二、研究內容》

(1)

一、研究目的》

以直線的傾斜角與三角函數，來求直角坐標平面上點到直線的距離公式。

二、研究內容》

已知A x y

(

0, 0

)

， :L ax+by+ = ， A Lc 0 ∉ ，直線 L 的傾斜角為θ，將傾斜角θ分成四類來討論， 0 2

θ π

< < 、θ= 、0 2 θ =π 、

π θ π2 < < 。

1. 0 < <

2 θ π ：

a≠ ，0 by⁰ c, ₀

B y L

a

− + ∈

 

  ，點 A 投影到 L 的投影點為 C，

ACB π2

∠ = ，AB



//x 軸，

ABC θ

∠ = ，如下圖所示：

(1) ₀ by⁰ c ax⁰ by⁰ c AB x

a a

+ +

− −

= − =

。

(2) 直線 L 的傾斜角為θ

，

2 2

0 tan sin 0

2

a a

b a b

θ π θ θ

< < ⇒ = − ⇒ = >

+ 。

李維昌／國立宜蘭高中

(2)

(3) 點 A 到直線 L 的距離

0 0 0 0

2 2 2 2

sin sin d AC AB ABC AB

ax by c a ax by c

a a b a b

θ

= = ⋅ ∠ = ⋅

+ + + +

= ⋅ =

+ + 。

2. = 0 θ ：

0, : 0

a= L by+ = ，點 A 投影到 L 的投影點為c ₀, c C x b

 − 

 

 ，點 A 到 L 的距離

0 0 0 0 0

0 2 2 2 2

0 0

by c x by c ax by c d AC y c

b b b a b

+ ⋅ + + + +

 

= = − −  = = + = +

。

3. = 2 θ π ：

0 :

,

0 + =

= L ax c

b

，

點 A 投影到 L 的投影點為 c, ₀

C y

a

− 

 

 

，

點 A 到 L 的距離

0 0 0 0 0

0 2 2 2 2

0 0

ax c ax y c ax by c d AC x c

a a a a b

+ + ⋅ + + +

 

= = − −  = = + = +

。

4. < <

π θ π 2

^：

0

0, by c, 0

a B y L

a

 + 

≠ − ∈

，

C 為 A 投影到 L 的投影點

，

ACB π2

∠ =

，

AB



//x 軸，

ABC π θ

∠ = − ，如下圖所示：

(3)

(1) ₀ by⁰ c ax⁰ by⁰ c AB x

a a

+ +

− −

= − =

。

(2) 直線 L 的傾斜角

2 2

tan sin( ) 0

2

a a

b a b

π θ π< < ⇒ θ= − ⇒ π θ− = >

+

。

(3) 點 A 到直線 L 的距離

( )

0 0 0 0

2 2 2 2

sin sin d AC AB ABC AB

ax by c a ax by c

a a b a b

π θ

= = ⋅ ∠ = ⋅ −

+ + + +

= ⋅ =

+ + 。

三、結論》

由 1、2、3、4 的討論，可得點A x y

(

0, 0

)

到直線 :L ax+by+ = 的距離c 0 ⁰ ⁰

2 2

ax by c d

a b + +

= +

。

(4)

一、前言》

99 課程數學課本第二冊第 4 章數據分析單元介紹使用「最小平方法」求二維數據的迴歸直線方程式，並進而使用迴歸直線來做預測。但是若有兩組數據，且已經分別求出各自的迴歸直線，那麼我們如何知道哪一組的迴歸直線較適合用來做預測呢？也就是說，迴歸直線雖然名稱為「最佳直線」，但用來做預估時，應有它準確性的限制，而所產生的誤差究竟有多大呢？本文即是探討二維數據的迴歸直線用來做預測時，所產生的誤差。

二、迴歸直線方程式推導》

各個高中數學課本版本對於推導迴歸直線方程式有所不同。翰林版與康熹版採用原始數據直接配方後而得〔註 1〕〔註 2〕，而龍騰版、南一版、全華版、三民版則是先將原始數據標準化後再配方〔註 3〕〔註 4〕〔註 5〕〔註 6〕。本文使用原始數據去推導迴歸直線，但是推導的過程與前述課本的方法有所不同，分別採用「改良式配方法」與「解二元一次方程組」兩種方法。

方法一：改良式配方法

有別於課本中的傳統配方法，在此將

(

yi− −a bxi

)

