龍騰數亦優第26期

(1)

(2)

編輯室墨記

生活周遭都是數學，讓數學融入生活中，是我們一直以來努力的目標，許志農教授將「兩岸四地華羅庚金盃少年數學菁英邀請賽」的遊戲題目與解析稍做修飾，提供給老師們做為數學選修課程或特色課程的參考資料，讓高中的數學不再只是定理公式而是活潑趣味的生活試題，以吸引學生的學習動機。

「世界何時毀滅？」這問題和移動圓盤耗費的時間有何相關性？原來這就是所謂的河內塔問題，運用到遞迴關係的理論，這麼好玩的趣味數學遊戲，讓我們跟著老師的腳步，一同鑽進遞迴數列的世界吧！「哇！插值法」，課本中學到的插值法原來可以運用這麼多種方法來探討，讓我們一起來欣賞不同解法之美！

您知道如何讓財富倍增嗎？您知道要如何計算嗎？讓我們來看看這神奇的法則。生活中倡導的節能減碳、調薪有感，這些已不是單純口號，讓我們來看看如何用 69.34 法則將其應用出來。「翻轉教育」這是當今最夯的話題，從國小一路到大學，大家都在翻轉，TRML 的培訓和翻轉有關係嗎？讓我們來一探究竟！我們學過最小成本法，大家知道差額法也可以求最佳解嗎？讓我們來看看簡潔有效率的方法！

按照一定的順序堆疊八個全等正方形，也跟數學有關嗎？簡單的塗色遊戲也有必勝的祕技嗎？快翻閱動手玩數學，大展身手一下吧！

※ 竭誠邀稿：

歡迎將您的教學生活趣聞、甘苦談，教案分享、教材探討，以1000~2000字的內容，註明主題、作者簡歷、聯絡電話與地址，投稿予

[email protected]。

發行人：李枝昌編輯顧問：許志農總編輯：陳韻嵐執行編輯：李彥宜美術編輯：林佳瑩

發行所：龍騰文化事業股份有限公司地址：248新北市五股區五權七路1號電話：(02)2299-9063

傳真：(02)2298-9755 創刊日：2006/11/30 出刊日：2015/03/16

網址：http://www.lungteng.com.tw

(3)

龍騰數亦優 2015.03 目次龍騰業務跑天下數學質好畫亦優

許志農 ^{臺灣師大數學系}

》》兩岸四地華羅庚金盃少年數學菁英邀請賽

《第五屆》

江慶昱 ^{衛道中學退休教師}

》》遞迴數列

李維昌 ^{國立宜蘭高中}

》》關於一道多項式函數插值問題利用四種不同方法來求解

葉善雲 ^{臺北市東山高中}

》》迴歸線估算修正｢財富倍增之 72 法則｣ 69.34 法則

林芳綺 ^{新北市中和高中}

》》翻轉之前～TRML 數學競賽校內培訓心得分享

鍾國華 ^{臺北市祐德高中}

》》利用差額法求運輸問題

許志農 ^{臺灣師大數學系}

》》動手玩數學專欄

》》動手玩數學《第 25 期》破解秘笈 3

12

17

23 42 31

36

(4)

數亦優 3

◎第一、二屆請見龍騰數亦優第 24 刊、第三屆請見第 13 刊、第四屆請見第 25 刊。

第五屆

一、競賽試題

＊第1 題：（限時 15 分鐘）

大家都知道：中國象棋裡的「馬」走「日」步。左下圖是將馬擺放在棋盤的右上角，而右下圖：標出了馬從右上角出發所走幾步經過的點的順序編號：

現讓馬從右上角出發，在每個點至多只能走過一次的限制下，盡可能讓馬走更多步，並將其走過的點依序標在所附的答題紙上。

許志農／臺灣師大數學系

(5)

第 1 題答題紙

(6)

數亦優 5

＊第2 題：（限時 15 分鐘）

給定一個三角形，過一個頂點畫一線段將此三角形割成兩個小三角形，如下圖所示：

問題：有哪些類型的三角形可以在適當的畫一線段後，讓兩個小三角形都是等腰三角形。

要求：1. 舉出的類型越多，得分越高；

2. 最好不要舉單一特例，例如邊長是多少或角度為幾度的三角形等。

3. 每種類型用直尺、圓規做出一個實例，保留尺規作圖痕跡。

＊第3 題：（限時 10 分鐘）

我們手上有四個邊長為 1 的正方形，三個邊長為 2 的正方形及一個邊長為 3 的正方形，一共八個正方形，如下圖所示：

請將這八個正方形無重疊的擺放到邊長為 5 的正方形中，並將擺放的結果標在所附的答題紙上。

（註：不同拼法，越多越好，擺放的兩個圖形經旋轉或背後透視相同的拼法視為同一種。）

補充：拼出越多種拼法越好，得分越高。

(7)

第 3 題答題紙

(8)

數亦優 7

＊第4 題：（限時 20 分鐘）

將十個數字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 填入下圖的圓圈內，每個圓圈填入不同的數字：

如果要求每個圓圈內的數字必須是底下兩個圓圈內的數字差，例如下圖填法

那麼一共有多少種不同的填法？並將其各種填法寫在所附的答題紙上。

補充：1. 左右對稱的填法（如下圖所示），視為同一種；

2. 列舉出越多符合題目要求的填法，得分越高。

(9)

第 4 題答題紙

(10)

數亦優 9

二、解析

第 1 題評分準則：

(1) 說明：測試時間為 15 分鐘。

(2) 評分：在棋盤上符合「馬」走「日」步要求的最大路徑標號 N+25，得分數為 N。例如最大路徑標號為 35，該隊得 10 分，而全走完共 45 步，會得 20 分。

(3) 原則上每個點（共 45 點）都可以走過，參考答案如下

第 2 題評判準則：

(1) 說明：測試時間為 15 分鐘。

(2) 解答：符合題目要求的三角形有三種。

①    A 90 （直角三角形）：

P 是

BC 的中點，連接

AP 。此時，

AP PB PC   ，即三角形

APB APC 為

, 等腰三角形。

②      B 2 C 90 （一角是另一角二倍）：

作

AP 使得

2 C      B APB   PAC   C ，即    C PAC ，故 AB  AP PC  。

【另作】1. 作  

C

45

^

。

2. 在  C 的一邊選一點

B ，作

 CBA   2 C ，

A 為與

 C 另一邊的交點。

3. 以點 A 為圓心，線段 AB 為半徑作弧交線段 BC 於點

P 。

4. 連接 AP ， AP 即為所求線段。

(11)

