高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：97.10.09 班級 三年 班
範 圍
Book1
3 多項式(2) 座號
姓 名 一、選擇題 (每題 10 分)
1、( B ) 下列那一個不等式，其解集合非「無解」？
(A)x2+6x+10< 0 (B)x2+2x≤ −1 (C)− +x2 8x>16 (D)− +x2 3x− ≥ (E)5 0 −2x2+ >x 5 解析：(A)(x+3)2+ < 01 無解
(B)(x+1)2 ≤ ⇒ = −10 x 0
x x (C)− −(x 4)2 > 無解
(D)D= −9 20= − <11 0 ∴−x2+3 − ≥5 0 無解 (E)D= −1 40= − <39 0 ∴−x2+ >5 無解
2、( C ) 下列各方程式中，何者沒有整數解？ (A)x2n+1+ = (B)1 0 x2n+1− =1 0 (C)x2n+ = 1 0 (D)x2n− =1 0 (E)x2n+1+x2n+ + + =... x 1 0
解析：由牛頓定理知以下方程式若有有理根必為整數根，且只有 1± 二種可能 (A)( 1)+ 2n+1+ ≠1 0 ( 1)− 2n+1+ =1 0 有整數解
(B)(1)2n+1− =1 0 有整數解
(C)(1)2n + ≠1 0 ( 1)− 2n + ≠1 0 沒有整數解 (D)12n− = 01 有整數解
(E)( 1)− 2n+1+ −( 1)2n+ + − + =… ( 1) 1 0 有整數解
3、( B ) 若x4+ax2+bx c+ 除以(x+1)(x+2)(x− )3 的餘式為x2− + ，求x 5 ？ (A)8 (B)−8 (C)4 (D)−4 (E)0
a b c+ + =
解析：∵
( 1) 7 1 6
( 2) 11 16 4 2 7
(3) 11 81 9 3 5
f a b c
f a b c
f a b c
− = = + − + = −
⎧ ⎧
⎪ − = = + − + ⇒⎪ = −
⎨ ⎨
⎪ = = + + + ⎪ =
⎩ ⎩
a b c
∴a b c+ + = − − + = −6 7 5 8。
4、( D ) 解不等式(x−1)(x−2) (2 x−3)3 ≥ 0之解為 (A)x≥3 或 2≥x≥1 (B)x≥3 1或x≤ (C)1≤ ≤x 3 (D)x≥3 2 1或x= 或x≤ (E)3≥ ≥x 2 或x≤1
解析：(x−1)(x−2) (2 x−3)3≥0⇒(x−1)(x− ≥3) 0且x=2⇒ ≥ 或x 3 x= 或2 x≤ 1
5、( B ) 關於方程式 下列何者正確？ (A)恰有一實根 (B)恰有一
有理根 (C)恰有一正根 (D)恰有一負根 (E)在
5 4 3 2
6 12 13 8 2
x + x + x + x + x+ = 0
)
−2 與−3 之間恰有一實根 解析：係數皆正，無正根，又x5+6x4+12x3+13x2+8x+ =2 (x+1)(x4+5x3+7x2+6x+2
令g x( )=x4+5x3+7x2+6x+2, 且g( 3)− = −7, ( 4)g − =26, ( 5) 147,g − = 故g(x)在 0 與−1 之間，及−3 與−4 之間各有一實根，
又x5+6x4+12x3+13x2+8x+ =2 (x2+ +x 1)(x2+4x+2)(x+ )1
6、( C ) 設一元二次整係數方程式ax2+bx c+ = 有一根為 4 3i0 + 。若將此方程式的兩根與原點在 複數平面上標出，則此三點所圍成的三角形面積為 (A)5 (B)6 (C)12 (D)16 (E)24 解析：¬∵ a , b, c為實係數， ⇒4 3i− 亦為ax2+bx c+ = 之ㄧ根 0
−
O
) 3 , 4 ( A
) 3 , 4 ( − B )
0 , 0 (
M
1 2 1 6 4
2 12
AB OM
= × ×
= × ×
= 面積
7、( A ) 對於任意實數 x，
2 2
2 3
2 3 1 x kx k
x x
+ + >
+ + 恆成立，則 k 之值不可以為下列何數？
(A)15 (B)12 (C)9 (D)6 (E)3 解析：∵x2+2x+ >3 0 恆成立 (D= − × = − <4 4 3 8 0)
