3 1

1

n 邊形的內角 ( n $

⁾

1. n 邊形的內角和度數為180°×( n－2 )。

2. 正 n 邊形的每個內角度數為 180°×( n－2 )

n 。

1 下列哪一組角度可以是三角形的三個內角度數？ ^{( 8 分 )} 6^分

訟 30°、60°、100_°　　訠 45°、45°、91°　　 訡 0°、90°、90_{°　　　訢} 50°、60°、70° 答：　　　。

2 以下是推算右圖八邊形內角和的步驟：

步驟 1：從 A 點最多可以作出 a 條對角線。

步驟 2：這些對角線將八邊形分割成 b 個三角形。

步驟 3：利用三角形的內角和求得八邊形的內角和為 c 度。

關於上述 a、b、c 的數值，下列哪一個選項錯誤？^{( 9 分 ) 8分} 訟 a＝5_{訠 b＝}6　　

訡 a×180_{＝c　　訢 c＝}1080 答：　　　。

3 正八邊形的一個內角為 　　　　 度。 ^{( 8 分 )} 6^分

基礎練習

訢

因為三角形的內角和為180°，而內角不可能為 0°，所以訟、訠、訡不合，

故選訢。

A

訡

a＝8－3＝5；b＝a＋1＝6；c＝180×b＝1080。

135 180×( 8－2 )÷8＝135。

內角與外角

3

1

4 已知邊長相等的正六邊形杯墊與正五邊形杯墊拼接如右圖，

則下列選項哪一個正確？　　　　　　　　　^{( 8 分 ) 7分} 訟 ∠1＝120_{°　　訠 ∠}2＝108°　　

訡 ∠3＝130_{°　　訢 ∠}2＜∠3 答：　　　。

5 已知一個三角形最多有 m 個內角是鈍角；一個四邊形最多有 n 個內角是鈍角，

則 m＋n＝？ ^{( 8 分 ) 7分}

訟 3_訠 4_訡 5_訢 6 答：　　　。

對頂角

兩直線相交所形成的對頂角相等。

6 如右圖，兩直線相交形成∠1、∠2、∠3、∠4， 則下列敘述何者錯誤？　　　　　 ^{( 8 分 ) 6分} 訟 ∠1＝∠3_{訠 ∠}2＝∠4　　

訡 ∠3 與∠2_{互補　　訢 ∠}3與∠4互餘 答：　　　。

1 3 2

訢

∠1＝540°÷5＝108°；∠2＝720°÷6＝120°；

∠3＝360°－120°－108°＝132°＞∠2。

訠

一個三角形最多有1 個內角是鈍角 ( 因若有 2^個，則內角和超過180°)；

一個四邊形最多有3 個內角是鈍角 ( 因若有 4^個，則內角和超過360°)。

故 m＝1，n＝3，m＋n＝4。

1 2

3 4

訢

訢 因為∠3＋∠4＝40°，所以∠3與∠4 互補。

7 兩直線相交如右圖，若∠2－∠1＝110°，則∠1＋∠3

＝　　　　 度。　　　　　　　^{( 8 分 ) 7分}

三角形的外角

1. 三角形的任一外角等於其內對角的和。

2. 三角形的一組外角和為360°。

8 下列哪一組角度可以是三角形的三個外角度數？ ^{( 8 分 )} 6^分

訟 30°、60°、90_{°　 　訠} 60°、60°、60°　　 訡 90°、90°、180_°　　訢 120°、120°、120° 答：　　　。

9 在△ABC中，已知∠1為∠A的外角，則下列敘述何者不一定正確？ ^{( 8 分 ) 7分} 訟 ∠1與∠A 互補　　訠 ∠1＝∠B＋∠C　　

訡 ∠1＞∠B　　　 　訢 ∠1＞∠A 答：　　　。

1 2 3 4

70

因為∠2＋∠1＝180°，

所以由∠2－∠1＝110°可得∠1＝35°， 又∠1＝∠3，故∠1＋∠3＝2∠1＝70°。

訢

因為三角形的外角和為360°，而外角不可能為 180°， 所以訟、訠、訡不合，故選訢。

訢

若∠A 為直角或鈍角，則∠1 # ∠A；

∠1＞∠A 只有在∠A 為銳角時正確，故選訢。