③     A 3 B 135  （一角是另一角三倍）：

作

AP 使得 B

  

BAP

，此時

AP BP

 ，又 2

CPA BAP B BAP CAP

         ，即 CA CP  。

【另作】1. 作  

B

45

^

。

2. 在 B  的一邊上取點 A ，作  BAC   3 B ，點 C 為與  另一

B

邊的交點。

3. 以 C 為圓心， CA 為半徑作弧交線段 BC 於點

P 。

4. 連接 AP ，線段 AP 即為所求。

(3) 給分：有上述三種類型者，準確說出一種符合題意類型給 6 分、寫明條件限制的給 2 分、畫出實例且作法正確的給 2 分，每類給 10 分。若沒列舉上述三類型，

而舉角度或邊長的特例，例如：30 度，60 度，90 度的三角形或邊長為 3，

4，5 的三角形，給 5 分。

第 3 題評判準則：

(1) 說明：測試時間為 10 分鐘。

(2) 給分：(a) 答對 1 至 3 種，得 5 分；

(b) 答對 4 或 5 種，得 10 分；

(c) 答對 6 或 7 種，得 15 分；

(d) 答對 8 種，得 20 分。

(12)

數亦優 11

(3) 答案：有如下八種：

第 4 題評判準則：

(1) 說明：測試時間為 20 分鐘。

(2) 給分：找到一個給 6 分，找到兩個給 13 分，三個給 20 分。

(3) 參考答案如下：

(13)

一、緣起》

婆羅痆斯國（今印度北部瓦臘納西（Varanasi），靠近尼泊爾）方圓四千多里，居民大多信奉外道，少數人敬信佛法。從婆羅痆河向東走十多里，就到了鹿野苑，是釋迦牟尼佛初轉法輪的地方。寺院內精舍西南有一座石塔，塔前有無憂王石柱，石柱旁邊不遠處有座佛塔，是當初阿若憍陳如等五人見如來放棄苦行，便不再侍衛如來而來這裡自己修行的地方。旁邊還有三座塔，有過去三佛安坐和散步的遺跡。（參考資料1）

維斯瓦納特（Kashi Vishwanath）是印度濕婆神（大自在天）的寺廟，位於瓦臘納西。廟裡面有一個很大的房間，裡面有 3 根柱子，旁邊放了 64 個金屬圓盤。依照下列規則移動圓盤：

有 A，B，C 三柱，其中 A 柱上套著n 個大小不同的圓 盤，將其由小到大圓盤編號為 1，2，…，n 。若藉助 A，B，C 三柱作橋樑，且每次移動圓盤時都保持較大圓 盤在下面，較小圓盤放在上面的規定，將 A 柱的圓盤全 部移動到C 柱。一旦工作完成，這個世界終將結束。

假設移動一個圓盤需要1 分鐘，則 64 個圓盤依照上述規則，由 A 柱全部移動到 C 柱需要多少時間？世界何 時毀滅？

以上所述，盧卡斯（Édouard Lucas 1842～1891）在 1887 年把它寫成一個趣味數學遊戲

（8 個圓盤的情形）又稱為河內（Hanoi）塔問題。

（註：盧卡斯對費氏數列也很有研究，請看參考資料3，二階線性遞歸關係）

二、問題轉化》

設a 表示將_n n 個圓盤全部由 A 柱搬到 C 柱所需的最少次數，試求〈a 〉的遞迴關係式，_n 並求a 。 _n

因為河內塔問題課堂上都會教到，所以得到遞迴關係的過程就不再贅述。

1 1

a  ，a_n 2a_n_₁ 。 1

三、求解》

解1：

製造一個公比 的新數列〈2 a_n  〉，其中 c 是一個常數， c

 

1 2

n n

a _  c a  ，和原式比較，得c c  ， 1

江慶昱／衛道中學退休教師

(14)

數亦優 13 即我們產生一個公比 的新數列〈2 a_n  〉，所以1 an    ¹



^{1 1 2}



ⁿ^¹，

得a_n 2ⁿ 。 1

因為產生的新數列為等比數列，我遂自告奮勇，把原數列叫做「準等比數列」。（註：眼尖的學生看出c  是1 x2x 的解，這可不是巧合。） 1

但是，產生新數列的過程常使學生感到突兀，一位衛道中學的同事強烈建議我這樣教：

解2：

1 1

a  ，

2 2 1

a   ，

 

²

3 2 2 1 1 2 2 1 a       ，



²



³ ²

4 2 2 2 1 1 2 2 2 1

a         ，

…找到規律性，

所以a_n 2ⁿ^¹2ⁿ   2 1 2ⁿ 1。

這樣做一般學生應該可以掌握。

如果時間允許，我兩種方法都會教。我發現，程度較好的學生傾向於第一種解法。這應該是數學成熟度的問題，第一種解法比較抽象。不知道根據數學方法論如何解釋。

深入地說，第二種解法a →₄ a 的過程其實是一個「猜想」，然後引入數學歸納法，這是_n

「證明」的部分。這樣就很完美了！這就印證了Paul Erdös 說的：生命的意義在猜想與證明。

四、費氏數列》

1 2 1

a a  ，a_n_₂ a_n a_n_₁稱為費氏數列。

費氏數列一般項的求法就我所知至少有 3 種：(1)矩陣；(2)生成函數；(3)製造新數列；等等，都超出目前高中課程。我高中時曾試著解過，就是用製造新數列的方法，但沒有成功。

以下介紹製造新數列的方法。

對於費氏數列，如果存在



，



，使得



an_2



an_1





 

an_1



an



，則

 

  ，1



  ，1



，



是x²    的兩根，則〈x 1 0 a_n_₁



a_n〉是一個公比為



的等比數列，於是

 

¹

1 2 1 n

n n

a _ 



a  a 



a



^ ，這樣的數列有必要研究一下。

[引理]

數列〈a 〉，滿足_n a_n_₁pa_nqrⁿ  ，則存在常數 A，B，使得0 1

 

n n

an_ A p Br 。證明：

1 ⁿ 0

n n

a _ pa qr   ，

1

1 ⁿ 0

n n

a  pa _ qr ^  ，

r

  得



a_n_1ra_n



 p a



_n ra_n_1



 ， 0

所以〈a_n ra_n_₁〉是一個公比  的等比數列， p

  

¹

1 2 1

n

n n

a _ ra  a ra p ^ 

(15)

