A
B C
A B
C
2 1
1 2
3
這一章我們要學習三角形的基本性質，可不要小看三角形喔!它在測量方面的應用卻下陸 上天，無遠佛屆：逢山開洞，要探知地貌，要問廣寒宮有多遠，都少不了它。
挖山洞時如果從山的兩頭一齊動手，最後會接通嗎?或者，從一頭挖過去，怎麼預知出來 的那一頭就是想要的地方?視線讓一座山擋住了，腦筋如何急轉彎呢?
其實只要找一個參考點 C(如上圖)，接下來只要決定∠A 與∠B 就好了。
還不只如此！想要測量 101 大樓的高度、月亮離我們多遠…等，都需要利用三角形的性質。
讓我們開始進入三角形的世界吧!
有關三角形角的名詞：
三角形的記法與讀法:
(1)符號「D」代表三角形。
(2)頂點為 A、B、C 的三角形，記為「DABC」，讀作「三角形 ABC」。
平角:角的兩邊成一直線的角，其度數為 180 0 。 如下圖，∠1+∠2=180 0 。
周角:繞著一點轉一圈所成的角，其度數為 360 0 。 如下圖，∠1+∠2+∠3=360 0 。
內角：三角形 A、B、C 中每個頂點兩邊所夾的角。
如下圖：∠A、∠B、∠C 為△ABC 的三內角。
A
B
C 1
2
3 A
B C
A
B C
1 4
2
3 5
6
外角：三角形中一邊和另一邊延長線所形成的角。
如下圖，∠1 和∠4 都是∠A 的外角、∠2 和∠5 都是∠B 的外角、
∠3 和∠6 是∠C 的外角。
※△ABC 中每個內角都有 2 個相等的外角。
※三角形的任何一內角與它的外角，在頂點的地方形成一個平角，
即∠A+∠1=180 0 、∠B+∠2=180 0 、∠C+∠3=180 0 。
內對角：在△ABC 中，與一外角頂點不同的內角稱為這個外角的內對角。
如下圖，∠B 與∠C 為∠1 的內對角，∠A 與∠C 為∠2 的內對角，
∠A 與∠B 為∠3 的內對角。
有關三角形外角與內角的定理：
三角形的內角和定理：三角形的三個內角的和等於 180 0 三角形的外角和定理：三角形的三個外角和等於 360 0
三角形的外角定理：三角形的任一外角等於它的兩個內對角之和。
三角形的內角和定理：三角形的三個內角的和等於 180 0 ； 如右圖，即∠A＋∠B＋∠C＝180 0 。
【證明】過 A 點作直線 L 平行 BC
∵∠ABC＝∠1；∠ACB＝∠2 （內錯角相等）
∴△ABC 內角和＝∠ACB＋∠ABC＋∠BAC
＝∠2＋∠1＋∠BAC＝180 0
L A
B C
1 2
A
B
C 1
2
3
58 0 70 0 45 0 1 2
152 0
3 75 0
35 0
4
A
B
C D
E A
B
C 1
2
3
A
B
C D
1 2 E
三角形的外角和定理：三角形的三個外角和等於 360 0 ；如右圖，即∠1＋∠2＋∠3＝360 0
【證明】 ∵∠1＋∠A＝180 0
∠2＋∠B＝180 0
∠3＋∠C＝180 0
Þ ∠1＋∠2＋∠3＋∠A＋∠B＋∠C＝540 0 又∵∠A＋∠B＋∠C＝180 0
∴∠1＋∠2＋∠3＝360 0
三角形的外角定理：三角形的任一外角等於它的兩個內對角之和。
如下圖，∠1＝∠B＋∠C；∠2＝∠A＋∠C；∠3＝∠A＋∠B
【證明】∵∠1 是∠A 的外角 ∴∠1+∠A=180 0 而∠A＋∠B＋∠C＝180 0
Þ ∠1＝∠B＋∠C，
同理，∠2＝∠A＋∠C，∠3＝∠A＋∠B
【範例】若三角形三內角∠A：∠B：∠C＝3：4：5，則試求出此三角形三內角各為幾度？
且為何種三角形？
【解說】∵∠A＋∠B＋∠C＝180 0
∴∠A＝180×
5 4 3
3 +
+ ＝45 0 ；∠B＝180×
5 4 3
4 +
+ ＝60 0
∠C＝180×
5 4 3
5 +
+ ＝75 0 ∴△ABC 為銳角三角形
【範例】如右圖，求出∠1 與∠2 的度數＝？
【解說】∠1＝180 0 －58 0 －70 0 ＝52 0 （內角和定理）
∠2＝70 0 －45 0 ＝25 0 （外角定理）
【範例】如右圖，求出∠3 與∠4 的度數＝？
【解說】∠4＝75 0 ＋35 0 ＝110 0 （外角定理）
∠3＝152 0 －110 0 ＝42 0 （外角定理）
【範例】如圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝？
【證明】由外角定理可知∠1＝∠C＋∠E；∠2＝∠B＋∠D 且由三角形內角和可知∠1＋∠2＋∠A＝180 0 故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180 0
A
B
D C
A
B
D C
1 3
2 4
A B
C
D
E
1 2
3
4
5
6
A B
C
D E
1
3 2
A B
D E
C F
1
2
3
G I H
【範例】小明去威尼斯玩，為了想看古蹟，他必須坐船繞過 A、B 兩個彎才能到達，
請問繞過兩彎後船身共轉了幾度呢？
【解說】由內角與外角和為 180 0 的觀念可知：