3-1　內角與外角 35

10 如右圖，家豪繞著三角形公園散步，沿著 P → B

→ C → Q 的路線，已知∠A＝120°，則家豪共轉 了 　　　　 度。　　　　　　　　^{( 9 分 ) 8分}

11 如右圖，在△ABC 中，已知∠1、∠2分別為∠BCA、∠BAC 的 外角。若∠2＝140°，則∠1－∠3＝　　　　 度。^{( 9 分 ) 8分}

12 在△ABC 中，已知∠A 的外角為 120°，若∠B＝3∠C，則∠C＝　　　　 度。

( 9 分 ) 8分 A

P Q

B C

300

家豪轉的角度＝∠B 與∠C 的外角和。

因為∠A 的外角＝180°－120°＝60°，

所以∠B 與∠C 的外角和＝360°－60°＝300°， 故家豪共轉了300°。

1 A

3

2 4

D

B E

C

40 因為∠1是∠BCA 的外角，

所以∠1＝∠3＋∠4，

因此∠1－∠3＝∠4＝180°－∠2＝40°。

30 由∠A 的外角為120°可知∠B＋∠C＝120°，

又∠B＝3∠C，可得∠B＋∠C＝3∠C＋∠C＝120°， 故∠C＝30°。

1 如右圖，在△ABC 中，已知∠ABC 和∠ACB 的角平分線 相交於 I 點。若∠A＝60°，求∠BIC 的度數。　　 ^8分

2 如右圖，在四邊形 ABCD 中，∠ABC 和∠ADC 的角平分線 交於 E 點。若∠A＝120°，∠C＝60°，求∠BED＝　　　　

度。 8^分

精熟練習

E-3-5

E-3-6 E-3-4 E-3-3 E-3-2

E-3-8

E-3-9

E-3-10

E-3-11

E-3-1 E-3-7

E-3-20

E-3-26

E-3-27

E-3-28

E-3-33

E-3-36 E-3-21

E-3-22

E-3-23

E-3-24

E-3-25

NJ1C22-E9-0121

國中數學-威豪 ABCD

A

P Q

B C

1 2

3 4

1 2

3 1 3 2

4

1 2 3 4

A

A

A

B

B

C

C

D

D P

Q

1

A

A

A

A

E D

D D

B

B

B

D

C B

E

E F

C C

C

A

3

2 4

D

B E

E

E

C

A B L

A

I

B C

11 2

2

A

A

A B D

B

B C

C

C E

A

B E

C D

Q

O P L

O A

C

B

A B

C D

D

C

B

A

M

L1

L2

20°

∠BIC ＝180°－∠1－∠2

＝180°－1

2 ( ∠ABC＋∠ACB )

＝180°－1

2 ⁽ 180°－∠A )＝90°＋1

2 ^∠A＝120°

A

E B

C D

150

∠BED ＝360°－∠A－ 1

2^∠ABC－

1

2 ^∠ADC

＝360°－∠A－ 1

2 ( ∠ABC＋∠ADC )

＝360°－∠A－ 1

2 ⁽ 360°－∠A－∠C )

＝180°－ 1

2^∠A＋

1

2^∠C＝150°

3-1　內角與外角 37

1

基本 尺規作圖

直尺不使用其刻度，只用來繪畫通過兩點的直線或線段，圓規只用來繪 畫以某點為圓心，某一線段長為半徑的圓或圓弧。分別有等長線段作圖、

等角作圖、中垂線作圖、過線外一點作垂線作圖、過線上一點作垂線作 圖與角平分線作圖。

1 如下圖，已知三角板 ABC 停靠在直尺的邊上，先以頂點 C 為支點，依順時針 方向翻滾，直到 AC 停靠在直尺的邊上；再以頂點 A 為支點，依順時針方向翻 滾，直到 AB 停靠在直尺的邊上；最後以頂點 B 為支點，依順時針方向翻滾，