1 n

n n

a _ pa  qr  ，  p  r，得



^{p r a}



_n₁ 



^a₂ ^ra₁

 

^p ⁿ ^qrⁿ^¹，取 ra¹ a² A p r

 

 ， qr B p r

 

 ，則^a_n₁^A

 

^p ⁿ^Brⁿ。由此引理，費氏數列〈a 〉滿足_n 1



2 1



n ¹

n n

a _ 



a  a 



a



^ ，所以a_n_₁ A



ⁿ B



ⁿ。

此時 1 5

p  



^{ }2 ，



¹



1

q





    ， 1 5 r 



^2 ， 5 1

1 2 5 A r

p r

 

 

 ，

5 1 2

5 B qr

p r

 

 

 。

故 ₁

1 5 5 1

1 5 1 5

2 2

5 5

n n

an_ A



B



 

     

       

    ，

1 1 5 1 1 5

2 2

5 5

n n

an        

    ，

請採取這部分，或直接用後面論述，多謝！

1 n n

an_ A



B



表示a 可以表為_n



ⁿ，



ⁿ的線性組合，令a_n P



ⁿ Q



ⁿ，取 1 5



 ^2 ， 1 5



 ^2 ，因為a₁a₂  ，取1 n ，2 代入，則 1

2 2

1 5 1 5 2 2 1 1 5 1 5

2 2 1

P Q

      

    

    

    

  

 

   

    



，解得 1

P 5， 1 Q  5，

所以費氏數列的一般項 1 1 5 1 1 5

2 2

5 5

n n

an      

      ，這是雅克．比奈（Jacques Binet 1786

～1856）於 1843 年得到的結果。

五、分式線性關係的不動點解法》

臺中一中101 學年度第一次教師甄試考了這樣一道題目：

設數列〈a 〉滿足_n a₁  且2 ¹

1

2 1 2

n n n

a a a



 

 ，  ，求一般項n 2 a 。（以 n 表示） _n 解1：作歸納性的猜測

1 2

a  ， ₂ 5

a  ，4 ₃ 14

a 13， ₄ 41

a 40，…，

令b₁  ，1 b₂  ，4 b₃  ，13 b₄ 40，…，則b_nb_n_₁3ⁿ^¹，

(16)

數亦優 15

 

2 1 1

1 3 3 3 3 1 2

n n

bn      ^   ，所以

 

12 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 2

n n

n

a     

 

，

再用數學歸納法證明，此處省略。

解2：不動點解法

也是源自「製造新數列」的想法。

是否存在



，



，



，使得 ¹

1

n n

a a

  

^_

 

   

  

   ，在lim _n

n a

 存在的情況下，答案是肯定的，且



，



是 2 1 2 x x

x

 

 的兩根。

若lim _n

n a

 存在，假設lim _n

n a x

  ，則 x 滿足 2 1 2 x x

x

 

 ，其兩根



，



稱為原數列的不動點，今解得不動點x  。 1

1 1

n n

a a

a



a ^



   

  

   ，求



，

1 1

2 1 1

1 1

2 2

n n

n

n n

a a

a a a

 

 

   

  

1 1

2 1 3 3

1 1

2 2

n n

n

n n

a a

a a a

 

 

   

  ，除以得 1



 ， 3 所以

1 2 1 1 1

1 2 1 3

n n

n

a a

       

    ，可解得 3 1 3 1

n

n n

a  

 。

六、結語》

我同學陳文進教授專長是演算法，目前任教於臺大資工，他非常喜歡「具體數學」這本書，在臺大教了很多年，這本書開宗明義第一章就是遞迴數列。

1931 年哥德爾（K. Gödel）利用了所謂的「原始遞迴函數」的概念證明了不完備定理，這個定理除了使得希爾伯特（D. Hilbert 1862～1943）的形式論學派的夢想破滅之外，也直接影響了計算機科學的理論。因此，近代數理邏輯為除了集合論、模型論、證明理論之外，還有遞迴理論。

我與項潔教授在大學時代一起修過集合論，但是對於近代數理邏輯的遞迴理論沒有接觸，

相信遞迴理論在計算機科學中非常重要。項教授目前也任教於臺大資工。我們在求遞迴數列的一般項過程中學得許多方法，這是數學學習的精神所在，也是我寫這篇文章的動機之一。

在解河內塔問題中的遞迴數列時，我的同事強烈建議我不要用「製造新數列」的方法，其實我並不贊同，但是「心事誰人知」呢！？

寫這篇文章剛好可以借題抒發一下，我們由本文可以看到「製造新數列」其實是一個重要的方法。

至於世界何時終止大部分人不會在意吧！

(17)

七、習作》

1. 平面上n 條線最多可分割出多少個區域？史坦那（Jacob steiner 1796～1863）1826 年提出來 的問題。

2. 有n 位女士坐成一排，然後 n 位女士全部起立再重新入座，而每位女士可選擇自己之前的座 位或是之前她前後位置的座位，試問這n 位女士有多少種入座的方式？（中山大學應數系 雙週一題 99 學年度第 2 學期）

3. 將自然數 1 到 2011 按順時鐘方向依序排列在一個圓圈上，

從1 開始依順時鐘方向，保留 1，擦掉 2；保留 3，擦掉 4；

保留 5，擦掉 6；…，如此每隔一個數擦掉一個數，一直循環下去，當最後剩下一個數時，剩下的數是。（臺中一中100 年科學班推甄試題）

八、解答》

1. a₁ ，2 a_n a_n_₁ （詳解略）。 n

2. 假設 n 位女士入座的方式有 ^{f n 種，則有}

 

ⁿ 位女士時，第一位女士不動或到第二位時；² 當她（第一位女士）不動時，後面n 位女士有1 ^{f n}



 種方法，當她（第一位女士）到第¹



二位時第二位女士要排到第一位，後面剩下n 位女士，所以 ^{f n}



^²



^ ^{f n}



^{ }¹



^{f n}

 

^，又

 

¹ ¹

f  ， ^f

 

² ^{ 。}²

後面的解法就與「費氏數列」解法相同了。解得

 

⁵₁₀⁵ ¹ ₂ ⁵ ⁵₁₀⁵ ¹ ₂ ⁵

n n

f n          

      。

或者請看http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/ 99 年第二學期第 6 題。

3. 這是約瑟夫（Titus Flavius Josephus）問題改寫。

請看參考資料4，p.9～12。

遞迴式為^J

 

¹ ^{ ，}¹ ^J

 