2 2
2x +kx+3k>x +2x+3
∴ 恆成立
2 ( 2) (3 3) 0
x + −k x+ k− >
∴ 恆成立
2 2
( 2) 4 3 ( 1) 0 16 16 D= k− − × × − < ⇒k k − k+ <
∴ 0
8 4 3− < < +k 8 4 3 ∴k =15 (不合 )
8、( ABE ) (複選)關於三次多項式 f x( )=x3−6x2+ ，試問下列哪些敘述是正確的？ 1 (A) f x( )=0有實根落在 0 與 1 之間 (B) f x( )= 有實根大於 1 0
(C) f x( )=0有實根小於 1 (D)− f x( )= 有實根也有虛根 (E)0 f x( )=10有實數解 解析：(A) f(0)= >1 0, (1)f = − <4 0，故 f x( )= 有實根落在 0 與 1 之間。 0
(B) f(1)= − <4 0, (6)f = >1 0，故 f x( )= 有實根大於 1。 0 (C)
當一實數 時，必有 且
( ) ( 1)( 2 7 7) 6 f x = x+ x − x+ −
1
r< − r+ <1 0 r2−7r+ > 7 0 使得
(負) (正) 即小於−1 的實數 r 會使
( ) ( 1)( 2 7 7) 6 0 f r = +r r − r+ − <
( ) 0
f r < ，而不會使 ( ) 0f r = ，故 ( ) 0f x = 沒有比−1 小的實根。
(D)三次方程式 有三個複數根，今已知 0 與 1 之間有一根，1 以上也有一根，那麼 剩下的第三個根必為實數，不可能為虛數，因為實數係數多項方程式的虛根成對出現。
( ) 0 f x =
(E)因為 ，即 是一個實數係數三次方程式，次數為奇數，所以至少有
一實數解。
( ) 10
f x = f x( ) 10− =0
9、 ( ACE ) (複選)學生練習計算三次多項式 ( )f x 除以一次多項式g x( )的餘式。已知 f x 的三次( ) 項係數為 3 ，一次項係數為 2 。甲生在計算時把 ( )f x 的三次項係數錯看成 2 （其 它係數沒看錯），乙生在計算時把 ( )f x 的一次項係數錯看成 2− （其它係數沒看錯）。
而甲生和乙生算出來的餘式剛好一樣。試問 可能等於以下哪些一次式？ (A)x
(B)
( ) g x 1
x− (C)x− (D)2 x+ (E)1 x+ 2 解析：設正確的 f x( )=3x3+bx2+2x+ d ，則
甲眼中的 f x1( )=2x3+bx2+2x+ d ， 乙眼中的 f x2( )=3x3+bx2−2x+ d 。
(1)若g x( )=x，則甲算出的餘式= f1(0)= ,乙算出的餘式d = f2(0)= d (2)若g x( )= −x 1，則甲算出的餘式= f1(1)= + + + = + + , 2 b 2 d 4 b d
乙算出的餘式= f2(1)= + − + = + + d 3 b 2 d 1 b
(3)若g x( )= −x 2，則甲算出的餘式= f1(2) 16 4= + b+ + =4 d 20 4+ b d+ ,
乙算出的餘式= f2(2)=24 4+ b− + =4 d 20 4+ b+ d
(4)若g x( )= +x 1，則甲算出的餘式= f1( 1)− = − + − + = − + + , 2 b 2 d 4 b d 乙算出的餘式= f2( 1)− = − + + + = − + + d 3 b 2 d 1 b
(5)若g x( )= +x 2，則甲算出的餘式= f1( 2)− = − +16 4b− + = − +4 d 20 4b d+ , 乙算出的餘式= f2( 2)− = − +24 4b+ + = − +4 d 20 4b+ d
10、( C ) 若 f x( )=x3+ax2+4x−7與g x( )=x2+bx+ 之最高公因式為整係數一次式且 ,5 a b∈ ， 則a+2b=？ (A)18 (B)20 (C)24 (D)28 (E)30
解析： ( )f x 與g x( )可能的一次因式為x± 1
(1)若( ( ), ( ))f x g x = −x 1, (1)g = ⇒ = −0 b 6（不合）