Q 因為A彎道為 120 0 ，\所以船在過A彎道時轉了 60 0 。 Q B彎道為 100 0 ，\船在過A彎道時轉了 80 0 。
因此，共轉了 60 0 ＋80 0 ＝140 0 。
【範例】如圖，已知 AB // DE ，若∠1 = 80 0 ， ∠2 = 40 0 ，則∠3 =______。
【解說】利用三角形外角定理，可知
∠3 = ∠2 + ∠CHD =∠2 + ∠IHB
= ∠2 + 180 0 - ∠1 = 40 0 + 180 0 – 80 0 = 140 0 或是利用平行性質
∠BCG = 180 0 - ∠1 = 180 0 - 80 0 = 100 0 (同側內角互補)
∠DCF = 180 0 - ∠2 - ∠BCG = 180 0 – 40 0 - 100 0 = 40 0 (同側內角互補)
∠3 = 180 0 -∠DCF = 180 0 – 40 0 = 140 0 。 有關外角定理的補充性質：
利用內角和及外角和定理，我們可以推得 2 個常用的「8 字型定理」及「箭頭定理」 。
【8 字型定理】:如圖， AE 、 BD 交於 C，求證∠1＋∠2＝∠5＋∠6
【證明】∠1＋∠2＋∠3＝180 0
∠4＋∠5＋∠6＝180 0
Þ ∠1＋∠2＋∠3＝∠4＋∠5＋∠6
∵∠3＝∠4（對頂角相等）
∴∠1＋∠2＝∠5＋∠6
【箭頭定理】:如圖，證明∠ADB＝∠D＝∠A＋∠B＋∠C
【證明】(1)做輔助線 CD 。
(2)∠1＝∠A＋∠3（外角定理） 。
∠2＝∠B＋∠4（外角定理） 。
∴可知：∠1＋∠2＝∠A＋∠B＋∠3＋∠4 Þ ∠D＝∠A＋∠B＋∠C
A B C
D
E F
22 O
28 O
35 O 65 O
A
B
C
D
E
F
64 0 134 0
A
B
C D
G E
F
1 2 A
B
C D
G E
F 55 O
25 O 150 O X O
A
B C
D E
F
A
B C
D E
F
1 2
【範例】如右圖，求 X＝？
【解說】由箭頭定理可知：
150＝55＋25＋X
∴X＝70
【範例】如右圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝？
【解說】連接 BC
∠D＋∠E＝∠1＋∠2 (8 字型定理)
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠1＋∠2
＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180 0
【範例】如圖，求∠DEF＝？
【解說】∠ACB＝180 0 －35 0 －65 0 ＝80 0 （三角形內角和＝180 0 ） 又∠DCF＝∠ACB＝80 0 （對頂角相等） 。
由箭頭定理可知：
∠DEF＝22 0 ＋28 0 ＋80 0 ＝130 0
【範例】如下圖，已知AB//CD，AC //BD，若∠BAC＝64 0 ，則∠EDF＝______度，
∠E＋∠F＝______度。
【解說】∵AB//CD，AC //BD
Þ ABCD 為平行四邊形 Þ ∠EDF＝∠BDC＝∠A＝64 0
∠E＋∠F＝∠BAC－∠EDF＝134 0 －64 0 ＝70 0
【範例】求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G =？
【解說】作 DE ∠A＋∠G = ∠1＋∠2【8 字型定理】
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G
= ∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F + ∠1＋∠2
= ( 5 – 2 ) ×180 0 = 540 0
【範例】如圖，∠A＝∠F＝∠G＝(3x)˚，∠B＝∠D＝x˚，則 x＝？
【解說】Q∠A＋∠B＝∠E＋∠D【8 字型定理】
\3x˚＋x˚＝∠E＋x˚
Þ∠E＝3x˚
∠E＋∠G＋∠F＝180˚
Þ3x˚＋3x˚＋3x˚＝180˚
Þ9x˚＝180˚ Þx＝20
A
B
D C
E F
A
B C
D
P X O
A
B C
D P
55 O
47 O
【範例】ABCDE 為正五邊形，且正五邊形每一內角為 108 0 ， F 為其內部一點，若△FDC 為正三角形，求∠EFB＝？
【解說】∠EDF＝108 0 －60 0 （正三角形內角為60°）
＝48 0
又Q △DEF 為等腰三角形。
∴∠EFD（底角）＝
2 48 180 0 - 0
＝66 0 同理∠BFC＝66 0 且∠DFC＝60 0
∴∠EFB＝360 0 －（66 0 ＋60 0 ＋66 0 ）
＝168 0
【範例】ABCD 為正方形，△PBC 為正三角形，求∠APD＝？
【解說】∵正三角形內角為 60 0