²ⁿ ^²^{J n}

 

^{ ，}¹ ^J



²ⁿ^{ }¹



²^{J n}

 

^{ ，}¹ ⁿ^{ ，}¹

遞迴式的解為^J



²^m^{ }^l



²^l^{ ，}¹ ^m^{ 且 0}⁰ ^{ }^l ²^m^，

所以J



²⁰¹¹



J



²¹⁰⁹⁸⁷



 2 987 1 1975  這是答案。

九、參考資料》

1. 大唐西域記商周出版 p.144。

2. 數學傳播季刊第 23 卷第 4 期數學方法論與新世紀數學。

http://w3.math.sinica.edu.tw/media/media.jsp?voln=234 3. 數學傳播季刊第 28 卷第 1 期遞歸數列與不動點。

http://w3.math.sinica.edu.tw/media/media.jsp?voln=281

4. 具體數學（Donald Knuth 等著）格致圖書公司陳衍文譯。

5. 約瑟夫問題。http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus problem

(18)

數亦優 17

研究目的：試圖以直觀、牛頓（Newton）、拉格朗日（Lagrange）、巴貝奇

（Babbage）四種不同的插值方法，來求一道多項式函數插值問題。

研究過程：求解的題目如下：

設

^{f x}

  為2012次多項式函數，且  

1 f k k

k



，對

k 0,1, 2,,2012

皆成立，

試求

^f



²⁰¹³

 ^之值。

方法一：直觀插值法》

首先構造   

¹



²



³

 

²⁰¹¹



²⁰¹²



1 2013!

x x x x x

g x     

  

，

^deg^{g x}

 

^²⁰¹²

^，

因為   

^{1 1}



^{1 2}



^{1 3}

 

^{1 2011}



^{1 2012}



1 1

2013!

g          

   

    

² ³ ⁴ ²⁰¹²



²⁰¹³



1 2013!

    

  

2013!

1 1 1 0 2013!

    

，

所以

^x^¹^{g x}

  ^，令          

1

1 1 1

g x x h x h k g k

k k

     

 

，

k 1, 2,, 2012

，宣稱

^{f x}

 

^{ }^{x h x}

  ^，其中

^deg^{h x}

 

^²⁰¹¹

^{。檢驗如下：}

1.

 

⁰ ⁰

 

⁰ ⁰ ⁰

f  h  0 1

 ，

   

¹

1 1

f k k h k k k

k k

 

       ，k1, 2,, 2012，

 

f x 滿足

 

1 f k k

k

 ，k0,1, 2,, 2012。

2. ^deg f x

 

^deg x h x

 

  ^deg

 

x ^degh x

 

 1 2011 2012 。 3. 由 1.與 2.的討論得知：

 

f x 為 2012 次多項式函數，且

 

1 f k k

k

 ，k 0,1, 2,, 2012皆成立。

4. 所求



²⁰¹³



²⁰¹³



²⁰¹³



²⁰¹³



²⁰¹³



²⁰¹³



²⁰¹³



2013 1 2014

f h g  g

      

李維昌／國立宜蘭高中

(19)



^{2012 2011}

    

^{2 1}

2013 2013 2012!

1 1

2014 2013! 2014 2013!

   

      



2013 1 2013 2012 1006 2014 1 2013 2014 2013 1007

 

      。

方法二：牛頓插值法》

所求的

  

¹

 

¹



²

 

¹



²



³



2! 3! 4! 5!

x x x x x x x x x

f x x      

   



¹



²



³



⁴

 

¹



²



³



⁴



⁵



6! 7!

x x x x x x x x x x x

 



¹



²

 

²⁰¹⁰

 

¹



²

 

²⁰¹¹



2012! 2013!

x x x x x x x x

    

 。

檢驗如下：

5.

 

⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰

2! 3! 4! 5! 6! 7! 2012! 2013!

f          ，

 

¹ ¹ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ¹

2! 3! 4! 5! 6! 7! 2012! 2013! 2 f          ，

 

² ² ² ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ¹ ¹ ²

2! 3! 4! 5! 6! 7! 2012! 2013! 3 3 f            ，

 

³ 3 2 3 2 1 0 0 0 0 0 3 2! 3! 4! 5! 6! 7! 2012! 2013!

f   

       



2⁴ 3⁴ 4⁴



1 4 3 4 3 2 4 3 2 1 1

4 2!  3!   4!  4 C C C

      



0⁴ 1⁴ 2⁴ 3⁴ 4⁴

 

0⁴ 1⁴

 ^ ^

⁴



0⁴ 1⁴

 ^ ^

1 1 1 3

1 1 0 1 4

4 C C C C C C C  4 C C  4 4

                 ， 4 4 3 4 3 2 4 3 2 1 0 0 0 0

(4) 2! 3! 4! 5! 6! 7! 2012! 2013!

f      

       



2⁵ 3⁵ 4⁵ 5⁵



1 5 4 5 4 3 5 4 3 2 5 4 3 2 1 1

5 2!  3!   4!    5!  5 C C C C

        



0⁵ 1⁵ 2⁵ 3⁵ 4⁵ 5⁵

 

0⁵ 1⁵

 ^ ^

⁵



0⁵ 1⁵



1 1

5 C C C C C C C C  5 1 1 C C 

              

 

1 4

0 1 5

5 5

    ，

5 5 4 5 4 3 5 4 3 2 5 4 3 2 1 0 0 0 (5) 2! 3! 4! 5! 6! 7! 2012! 2013!

f          

       

1 6 5 6 5 4 6 5 4 3 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 1

6 2! 3! 4! 5! 6!

              

 

      



2⁶ 3⁶ 4⁶ 5⁶ 6⁶



1

6 C C C C C

    

(20)

數亦優 19



0⁶ 1⁶ 2⁶ 3⁶ 4⁶ 5⁶ 6⁶

 

0⁶ 1⁶

 ^ ^

⁶



0⁶ 1⁶



1 1

6 C C C C C C C C C  6 1 1 C C 

               

 

1 5

0 1 6

6 6

    ，

6 6 5 6 5 4 6 5 4 3 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 1 0 0 0 (6) 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 2012! 2013!

f                          1 7 6 7 6 5 7 6 5 4 7 6 5 4 3 7 6 5 4 3 2 7 6 5 4 3 2 1

7 2! 3! 4! 5! 6! 7!

