數學傳播 43卷2期, pp. 94-96
兩個有趣的幾何不等式鏈
趙忠華
本文作者經過研究, 發現三角形中有如下不等式鏈:
定理1: 設 a, b, c, ma, mb, mc, la, lb, lc 分別表示 ABC 對應的三條邊長, 中線長, 角平分線 長, 則
m2a
l2b + l2c ≥ m2a
m2b + m2c ≥ 3
2, la2
b2+ c2 ≤ m2a
b2+ c2 ≤ 9 8. 我們先證以下引理。
引理1: ABC 中, 相應於頂點 A, B, C 的中線長為 ma, mb, mc 內角平分線長 la, lb, lc 則 la≤ ma, lb ≤ mb, lc ≤ mc。
證明:
∵ ma = 1 2
√2b2+ 2c2− a2 ≥ 1 2
(b + c)2− a2 =
p(p− a) ≥ 2√ bc b + c
p(p− a) = la,
∴ ma≥ la, 同理 mb ≥ lb, mc ≥ lc。 (其中 p 是三角形的半周長) 引理2: 設 a, b, c 為正實數, 則
a
b + c+ b
c + a + c
a + b ≥ 3 2. 證明: 由柯西不等式有:
[(b + c) + (c + a) + (a + b)]
1
b + c+ 1
c + a + 1 a + b
≥ 9.
於是
2(a + b + c)) 1
b + c + 1
c + a + 1 a + b
≥ 9,
即 a + b + c
b + c +a + b + c
c + a +a + b + c a + b ≥ 9
2, 得
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兩個有趣的幾何不等式鏈 95
a
b + c+ b
c + a + c
a + b ≥ 3 2. 由引理 1、2, 我們立即可得:
m2a
l2b + l2c ≥ m2a
m2b + m2c ≥ 3 2. 而 la2
b2 + c2 ≤ m2a
b2+ c2 = 12(b2+ c2)−14a2 b2 + c2 = 3
2 −1 4
a2 b2+ c2, 由引理2可得
a2
b2 + c2 ≥ 3 2,
所以 l2a
b2+ c2 ≤ m2a
b2+ c2 ≤ 9 8.
行文至此, 似乎很滿意了, 無意中翻看雜誌, 發現 《數學通報》2016 年第 1 期數學問題解 答欄目 2279 題 (江蘇省常熟市中學 查正開) 證明了一個結論 : 設 a, b, c 為正實數, 則
a
b + c+ b
c + a + c
a + b ≥ 3
2+ (a− b)2+ (b− c)2+ (c− a)2 (a + b + c)2 . 他是這樣證明的:
證明: 因為 a
b + c+ b
c + a + c a + b − 3
2 −(a− b)2+ (b− c)2+ (c− a)2 (a + b + c)2
= 2
a3−
a2(b + c) 2%
(a + b) − (a− b)2+ (b− c)2+ (c− a)2 (a + b + c)2
= & 1
2(a + b)(a + c) − 1 a
2
'
(b− c)2
= (−a2 + b2+ c2)(b− c)2 2(a + b)(a + c)(
a)2 . 所以只要證明
(b + c)(−a2+ b2+ c2)(b− c)2 ≥ 0, 由對稱性不妨設 a ≥ b ≥ c, 則
(b + c)(−a2+ b2+ c2)(b− c)2
≥ (b + c)(−a2+ b2+ c2)(b− c)2+ (a + c)(a2− b2+ c2)(a− c)2
≥ (b + c)(−a2+ b2+ c2)(b− c)2+ (b + c)(a2− b2+ c2)(b− c)2
= 2(b + c)c2(b− c)2 ≥ 0.
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故不等式成立。
於是
m2a
l2b + lc2 ≥ m2a
m2b + m2c ≥ 3
2 +(m2a− m2b)2+ (m2b − m2c)2+ (m2c − m2a)2 (m2a+ m2b + m2c)2 ,
la2
b2+ c2 ≤ m2a
b2 + c2 = 12(b2+ c2)− 14a2 b2 + c2 = 3
2 −1 4
a2 b2+ c2, 從而 la2
b2+ c2 ≤ m2a
b2 + c2 ≤ 9
8 − (a2− b2)2+ (b2− c2)2+ (c2− a2)2 4(a2+ b2+ c2)2 . 於是得:
定理2: 設 a, b, c, ma, mb, mc, la, lb, lc 分別表示 ABC 對應的三條邊長, 中線長, 角平分線 長, 則
m2a
l2b + lc2 ≥ m2a
m2b + m2c ≥ 3
2 +(m2a− m2b)2+ (m2b − m2c)2+ (m2c − m2a)2 (m2a+ m2b + m2c)2 ,
la2
b2+ c2 ≤ m2a
b2 + c2 ≤ 9
8 − (a2− b2)2+ (b2− c2)2+ (c2− a2)2 4(a2+ b2+ c2)2 . 是剛才的不等式的推廣, 兩個定理都非常漂亮, 而且證明也不是很難。
—本文作者任教中國安徽省旌德中學—