二、填充題 (每題 10 分)
1、 設 f x( )=x2−(m+2)x+ −(5 m)在 0< < 時 ( ) 0x 2 f x < 恆成立，則 m 的範圍_______。
答案：m≥5
解析：∵f (x)二次函數，開口向上
∵在 0 < x < 2 時 f (x) < 0⇒ f(0)≤0 且 (2)f ≤0 5− ≤m 0 5 3− m≤0⇒ ≥m 5
∴ 且
2、 設 f x( )= − + +x2 (a 1)x+2, a∈ ，若方程式 ( ) 0f x = 。有一根在 1− 與 0 之間，另一根在 2 與 3 之間則 a 的範圍為_______。
答案： 4
0< < a 3
解析：由勘根定理知 ∵ f( 1)− ⋅ f(0)<0且 (2)f ⋅f(3)<0 (0) 2 0, ( 1) 2 2 0 0 f = > ∴f − = − − + < ⇒ >a a
a
………① (2) 4 2 2 2 2 0
f = − + a+ + = >
(3) 9 3 3 2 0 4 f = − + a+ + < ⇒ <3
∴ a ………②
由①② 4
0 a 3
⇒ < <
3、 設集合A={x x2+ − <x 6 0,x∈ }，集合B={ 2x x2− +(3 2 )a x+3a>0,x∈ }且A∩B= −{ 2}， 則 a 範圍為______________。
答案：− < ≤ −2 a 1
解析：x2+ − < ⇒x 6 0 (x+3)(x− < ⇒ − < <2) 0 3 x 2，即A={x − < <3 x 2,x∈ } 2x2− +(3 2 )a x+3a> ⇒0 (2x−3)(x a− )> 0 ，即B={ (2x x−3)(x−a)>0,x∈ }
①若 3 3
{ | , ,
2 2
a> ⇒ =B x x>a x< x∈ }，A∩B={1, 0, 1, 2}− − (不合)
②若 3 3
{ | , ,
2 2
a< ⇒ =B x x> x<a x∈ }， 又A∩B= − ⇒ − ∈{ 2} 2 B
2 a 1
− < ≤ −
∴
4、 f x( )=3x123−7x12+5x2−8則x+ 除 35、多項式 ( )1 f x 的各項係數和為 11，且 ( )f x 除以x+2 得商式q x( ),餘式為 5，則q x( )除以x− 的餘式為________ 。 1
答案：2
解析： f(1)=11, f x( )=(x+2) ( ) 5q x + ，∴f(1)=3 (1) 5q + ⇒ q(1)=2 ( )
q x 除以x− 的餘式為1 q(1)=2
5、 設− +1 2i為實係數方程式 之一根，若此方程式與方程式 恰
有一個公根，則 ________ , ________ ,
3 2
0
x +ax +bx+ =c x2+ax− =2 0
a= b= c=________。
答案：1, 1, −3
解析：x= − +1 2i⇒ + =x 1 2i⇒(x+1)2 =( 2 )i 2⇒x2+2x+ =3 0, ∴x2+2x+3 x3+ax2+bx c+ 設恰有一公根為x= α，即x3+ax2+bx+c 與x2+ax−2之最高公因式為x−α
3 2
(x−α) (x +ax +bx c+ )
∴ ，(x−α) x2+ax−2
3 2 2
(x α) x ax bx c x x( ax
⇒ − + + + − + − 2)，∴(x−α) (b+2)x+c
2 2
2= 2 0 ( 2) 2( 2)
1 2
b c c
x ax c ac b b
b
+ ⇒ = − + − = − + − + =
− α + 代入 ，得
α
2 0 …..(*)
2 3 2
2 3
x + x+ x +ax +bx c+
又∵
1 + a + b + c
− 2 − 2 (a −2 )
− 3 − 3 (a −2 ) −2
−3 1+(a −2 ) +[(b−3)−2(a −2)] +[c− 3 (a −2 ) ]
由整除得知
代入(*) ，解之
3 2( 2), 3( 2)
b a c a
⇒ − = − = −
3 2
6a 10a 38a 34
⇒ − + − = 0 (a−1)(3a2−2a+17)=0 ,a=1, b=1, c= − 3 6、 解不等式：(x−1) (6 x2− +x 3)(x+2)(x− <3) 0___________。