拆開成三項：y_i− 與y ^y⁻

(

^a⁺^bx

)

^與

(

ⁱ

)

b x −x ，再平方展開，推導過程如下：

( ) ( )

²

1

,

n

i i

i

E a b y a bx

=

∑

− −

( ( ) )

²

1 n

i i

i

y y y a bx

=

∑

− + − −

( ( ) ( ) ( ) )

²

1 n

i i

i

y y y a bx b x x

=

 

=

∑

− + − + − −

( )

²

( )

² ²

( )

²

( ) ( )

1 1 1 1

2

n n n n

i i i

i i i i

y y y a bx b x x y y y a bx

= = = =

   

=

∑

− +

∑

 − +  +

∑

− +

∑

−  − + 

( ) ( ) ( )( )

1 1

2 2

n n

i i i

i i

b x x y a bx b y y x x

= =

 

−

∑

−  − + −

∑

− −

蕭善夫／嘉義市興華高中

(5)

因為

( )

1 1 1

0

n n n

i i

i i i

x x x x nx nx

= = =

− = − = − =

∑ ∑ ∑

^，

同理

( )

1 1 1

0

n n n

i i

i i i

y y y y n y n y

= = =

− = − = − =

∑ ∑ ∑

故原式可繼續推導得到

( )

²

( )

² ²

( )

²

( )( )

1 1 1

2

n n n

i i i i

i i i

y y n y a bx b x x b x x y y

= = =

 

=

∑

− +  − +  +

∑

− −

∑

− − = + + ， A B C

我們發現上式為 A、B、C 三項的組合，其中

( )

²

1 n

i i

A y y

=

∑

−

^B⁼^{n y}^_ ⁻

(

^a⁺^bx

)

^_²

²

( )

²

( )( )

1 1

2

n n

i i i

i i

C b x x b x x y y

= =

=

∑

− −

∑

− − 觀察 A，B，C 三項可知：

( )

²

1 n

i i

A y y

=

∑

− ^{與 a，b 無關，}

( )

²

B=n y − a+bx  欲產生最小值，

必須^y⁻

(

^a⁺^bx

)

= ，亦即 y a bx⁰ = + ，而 ²

( )

²

( )( )

1 1

2

n n

i i i

i i

C b x x b x x y y

= =

=

∑

− −

∑

− −

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

2 2

2 2 1 1 1

2 2 2 2

1

1 1 1

2

n n

n

i i i i

i i

n

i i

i

i n n n

i

i i i

x x y y x x y y

x x y y

x x b b

x x x x x x

= =

=

= = =

  − −    − − 

 − −     

   

 

= −  − ⋅ − +  −  − −

∑ ∑

∑ ∑ ∑

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

2 2

2 1 1

2 2

1

1 1

n n

i i

n

i i

i n n

i

i i

x x y y x x y y

x x b

x x x x

= =

=

= =

 

 − −   − − 

   

 

= − − −

 −  −

 

 

∑ ∑

∑ ∑ ∑

^，

由上式可知，欲使 C 產生最小值，必須

( )( )

( )

1

2

1

0

n

i i

i n

i i

x x y y b

x x

=

− −

− =

−

∑

∑ ^，亦即

(6)

( )( )

( )

1

2

1 n

i i

i n

i i

x x y y b

x x

=

− −

=

−

∑

∑ ^，

若以上式解出的 b 代入 y a bx= + ，即可得到 a= −y bx

。方法二：解二元一次方程組

在這個方法中，將誤差平方展開後，依 a，b 分類，令一為常數，另一為變數，並配方後求 方程組的解。

( ) ( )

²

( )

²

1 1

,

n n

i i i i

i i

E a b a bx y a bx y

= =

=

∑

 + −  =

∑

 + − 

²

( ) ( )

²

1 1

2

n n

i i i i

i i

na a bx y bx y

= =

= +

∑

− +

∑

−

( ) ( )

2 2

1 2 1

2 1

2

1

2

n n

n

i i i i

i i n

i i

i

i i

i

bx y bx y

bx y

n a a bx y

n n n

= =

=

  −    − 

 −     

   

 

=  + ⋅ + + − −

 

 

∑ ∑

( )

( ) ( )

²

2

2 1

1

1 n n

i i

i i n

i i

i

bx y bx y

n a bx y

n n

= =

=

 