直到 BC 停靠在直尺的邊上。若在翻滾的過程中並未發生滑動的情形，試完成 下列尺規作圖： ( 每小題 20 分 ) 每小題14^分

优 作出頂點 B、C 最後停靠在直尺邊上的位置。

悠 作∠POQ＝∠C－∠B。

基礎練習

A

D

B C E F

在直尺的邊上依序作

CD＝CA，DE＝AB，EF＝BC，

則 E、F 兩點分別為 B、C 兩點 最後停靠在直尺邊上的位置如左圖。

如左圖，作∠POR＝∠C，∠QOR＝∠B，

則∠POQ 即為所求。

P Q R

O

基本尺規作圖

3

2

2 已知下圖的 AB，試利用尺規作圖完成下列圖形： ( 每小題 20 分 ) 每小題14分

优 作 AB 的對稱軸。

悠 承优，在 AB 上作 C 點，使得 AC＝ 1

4^AB。

3 如右圖，若 AB＝1，試利用尺規作圖作一線段長為 2^{。 ( 20 分 )}

14分

优 作 AB 的垂直平分線 L1， 則 L₁即為所求。

悠 設 L1交 AB 於 M 點，

作 AM 的中垂線 L₂交 AM 於 C 點，

此時 AC＝ 1

2^AM＝

1 2 ⁽

1

2 ^{AB )＝}

1

4 ^AB，

故 C 點即為所求。

C

B

A

M

L1

L2

A B

畫一直線 L，並在 L 上取一點 O，交 C、P 兩點，

以 O 為圓心，AB 為半徑畫弧，

作 OQ⊥直線 L 交前弧於 D 點，

連 CD，則 CD＝ 1²＋1²＝ 2^即為所求。

C O P L

D Q

39

3-2　基本尺規作圖

1 利用尺規作圖在下圖的 AC 上找出 D 點，使得△ABD 為直角三角形。

优 若∠ABD＝90°。 ^{每小題15分}

D

A B

C

悠 若∠ADB＝90°。

D

A B

C

精熟練習

過 B 點作 BD⊥AB，

交 AC 於 D 點即為所求。

過 B 點作 BD⊥AC，交 AC 於 D 點即為所求。

1

三角形全等

若△ABC 經過平移、旋轉或翻轉之後會與△DEF 完全疊合，記作

△ABC , △DEF，其對應邊相等、對應角相等。

1 已知△ABC , △DEF 且 A、B、C 三點分別對應到 D、E、F 三點。若∠C＝

60°，∠E＝70°，則∠A＝　　　　 度。 ^{( 4 分 )} 5^分

2 已知△ABC , △DEF 且 A、B、C 三點分別對應到 D、E、F 三點。若 AB＝2x＋2， BC＝3x＋1，AC＝2x－5，DF＝7，試求下列各題： ( 每小題 6 分 ) 每小題8^分