                    

 

       



2⁷ 3⁷ 4⁷ 5⁷ 6⁷ 7⁷



1

7 C C C C C C

     



0⁷ 1⁷ 2⁷ 3⁷ 4⁷ 5⁷ 6⁷ 7⁷

 

0⁷ 1⁷

 ^ ^

⁷



0⁷ 1⁷



1 1

7 C C C C C C C C C C  71 1 C C 

                

 

1 6

0 1 7

7 7

    ，



2 ¹ 3 ¹ 4 ¹ 5 ¹ 6 ¹ 7 ¹ ¹ 1¹



( ) 1 1

k k k k k k k k

k k

f k C C C C C C C C

k

       

         

 



0 ¹ 1 ¹ 2 ¹ 3 ¹ 4 ¹ 5 ¹ 6 ¹ 7 ¹ ¹ 1¹



1 1

k k k k k k k k k k

k k

C C C C C C C C C C

k

         

 

           



C0k^¹ C1k^¹





  

 

¹



0 ¹ 1 ¹



1 1 1 1

k Ck Ck

k

  

 

      

 

1 0 1 1

1 1

k k

    

  ，k7, 9,11,13, , 2009, 2011 ,



2 ¹ 3 ¹ 4 ¹ 5 ¹ 6 ¹ 7 ¹ ¹ 1¹



( ) 1 1

k k k k k k k k

k k

f k C C C C C C C C

k

       

         

 



0 ¹ 1 ¹ 2 ¹ 3 ¹ 4 ¹ 5 ¹ 6 ¹ 7 ¹ ¹ 1¹



1 1

k k k k k k k k k k

k k

C C C C C C C C C C

k

         

 

           



C0k^¹ C1k^¹





  

 

¹



0 ¹ 1 ¹



1 1 1 1

k Ck Ck

k

  

 

      

 

1 0 1 1

1 1

k k

    

  ，k8,10,12,14, , 2010, 2012

 

f x 滿足

 

1 f k k

 k

 ,k0,1, 2,, 2012。 6. ^deg ^{f x}

 

^²⁰¹²^， ^{f x 的領導係數為}

 

¹

2013!

 。

(21)

7. 由 5.與 6.的討論得知：

 

f x 為 2012 次多項式函數，且

 

1 f k k

k

 ，k 0,1, 2,, 2012皆成立。

8. 所求

 

2013 2013 2012 2013 2012 2011 2013 2012 2011 2010

2013 2! 3! 4! 5!

f          

2013 2012 2011 2010 2009 2013 2012 2011 2010 2009 2008

6! 7!

        

 

2013 2012 2011 4 3 2013 2012 2011 3 2

2012! 2013!

         

    





2²⁰¹⁴ 3²⁰¹⁴ 4²⁰¹⁴ 5²⁰¹⁴ 6²⁰¹⁴ 7²⁰¹⁴ 2012²⁰¹⁴ 2013²⁰¹⁴



1

2014 C C C C C C C C

       



0²⁰¹⁴ 1²⁰¹⁴ 2²⁰¹⁴ 3²⁰¹⁴ 4²⁰¹⁴ 5²⁰¹⁴ 6²⁰¹⁴ 7²⁰¹⁴

1

2014 C C C C C C C C

         

  

2014 2014 2014 2014 2014 2014

2012 2013 2014 0 1 2014

C C C C C C 

      

 

²⁰¹⁴

 

1 1

1 1 1 2014 1 0 1 2014 1 2014  2014

          2012 1006

2014 1007

 

方法三：拉格朗日插值法》

所求 ^f



²⁰¹³



         

       

2013 1 2013 2 2013 3 2013 4 2013 2011 2013 2012 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 2011 0 2012

f      

 

     



          

        

2013 0 2013 2 2013 3 2013 4 2013 2011 2013 2012 1 1 0 1 2 1 3 1 4 1 2011 1 2012

f        

 

       

 



          

        

2013 0 2013 1 2013 3 2013 4 2013 2011 2013 2012 2 2 0 2 1 2 3 2 4 2 2011 2 2012

f        

 

       

 



          

        

2013 0 2013 1 2013 2 2013 4 2013 2011 2013 2012 3 3 0 3 1 3 2 3 4 3 2011 3 2012

f        

 

       

 



         

         

2013 0 2013 1 2013 2 2013 3 2013 2011 2013 2012 4 4 0 4 1 4 2 4 3 4 5 4 2011 4 2012

f        

 

        

 





          

        

2013 0 2013 1 2013 2 2013 3 2013 2010 2013 2012 2011 2011 0 2011 1 2011 2 2011 3 2011 2010 2011 2012

f        

 

       

 



(22)

數亦優 21

         

       

2013 0 2013 1 2013 2 2013 3 2013 2010 2013 2011 2012 2012 0 2012 1 2012 2 2012 3 2012 2010 2012 2011

f        

 

       

 



 

0



0²⁰¹³

 ^{ }

1

^{ }

1



1²⁰¹³

 ^{ }

1

^{ }

2



2²⁰¹³

 ^{ }

1

^{ }

3



3²⁰¹³

 ^{ }

1

^{ }

4



4²⁰¹³

 ^{ }

1

f C f C f C f C f C

      

 

5



5²⁰¹³

 ^{ }

1

^

2011

^ 

2011²⁰¹³

 ^{ }

1

^

2012

^ 

2012²⁰¹³

 ^{ }

1

f C f C f C

     



1²⁰¹³

 ^{ } 

2²⁰¹³

 ^{ } 

3²⁰¹³

 ^{ } 

4²⁰¹³

 ^{ } 

5²⁰¹³

 ^{ }

1 2 3 4 5

0 1 1 1 1 1

2 C 3 C 4 C 5 C 6 C

         

                  



2011²⁰¹³

 ^{ } 

2012²⁰¹³

 ^{ }

2011 2012

1 1

2012 C 2013 C

   

      



1²⁰¹³

 ^{ } 

2²⁰¹³

 ^{ } 

3²⁰¹³

 ^{ } 

4²⁰¹³

 ^{ }

1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1 1

2 C 3 C 4 C 5 C

       

              



5²⁰¹³

 ^{ } 

2011²⁰¹³

 ^{ } 

2012²⁰¹³

 ^{ }

1 1 1

1 1 1 1 1 1

6 C 2012 C 2013 C

     

            



C1²⁰¹³ C2²⁰¹³ C3²⁰¹³ C4²⁰¹³ C5²⁰¹³ C2011²⁰¹³ C2012²⁰¹³



       

2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013

1 2 3 4 5 2011 2012

1 1 1 1 1 1 1

2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 2012 C 2013 C

 

