：

k 次 狀態1（2W）狀態 2（1W1B）狀態 3（2B）

狀態1（2W） ¹

2

1

4 0

狀態（1W1B） 2 ¹

2

1 2

狀態 3（2B） 0 ¹

4

1 2 k1次

由上表知：一白球一黑球經過一次操作後變成兩顆黑球的機率為1

4。

( 2 ) 承上題，轉移矩陣P為

1 1 2 4 0 1 1 1 2 2 2 1 1 0 4 2 P

 

 

  

 

 

(6)

(1)因為 ₃₂ 1 ₂₃ 1

4 2

p   p  ，所以矩陣不滿足P p_ij  p_ji。 (2)因為矩陣P各行和為 1 且0 p_ij  ，所以是轉移矩陣。 1

(3)

P 1 1

2 4 0

1 1 1 1

0 0 0 0

2 2 2 8 16

1 1 0 4 2

1 1

     16

(4)因為 ₁₁ 1

p  ，而2 ₃₃ 1

p  ，所以2 p₁₁ p₃₃ ( 3 ) (1)設原始狀態矩陣為 ₀ ，則

0 1 0 A

  

  

  

1 1 1

2 4 4

1 1 1

1 0 2 2 2

1 4

A PA

    

    

    

 

1 2

1 1

4 2

0 0 1

0 0

  









1 1 1 1

2 4 4 4

1 1 1 1 1

2 1 2 2 2 2 2

1 1 1 1

4 2 4 4

0

0 A PA

     

     

      

     

     

1 1 1 1

2 4 4 4

1 1 1 1 1

3 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

4 2 4 4

0

0 A PA

     

     

      

     

      

1 1 1 1

4 1 2 1 4

 

   

2 4 4

1 1 1 1

( 1) 2 2 2 2

1 1 1

4 2 4

0

k k

A PA _

   

    

      

   

   

由一白一黑開始，經過k次操作得雙白與雙黑的機率相等。

(2)設原始狀態矩陣為 ₀ ，則 1

0 0 B

  

  

  

1 1 1

2 4 2

1 1 1

1 0 2 2 2

B PB ¹₂

1 1

4 2

0 1 0

0 0

    

   

   

0

   

     

   

3

1 1 1

2 4 2 8

1 1 1 1 1

2 1 2 2 2 2 2

1 1 1

4 2 8

0

0 0

B PB

 

   

 

   

      

 

   

     

3 5

1 1

2 4 8 16

1 1 1 1 1

3 2 2 2 2 2 2

3

1 1 1

4 2 8 16

0

0 B PB

   

 

   

 

     

   

 

     

(7)

5 9

1 1

2 4 16 32

1 1 1 1 1

4 2 2 2 2 2 2

3 7

1 1

4 2 16 32

0

0 B PB

   

 

   

 

     

   

 

      

從雙白狀態開始經過k次操作後回到雙白狀態比回到雙黑狀態的機率大。

(3)由(2)知：1 3 5 9 2 8 16 32  

k

，故從雙白狀態經過次操作回到雙白狀態的機率會隨著次數k的增加而遞減。

k

(4)當  時，馬可夫矩陣滿足

1 1

2 4

1 1 1

2 2 2

1 1

4 2

0

a a

b b

c c

     

     

     

        

 

因此，可得一次方程組

1 1

2 4

1 1 1

2 2 2

1 1

4 2

1 a b

a b c

b c a b c

a b c

 

   

  

   



解之，得 1 1

, ,

4 2

a b c 1

   。故操作4 k次，當k 時，不管哪一種狀態，

變成雙白的機率恆為

  1

4，雙黑的機率恆為1

4，而一白一黑的機率恆為1 2。