优 x＝　　　　。

悠 △DEF 的周長＝　　　　。

基礎練習

50

由△ABC , △DEF 及其對應關係可知∠B＝∠E，

故∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－∠E－∠C＝50°。

6

由△ABC , △DEF 及其對應關係可知 AC＝DF，AB＝DE，BC＝EF，

故2x－5＝7，2x＝12，x＝6。

40

因為 DE＋EF＋DF＝AB＋BC＋DF＝( 2x＋2 )＋( 3x＋1 )＋7＝5x＋10， 故 x＝6代入後可得△DEF 的周長為40。

三角形全等

3

3

全等三角形的判別

兩個三角形全等的判別方法：SSS、SAS、RHS、ASA、AAS 全等性質。

3 如右圖，在△ABC 與△PRQ 中，已知 AB＝PR，

AC＝PQ，若再加上 　　　　＝　　　　，即可 根據 　　　　 全等性質，得知△ABC , △PRQ。

( 每格３分 ) 每格２分

4 如右圖，在△ABC 與△XYZ 中，已知 AB＝XY，

∠B＝∠Y，若再加上∠　　　＝∠　　　，即可 根據 　　　 全等性質，得知△ABC , △XYZ。

( 每格３分 ) 每格２分

5 如右圖，已知 FO＝FR，OU＝RU，試回答下列各題：

优 △FOU , △FRU。

解： 在△FOU 與△FRU 中，　^{( 每格３分 ) 每格２分} 因為 FO＝　　　　，

　　 OU＝　　　　，

　　 FU＝　　　　 ( 公用邊 )，

所以由 　　　　 全等性質得知△FOU , △FRU。

悠 若∠O＝30°，則∠R＝　　　　 度。 ^{( 4 分 ) 5分}

A

B

C

P

R Q

BC RQ

SSS

另解：∠A＝∠P，

　　　根據 SAS 全等性質。

A B

C X

Y

Z

A X

ASA 另解：

∠C＝∠Z，根據 AAS 全等性質。

F U

R

O

FR RU FU SSS

30

∠R＝∠O＝30°( 對應角相等 )。

6 如右圖，已知∠CDB＝∠ABD，∠CBD＝∠ADB。

試回答下列各題：　　　　　^{( 每格３分 ) 每格２分} 优 △BCD , △DAB。

解： 在△BCD 與△DAB 中，

因為∠CDB＝　　　　， 　　∠CBD＝　　　　，

　　　DB＝　　　　 ( 公用邊 )，

所以由 　　　　 全等性質可知△BCD , △DAB。

悠 若四邊形 ABCD 的周長為36且 CB＝2CD，則 AB＝　　　　。^{( 8 分 ) 8分}

7 如右圖，已知操場上兩根旗竿 AB、CD 與拉繩 AD、

CB。程憑說：「若能確認拉繩 AD＝CB，即可得知 兩旗竿等高。」試根據程憑的說法完成下列空格，

以說明兩旗竿等高。　　　　^{( 每格３分 ) 每格２分}

解： 在△ABD 與△CDB 中，

因為∠ABD＝90°＝　　　　 ( 旗竿垂直地面 )，

　　BD＝　　　　 ( 公用邊 )，

　　AD＝　　　　 ，

所以由 　　　　 全等性質得知△ABD , △CDB，

故可由對應邊 AB＝　　　　 得知兩旗竿等高。

C B

A D

z z

∠ABD

∠ADB DB ASA

6 由對應邊等長 CD＝AB，CB＝AD，

得 AB＋BC＋CD＋AD＝36，2AB＋2CB＝36，

2AB＋4CD＝36，2AB＋4AB＝36，6AB＝36，AB＝6。

A

B D

C

∠CDB BD

CB RHS

CD

43

3-3　三角形全等

8 如右圖，已知△ABC 與△CDE 為正三角形，連接 AD 及 BE，試完成下列空格，以說明△ACD , △BCE。

解： 在△ACD 與△BCE 中，　　^{( 每格３分 ) 每格２分} 因為 AC＝　　　　 ( △ABC 為正三角形 )，

　　CD＝　　　　 ( △CDE 為正三角形 )，

　　∠ACD＝60°＋　　　　＝　　　　，

所以由 　　　　 全等性質得知△ACD , △BCE。

1 如右圖，在△ABC 中，已知 AB＝CB，D 點在 CB 上。若欲在 AB 上取 E 點，使△ABD , △CBE。試回答下列問題：

优 誰的說法正確？請說明你的理由。　　　　　　 ^每格２分 大寶說：「在 AB 上取 BE＝BD。」

小惠說：「在 AB 上取 BE＝AE。」

答：　　　　　　。

因為在△ABD 與△CBE 中，

AB＝　　　　，

∠B＝　　　　 ( 公用角 )，

BD＝　　　　 ，

所以由 　　　　 全等性質得知△ABD , △CBE。

悠 承优，若∠ADC＝110°，則∠BEC＝　　　　 度。 ^８分

A

B

C

D E

BC CE

∠BCD ∠BCE SAS

精熟練習

A

B D C

E

大寶正確

CB

∠B BE

SAS

70 對應角∠BEC＝∠BDA＝180°－∠ADC＝70°。

1

等腰三角形性質

1. 等腰三角形的性質：兩底角相等，頂角平分線會垂直平分底邊。

2. 等腰三角形的判別性質：有兩個內角相等的三角形一定是等腰三角形。

1 如右圖，在△ABC 中，已知∠B＝∠C，且 AD 平分∠BAC。

若 AB＝10，BC＝16，求 AD 的長度。 ^{( 10 分 )} 7^分

2 如右圖，在△ABC 中，已知 AB＝AC，CD 垂直 AB 於 D 點。

若∠BCD＝20°，求∠A 的度數。 ^{( 10 分 ) 7分}

基礎練習

A

B C

因為∠B＝∠C， D

所以 AB＝AC＝10，

又 AD 平分∠BAC，故 AD 垂直平分 BC，

因此 AD＝ 10²－8²＝6。

A

D

B C

20°

因為∠BCD＝20°，且 CD⊥AB，

所以∠B＝90°－20°＝70°， 又 AB＝AC，所以∠B＝∠ACB，

故∠A＝180°－2×70°＝40°。

全等三角形的應用

3

4

正三角形的高與面積

若正三角形 ABC 的邊長為 a，則：

优 △ABC 的高＝ 3 2 ^a。

悠 △ABC 的面積＝ 3 4 ^a

2。

3 在進行生活科技的「雷射切割」課程時，阿齊發現9 ^個 全等的正三角形零件可拼組成 1個大的正三角形 ABC 如右圖，取 3個零件則可拼組成 1個等腰梯形 BDGF。