 −   − 

   

 

= + + − −

 

 

∑ ∑

∑ ^，

令 b 為常數，則欲使E a b 產生最小值，必須

( )

^,

( )

1 0

n

i i

i

bx y

a n

=

− +

∑

=

，亦即

1 1

n n

i i

na b x y

= =

+

∑

=

∑

同樣方法，若

( ) ( )

²

1

,

n

i i

i

E a b a bx y

=

∑

 + − 

⁽ ⁾

²

1 n

i i

i

bx a y

=

∑

 + − 

² ²

( ) ( )

²

1 1 1

2

n n n

i i i i

i i i

b x b x a y a y

= = =

=

∑

+

∑

− +

∑

−

( ) ( )

2 2

2 2 1 1 2 1

2 2 2

1 2 1

1 1 1

2

n n

n

i i i i

i i

n n

i i

i

i n n i n

i i

i i i

x a y x a y

x a y

x b b a y

x x x

= =

=

= =

= = =

  −    − 

 −     

   

 

=  + ⋅ +   + − −

∑ ∑

∑ ∑ ∑

(7)

( )

( ) ( )

²

2

2 1 2 1

2 2

1 1

n n

i i

n n

i i

i n i n

i i

x a y x a y

x b a y

x x

= =

 

 −   − 

   

 

= + + − −

 

 

∑ ∑

令 a 為常數，則E a b 欲產生最小值，必須

( )

,

( )

1 2 1

0

n

i i

i n

i i

x a y b

x

=

−

+

∑

=

∑ ^，亦即

2

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

a x b x x y

= = =

+ =

∑ ∑ ∑

由以上結果，可得到以 a，b 為變數的二元一次方程組

¹ ¹

2

1 1 1

n n

i i

n n n

i i i i

i i i

na x b y

x a x b x y

= =

= = =

 +  =

  

  

   

  +  =

   



∑ ∑

∑ ∑ ∑

由克拉瑪公式，得到方程組的解為

1 1

2 2

1 1 1 1 1 1

2 2

1 1 1

2

1 1

n n

i i

n n n n n n

i i i i i i i i

i i i i i i

n n n

i i i

n n

i i

y x

x y x x y x x y

a

n x n x x

x x

= =

= = = = = =

= = =

= =

⋅ − ⋅

= =

 

⋅ −  

 

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑

( )( )

( )

1

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2

2

1 1

1 1 1

2

1 1

n i i

n n n n n n n

i i i i i i i i i i i

i i i i i i i

n n

n n n

i i

i i i

i i

i i i

n n

i i

n y

x x y n x y x y x y nx y x x y y

b

x nx x x

n x n x x

x x

=

= = = = = = =

= =

= = =

= =

⋅ − ⋅ − − −

= = = =

  − −

⋅ −  

 

∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑

以上兩種推導的方法，其結果相同，得到迴歸直線方程式為 y a bx= + ，其中直線斜率

( )( )

( )

1

2

1 n

i i

i n

i i

x x y y b

x x

=

− −

=

−

∑

^{，而 y 截距 a}^{= −}^y ^bx^。

(8)

三、迴歸直線之誤差計算》

若是給定一組數據，我們已經可求出迴歸直線，而且知道這條直線是最能擬合原始數據的

「最適合直線」，但問題是：擬合的程度是如何？若是用迴歸直線來預測未知的數值時，其預測的誤差有多大？準確性有多高？為了解答上述的疑惑，以下我們針對預測所產生的誤差來討論。

因為迴歸直線方程式為 y= +a bx，令x 的預測值為 �_i y_i = +a bx_i，則可推導得

( )

²

(

^�

)

²

(

^�

)

²

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

y y y y y y

= = =

− = − + −

∑ ∑ ∑

^{（推導過程見附錄）}^。

我們發現，

( )

²

1 n

i i

y y

=

∑

− 可看成是一不變量，它不受迴歸直線方程式係數所影響，且此不變量由兩部分

(

�

)

²

1 n

i i

y y

=

∑

− ^與

(

^�

)

²

1 n

i i

i

y y

=

∑

− ^{所組成，而後者}

(

^�

)

²

1 n

i i

i

y y

=

∑

− 則是最小平方法所計算之誤差平方和，可視為以迴歸直線所預測產生錯誤的部分，相對而言，前者

(

�

)