答案：− < <2 x 3，但 x≠1 解析：
6 2
(x−1) ≥0,x − + > 0x 3 恆成立( D∵ <0)
所求(x+2)(x− < 03) ，但 x≠1⇒ 2 x− < < ，但 x≠1 3
7、 設 ( )f x 為四次多項式，若 ( )f x 除以(x −2)3得餘式 4x −5， ( )f x 除以x + 1 得餘式 18， ( )f x 除 以x + 2 得餘式 179，則f (2)=________ ，又f (1)=________。
答案：3, 4−
解析： ( )f x 為四次多項式⇒設 f x( )=(x−2) (3⋅ ax b+ +) 4x− ， 5
∴ f(2)=3，又 f( 1)− = 18 f( 2)− = 179
∴ 18 27( ) 9 179 64( 2 ) 13
a b a b
= − − + −
⎧⎨ = − − + −
⎩ ⇒ 1
2 3
a b a b
⎧ − =
⎨ − =
⎩ ，a= , 12 b= ，∴ (1) ( 1)(3) 4 5f = − + − = − 4
8、 △ABC 之三邊長分別為x−1, 2x−1, x+ ，則(1)x 的範圍為_________________。 1 又(2)若△ABC 為鈍角△，且最長的邊為 2x− ，則 x 的範圍為_______________。 1
答案：(1) 3 2
2, 2
x x +
> > 6
解析：
(1)由三角不等式(兩邊之和大於第三邊) 1 2 1 1
2 1 1 1 3
2 1 1 2 1
x x x
x x x x
x x x
− + − > +
⎧⎪⎪ − + + > − ⇒ >
⎨⎪
+ + − > −
⎪⎩
∵
(2x−1) >(x+1) + −(x 1) 2x2 4x 1 0
(2)若為鈍角△，則 2 2 2，∴ − − >
2 6 2 6
2 2
x + x −
> <
∴ 或 2 6
x +2
⇒ >
3 ( ) (
x>2 不合 ∵ )
9、 已知 f x( )=x4+4x3−32x−13=0有一根− − ，則 ( ) 03 2i f x = 之所有根為_________________。
答案： 3 2 , 1− ± i ± 2 解析：
令x= − − ⇒3 2i x+ = − ；兩邊平方3 2i x2+6x+ = − ，9 4 x2+6x+13= 0 由綜合除法得知
2 6 13 | ( )
x + x+ f x ⇒ f x( )=(x2+6x+13)(x2−2x− ， 1)
∴ f x( )=0之根為：− ±3 2 , 1i ± 2。
10、若 a 為實數，且 f x( )=x4+x3+2ax2−3x− = a 0
(1)若在區間 (0, 1) 及(−2,−1)間各有一根，求 a 之範圍___________。
又(2)若 f(5 2 )+ i =7，則 f(5 2 )− i = ___________。
答案：(1)−3 < a <−2； (2)7 解析：
(1) 在區間 (0, 1) 及(−2,−1)間各有一根
−3 < a <−2 (2)
(0) (1) 0, ( 2) ( 1) 0
f f f f
⇒ < − − <
( )( 1) 0 1, 0
( 2)( 3) 0 3 2
a a a a
a a a
− − < > <
⎧ ⎧
⇒ ⇒
⎨ + + < ⎨− < < −
⎩ ⎩
(5 2 ) (5 2 ) (5 2 ) 7 0 7 0 7 f − i = f + i = f − i = + = − = i i
11、設 a, b 為實數，若方程式x4−8x3+ax2+bx−13=0有一根 2 + 3i。
3 0 (1)求 a, b 之值。(2)解方程式x4−8x3+ax2+bx−1 = 。 答案：(1) a = 28；b = −48 (2)x = 2 ± 3i, 2± 5
解析：
(1)令x= + ⇒ − = i2 3i x 2 3 ；兩邊平方x2−4x+ = − ，4 9 x2−4x+13= 0 設 f x( )=x4−8x3+ax2+bx−13，則x2−4x+13 | ( )f x 由綜合除法整除知