若△ABC 的邊長為 18 公分，試計算出梯形 BDGF 的下

列數值： ( 每小題 5 分 ) 每小題5分

优 周長為 　　　　 公分。

悠 面積為 　　　　　 平方公分。

忧 對角線長 BG 為 　　　　　 公分。

A

a a

B H C

2 3

2 a 1

F G

B D

隗

A

F

D C

B

E G

30

因為梯形 BDGF 是由3個正三角形所拼組如附圖， 每個正三角形的邊長為6 公分，

故梯形 BDGF 的周長＝6×5＝30 ( 公分 )。

27 3

每個正三角形的面積＝ 3

4 ^×6²＝9 3 ( 平方公分 )，

故梯形 BDGF 的面積＝9 3 ×3＝27 3 ( 平方公分 )。

6 3

每個正三角形的高為 3

2 ^×6＝3 3 ( 公分 )，

故梯形 BDGF 的對角線長 BG＝3 3×2＝6 3 ( 公分 )。

中垂線性質

1. 中垂線的性質：線段的中垂線上任一點到此線段兩端的距離相等。

2. 中垂線的判別性質：與線段兩端距離相等的點必在此線段的中垂線上。

4 如右圖，已知 AD 垂直平分 CE，且∠B＝90°，若 BC＝6，AE＝8，求 AB 的長度。 ^{( 10 分 ) 7分}

5 ^步驟1：分別以 A、B 兩點為圓心，15為半徑畫弧，兩弧交於 C 點。

步驟2：分別以 A、B 兩點為圓心，13為半徑畫弧，兩弧交於 D 點。

步驟3：連 CD 交 AB 於 E 點。

已知 AB，右圖是浩南根據上述尺規作圖的步驟所完成的圖 形。若 CE＝9，試計算下列各題： ( 每小題 5 分 ) 每小題5分

优 AE 的長度為 　　　　。

悠 AB 的長度為 　　　　。

忧 CD 的長度為 　　　　。

A B

C D E

因為 AD 垂直平分 CE，

所以 AC＝AE＝8，

故 AB＝ 8²－6² ＝2 7。

A

D E B

C

12

因為 AC＝BC＝15，且 AD＝BD＝13，　 所以對稱軸 CD 垂直平分 AB 於 E 點，

利用畢氏定理可得 AE＝ 15²－9²＝12。 24

AB＝2AE＝24。

14

因為∠AED＝90°，所以 DE＝ 13²－12²＝5， 可得 CD＝CE＋DE＝9＋5＝14。

47

3-4　全等三角形的應用

6 大寶在一張圓形色紙上畫一個△OAB，其中 O 點為 圓心，A 點在圓內，B 點在色紙的邊緣上。當大寶 將 B 點摺向 A 點重合時，得摺線 PQ 交 OB 於 C 點，

