高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：97.12.10 班級
範
圍 2-6 一次方程組
座號
姓 名 一、選擇題(每題 10 分)
1. 滿足 x + 6y = 2xy，3x + 8y = xy 的實數 x，y 共若干組？(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
【解答】(C)
【詳解】
∵ x + 6y = 2xy，3x + 8y = xy (1) xy = 0 時 ∴ x = 0，y = 0 (2) xy ≠ 0 時 ∴
xy y
x+6 = 2 且 xy
y x 8
3 + = 1 ∴ x 6+
1 = 2 且y x 8+
3 = 1 y
⇒ x = 2，y = − 1 ∴ 原方程組共兩組解
2. 若方程組 之解為(4，− 1)，則方程組 之解(x，y)為
(A) (2，−
⎩⎨
⎧
= +
= +
2 2 2
1 1 1
c y b x a
c y b x a
⎩⎨
⎧
= +
= +
2 2 2
1 1 1
3 2
3 2
c y b x a
c y b x a
3
1) (B) (2，3) (C) (2，− 3) (D) ( 2 1，
3
1) (E) (−
2 1，−
3 1)
【解答】(A)
【詳解】
⇒ ， ⇒
⎩⎨
⎧
= +
= +
2 2 2
1 1 1
3 2
3 2
c y b x a
c y b x a
⎩⎨
⎧
= +
= +
2 2
2
1 1
1
) 3 ( ) 2 (
) 3 ( ) 2 (
c y b x a
c y b x a
⎩⎨
⎧
−
=
= 1 3
4 2
y x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= −
=
3 1 2 y x
3. 若 d c
b
a = 2，則行列式
d c d c
b a b a
−
−
−
− 5 3 2
5 3
2 之值為(A) 0 (B) 2 (C) 12 (D) 20 (E) 26
【解答】(E)
【詳解】
d c d c
b a b a
−
−
−
− 5 3 2
5 3 2
× (− 3)
= c c d
b a a
−
−
−
−
5 13
5
13 = (− 13) ×
d c c
b a a
−
− 5 5
× (− 5)
= (− 13) ×
d c
b a
−
− = 13 d c
b a = 26
4.(複選)下列何者為無限多解？
(A) (B) (C) (D)
(E)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= + +
=
− +
= +
−
3 5 3 7
4 3 2
z y x
z y x
z y x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
− +
−
= +
−
= +
−
4 3
2
8 6 4 2
4 3 2
z y x
z y x
z y x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= + +
= +
−
= +
−
3 8 6 4 2
4 3 2
z y x
z y x
z y x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= + +
= +
−
= +
−
3 7 6 4 2
4 3 2
z y x
z y x
z y x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= + +
=
− +
= +
−
3 1 3 7
4 3 2
z y x
z y x
z y x
【解答】(B)(C)(E)
【詳解】
(A)無解，表三平面兩兩交於一直線，但三交線不共點 (B)無限多解，表三平面重合
(D)無解，表二平面平行且與另一平面分別交於一直線 (E)無限多解，表三平面交於一直線
5. (複選)方程組(L) 中，各方程式分別表平面E
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= + +
−
= + +
−
= +
−
2 8
3
1 3 4 2
0 2 4
z y x
z y x
z y x
1，E2，E3，則下列何者正確？
(A) (L)恰有一組解 (B) (L)無限多解 (C) (L)無解 (D)三平面共線 (E) E1，E2，E3兩兩相交於一線且三線不共點
【解答】(C)(E)
2 1 3
1 3 2
0 2 4 1
【詳解】
將方程組 的增廣矩陣作列運算：
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= + +
−
= + +
−
= +
−
2 8
3
1 3 4 2
0 2 4
z y x
z y x
z y x
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
8 4
3 1
2 1
3 2
R R
R R
+ +
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
2 7 4 0
1 7 4 0
0 2 4 1
2 3
) 1 (− R +R
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
1 0 0 0
1 7 4 0
0 2 4 1
∴ 方程組無解，又E1，E2，E3係數均不成比例
⇒ 三平面兩兩相交於一線且三線不共點
二、填充題( 每題 10 分) 1. 若
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
=
−
4 1 4 4
by ax
y
x 與
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−
−
= +
26 4
3 2 1 6
by ax
y
x 均有解且為同義方程組，求數對(a，b) = 。
【解答】(3，4)
【詳解】
解
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
= +
=
−
2 1 6
1 4 4
y x
y
x 得
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= −
=
2 1 2 y x
代入 ⇒
⎩⎨
⎧
=
−
= +
26 4
3
4 by ax
by ax
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
=
−
26 2 6
2 4 2 1
b a
b
a 得
⎩⎨
⎧
=
= 4 3 b a
2. 方程組
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
− = + =
1 3
xy y x
xy y x
的解(x，y) = 。
【解答】(1，
2 1)
【詳解】
原式 ⇒
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
−
= +
1 1 1
1 3 1
x y
x
y ……c
……d
，解cd ⇒ y 1 = 2，
x
1= 1，則 x = 1，y = 2 1
3. 方程組
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+ = + = + =
3 1 3 1 2 1
x z
zx z y
yz y x
xy
的解為 。
【解答】(1，1，
2 1)
【詳解】
原式化為
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+ = + = + =
3 3 2
zx x z
yz z y
xy y x
⇒
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
= +
= +
= +
1 3 1
1 3 1
1 2 1
x z
z y
y
x ……c
……d
……e c+ d + e得 2(
x 1+
1 +y z
1 ) = 8 ⇒ x 1+
1 +y z
1= 4……f 由f − c得
z
1 = 2 ⇒ z = 2
1；f − d得 x
1= 1 ⇒ x = 1；f − e得
1 = 1 ⇒ y = 1 y
4.
