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中山大學教育研究所 台南勝利國小

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Academic year: 2022

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(1)

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ኘᇴጯିጯ̈́ጯ௫

梁淑坤

中山大學教育研究所 台南勝利國小

2013.4.26(五)

(2)

1. 解題高手相見歡 2. 共有幾種?

3. 圓心在哪裡?

4. 彈珠有幾顆?

5. 花片、撲克牌、配衣服 6. 擬題、佈題、命題

7. 河內塔 8. 統一發票

9. 解題高手 Say Good-bye

1. 解題高手相見歡

(3)

1. 解題高手相見歡

 自我介紹

 互相介紹

2人一組

 從國中、國小分組

(4)

解題去!

 小學:共幾種

 中學:求圓心

(5)

2. 共有幾種?

Polya(1945). How to solve it

 第一步ᒢྋયᗟ(必須瞭解問題)

 第二步 ᑢؠࢍထ(找出未知數和已知數之 間的關係,如果找不到就只得考慮一些 輔助問題,想辨法擬定一個解題計劃)

 第三步၁Җࢍထ(實行你的計劃)

 第四步аᜪྋඍ(校核所得的解答)

(6)

2-1 共有幾種?

 有______種

 有______種

 有______種

 有______種

單個直角三角形

二個直角三角形

( )

三個直角三角形

(7)

2-2 共有幾種?

1. Ұѣᒢྋᗟϫ๜?

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2. ᑢؠࢍထ

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3. ၁Җࢍထ

ଂ˟࣎זˬ࣎Ăͽ̈́זα࣎ߏВೀ჌?ᇴϫ˯

۞ᆧΐѣఢޠ๜?

(8)

2-3 共有幾種?

4. аᜪયᗟ

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˭Ν˞!ķ

建議:可以找小朋友做做看,再比較他的做法。

(9)

3-1 圓心在哪裡?

 Ⅰ.自行解題

 美勞課的鐘面弄好了,不約而同的是,

大家的鐘面都是圓的。趕快把那三枝針 擺上去就完工了。

 慘了! 針要擺在那裏呢?

 還要問,當然是擺在圓心那裏。

 動作快一點吧!不行,圓心在那裏?

如何找圓心呢?

(10)

3-2 圓心在哪裡?

 梁老師先示範一個解題的例子吧!

No1: 將圖畫下…再將圖對折求其中心點

(11)

3-3 圓心在哪裡?

 Ⅱ. 分享/質疑

 梁老師說:「這一次的標題是什麼?」

 大家一起回答:「一題多解」

 梁老師再說:「好了,若有想到其它

方式,也一一說出來,與大家分享

分享。」

(12)

 請No____作者___________回答: (疑點如 下)

  重覆,你的方法與No____相同,再想 一個方式吧!

  不清楚的地方如下:

  不可行的地方如下:

  小小建議如下:

3-4 圓心在哪裡?

(13)

 配配看,他們的作法為何?(將1~6和A~F配 對)

1.兩條弦的中垂線交點

2.圓的重心就是圓心

3.圖中三角形的外心(即三中垂線的交點)

4.用尺求圓的直徑,再求直徑交點即是圓心

5.圖中直角斜邊中點

6.圓外一點兩條切線的中垂線

3-5 圓心在哪裡?

(14)

 找一班小朋友算彈珠,算完了問小朋友

「還有別的方法嗎?」請大家想多種方法

4-1 彈珠有幾顆?

(15)

 梁老師與美國學者Silver和Cai首於

1995年發表美日兒童數彈珠的想法。

150美國和200日本學生(小學四年級) 為對象,結果顯示四年級兒童能列舉多 種算的方法,而在說明的部份以混合圖 及文字最多。

 最後,日本學生傾向用較美國學生成熟 的數學算式(例如:用乘不用加)或正式表

4-2 彈珠有幾顆?

(16)

各種解題策略

1. 計數法:

(1.)圈著數 (2.)斜著數 (3.)沿著數

2. 組合法

(1.) 五個一數 (2.)四個一數 (3.)不規則組合

3. 改構法

(1.)移動彈珠(倍數) (2.)彈除彈珠

4-3 彈珠有幾顆?

(17)

 第一題:花片

 紅、黃、白、綠、藍花片各一個

 請用下列提示擺放花片

 Step1 :紅色在黃色下面

 Step2 :藍色在白色之上紅色之下

Step3 :黃色在綠色和白色之間

5-1 花片、撲克牌、配衣服

(18)

第二題:擺撲克牌

A

10

Q

J K

5-2 花片、撲克牌、配衣服

J在Q之右 K在A之右

Q在10和A之間 10在Q的左邊

請用下列提示擺撲克牌

(19)

第三題:穿衣服

 佳娟、淵智、嘉皇、敏智4人穿不同組合 的衣服(如下圖5組服裝)。

 1. 2. 3. 4. 5.

5-3 花片、撲克牌、配衣服

(20)

請用下列提示去配衣服

* 橘色褲子是佳娟和敏智的最愛。

* 嘉皇在藍色、橘色褲子中會選橘色。

* 淵智喜歡穿綠色上衣,嘉皇則不喜歡。

* 佳娟不愛綠色或黃色上衣。

 * 敏智不愛藍色或綠色上衣。

* 淵智喜歡穿藍色或橘色褲子。

5-3 花片、撲克牌、配衣服

(21)

壹、什麼是擬題?