1− 8 + a +b −13 +4 −16 +4(a −29)
−13 +52 −13(a −29) + 4
−13 1 −4 +(a −29) +( b+4a −64) +(−13a +364)
4 64 0 28
13 364 0 48
b a a
a b
+ − = =
⎧ ⎧
⎨− + = ⇒⎨ = −
⎩ ⎩ ，即
4 3 2
( ) 8 28 48 13 f x =x − x + x − x− (2) f x( )= ⇒0 (x2−4x+13)(x2−4x− =1) 0，x = 2 ± 3i, 2± 5 。
0
12、若對於一切實數 x，恆有ax2+3x+ +(a 4)< 則實數 a 的範圍為_______。
答案： 9
a< − 2 解析：
2 3 ( 4)
ax + x+ +a < 0 恆成立
∴
0
1 9
9 4 ( 4) 0 (2 1)(2 9) 0
2 2
a
D a a a a a a
⎧ <
⎪⎨ = − + < ⇒ − + > ⇒ > < −
⎪⎩ 或
9 a 2
⇒ < −
13、設多項式 ( )f x 被x2−1除後的餘式為3x+4，並且已知 ( )f x 有因式 x，若 ( )f x 被x x( 2− 除1) 後的餘式為px2+qx+ r ，則 ( , , )p q r = _________。
答案：(4,3, 0) 解析：
設 f x( )=x x( 2− ⋅1) q x( )+a x( 2− +1) 3x+4， f(0)= − + = ⇒ = a 4 0 a 4
∴餘式=4x2+3x= px2+qx+ 故 ( , , ) (4,3,0)r p q r = 。
14、解不等式 2 2
3 5
x x
x x
− > +
− + 。 答案：x>3或− < < 5 x 1
解析：由 2 2
3 5
x x
x x
− > + ⇒
− +
2 2
3 5 0
x x
x x
− − + > ⇒
− +
( 2)( 5) ( 2)( 3) ( 3)( 5) 0
x x x x
x x
− + − + − > ⇒
− +
4( 1) ( 3)( 5) 0
x
x x
− >
− + ,
(x+5)(x−1)(x− > ⇒3) 0 x> 或 53 − < < 。 x 1
15、設 f x( )=x2+4mx+5m−1當 0≤ ≤x 2 時 f x( )>0恆成立，求實數 m 的範圍。
答案：
解析：
2 2
( ) ( 2 ) 4 5 1 f x = x+ m − m + m−
(1)−2m>2 ∴ (2)f > ⇒ < −0 m 1且13m+ > ⇒ 無解 3 0 (2)0≤ −2m≤2, −4m2+5m− > ⇒ ≥ ≥ −11 0 0 m 且1
4≤ ≤ ⇒ 無解 m 1
(3) 1
2 0, (0) 0 0 5 1 0
m f m m m 5
− < > ⇒ > 且 − > ⇒ >
16、試造一最低次之有理係數方程式，使其有一根為 2+ 3i。 答案：
解析：
令x= 2+ 3i，則x− 2= 3i
2 2 2
(x 2) ( 3 )i x 2 2x 2
⇒ − = ⇒ − + = −3
2 2 2 2
x 5 2 2x (x 5) 8
⇒ + = ⇒ + = x ⇒x4+10x2+25=8x2，故x4+2x2+25= 。 0
17、設 f x( )=x3−3x2−2x+ ，若5 g x( − =1) f x( ),h x( −1)= f x( + ，試求出多項式 ( ) 及2) g x h x( )。 答案：
解析：(1)∵g x( − =1) f x( )
解法 I
由 f x( )=x3−3x2−2x+ 連續綜合除法(變數變換) 5 ∴
( ) ( 1)3 5( 1) 1
f x x x
⇒ = − − − +
( ) 3 5 1 g x =x − x+ 1 − 3 − 2 + 5 1 + 1 − 2 + 4 1 − 2 − 4 +1 + 1 − 1 1 − 1 −5 + 1 1 + 0
解法Ⅱ ( 1) ( g x− = f x)
x x x
= + − + − + +
∴ ( )g x = f x( +1) ( 1)3 3( 1)2 2( 1) 5=x3−5x+ 1 (2) f x( )=x3−3x2−2x+ 連續綜合除法(變數變換) 5
3 2