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
+ =
− +
+ =
− −
2 7 8 3
5 2 1
4 3
2
y x y x
y x y
x 之解(x，y) = 。
【解答】(1，2)
【詳解】
設令3x−y 1 = s，
y x+ 2
1 = t，則 2 4 1 ∴ s = 1，t = 5 8 7
s t s t
⎧ − =
⎨ + =
⎩
1 4⇒
⎩⎨
⎧
= +
=
− 4 2
1 3
y x
y
x ⇒ x = 1，y = 2
5. 已知xyz ≠ 0 且 8x − 3y − 6z = 0，10x − 5y − 8z = 0，則
zx z
y x
xy z
y x
2 6 5 4
5 2
3
2 2 2
2 2 2
+
−
−
− +
− 之值為 。
【解答】−
52 37
【詳解】
⇒x：y：z =
⎩⎨
⎧
=
−
−
=
−
−
0 8 5 10
0 6 3 8
z y x
z y x
8 5
6 3
−
−
−
− ：
10 8
8 6
−
− ：
5 10
3 8
−
− = (− 6)：4：(− 10) = 3：(− 2)：
5
設 x = 3k，y = − 2k，z = 5k 代入 則原式 =
) 3 )(
5 ( 2 ) 5 ( 6 ) 2 ( 5 ) 3 ( 4
) 2 )(
3 ( 5 ) 5 ( ) 2 ( 2 ) 3 ( 3
2 2
2
2 2
2
k k k
k k
k k k
k k
+
−
−
−
−
− +
−
− =
30 150 20 36
30 25 8 27
+
−
−
+ +
− = −
52 37
6. 設 ，若方程組無解，則a =
⎩⎨
⎧
= + +
−
= + +
8 ) 5 ( 2
3 5 4 ) 3 (
y a x
a y
x
a 。
【解答】− 7
2 +3
a c
+a 5
4 d 8
3 5− a
，由c ⇒ a2 + 8a + 7 = 0 ⇒ (a + 1)(a + 7) = 0
⇒ a = − 1，− 7 代入d，得a = − 7
7. 有無限多組解，則數對(a，b) =
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= + +
= + +
−
= + +
b z ay x
z y x
z y x
1 3 2
3 2 3
。
【解答】( − 2，4)
【詳解】
⇒ k(x + 3y + 2z + 3) + A (2x + y + 3z − 1) = x + ay + z − b
⇒ 解之得 k = − 1， = 1，代入得 a = − 2，b = 4
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
= +
−
= +
= +
= +
b k
k
a k
k
A A A A
3
1 3 2 3
1 2
A
8. 已知x，y，z ∈ R，求聯立方程組 的解為
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
− + +
=
− +
=
− +
0 3 2
0 0 2
x xy xyz
z y x
z y x
。
【解答】(3，0，3)
【詳解】
由c，d ⇒ x：y：z =
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
− + +
=
− +
=
− +
0 3 2
0 0 2
x xy xyz
z y x
z y
x ……c
……d
……e
1 1
1 2
−
− ：
1 1
1 1
−
− ：
1 1
2
1 = 1：0：1
令 x = t，y = 0，z = t 代入e ⇒ t − 3 = 0 得 t = 3，故數對(x，y，z) = (3，0，3)
9. 有一工程，如甲、乙、丙三人合作，10 天可完成；如乙、丙二人合作，15 天可完成；如甲作 15 天後餘下由丙來作，丙再作 30 天才完成，問如乙獨做需 天完成。
【解答】20
【詳解】
設一工程甲獨作需 x 天，乙獨作需 y 天，丙獨作需 z 天完成
∴
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
= +
= +
= + +
30 1 15
1 1) (1 15
1 1) 1 (1 10
z x
z y
z y x
⇒
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
= +
= +
= + +
"
"
"
"
"
"
15 1 2 1
15 1 1 1
10 1 1 1 1
z x
z y
z y
x c
d
e 由c − d得
x 1=
30
1 ⇒ x = 30，代入e得 30
1 + z 2=
15
1 ⇒ z = 60 代入d得1 +y