如右圖。若連接 AC，則 AC＋CO 的長度應與下列

何者相同？ ^{( 10 分 ) 7分}

□ AB　　□ BO　　□ CP　　□ CQ

直角三角形的判別性質

若三角形有兩邊的平方和等於第三邊的平方，則此三角形必為直角三角 形。

7 如右圖，△ABC 中，已知 BD⊥AC 於 D 點。若 AB＝15， BC＝8，AC＝17，試回答下列問題：( 每小題 5 分 ) 每小題5^分

优 △ABC 的面積為 　　　　。

悠 高 BD 的長度為 　 120 17 ^。

P

Q

O A

C

B

菁

因為 B 點摺向 A 點重合，

所以摺線 PQ 垂直平分 AB，

又 C 點在 PQ 上，所以 AC＝BC，

故 AC＋CO＝BC＋CO＝BO。

A B

C D

60

因為 AB ²＋BC ²＝15²＋8²＝289＝17²＝AC ²， 所以∠ABC＝90°，

可得△ABC 的面積＝1

2 ^×15×8＝60。

因為1

2 ^×17×BD＝60， 所以 BD＝120

17 ^。

角平分線性質

1. 角平分線的性質：角平分線上任一點到此角兩邊的距離相等。

2. 角平分線的判別性質：與角兩邊距離相等的點必在此角的角平分線上。

8 如右圖，在△ABC 中，D、E、F 三點分別在 BC、AB、

AC 上，且 DE⊥AB、DF⊥AC。已知∠C＝60°，∠BAD

＝45°，AB＝5 3，AC＝5，則：( 每小題 10 分 ) 每小題7^分

优 若 DE＝DF，則∠DAC＝ 　　　　 度。

悠 若△ABD 面積：△ACD 面積＝ 3：1，則∠B＝　　　　 度。

A F E

D C

B ⁶⁰

45

45

因為 DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，

所以 AD 平分∠BAC，

故∠DAC＝∠BAD＝45°。

30

因為△ABD 面積＝AB×DE÷2，△ACD 面積＝AC×DF÷2， 由△ABD 面積：△ACD 面積＝ 3：1^可知

( 5 3×DE÷2 )：( 5×DF÷2 )＝ 3：1， 得 DE：DF＝1：1，

所以 AD 平分∠BAC，

∠B＝180°－60°－( 45°×2 )＝30°。

49

3-4　全等三角形的應用

1 如右圖，在四邊形 ABCD 中，已知 AC 平分

∠BAD，且∠B＝90°。若 BC＝8，AD＝21， 求△ADC 的面積。　　　　　　　　 ^９分

2 已知右圖的等腰△ABC，試判斷下列兩者的說法是否正確 並說明理由。　　　　　　 ^９分

浩南說：「BC 的中垂線一定會通過 A 點。」

依霖說：「∠A 的角平分線一定會垂直 BC。」

精熟練習

A

E

B

D

C

作 CE⊥AD 於 E 點，因為 AC 平分∠BAD，

且∠B＝90°，所以 CE＝BC＝8， 可得△ADC 的面積＝ 1

2^×AD×CE＝

1

2 ^×21×8＝84。

A

B C

浩南的說法正確，因為 AB＝AC，

所以 A 點在 BC 的中垂線上 ( 中垂線的判別性質 )。

依霖的說法正確，因為∠A 為等腰△ABC 的頂角，

所以∠A 的角平分線會垂直平分底邊 BC ( 等腰三角形的性質 )。

1

三角形的邊長關係

优 在一個三角形中，任意兩邊之和＞第三邊。

悠 三線段 a、b、c 中，若 c 為最長邊，則只需檢驗符合 a＋b＞c，即可 判定 a、b、c 可組成三角形。

1 下列哪一組數不能成為三角形的三邊長？ ^{( 14 分 ) 10分} 訟 6、6、6_訠 2、5、3_訡 2、5、5_訢 0.6、0.9、1.4

答：　　　。

2 已知一個三角形的三邊長分別為10、10、x，求 x 的範圍。 ^{( 14 分 ) 10分}

基礎練習

訠

因為2＋3＝5，兩邊和沒有大於第三邊，

所以2、5、3 不能成為三角形的三邊長，故選訠。

10＋10＞x 10＋x＞10

123

圯 x＜20 x＞0

123

綜合以上條件可得 x 的範圍為 x＞0 且 x＜20。

三角形的邊角關係

3

5

3 若三線段長由大到小依序為 x－3、x－4、x－5，且此三線段長可以構成一個三 角形，則 x 的可能長度為何？ ^{( 14 分 ) 10分} 訟 4_訠 5_訡 6_訢 7

答：　　　。

三角形的邊角關係

在一個三角形中，大邊對大角，大角對大邊。

4 如右圖，在四邊形 ABCD 中，已知∠A＝61°，∠ABD＝59°，

∠CBD＝60°，∠C＝59°。試判斷下列線段的大小關係。

优 AB 　　　 AD。 　　　　　　　( 每格 10 分 ) 每格5分

悠 AB 　　　 BD。

忧 AB 　　　 CD。

訢

解法一： 由組成三角形的邊長條件可知 ( x－4 )＋( x－5 )＞x－3，

所以2x－9＞x－3，x＞6 ……… 淤 又因為邊長為正數，所以 x－5＞0，x＞5……… 于 由淤、于可知 x＞6_{，故選訢。}

解法二： 代入數值後檢視三角形邊長的構成條件

訟、訠：將4與5代入得三邊長分別為1、0、－1與2、1、0，故不合。

訡 將6代入得三邊長為3、2、1，因為 3＝2＋1，故不合。

訢 將7代入得三邊長為4、3、2，因為4＜3＋2，所以可以構成三角形。

A

B

C D 61°

59°

60°

59°

＞

＜

＜ 在△ABD 中，

因為∠A＝61°＞∠ADB＝180°－61°－59°＝60°＞∠ABD＝59°，

所以 BD＞AB＞AD ( 大角對大邊 ) ……… 淤 在△BCD 中，

因為∠CBD＝60°＞∠C＝59°， 　

所以 CD＞BD ( 大角對大邊 ) ……… 于 由淤、于可知 AB＜CD。

5 在△ABC 中，已知∠C＝60°，且∠A＜∠B，試判斷下列選項何者正確？^{( 14 分 )} 訟 ∠B＜∠C　　訠 ∠C＜∠A　　訡 AC＜AB　　訢 BC＜AC ^10分 答：　　　。