               



C0²⁰¹³



C1²⁰¹³ C2²⁰¹³ C3²⁰¹³ C4²⁰¹³ C5²⁰¹³ C2011²⁰¹³ C2012²⁰¹³



C2013²⁰¹³



 

         



2²⁰¹⁴ 3²⁰¹⁴ 4²⁰¹⁴ 5²⁰¹⁴ 6²⁰¹⁴ 2012²⁰¹⁴ 2013²⁰¹⁴



1

2014 C C C C C C C

       



^{1 1}



²⁰¹³ ₂₀₁₄¹

 

^C⁰²⁰¹⁴ ^C¹²⁰¹⁴

 

^C²²⁰¹⁴ ^C³²⁰¹⁴ ^C⁴²⁰¹⁴ ^C⁵²⁰¹⁴ ^C⁶²⁰¹⁴

  

         

    

2014 2014 2014 2014 2014 2014

2012 2013 2014 0 1 2014

C C C  C C C

      

   



²⁰¹⁴



1 2012 1006

0 1 1 1 2014 1

2014   2014 1007

         。

方法四：巴貝奇插值法》

引述巴貝奇定理：

設 f x 為 2012 次多項式函數，( ) d  ，則 0

       

2013 2013 2013 2013

2013 2013 2012 2012 2011 2011 5 5

C  f a d C f a d C  f a d   C  f a d

         

2013 2013 2013 2013 2013

4 4 3 3 2 2 1 0 0

C f a d C f a d C f a d C f a d C f a

               ，取a ，0 d  ，可得 1

       

2013 2013 2013 2013

2013 2013 2012 2012 2011 2011 5 5

C  f C  f C  f   C f

         

2013 2013 2013 2013 2013

4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 0

C f C f C f C f C f

           ，

(23)

所求 ^f



²⁰¹³



 

0



0²⁰¹³

 ^{ }

1

^{ }

1



1²⁰¹³

 ^{ }

1

^{ }

2



2²⁰¹³

 ^{ }

1

^{ }

3



3²⁰¹³

 ^{ }

1

^{ }

4



4²⁰¹³

 ^{ }

1

f C f C f C f C f C

      

 

5



5²⁰¹³

 ^{ }

1

^

2011

^ 

2011²⁰¹³

 ^{ }

1

^

2012

^ 

2012²⁰¹³

 ^{ }

1

f C f C f C

    



1²⁰¹³

 ^{ } 

2²⁰¹³

 ^{ } 

3²⁰¹³

 ^{ } 

4²⁰¹³

 ^{ } 

5²⁰¹³

 ^{ }

1 2 3 4 5

0 1 1 1 1 1

2 C 3 C 4 C 5 C 6 C

         

                  



2011²⁰¹³

 ^{ } 

2012²⁰¹³

 ^{ }

2011 2012

1 1

2012 C 2013 C

   

      



1²⁰¹³

 ^{ } 

2²⁰¹³

 ^{ } 

3²⁰¹³

 ^{ } 

4²⁰¹³

 ^{ }

1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1 1

2 C 3 C 4 C 5 C

       

              



5²⁰¹³

 ^{ } 

2011²⁰¹³

 ^{ } 

2012²⁰¹³

 ^{ }

1 1 1

1 1 1 1 1 1

6 C 2012 C 2013 C

     

          



C1²⁰¹³ C2²⁰¹³ C3²⁰¹³ C4²⁰¹³ C5²⁰¹³ C2011²⁰¹³ C2012²⁰¹³



       

2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013

1 2 3 4 5 2011 2012

1 1 1 1 1 1 1

2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 2012 C 2013 C

 

               



C0²⁰¹³



C1²⁰¹³ C2²⁰¹³ C3²⁰¹³ C4²⁰¹³ C5²⁰¹³ C2011²⁰¹³ C2012²⁰¹³



C2013²⁰¹³



 

         



2²⁰¹⁴ 3²⁰¹⁴ 4²⁰¹⁴ 5²⁰¹⁴ 6²⁰¹⁴ 2012²⁰¹⁴ 2013²⁰¹⁴



1

2014 C C C C C C C

       



^{1 1}



²⁰¹³ ₂₀₁₄¹

 

^C⁰²⁰¹⁴ ^C¹²⁰¹⁴

 

^C²²⁰¹⁴ ^C³²⁰¹⁴ ^C⁴²⁰¹⁴ ^C⁵²⁰¹⁴ ^C⁶²⁰¹⁴

  

         

     

2014 2014 2014 2014 2014 2014

2012 2013 2014 0 1 2014

C C C  C C C

      

   



²⁰¹⁴



1 2012 1006

0 1 1 1 2014 1

2014   2014 1007

         。

(24)

數亦優 23

《摘要》

72 法則（the rule of 72）是一種計算財富倍增所需時間的簡單算式，即以 72 為分子，投資報酬率為分母，兩者相除即為財富倍增所需的時間。舉例來說：某甲目前可投資額為一百萬元，他急於知道若他投資一平均年報酬率為 8%的共同基金時，要經過多久時間，一百萬才可以變成兩百萬？依照 72 法則，則是 72 除以 8 後得到的答案為 9，也就是 9 年後某甲的資產可以從一百萬變成兩百萬。然而 72 法則僅是個經驗估算法則，況且有時誤差大，維基百科網頁上也有70 法則、69.3 法則、E-M 法則與 Padé 近似式，其中以「Padé 近似式」估算最精確，這些估算方法的共同特徵在「用一次除法的計算取代複雜的指對數計算」。本文使用「迴歸線估算」，提供 double 法則的理論基礎，建議應使用 69.34 法則──若年利率為 r%，則約需(0.34

＋69.34/r)年本利和達 2 倍。當年利率在 1%～50%時，用此法則估算誤差在 7 天內；當年利率在 4%～14%時，用此法則估算誤差只在 1 天內；當年利率在 2%～10%時，用此法則估算比用

「Padé 近似式」估算更精確。此外，由 69.34 法則關係式，可推廣處理本利和達其他倍數的相關問題，篇末我們也用69.34 法則關係式製作真數較小時的對數表。