²

1 n

i i

y y

=

∑

− ^{則可視為以迴} 歸直線準確預測的部分，此兩部分組成總不變量

( )

²

1 n

i i

y y

=

∑

− ^。

在實際估算時，若是要求預測能夠準確，則錯誤預測的部分

(

�

)

²

1 n

i i

i

y y

=

∑

− ^{要愈小愈好，正確} 預測的部分

(

�

)

²

1 n

i i

y y

=

∑

− 要愈大愈好，但這些數值受到數據個數 n 的影響，也就是數據個數愈多，

則誤差平方和當然愈大，但不代表預測不準確，故我們轉而計算預測正確部分

(

�

)

²

1 n

i i

y y

=

∑

− ^在總不變量

( )

²

1 n

i i

y y

=

∑

− 中占了多少百分比，因為

(

^�

)

²

⁽ ⁾ ( )

²

1 1

n n

i i

y y a bx a bx

= =

 

− =  + − + 

∑ ∑

( ) ( )( )

( ) ( )

2

2 2

2 1

1 2 1

1 n

i i

n n

i

i n i

i i

x x y y

b x x x x

x x

=

= =

=

 − − 

 

= ⋅ − = −

 − 

 

 

∑ ∑ ∑

∑

( )( )

( )

2

1

2

1 n

i i

i n

i i

x x y y x x

=

 − − 

 

 

=

−

∑

^，

(9)

所以

(

�

)

( ) (

^�

)

( )

2 1 2

2 2

1

1 1

1

n

i n

i

n i n

i

i i

y y

y y y y

=

= =

−

= − ⋅

− −

∑ ∑

( )( )

( ) ( )

2

1

2 2

1 1

1

n

i i

i

n n

i i

x x y y

=

= =

 − − 

 

 

= ⋅

− −

∑

∑ ∑

( )( )

( ) ( )

2

1

2 2

1 1

n

i i

i

n n

i i

x x y y

=

= =

 

 − − 

 

=  

 − − 

 

 

∑

∑ ∑

，

因為我們知道 x，y 的相關係數

( )( )

( ) ( )

1

2 2

1 1

n

i i

i

n n

i i

x x y y r

x x y y

=

= =

− −

=

− −

∑

∑ ∑

，故由上面的推導，我們發現

(

�

)

( )

2

1

2

1 n

i i

n i i

y y y y

=

−

∑

剛好等於相關係數的平方，此數值稱為決定係數(coefficient of determination)〔註 7〕，它表示用迴歸直線來做預測時的準確度，當決定係數愈大時，表示迴歸直線所做的預測愈準確。

四、實例分析》

以下這個實例係採自龍騰課本第二冊第 200 頁的例題〔註 3〕，我們將它延伸至求預測的準確度。

實例：若有甲乙丙丁戊 5 個考生，其筆試與口試的成績如下表：

考生甲乙丙丁戊

筆試成績 x 5 5 4 7 9

口試成績 y 3 1 4 3 9

若有一考生僅考筆試，且筆試成績為 8，請以迴歸直線預測其口試成績是多少？並說明預測結果的準確度。

(10)

解：將計算所用到的數據列表如下：

xi 5 5 4 7 9 x= 6

yi 3 1 4 3 9 y= 4

xi−x −1 −1 −2 1 3

yi−y −1 −3 0 −1 5

(

^xⁱ⁻^x

)

² ¹ ¹ ⁴ ¹ ⁹

(

^yⁱ⁻^y

)

² ¹ ⁹ ⁰ ¹ ²⁵

(

^xⁱ⁻^x

)(

^yⁱ⁻^y

)

¹ ³ ⁰ ⁻¹ ¹⁵

�yi= +a bxi 2.875 2.875 1.75 5.125 7.375

�

i i

y −y −0.125 1.875 −2.25 2.125 −1.625

(

�^yⁱ⁻^yⁱ

)

² ^0.015625 ^3.515625 ^5.0625 ^4.515625 ^2.640625

�

yi−y −1.125 −1.125 −2.25 1.125 3.375

(

�^yⁱ⁻^y

)

² ^1.265625 ^1.265625 ^5.0625 ^1.265625 ^11.390625

計算結果：

(1)

( )( )

( )

1

2

1

9 8

n

i i

i n

i i

x x y y b

x x

=

− −

= =

−

∑

(2) 11 a= −y bx= − 4

(3)迴歸直線方程式 9 11 8 4 y= x−

(4)總離均差平方和

( )