「自己想出一個數學題目來」就是擬題

這裡指的擬題,非佈題命題

擬題行為可能含有下列的特徵:

1.組織的方法是屬個人的(idiosyncratic);

2.當中包括猜想及可信推理(plausible reasoning);

3.可以發生在解題前,解題中,以及解題後(before, during, and after problem solving),

4.擬題者寫出的題目較課本題目「粗糙的」(primitive) ; 可能非完整的(Incomplete);非可行的(Inplausible);亦 可能尚欠資料的(Insufficient)。

6-1 擬題、佈題、命題(Problem Posing)

(22)

(一)、個人化--e.g. 正方形

第一組

1.正方形的邊長多少?對邊是否平行?

2.每一個角度是多少?四個角度加起來共多少度?

3.若邊長5公分,求面積、求周長。

4.正方形內的對角線共有多少條?其長度一樣嗎?

第二組

1.用正方形的紙來摺,可以摺出什麼圖形呢?

2.若有一疊正方形的紙,可以砌出什麼圖案呢?

3.我們家裡的用品,那一些是像正方形的呢?

4.注音符號的ㄇ、ㄈ、ㄩ,像不像正方形?為什麼?

從以上兩組題目,可以看到不同的「個人」看法。

(23)

貳、擬題活動類型與結構

Reitman (1965)提及四種題目結構:

「ˇ」:已定義清楚

已知(Given) 目標(Goal)

1. ˇ ˇ

2. ˇ ×

3. × ˇ

4. × ×

(24)

參、數學內容與情境安排

(一)、已有數學部份而欠故事內容

日本學者古藤伶(1986): 5+3=8

「改變」型

「有5人在操場玩,又來3人,所以變成8人」

「併加」型

「紅花5朵和白花3朵共有多少朵花?」

排先後

「一郎排在第5位,一郎後3位是二郎,問二 郎排在第幾位?」

加法反運算

「操場上走了3人還有5人,操場上原有幾個 人?」

(25)

(一)、已有數學部份而欠故事內容

美國學者Kilpatrick (1987)

晒衣服的鐵架所用的鐵線網製造接口需用鐵絲;

英國學者Greer (1991)(如3+5=8),學生可以問 及繩子5公尺長再結上另一3公尺長的繩子共多長

美國學者Silver(1993)

540÷40的直式計算餘數為20

只顧數學部份的題目,「農夫丁種540個南瓜,若 每行種13.5個南瓜則可種多少行?」及「禮堂裡 共540學生,他們共坐40排,每排坐多少人(13.5 人)?」

(26)

(二)、已有情境安排而欠缺數學部份

(圖片)

 在「十五枝火柴」實驗中(附火柴圖)

 學員看出「正方形」數目和「火柴枝」

數目的關係,問及「若果排出30個整正 方形,要用多少枝火柴呢?」

 學員會在圖中加兩點,「甲」和「乙」

 再問「若一個人從甲點走到乙點共有多

少路線可走呢?」

(27)

(二)、已有情境安排而欠缺數學部份

(文句)

在「游泳池」實驗中,研究者所附的文字描述 泳池有注水管、排水管,以及要定時清洗。

學員會自己附加資料擬出算術題如「若泳池有 6000立方公尺的水而排水速度是每分鐘20立方 公尺,則要多久才可把一滿池的水排完?」

學員也許會自己附加故事內容說「若泳池不受 鄰里歡迎而改建為公園,要填土多少才把泳池 變平地?」

(28)

肆、擬題和解題的關係

Polya的四階段說明 於右邊兩個圖(1945)

如圖所表示,擬題 取代了「理解」階 段,而「回想」階 段可再擬出其他題 目來,若有動機去 解再次擬出的題目,

則要再次策劃及實 行了。

解別人擬的題目 1.理解

(Understand) 2.策劃

(Plan) 3.實行

(Carry Out) 4.回想

(Look Back)

(Plan) (Look Back)

擬題 (Pose)

策劃 回想

解自己擬的題目

(29)

伍、讓我們的學生自己動手去擬題

 三個例子

學者名稱 國家 學生年級 教師 Skinner 澳洲 幼稚園至二

年級

Skinner本 人

Tsubota 日本 小學一至三 年級

Tsubota本 人

Winograd 美國 小學五年級 另一位老師

(30)

The Tower of Hanoi Puzzle

Three vertical pegs

Start: Disks (several disks, as pyramid )arranged on one of the pegs

Aim:Move all disks to another peg

Moves:Only one disks can be moved at a time Small disk should sit on bigger disk Minimum number of moves : 2

n

-1

7. 河內塔

(31)

猜猜看,一個統一發票的八位數數字。1、2、3、4、

5、6、7、8只能出現一次。

最前的1位數字是1的倍數 最前的2位數字是2的倍數

最前的3位數字是3的倍數 最前的4位數字是4的倍數

最前的5位數字是5的倍數 最前的6位數字是6的倍數

最前的7位數字是7的倍數 最前的8位數字是8的倍數

8. 統一發票

(32)

1. 解題高手相見歡

2. 共有幾種?(Polya四階段)

3. 圓心在哪裡?(理解、判斷、質疑)

4. 彈珠有幾顆?(一題多解)

5. 花片、撲克牌、配衣服(推理)

6. 擬題、佈題、命題(Problem Posing)

7. 河內塔(Domain-learn解題)

8. 統一發票(Problem Space)

9. 解題高手 Say Good-bye:What We Learn

9. 解題高手 Say Good-bye:What

We Learn

(33)

Thank You.

leung@mail.nsysu.edu.tw

參考文獻

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