《內文》

有一筆投資保證每年賺 x%，且每年賺的錢再投入（複利計算），則多少年你的本金可以 翻一倍？假設是N 年可以翻一倍，則 N 正確的計算應該是滿足



¹^^x^%



^N  。為了解 N，這時²

兩邊取對數log，變成^N^^{log 1}



^^x^%



^^{log 2}^，所以^N^^{log 1}



^{log 2}^^x^%



^。

下表（一）為72 法則、69.3 法則與 Padé 近似式估值比較：

利率＼

函數

實際值

（年）

72 法則估值（年）

72 法則誤差（年）

69.3 法則估值（年）

69.3 法則誤差（年）

Padé 近似式（年）

Padé 近似式誤差（天）

0.50% 138.9757 144.00 5.0243 138.60 -0.3757 138.9462 -10.7712 0.75% 92.7658 96.00 3.2342 92.40 -0.3658 92.7461 -7.1900 1.0% 69.6607 72.00 2.3393 69.30 -0.3607 69.6459 -5.3996 1.5% 46.5555 48.00 1.4445 46.20 -0.3555 46.5456 -3.6097 2% 35.0028 36.00 0.9972 34.65 -0.3528 34.9953 -2.7156 3% 23.4498 24.00 0.5502 23.10 -0.3498 23.4448 -1.8236 4% 17.6730 18.00 0.3270 17.33 -0.3480 17.6692 -1.3806 5% 14.2067 14.40 0.1933 13.86 -0.3467 14.2036 -1.1179 6% 11.8957 12.00 0.1043 11.55 -0.3457 11.8931 -0.9460 7% 10.2448 10.29 0.0409 9.90 -0.3448 10.2425 -0.8264 8% 9.0065 9.00 -0.0065 8.66 -0.3440 9.0044 -0.7401

葉善雲／臺北市東山高中

(25)

9% 8.0432 8.00 -0.0432 7.70 -0.3432 8.0414 -0.6761 10% 7.2725 7.20 -0.0725 6.93 -0.3425 7.2708 -0.6282 11% 6.6419 6.55 -0.0964 6.30 -0.3419 6.6403 -0.5923 12% 6.1163 6.00 -0.1163 5.78 -0.3413 6.1147 -0.5656 13% 5.6714 5.54 -0.1330 5.33 -0.3406 5.6699 -0.5461 14% 5.2901 5.14 -0.1472 4.95 -0.3401 5.2886 -0.5326 15% 4.9595 4.80 -0.1595 4.62 -0.3395 4.9580 -0.5240 16% 4.6702 4.50 -0.1702 4.33 -0.3389 4.6688 -0.5196 17% 4.4148 4.24 -0.1796 4.08 -0.3384 4.4134 -0.5187 18% 4.1878 4.00 -0.1878 3.85 -0.3378 4.1864 -0.5210 19% 3.9847 3.79 -0.1952 3.65 -0.3373 3.9832 -0.5260 20% 3.8018 3.60 -0.2018 3.47 -0.3368 3.8003 -0.5334 25% 3.1063 2.88 -0.2263 2.77 -0.3343 3.1046 -0.6000 30% 2.6419 2.40 -0.2419 2.31 -0.3319 2.6400 -0.7033 無庸置疑，72 法則有其簡便性與實用性，誤差先高估，到 8%左右幾乎接近正確值，然後出現負誤差（低估），因此有70 法則與 69.3 法則在低利率時用來作修正。

底下，我們擷取 72 法則的精神，打算用非水平直線 L ： y ax b  來取代（近似）函數



^{log 2}



log 1 % y x  x

 （即y x N  ）¹：

如此一來，



^{log 2}



¹



^{log 2}



¹

 

log 1 % log 1 %

x b

N ax b a

x x x

x x

        

  。

我們在函數



^{log 2}



log 1 % y x

x

 

 圖形上取 23 個點，然後用最小平方法計算迴歸線（最適直線）L ： y ax b  來近似函數



^{log 2}



log 1 % y x

x

 

 ：

1 當此函數取為水平線

y

72時，即為72 法則。

(26)

數亦優 25 x y y y



^{y y}^



² ^{x x}^

^

x x

^

²



^{x x y y}^

 

^



0.50 69.4879 -2.9655 8.7944 -8.75 76.5625 25.9484 0.75 69.5743 -2.8791 8.2890 -8.50 72.2500 24.4721 1.0 69.6607 -2.7927 7.7990 -8.25 68.0625 23.0396 1.5 69.8333 -2.6201 6.8650 -7.75 60.0625 20.3058 2 70.0056 -2.4478 5.9918 -7.25 52.5625 17.7467 3 70.3493 -2.1041 4.4271 -6.25 39.0625 13.1505 4 70.6920 -1.7614 3.1027 -5.25 27.5625 9.2476 5 71.0335 -1.4199 2.0161 -4.25 18.0625 6.0346 6 71.3740 -1.0794 1.1652 -3.25 10.5625 3.5081 7 71.7134 -0.7400 0.5476 -2.25 5.0625 1.6650 8 72.0517 -0.4016 0.1613 -1.25 1.5625 0.5021 9 72.3891 -0.0643 0.0041 -0.25 0.0625 0.0161 10 72.7254 0.2720 0.0740 0.75 0.5625 0.2040 11 73.0607 0.6073 0.3689 1.75 3.0625 1.0628 12 73.3951 0.9417 0.8867 2.75 7.5625 2.5896 13 73.7284 1.2750 1.6257 3.75 14.0625 4.7814 14 74.0608 1.6074 2.5838 4.75 22.5625 7.6353 15 74.3923 1.9389 3.7592 5.75 33.0625 11.1485 16 74.7228 2.2694 5.1501 6.75 45.5625 15.3183 17 75.0524 2.5990 6.7546 7.75 60.0625 20.1420 18 75.3810 2.9276 8.5711 8.75 76.5625 25.6168 19 75.7088 3.2554 10.5977 9.75 95.0625 31.7402 20 76.0357 3.5823 12.8328 10.75 115.5625 38.5096 9.25 72.4534 0 102.3680 0 905.1250 304.3851 由上述資料：x9.25，y72.4534，^



^{y y}^



² ^^102.3680^，

 

^{x x} ² ^905.1250

   ，^{ }

 

^{x x y y}^



^^304.3851^，

得此23 個點的相關係數為

  

  

²



²

304.3851 304.3851

0.99997 304.3942

905.125 102.368 x x y y

x x y y

  

  

   

，

極適合用一直線（即迴歸線）L ： y ax b  來近似函數



^{log 2}



log 1 % y x

x

 

 在所選 23 個點附近的值，其中

(27)

  

 

² ^304.3851^905.1250 ^0.336291

x x y y a

x x

  

  

  ，且

72.4534 0.336291 9.25 69.3427 b y a x      。此時，



^{log 2}



¹



^{log 2}



¹

 