²

1

36

n i i

y y

=

− =

∑

(5)預測正確的平方和

(

�

)

²

1

20.25

n i i

y y

=

− =

∑

(6)預測錯誤的平方和

(

�

)

²

1

15.75

n

i i

i

y y

=

− =

∑

如同上面所推導的結果，我們發現總不變量

( )

²

1 n

i i

y y

=

∑

− ^等於

(

^�

)

²

1 n

i i

y y

=

∑

− ^與

(

^�

)

²

1 n

i i

i

y y

=

∑

− ^的和。

(11)

(7)決定係數

( )( )

( ) ( )

2

2 1

2 2

1 1

18 0.5625 16 36

n

i i

i

n n

i i

x x y y r

x x y y

=

= =

 

 − − 

 

 

= − −  =  =

∑

∑ ∑

故由以上的計算，可知筆試成績與口試成績的相關係數的值為 0.75，雖為中高度正相關，

但是決定係數的值為 0.5625，亦即使用迴歸直線來預測的準確度僅為 56.25%，不到六成，

準確度並不高。

五、結論》

一、一般高中數學課本在推導迴歸直線方程式時，是採用配方法，本文是採用二種不同的方法來推導，一是改良式的配方法，另一是解方程組，這兩種方法均是採用未標準化的數據，

而且所用到的觀念並未超出高中數學課程的範圍。

二、迴歸直線雖名為「最佳直線」，但在做預測時，其準確度受到相關係數大小的影響，且預測的準確度也就是決定係數等於相關係數的平方，所以在利用迴歸直線做預估時，若決定係數不大，所求出的迴歸直線並不適合用來做預測，這點在使用迴歸直線求預估值時常被忽略，

本文提出這個論點供作大家參考。

六、引註資料》

1.余文卿主編(2010)。高級中學數學第二冊。臺南市：翰林出版。

2.李虎雄等(2010)。高級中學數學第二冊。新北市：康熹文化。

3.許志農主編(2010)。高級中學數學第二冊。新北市：龍騰文化。

4.林福來等(2010)。高級中學數學第二冊。臺南市：南一書局。

5.楊壬孝主編(2010)。高級中學數學第二冊。新北市：全華圖書。

6.鄭惟厚、單維彰主編(2010)。高級中學數學第二冊。臺北市：三民書局。

7.林清山(1998)。心理與教育統計學。臺北市：東華書局。

(12)

七、附錄》

我們要證明

( )

²

(

^�

)

²

(

^�

)

²

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

y y y y y y

= = =

− = − + −

∑ ∑ ∑

^{，設迴歸直線為}^y^{= +}^{a bx}^{，直線上的點}

是

( )

^{x y ，其中 �}ⁱ^,�ⁱ ^yⁱ^{= +}^a ^bxⁱ。在證明之前，必須注意到 y a bx= + = 。第二個等號成立是因為y 迴歸直線必過點

( )

^{x y 。}^,

證明如下：

由

( )

²

(

^� ^�

)

²

1 1

n n

i i i i

i i

y y y y y y

= =

− = − + −

∑ ∑

(

�

)

²

(

^�

)

²

(

^�

) (

^�

)

1 1 1

2

n n n

i i i i i i

i i i

y y y y y y y y

= = =

=

∑

− +

∑

− +

∑

− −

我們的目標是證出

(

�

) (

^�

)

1

0

n

i i i

i

y y y y

=

− − =

∑

此式展開後化簡可得

(

�

) (

^�

) (

^� ^{� �} ^�

)

1 1

n n

i i i i i i i i i

i i

y y y y y y y y y y y y

= =

− − = − − +

∑ ∑

⁼

^∑

_iⁿ₌₁ ^{y y}ⁱ�ⁱ⁻^{n y}²⁻

^∑

_iⁿ₌₁ � �^{y y}ⁱ ⁱ⁺^{n y}² ⁼

^∑

_iⁿ₌₁

(

^{y y}ⁱ�ⁱ⁻�^yⁱ²

)

因此只需證明

^∑

_iⁿ₌₁

(

^{y y}ⁱ�ⁱ⁻�^yⁱ²

)

⁼⁰^即可

∑

_iⁿ₌₁

(

^{y y}ⁱ�ⁱ ⁻�^yⁱ²

)