∴∠ABP＝∠DCP＝90 0 －60 0 ＝30 0 又DAPB 及DDCP 為等腰三角形。
Þ 兩底角＝
2 30 180 0 - 0
＝75 0
∵對 P 點而言，一周角＝360 0
∴X＝360 0 －60 0 －75 0 －75 0 ＝150 0
【範例】如右圖，求∠BPC－∠DPC＝？
【解說】∵三角形內角和＝180 0
∴∠PCB＝180 0 －90 0 －55 0 ＝35 0
∠PBC＝180 0 －90 0 －47 0 ＝43 0 由外角定理知：
∠DPC＝∠PCB＋∠PBC＝35 0 ＋43 0 ＝78 0
∵∠BPC＝180 0 －78 0 ＝102 0 （補角） 。
∴∠BPC－∠DPC＝102 0 －78 0 ＝24 0
【範例】DDBF、DCEF 均為等腰三角形，∠A＝100 0 ，求∠DFE＝？
【解說】Q 三角形內角和＝180 0
∴∠B＋∠C＝180 0 －100 0 ＝80 0 Q △DBF、△CEF 均為等腰三角形 又兩個三角形內角和＝360 0
∴2X＋2Y＋∠B＋∠C＝360 0 2X＋2Y＝360 0 －80 0 ＝280 0 X＋Y＝140 0
∴∠DFE＝180 0 －(X＋Y)
＝180 0 －140 0 ＝40 0
A
B C
D E
F 100 O X
X Y
Y
A
B
C D
E F
A
D
C B E
P 37 0
59 0
62 0
A
B C
D
E
F G
H
I 1
2
3 4
5 6
A
B C
D
E
F G
H
I
A
B
C D
G E
F
1 2 A
B
C D
G E
F
【範例】如右圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F？
【解說】∠B＋∠D＋∠F＝180 0
∠A＋∠C＋∠E＝180 0
Þ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360 0
【範例】如圖，求∠B 與∠C。
【解說】Q ∠A＋∠ADB＝∠B＋∠AEB【8 字型定理】
Þ 37 0 ＋59 0 ＝∠B＋62 0
Þ 37 0 ＋59 0 －62 0 ＝∠B Þ ∠B＝34 0
∠APB＝∠A＋∠ADB＝37 0 ＋59 0 ＝96 0
∠APB＝∠A＋∠B＋∠C 【箭頭定理】
Þ ∠C＝∠APB－∠A－∠B ＝96 0 －37 0 －34 0 ＝25 0
【範例】求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I=？
【解說】連接 AB 、 AC 、 BC
∠D＋∠E＝∠1＋∠2【8 字型定理】
∠G＋∠F＝∠3＋∠4【8 字型定理】
∠H＋∠I＝∠5＋∠6【8 字型定理】
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I
＝∠A＋∠B＋∠C＋∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝180 0
【範例】求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G =？
【解說】作 DE ∠A＋∠G = ∠1＋∠2【8 字型定理】
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G
= ∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F + ∠1＋∠2
= ( 5 – 2 ) ×180 0 = 540 0
A
B C
P
1 2 3 4
A
B C
I
1 2
3 4
92 0 A
B
C
D E
F G H I
1
2 3
4 5
92 0 A
B
C
D E
F G H
【範例】三原利用摺紙，摺出一個蛙形圖案，如圖所示，若∠I＝92 0 ，則 I
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝ˉˉˉˉ度。
【解說】延長 IG 得 I 的外角∠5，
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H
= ∠1＋∠2＋∠3＋∠4【三角形的外角定理】
又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 = 360 0 【n 邊形外角和為 360 0 】
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H
= 360 0 - (180 0 - 92 0 ) = 272 0
三角形內外角平分線性質
當我們進一步延伸內角和及外角定理，對於三角形內、外角平分線可以得到以下 3 個常 見性質。
【三角形內角平分線性質】
任一DABC，若∠B 平分線與∠C 平分線相交於DABC 內的一點 I，