60 1 =
15
1 ⇒ y = 20，故乙獨作需 20 天完成
10.甲，乙二人同解方程組 ，若甲看錯a得解為(2，− 1)，乙看錯b得解為(1，− 1)，求 正確的(a，b) =
⎩⎨
⎧
= +
=
− 7
3 2
y bx
ay x
，又正確的解(x，y) = 。
【解答】(1，4)，(
3 5，
3 1)
【詳解】
甲看錯 a 得解(2，− 1)代入d ⇒ 2b − 1 = 7 ⇒ b = 4 乙看錯 b 得解(1，− 1)代入c ⇒ 2 + a = 3 ⇒ a = 1
∴ (a，b) = (1，4)，原方程組 解得(x，y) = (
⎩⎨
⎧
= +
=
− 7
3 2
y bx
ay
x ……c
……d
⎩⎨
⎧
= +
=
− 7 4
3 2
y x
y x
3 5，
3 1)
11.有一個三位正整數，其百位數字與個位數字之和等於十位數字，如果將百位數字與十位數字 交換，所得的三位數比原數大 450，如果將原數的十位數字與個位數字交換，所得的三位數比 原數小 27，則此三位數為 。
【解答】385
【詳解】
令此三位數為 a b c ，依題意列方程組如下：
⇒ ⇒ a = 3，b = 8，c = 5
⎪⎩
⎪⎨
⎧
− + +
= + +
+ + +
= + +
= +
27 10
100 10
100
450 10
100 10
100
c b a b
c a
c b a c
a b
b c a
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−
−
= +
−
= +
−
0 3
0 5
0 c
b b a
c b a
12.若兩方程組 與 有相同的解，則數對(a，b，c) =
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
−
= +
−
= + +
4 3
2
3 2 2
6 y x
z y x
z y x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= + +
= + +
= + +
1 6 5 bz ay cx
az cy bx
cz by ax
。
【解答】(1，− 1，2)
【詳解】
由 ，c × 2 − d得 x + 4y = 9……f
e − f × 2 得 − 11y = − 22 ⇒ y = 2，代入f得 x = 1，代入c得 z = 3
將 x = 1，y = 2，z = 3 代入第二個方程組得 ⇒ 6(a + b + c) = 12
⇒ a + b + c = 2 ∴ 解得 a = 1，b = − 1，c = 2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
−
= +
−
= + +
4 3
2
3 2 2
6 y x
z y x
z y
x ……c
……d
……e
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= + +
= + +
= + +
1 3 2
6 3 2
5 3 2
b a c
a c b
c b a
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
= +
= +
= +
1 2
4 2
3 2
b a
a c
c b
13.若 之解中，y值為x值的 3 倍，則m =
⎩⎨
⎧
=
−
− + +
= + +
− +
0 20 ) 1 2 ( ) 15 (
0 12 ) 4 ( ) 11 5 (
y m x m
y m x
m ，解(x，y) =
。
【解答】m = − 1，(x，y) = (4，12)
【詳解】
令 x = t，y = 3t 代入原式得 (5 11) 3( 4) 12 ⇒ ( 15) 3(2 1) 20
m t m t
m t m t
+ − + = −
⎧⎨ + + − =
⎩
(2 1) 12 (7 12) 20
m t
m t
− = −
⎧⎨ + =
⎩
∴ t =
1 2
12
−
−
m =
12 7
20 +
m ，得 m = − 1 ∴ x = 3 12
−
− = 4，y = 3 × 4 = 12
14.設當x = x0時，
1 1
) 1 3 9 ( log ) 1 3 9 (
log3 3
−
+
−
−
+ x x
有最大值M，則(x0，M) = 。
【解答】(1，5)
【詳解】
1 1
) 1 3 9 ( log ) 1 3 9 (
log3 3
−
+
−
−
+ x x = log3(9 3+ 1 − x) + log3 (9 3− 1 + x)
= log3[(9 3+ 1 − x)(9 3 − 1 + x)]
=log3[243 − (1 − x)2]
∵ 243 − (1 − x)2 = − (x − 1)2 + 243 ≤ 243，當x = 1 時，最大值 243