( ) ( 3) 6( 3) 7( 3)
f x x x x
⇒ = − + − + − −1
) ( 1) ( 2) ( ) ( 3 h x− = f x+ ⇒ f x =h x−
∵
3 2
( ) 6 7 1
h x =x + x + x−
∴
1 − 3 − 2 + 5 3 + 3 − 0 − 6 1 + 0 − 2 −1 + 3 + 9 1 + 3 +7 + 3 1 + 6
18、設 f x( )=x2+ +(k 1)x− k , 2 g x( )=x2+ −(k 1)x+ −(6 2 )k 已知 f x , ( ) 的最高公因式 為一次式，則 ________，又
( )
g x H x( )
( )
H x = k = ________。
答案：x− ,3 −12 解析：
( ) | ( ),
H x f x H x( ) | ( )g x ⇒ H x f x( ) ( )−g x( ) ( ) 2 6
H x x−
∴ ，取H x( )= −x 3 ，(x−3) | ( )f x ⇒ f(3)= ，0 ∴k = −12
19、設多項式 f x( )=2x4+9x3+6x2−11x− , 3 g x( )=3x4+x3−9x2+3x+ , 有一實數α 使4 ( ) 3
f α = 且 ( ) 2g α = ，則α 之值可為______或______。
答案：1, −2
解析：
( ) 3 f α =
∵ ∴(x−α) f x( )−3 同理 (x−α) g x( )−2
( ( ) 3, ( ) 2 ) ( 1)( 2) ( ) | ( 1)( 2) HCF f x − g x − = x− x+ ⇒ x− x− x+
∵ α ，
又
( ) 3 ( 1)( 2)( 3)(2 1) f x − = x− x+ x+ x+
( ) 2 ( 1)( 2)( 1)(3 1) g x − = x− x+ x− x+
1 2
α = −
∴ 或
20、利用輾轉相除法，求 f x( )=x4+x3+2x2+ + , x 1 g x( )=x4−x3+3x2− + 的最高公因式_____。 x 2 答案：x2+1
解析：
1 1 + 1 + 2 + 1 + 1 1 − 1 + 3 − 1 + 2 1 − 1 + 3 − 1 + 2 × 2
−2 2 − 1 + 2 − 1 2 − 2 + 6 − 2 + 4 1 2 − 8 + 2 – 8 2 − 1 + 2 − 1 7)7 + 0 + 7 − 1 + 4 − 1 + 4 −1 1 + 0 + 1 − 1 + 0 − 1
4 + 0 + 4 4 4 + 0 + 4 0
∴hcf=x2+1
21、若兩多項式 f x( )=2x3−4x2+2x+(2c+4)與g x( )=3x3−6x2+2x+(3c+ 的最高公因式為一5) 次式，則 c 之值為________。
答案：2 解析：
設 ( )f x 與g x( )的最高公因式為h x( )，則
3 2
( ) ( ) 2 4 2 (2 4) h x f x = x − x + x+ c+
3 2
( ) ( ) 3 6 2 (3 5) h x g x = x − x + x c+
( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 2 2( 1)
h x f x − g x = x+ = x+ ⇒ h x( )= + x 1
，
(x+1) | ( )f x ⇒ f( 1)− = − − − +2 4 2 2c+ =4 0 2c= ,4 c= 。 2
22、 ( )f x , g x( )為兩整係數多項式，其最低公倍式為x4+x3−4x2+2x− ，最高公因式為12 x+ 且3 知 deg ( ) deg ( )f x > g x ，則 ( )f x =________, g x( )=________。
答案： f x( )=x3+3x2+2x+6, g x( )=x2+ −x 6
解析：設 ( ) hcff x = ×h x( ), g x( )=hcf×k x( )⇒ lcm hcf= ×h x( )×k x( )
hcf ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ), ( )) 1 f x g x
