國立成功大學數學系
106 學年度 學士班申請入學 數學學科筆試
申請編號 姓名 總分
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9
滿分 10 10 10 15 10 15 10 10 10
得分
得分
1. (10%) 對於所有的正整數 ，證明：
得分
2. (10%) 令 。對於所有的複數 ，證明：
得分
3. (10%) 福爾摩斯在倫敦西敏市附近調查殺人事件後，走回貝克街 221B 號的路上被
咖啡店傳出的香氣吸引，於是進了店坐下來點了杯耶加雪夫。服務員端上咖啡，福 爾摩斯啜飲一小口，「好燙！」
已知咖啡5:10 剛端上時溫度是 度，等到 5:20 時溫度是 69 度。根據牛頓 冷卻定律，若室溫是15 度，則咖啡溫度隨時間變化的函數是 ， 其中 是一個常數。福爾摩斯喜歡咖啡在 63 度時飲用，請問要等到什麼時候？
(利用 與 化簡答案。)
得分
4. 有一款帳篷的設計圖如右，其中下底面是正六角形，上底面是正三角形，側面是三 個正方形與三個正三角形交錯相鄰。
(7%) 若帳篷的所有邊長都是 1，求兩個底面的距離 。 (8%) 若帳篷的兩個相鄰側面夾角是 ，求 。
得分
5. (10%) 給定空間兩點 與 ，試求所有的點 使得
且 。
得分
6. (15%) 旋轉矩陣 將直線 變換到直線
，試求所有的矩陣 與斜率 。
得分
7. (10%) 右圖扇形 的圓心角為 且半徑為 1。令 為弧 上的動點，求 四邊形 的最大面積。
得分
8. (10%) 一個箱子中裝了100 顆外型相同的球。其中有 30 顆球是紅色的，其餘是藍 色的。若從箱子中逐一抽出20 顆球且不放回箱子中，請問所抽出的第 10 顆球是紅 色的機率是多少？ (使用 符號表示答案即可)
得分
9. (10%) 某影劇粉絲團要從日劇「月薪嬌妻」和韓劇「太陽的後裔」中選出最愛的戲
劇。粉絲團中有300 人是哈日族，有 200 人是哈韓族，每個粉絲不會互相影響投 票。根據過去的投票紀錄，每個哈日族粉絲有0.8 的機率把票投給日劇，有 0.2 的 機率投給韓劇；每個哈韓族粉絲有0.3 的機率把票投給日劇，有 0.7 的機率投給韓 劇。請問本次投票「月薪嬌妻」勝出的機率是多少？(使用 符號表示答案即可)