⁼

∑

_i₌ⁿ₁^^{y bx}ⁱ

⁽

ⁱ⁺^a

^{) (}

⁻ ^bxⁱ⁺^a

⁾

²^

(

² ² ²

)

1

2

n

i i i i i

i

bx y ay b x abx a

=

∑

+ − − −

² ² ²

1 1

2

n n

i i i

i i

bx y na y b x nabx na

= =

=

∑

+ −

∑

− −

( )

² ² ²

1 1

2

n n

i i i

i i

bx y na bx a b x nabx na

= =

=

∑

+ + −

∑

− −

² ² ² ²

1 1

2

n n

i i i

i i

bx y nabx na b x nabx na

= =

=

∑

+ + −

∑

− −

² ²

1 1

n n

i i i

i i

b x y b x nabx

= =

=

∑

−

∑

−

²

1 1

n n

i i i

i i

b x y b x na x

= =

 

=  − − 

 ∑ ∑ 

(13)

此時，利用迴歸直線的斜率

( )( )

( )

1 1

2 2 2

1 1

n n

i i i i

i i

n n

i i

x x y y x y nx y

b

x x x nx

= =

− − −

= =

− −

∑ ∑

右邊分母乘到左邊，得

² ²

1 1

n n

i i i

i i

b x nbx x y nx y

= =

− = −

∑ ∑

移項成

² ²

1 1

n n

i i i

i i

x y b x nx y nbx

= =

− = −

∑ ∑

所以原式

^b

^ ^ _ ^∑

_i₌ⁿ₁ ^{x y}ⁱ ⁱ

⁻

^b

^∑

_iⁿ₌₁ ^xⁱ²

⁻

^{na x}

^ ^ _ ⁼

^{b nx y}

( ⁻

^nbx²

⁻

^{na x}

) ⁼

^{bnx y bx a}

⁽ ⁻ ⁻ ⁾

又y=bx+a，故^{bnx y bx a}

( ^{− −} ) ⁼ ⁰

^{，即得所證。}

(14)

一、行列式的幾何意義》



u =

(

a b1, 1

) _， ₍ ₎

2, 2

v = a b



_{是兩平面向量，則 u}

 _﹐



v

_所張的平

行四邊形面積

¹ ¹

2 2

^ | a b | u v

a b

 

=

_﹐取 

_u

_到 

_v

_{為逆時針方向，則}

1 1

2 2

a b

為 

u

_﹐ 

_v

所張的有向面積。這件事在所有的課本都會有證明，所以我們就略過。

二、Cramer 公式的幾何意義》

解 ax by c dx ey f + =

 + =

 ，設 a b

d e

∆ = ， _x c b f e

∆ = ， _y a c d f

∆ = 。

假設∆ ≠ ，則克拉瑪（Cramer）公式說：0 x ∆^x

= ∆ ，y ∆^y

= ∆ 。

聯立方程組的解為什麼是面積比？幾乎所有的課本都是用加減消去法 解出 x，y，沒有呈現幾何（面積）意義。其實，驗證其幾何意義不難。

把 ax by c dx ey f + =

 + =

 改寫成 x u

  

+y v = w _，其中

_{( )}

, OA

 

= u = a d _，

( )

^,

OB

 

= v = b e _，

_{( )}

,

OF

 

= w = c f _則

( )

det , det , w v x

OC OCEB OFGB

x OA OADB OADB u v

= = = = = ∆

∆

� �

� � ，

同理可知y ∆^y

= ∆ 。

以上所述之^det

( )

^{u v 表示向量 u}^,



_{﹐ v}



所張的有向面積，所以 x，y 當然有可能是負數。三階行 列式表示有向體積，想必三元一次聯立方程組的 Cramer 公式也可以這樣做。

江慶昱／衛道中學退休教師

(15)

三、測量師公式》

A x y ，

(

1, 1

)

B x y

(

2, 2

)

，C x y ，

(

3, 3

)

D x y

(

4, 4

)

是平面上四個點，則 四邊形 ABCD 的面積

=

(

1 2 2 3 3 4 4 1 1 4 4 3 3 2 2 1

)