h x k x ⇐ h x k x =
3 2 2
( ) ( ) lcm 2 2 4 ( 2)( 2) h x k x = hcf =x − x + x− = x− x +
∵ deg ( ) deg ( )f x > g x ，取h x( )=(x2+2), ( )k x =(x− 2)
2 3 2
( ) ( 3)( 2) 3 2 6 f x = x+ x + =x + x + x+
∴ , g x( )=(x+3)(x−2)=x2+ − x 6
23、求 與 的最高公因式為________，最低公倍式為 _____________________。
3 2
( ) 4 7 10
f x =x + x − x− g x( )=x3−x2+4x−12 答案：x− ; 2 (x−2)(x+5)(x+1)(x2+ + )x 6
解析：利用輾轉相除法 1 1 4 7 10
1 1 4 12 + − −
− + −
1 1 4 12 5
− + −
× 5 5 11 2
5 15 50
− + + −
5 5 20 60 5 11 2
− + −
− +
1
26− 26 52− + 6 6 18+ −60 1 2− 1 3 10
1 2 5 10 5 10 0
+ −
−
−
−
1 5+
∴( ( )f x ,g x( ))= −x 2
( ) ( ) ( ) ( 2)( 2 6) [ ( ), ( )]
2 2
f x g x f x x x x f x g x
x x
⋅ ⋅ − + +
= =
− −
(x 2)(x 5)(x 1)(x2 x 6)
= − + + + + 。
24、 k∈ , 多項式f x( )=x3+2x2− − , x 2 g x( )=x3+ +(k 2)x2+(k2−5)x+ , 6 (1)若 ( )f x , 的最高公因式為一次式時，k = ________，
(2)若
( ) g x ( )
f x , g x( )的最高公因式H x( )為二次式時，k = _______，此時H x( )=_______。
答案：(1)− −2, 3 (2) 4, (x+1)(x+2) 解析：
( ) ( 1)( 1)( 2) f x = x+ x− x+
2 2
2 2
( 2) 2 4 16 2( 4)( 2) ( 1) 12 ( 4)( 3)
1 15
(1) 4 ( ) 0
2 4
g k k k k
g k k k k
g k k k
− = − + + = − − +
− = − + + = − − +
= + + = + + >
∴當 ( )f x , g x( )的最高公因式為一次時 k = − 或 32 −
又當 ( )f x , g x( )的最高公因式為二次時 k = , 且 ( ) (4 H x = x+1)(x+ 2)
25、已知 f x( )=x3+ax2−2x− , 4 g x( )=4x3+x2−2a x2 − 最高公因式2 為二次式，則 ________，又 ________。
( ) H x
a= H x( )=
答案：2,x2−2
解析：H x( )=hcf ( ( ), ( ))g x f x ⇒H x( ) (4a−1)x2+(2a2−8)x−14
3 2 2
2
2 2
( ) 7 (2 ) (2 4 ) , | ( )
4 1 2 8 14 3
, 2 ( ) ( ) 2
7 2 2 4 2
H x x a x a x x H x
a a
a H x
a a
+ − + − /
− = − = − = − ⇒ =
− −
∵
∴ ∴ 或 不合 x −
26、求 f x( )=x3−6x2+11x−6與g x( )=x3−8x2+19x−12之最低公倍式。(不必展開) 答案：(x−4)(x3−6x2+11x−6)
解析：由輾轉相除法可求得 ( )f x 與g x( )之最高公因式為x2−4x+ ， ( )3 f x 與g x( )之最低公倍式 為
3 2 3 2
2
( 6 11 6)( 8 19 12) 4 3
x x x x x x
x x
− + − − + −
− +
3 2
(x 4)(x 6x 11x 6)
= − − + − 。