則有∠BIC＝90 0 ＋ 2
1 ∠A。
【證明】∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180 0 －∠A Q ∠1＝∠2、∠3＝∠4
∴∠1＋∠3＝
2 180 0 - Ð A 由箭頭定理知：
∠BIC＝∠A＋∠1＋∠3＝∠A＋
2 180 0 - Ð A
＝90 0 ＋ 2 1 ∠A
【三角形外角平分線性質】
任一DABC，若∠B 的外平分線與∠C 的外平分線相交於DABC 外的一點 P，
則有∠BPC＝90 0 － 2 1 ∠A
【證明】∠1＝∠2，∠3＝∠4(角平分線)
∴∠A＋（180 0 －2∠2）＋（180 0 －2∠3）＝180 0 (三角形內角和) Þ ∠2＋∠3＝
2 180 0 + ÐA
∴∠BPC＝180 0 －（∠2＋∠3）＝90 0 － 2 1 ∠A
A
B C
E
1
2 3
4 30 O
A
B C
E
1
2 3 4
A
B C
P
1 2 3
4
30 0
x x y y
【三角形內、外角平分線性質】
在DABC 中，內角∠B 的平分線與∠C 的外角平分線相交於一點 E，則有∠BEC＝
2 1 ∠A
【證明】由外角定理知：
∠3＋∠4 ＝（∠1＋∠2）＋∠A Q ∠1＝∠2、∠3＝∠4
∴2∠4＝2∠2＋∠A Þ ∠4 －∠2＝
2 1 ∠A
由外角定理知： ∠4 ＝∠2＋∠BEC
∴∠BEC＝∠4 －∠2＝
2 1 ∠A
【範例】已知，∠A＝60 0 ，∠1＝∠2、∠3＝∠4，求∠BIC＝?
【解說】∵∠A＝60 0
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180 0 －60 0 ＝120 0 Q ∠1＝∠2、∠3＝∠4
∴∠1＋∠3＝
2 120 0
＝60 0 由箭頭定理知：
∠BIC＝∠A＋∠1＋∠3＝60 0 ＋60 0 ＝120 0
【範例】如圖，∠1＝∠2、∠3＝∠4，求∠P＝？
【解說】 Q 三角形內角和＝180 0
30 0 ＋（180 0 －2x）＋（180 0 －2y）＝180 0 Þ 210 0 ＝2x＋2y
Þ x＋y＝105 0
∠P＝180 0 －105 0 ＝75 0
A
B C
I
1 2
3 4 60 O
A
B C
140 0 A
B C
A
B C
A
B
C 135 0
A
B C
【範例一】 【練習一】
(1)△ABC 中，若∠A＝2∠C 且∠B＝30 0 ， 求 2∠A＋∠C＝______度。
(2) △ABC 中，若∠A＋∠B＝108 0 ，
∠C＝3∠A，求∠B＝______度。
（1）△ABC 中，若∠A＝4∠B，且∠A＝4∠C，
求∠A＝__120_度。
（2）△ABC 中，若∠A＝
6
5 ∠B，且∠C 比
∠B 小 7 0 ，求∠A＝_55_度。
【範例二】 【練習二】
△ABC 中，若∠B 的外角是 135 度，且∠C 比∠B 大 25 度， 求∠A＝___度。
△ABC 中，若∠C 的外角是 140 度，且∠A－
∠B＝10 0 ，求∠B＝___度。
【範例三】 【練習三】
一等腰三角形一底角的度數等於其頂角度 數的 4 倍，求頂角度數。
一等腰三角形有兩個內角度數比為 4:1，求其 頂角度數。
100 O 54 O
x
y
117 O
110 O y
x
y
120 O 61 O
x 113 O x 119 O
y
x
52 O
58 O 41 O y
55 O 25 O
15 O
y x
3 2
1 4 32 0
O C
F A B
C
D E
F 1 2
3 5 4 6
【範例四】
求下列各圖中 x 與 y 之值：
（1） （2） （3）
【練習四】
求下列各圖中 x 與 y 之值：
（1） （2） （3）
【範例五】 【練習五】
已知∠COF＝32 0 ，∠1＝3∠2，求∠3、∠4 如圖，∠3＝∠5＝90 0 ，∠6＝50 0 ，求∠2＝？
A C
B E
P
1 3
2 4 D
A B
D C
O
x x+15
x5 2x10
D A
B E C
37 0
62 0 59 0
A
B C
D
E
F G
H
I
A
B C
P
D O
【範例六】 【練習六】
如圖，求 x 與∠AOB。 如圖，求∠B 與∠C。
【範例七】
求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G
＝?
【練習七】
求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋
∠H＋∠I＝?
【範例八】 【練習八】
△ ABC 中，∠B 與∠C 的平分線之夾角為 115 度，則∠B 的內角平分線與∠C 的外角平分 線之夾角為 ________ 度。
如圖， AD ^ AE ，∠DCB 的平分線與∠EBC 的平分線交於 P，則∠P＝___度。
A
B C
D E
F G