6 在△ABC 中，已知最大角∠A＝80°且 AB＞AC，試判斷下列選項何者正確？

訟 BC＜AC　　訠 BC＜AB　　訡 ∠B＜50°　　訢 ∠B＞∠C ^{( 14 分 ) 10分} 答：　　　。

1 如右圖，在四邊形 ABCD 中，已知 AB＝BC 且 AD＜CD，試比較下列角度的大小關係： ^每格7分 优 在△ABC 中，因為 AB=BC，

所以∠BAC 　　　 ∠BCA。

悠 在△ACD 中，因為 AD＜CD，

所以∠ACD 　　　 ∠CAD。

由优、悠可知：

∠BAD 　　　 ∠BAC＋∠CAD 　　　 ∠BCA＋∠ACD 　　　 ∠BCD。

訢

由∠C＝60°可知∠A＋∠B＝120°，

因為∠A＜∠B，所以∠A＜60°＝∠C＜∠B，

因此 BC＜AB＜AC ( 大角對大邊 )，故選訢。

訡

因為∠A 為最大角，所以 BC＞AB＞AC ( 大角對大邊 )，

由∠A＝80°得知∠B＋∠C＝100°，

又 AB＞AC，可得∠C＞50°＞∠B ( 大邊對大角 )，

故選訡。

精熟練習

A B

C

D

＝

＜

＝ ＞ ＝

53

3-5　三角形的邊角關係

1 9

2 4 3 6 0 85 1 3 5 6 9 74 0 7 3 8 6 1 85 9 7 3 5 4 6 3 8 56 1 8 9 7 3 5

6 9

3 4 6 5 0 87 1 3 5 6 9 74 0 9 5 8 6 1 85 9 7 3 5 4 6 0 8 56 1 8 9 7 3 5

8 5

6¹ 3^{3 9} 9 2 6 71 4 8 9 3 1 82 4 6 4 1 9 2 73 4 2 1 3 8 9 2 7 43 6 2 1 5 6 7

6

4 1 9

8 9

3 9

9 9

2 9

8 9

3 9

1 9

3 9

4 9

3 9

2 9

3 9

0 9

3 9

4 9

2 9

3 9

4 9 3 24 8

42 3

26 7

35 4

08 7

31 5

36 1

22 9

34 9

38 9

32 9

34 9

38 9

31 9

36 9

32 9

31 2

8 4 2

3

1 1 8 9 7 3 1 8 9 7 3 6 2⁹ 1 5 6

3 9

4 9 9 31 2

8 4 2

1 9

2 4 3 6 0 85 1 3 5 6 9 74 0 7 3 8 6 1 85 9 7 3 5 4 6 3 8 56 1 8 9 7 3 5

6 9

3 4 6 5 0 87 1 3 5 6 9 74 0 9 5 8 6 1 85 9 7 3 5 4 6 0 8 56 1 8 9 7 3 5

8 5

6¹ 3^{3 9} 9 2 6 71 4 8 9 3 1 82 4 6 4 1 9 2 73 4 2 1 3 8 9 2 7 43 6 2 1 5 6 7

4 1 9

8 9

3 9

9 9

2 9

8 9

3 9

1 9

3 9

4 9

3 9

2 9

3 9

0 9

3 9

4 9

2 9

3 9

4 9 3 2 8

4 3

2 7

3 4

0 7

3 5

3 1

2 9

3 9

3 9

3 9

3 9

3 9

3 9

3 9

3 9

3 2

8 4 3

1 8 9 7 3 1 8 9 7 3 6 2⁹ 1 5 6

3 9

4 9 9 3 2

8 4

總習題

一

選 擇 題

1 下列哪一個邊長組合可以構成一個直角三角形？

訟 1、1、1_訠 3、 4、 5 　　 訡 3²、4²、5²_訢 4、3、5

答：　　　。

2 颱風過後，蘭宜民宿的三角窗玻璃破裂成甲、乙、丙、

丁四片如右圖，若民宿主人臨時找不到工具量測三角窗 的長度及角度，但只需挑選一片玻璃碎片，即可讓玻璃 材料店按照三角形全等條件，切割出與△ABC 相同的三 角窗玻璃，則應挑選哪一片玻璃？