1

2 x y x y x y x y x y x y x y x y

= + + + − − − −

稱為測量師公式，聰明的學生就問了：是行列式嗎？

第一次我說：不是。後來想一想就說是：「加長型」行列式。何以故？

我們來看看證明。

(1) 如右圖，

OAB∆ = ∆OB' B+AA' B' B− ∆OA' A 2 2

(

1 2

)(

1 2

)

1 1

1 1 1

2x y 2 y y x x 2x y

= + + − −

(

1 2 2 1

)

1

2 x y x y

= −

(2) 如右圖，

ABC∆ = ∆OAB+ ∆OBC− ∆OAC（由(1)）

(

1 2 2 1

) (

2 3 3 2

) (

1 3 3 1

)

1 1 1

2 x y x y 2 x y x y 2 x y x y

= − + − − −

¹ ² ³ ¹

1 2 3 1

1 2

x x x x y y y y

=

(3) 如右圖，

ABCD= ∆ABC+ ∆CDA（由(2)）

1 2 3 1 3 4 1 3

1 1

2 2

x x x x x x x x

y y y y y y y y

= +

1 2 3 4 1

1 2

x x x x x y y y y y

=

A B C D A

(16)

當然，n 個點形成的 n 邊形如右圖，面積

1 2 1 1 1 1 1

1 1

2 2

n n n n

x x x x x x x x

y y y y y y y y

− − −

=  +



1 2 1

1 2

n

x x x x

y y y y

= 



我們注意其過程，就是幾個行列式一直疊在一起，所以說，測量師公式就是「加長型」行列式。

四、畢氏定理推廣》



a =

(

a a a1, 2, 3

)

_，

₍ ₎

1, 2, 3

b = b b b



_{是兩空間向量，則 a}



_{， b}



_{所張的平行四邊形面積}

2 2 2

2 3 3 1 1 2

^ a a a a a a a b

b b b b b b

= + +

 

_…（※）_{。其幾何意義為何？}

我們先看看畢氏定理說什麼，假設線段 L 長為 l，其在 x，y 軸的投影長為l ，_x l 則畢氏定理說_y

2 2 2

x y

l =l +l 。

2 3

a a

b b

表示 

a _{， b}



所張的平行四邊形 A 在 yz 平面的投影面積，

我們用A 表示，則（※）表示_yz A²=A_yz²+A_xz²+A_xy²，正是畢氏定理推廣到二維的情形。

我高中時看到（※），認出它就是畢氏定理推廣，當時還滿得意的，所以念數學系，這有點關係。

測量師公式可以推到 Green 定理，請看參考資料。

五、習作》

設四邊形 ABCD 的邊 BA，CD 的延長線交於 G，對角線 BD，AC 的中點交於 E，F，則△GEF

的面積 ¹

( )

4 ABCD

= 四邊形面積（全國高中數學競賽 2005 中區嘉義一）

(17)

參考資料：

1. 維基百科，Cramer's_rule，http://en.wikipedia.org/wiki/Cramer's_rule。

2. 維基百科線上數學百科全書，CramersRule，http://mathworld.wolfram.com/CramersRule.html。

3. 蔡聰明，從醉月湖的面積談起，

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_21_2_01/index.html。

4. 林琦焜，Green 定理與應用，http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_21_4_03/index.html。

5. 笛卡爾之夢，九章出版社，P.267。

6. From Pythagoras to Grassmann，畢氏定理高維方面的推廣，傳播季刊第 47 期。

習作解答：

《Lemma》

若

 

a ^ b _{表示 a}



_{， b}



_{的有向面積，則：}

(1)

   

b ^ a = − a ^ b (2) a ^ b + c = a ^ b + a ^ c

      

1 ^

2GF GE

 

=△GEF 的面積，由分點公式知 1

GF=2GC GA+ 

  

_， 1

GE=2GD GB+ 

  

所以GF GE

 

^ ¹ _^¹

2GC GA 2GD GB

=  +   + 

   

¹ ^ ^ ^ ^ ¹ ^ ^

4GA GB GA GD GC GB GC GD 4GA GD GB GC

=  + + + =  − 

           

其中GA GB

   

^ =GC GD^ =0

（逆時針算出來的值是正的，順時針算出來的值是負的），這表示 1 1 1 1

^ ^ ^

2GF GE = ×4 2 GB GC −2 GA GD

 

     

¹

( )

¹

( )

4 GBC GAD 4 ABCD

= ∆ − ∆ = 四邊形面積

二、研究內容 》

一、研究目的 》