∴ 當x0 = 1 時，原式有最大值M = log3243 = log335 = 5
15.小明使用高斯-喬登消去法，在紙上解三元一次聯立方程式如下：⇒ ⇒ …
⇒ ，數字a，b，c不慎汙損，請幫他找回(a，b，c)為
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
0 12
0
5 1 0
18 2
1
c b a
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
− 6 1 0 0
5 0 1 0
2 0 0 1
。
【解答】(−1，25，10)
【詳解】
由題意可知 之解為 ……f
f代入c，2 + 10 − 6a = 18，a = −1；f代入d，− 5 + 30 = b，b = 25 f代入e，60 − 6c = 0，c = 10 ⇒ (a，b，c) = (−1，25，10)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
=
−
−
= + +
0 12
5
18 2
cz y
b z y
az y
x ……c
……d
……e ⎪
⎩
⎪⎨
⎧
−
=
=
=
6 5 2 z y x
16.若 k ∈ R且方程組 ，
(1)若方程組除了(0，0)外，還有其他解，則k =
⎩⎨
⎧
= +
= +
ky y x
kx y x
4 3
5 2
。 (2)若方程組有x > 0，y > 0 之解，則k = 。
【解答】(1) − 1，7 (2) 7
【詳解】方程組
(1)若方程組除了(0，0)外，尚有其他解即無限多解 ⇒
⎩⎨
⎧
=
− +
= +
−
0 ) 4 ( 3
0 5 ) 2 (
y k x
y x k
4 0 3
5
2 =
−
−
k k
⇒ k2 − 6k − 7 = 0 ⇒ k = −1，7
(2)ck = − 1 時，原方程組 ，其解即 3x + 5y = 0 之解⇒ x，y為一正一負（不合）
⎩⎨
⎧
= +
= +
0 5 3
0 5 3
y x
y x
dk = 7 時，原方程組 ，解即x − y = 0 之解⇒ x = y，方程組有x > 0，y > 0 之 解
⎩⎨
⎧
=
−
= +
−
0 3 3
0 5 5
y x
y x
17.平面上以uK= (a，b)和vK= (c，d)為相鄰兩邊的平行四邊形面積為 10，則以 3uK− 2vK
與 2uK+ 3vK 為 相鄰兩邊的平行四邊形面積為 。
【解答】130
【詳解】已知 | d c
b
a | = 10，3uK− 2vK= (3a − 2c，3b − 2d)，2uK+ 3vK= (2a + 3c，2b + 3d)
所求= |
d b c a
d b c a
3 2 3 2
2 3 2 3
+ +
−
− | = | (
d c a
b c a
3 3 2
3 2 3
+
− +
b c a
d c a
2 3 2
2 2 3
+
−
− ) |
= | (
d c
b a
3 3
3
3 +
d a
b c
3 2
3
−2
+ c b d a
2 3
2 3 −
+ a b
d c
2 2
2 2 −
− ) |
= | (9 d c
b
a + (− 6cd − 6ab) + (6ab + 6cd) + 4 d c
b
a ) | = 13 | d c
b
a | = 130
18.若△ABC的三邊長為a，b，c，且滿足a − 2b + c = 0，5a + 4b − 5c = 0，已知△ABC的周長= 30，
則△ABC的面積= 。
【解答】15 3
【詳解】
⇒ a：b：c =
⎩⎨
⎧
=
− +
= +
−
0 5 4 5
0 2
c b a
c b a
5 4
1 2
−
− ：
5 5
1 1
− ：
4 5
2 1 −
= 6：10：14 = 3：5：7 令 a = 3k，b = 5k，c = 7k ∵ a + b + c = 30 ⇒ 15k = 30 ⇒ k = 2
∴ 三邊長為 6，10，14 ⇒ △的面積 = s(s−a)(s−b)(s−c)= 15×9×5×1=15 3 19.設 3ab = 2(a + b)，4bc = 3(b + c)，5ca = 6(c + a)，則a之值為 。
【解答】0 或 7 3
【詳解】(1)當 abc = 0 時，a = 0，b = 0，c = 0
(2)當 abc ≠ 0 時，
6 5 3
4 2
3 + = + =
+ =
ca a c bc
c b ab
b
a ， ， ⇒
1 1 3 2 1 1 4 3 1 1 5 6, a b
b c
c a
⎧ + =
⎪⎪
⎪ + =
⎨⎪
⎪ + =
⎪⎩
，
，⇒
3 11 1 1 1+ + =
c b
a ，
⇒
3 7 3 4 3 11 1 = − =
a ⇒ a =
7 3