訟 甲　　訠 乙　　訡 丙　　訢 丁　　 答：　　　。

3 如右圖，在△ABC 中，已知 AB＝BC。若外角∠1＞∠2， 則下列角度或邊長的大小關係，何者正確？

訟 ∠ABC＝∠ACB　　訠 ∠BAC＞∠ABC　　 訡 AC＞AB　　　 　　訢 BC＞AC　　

答：　　　。 訢

因為 4²＋3²＝5²_{，故選訢。}

᷁ ḁ 䓚 ᶩ

A

B C

䓚 ḁ

᷁

ᶩ

訢

丁片可由∠A、∠C 與 AC 利用 ASA 全等性質，

還原出與三角窗全等的玻璃，

其餘碎片的邊、角資訊皆不足以還原△ABC。

1

2 A

B C

訡

因為 AB＝BC，所以∠BAC＝∠ACB ( 等腰三角形性質 )，

又∠1＞∠2，所以∠BAC＜∠ABC，

因此 BC ＝AB＜AC ( 大角對大邊 )，故選訡。

3 3

54

1 9

2 4 3 6 0 85 1 3 5 6 9 74 0 7 3 8 6 1 85 9 7 3 5 4 6 3 8 56 1 8 9 7 3 5

6 9

3 4 6 5 0 87 1 3 5 6 9 74 0 9 5 8 6 1 85 9 7 3 5 4 6 0 8 56 1 8 9 7 3 5

8 5

6¹ 3^{3 9} 9 2 6 71 4 8 9 3 1 82 4 6 4 1 9 2 73 4 2 1 3 8 9 2 7 43 6 2 1 5 6 7

6

4 1 9

8 9

3 9

9 9

2 9

8 9

3 9

1 9

3 9

4 9

3 9

2 9

3 9

0 9

3 9

4 9

2 9

3 9

4 9 3 24 8

42 3

26 7

35 4

08 7

31 5

36 1

22 9

34 9

38 9

32 9

34 9

38 9

31 9

36 9

32 9

31 2

8 4 2

3

1 1 8 9 7 3 1 8 9 7 3 6 2⁹ 1 5 6

3 9

4 9 9 31 2

8 4 2

1 9

2 4 3 6 0 85 1 3 5 6 9 74 0 7 3 8 6 1 85 9 7 3 5 4 6 3 8 56 1 8 9 7 3 5

6 9

3 4 6 5 0 87 1 3 5 6 9 74 0 9 5 8 6 1 85 9 7 3 5 4 6 0 8 56 1 8 9 7 3 5

8 5

6¹ 3^{3 9} 9 2 6 71 4 8 9 3 1 82 4 6 4 1 9 2 73 4 2 1 3 8 9 2 7 43 6 2 1 5 6 7

6

4 1 9

8 9

3 9

9 9

2 9

8 9

3 9

1 9

3 9

4 9

3 9

2 9

3 9

0 9

3 9

4 9

2 9

3 9

4 9 3 24 8

42 3

26 7

35 4

08 7

31 5

36 1

22 9

34 9

38 9

32 9

34 9

38 9

31 9

36 9

32 9

31 2

82 4 3

1 1 8 9 7 3 1 8 9 7 3 6 2⁹ 1 5 6

3 9

4 9 9 31 2

82 4

總習題

點出發，分別往 B 點、往 C 點的方向沿著公園外圍繞行，

已知兩人在 D 點相遇，即 AB＋BD＝AC＋CD，若∠B＞

∠C，則下列關於 D 點位置的敘述，何者正確？

訟 D 點在 AC 上　　 　訠 D 點為 BC 的中點　　 訡 D 點距 B 點較近　　訢 D 點距 C 點較近　 答：　　　。

5 如右圖，若琳琳欲在△ABC 內找一點 P，使得 PB＝PC，

且 P 點到 BC、AB 的距離相等，則琳琳應採用下列哪一 個交點？

訟 ∠B 的角平分線與∠C 的角平分線的交點　　　 訠 BC 的中垂線與 AB 的中垂線的交點　　

訡 ∠B 的角平分線與 BC 的中垂線的交點　　 訢 ∠C 的角平分線與 AB 的中垂線的交點　 答：　　　。

A

B

C

訢

因為∠B＞∠C，所以 AC＞AB，故甲走到 B 點時，乙還沒走到 C 點。

因此，相遇點 D 點在 BC 上且距 C 點較近。

A

B C

訡

因為 PB＝PC，故 P 點在 BC 的中垂線上；

因為 P 點到 BC、AB 的距離相等，故 P 點在∠B 的角平分線上，

故選訡。

55