^0.336291 ^69.3427

log 1 % log 1 %

N x ax b

x x x

x x

        

  。

於是我們得出底下的結論：

當期利率為x 時，約需% 69.3427

0.336291

x  期本利和達2 倍。

為了應用上的方便，我們將上式取到兩位小數，成為當期（年）利率為x 時，約需% 69.34

x 0.34期（年）本利和達2 倍。² 也為了便於記憶，我們將上式命名為「69.34 法則」，同時將關係式



^{log 2}



^0.34 ^69.34

log 1 x%   x

 ，稱為69.34 法則關係式。

下表（二）為Padé 近似式69.3 600 4 600

x

x x

 

 與69.34 法則的比較：

利率＼

函數

實際值

（年）

Padé 近似式（年）

Padé 近似式誤差（天）

迴歸線估算

迴歸線估算誤差（天）

69.34 法則

69.34 法則誤差（天）

0.50% 138.9757 138.9462 -10.7712 139.0217 16.7830 139.0200 16.1616 0.75% 92.7658 92.7461 -7.1900 92.7932 10.0250 92.7933 10.0621 1.0% 69.6607 69.6459 -5.3996 69.6790 6.6721 69.6800 7.0383 1.5% 46.5555 46.5456 -3.6097 46.5648 3.3710 46.5667 4.0665 2% 35.0028 34.9953 -2.7156 35.0076 1.7720 35.0100 2.6321 3% 23.4498 23.4448 -1.8236 23.4505 0.2751 23.4533 1.2998 4% 17.6730 17.6692 -1.3806 17.6720 -0.3725 17.6750 0.7345 5% 14.2067 14.2036 -1.1179 14.2048 -0.6815 14.2080 0.4748 6% 11.8957 11.8931 -0.9460 11.8934 -0.8222 11.8967 0.3671 7% 10.2448 10.2425 -0.8264 10.2424 -0.8675 10.2457 0.3453 8% 9.0065 9.0044 -0.7401 9.0041 -0.8539 9.0075 0.3766 9% 8.0432 8.0414 -0.6761 8.0410 -0.8015 8.0444 0.4426 10% 7.2725 7.2708 -0.6282 7.2706 -0.7226 7.2740 0.5326 11% 6.6419 6.6403 -0.5923 6.6402 -0.6247 6.6436 0.6394 12% 6.1163 6.1147 -0.5656 6.1148 -0.5131 6.1183 0.7585

2 若

x

為負利率（通膨），則約需^69.34 0.34

x

 期本利和成為原來的¹ 2倍。

(28)

數亦優 27 13% 5.6714 5.6699 -0.5461 5.6703 -0.3914 5.6738 0.8866 14% 5.2901 5.2886 -0.5326 5.2893 -0.2619 5.2929 1.0215 15% 4.9595 4.9580 -0.5240 4.9591 -0.1266 4.9627 1.1615 16% 4.6702 4.6688 -0.5196 4.6702 0.0132 4.6738 1.3054 17% 4.4148 4.4134 -0.5187 4.4153 0.1564 4.4188 1.4522 18% 4.1878 4.1864 -0.5210 4.1887 0.3022 4.1922 1.6013 19% 3.9847 3.9832 -0.5260 3.9859 0.4500 3.9895 1.7520 20% 3.8018 3.8003 -0.5334 3.8034 0.5993 3.8070 1.9038 25% 3.1063 3.1046 -0.6000 3.1100 1.3560 3.1136 2.6704 30% 2.6419 2.6400 -0.7033 2.6477 2.1124 2.6513 3.4334 35% 2.3097 2.3074 -0.8336 2.3175 2.8563 2.3211 4.1820 40% 2.0600 2.0573 -0.9851 2.0699 3.5827 2.0735 4.9119 45% 1.8655 1.8623 -1.1541 1.8772 4.2895 1.8809 5.6215 50% 1.7095 1.7058 -1.3378 1.7231 4.9762 1.7268 6.3104 60% 1.4748 1.4700 -1.7410 1.4920 6.2899 1.4957 7.6273 70% 1.3063 1.3003 -2.1819 1.3269 7.5279 1.3306 8.8677 80% 1.1792 1.1720 -2.6515 1.2031 8.6961 1.2068 10.0377 90% 1.0799 1.0713 -3.1426 1.1068 9.8006 1.1104 11.1435 100% 1.0000 0.9900 -3.6500 1.0297 10.8470 1.0334 12.1910

由上表可以看出：

(1) 用迴歸線估算時，當年利率在 3%～4%與 15%～16%時，有兩次機會接近正確值³，在第一次正確值（約 3.34%）之前為高估，在第二次正確值（約 15.91%）之後亦高估，而在 3.34%～15.91%範圍則為低估（誤差皆在 1 天之內）。

(2) 當年利率在 1%～50%時，用 69.34 法則估算誤差在 7 天內；當年利率在 4%～14%時，用 69.34 法則估算誤差只在 1 天內；當年利率在 2%～10%時，用 69.34 法則估算比用「Padé 近似式」估算更精確。

已經有了處理財富倍增的 69.34 法則，那麼本利和達 3 倍或 k 倍（k ），是否也有相應1 的法則可以運用呢？

設年利率為x ，且 N 年後本利和可達 k 倍，則 N 滿足%



¹^^x^%



^N  ，兩邊取對數 log ，^k 得^N^^{log 1}



^^x^%



^^log^k^，所以

3 當x3.3371^或x15.9065^時，



^{log 2}



^69.3427 ^0.336291

log 1

x

% 

x



 。

(29)



^log



^{log 2}^{log 2}



^log



^log^{log 2}



^{log 2}



log 1 % log 1 % log 1 %

k x k k x

N x x  x  x  x

  

 

2 2

1 69.3427

log k ax b log k 0.336291

x x

 

       。

特別是當k 時，3 69.3427 109.9056 1.584963 0.336291 0.5330

N x x

 

     。

底下，我們舉幾個例題來說明69.34 法則的神奇應用⁴。

《例題1》前行政院長提出知識經濟，喊出 10 年內要讓臺灣 double（加倍），一般小市民希望第 11 年開始的薪水加倍。如果每年調薪a ，其中% a 為整數，欲達成小市民的希 望，那麼a 的最小值為何？

［說明］若a ，則約需7 69.34

0.34 9.9057 0.34 10.2457

7     年本利和達2 倍；

若a ，則約需8 69.34

0.34 8.6675 0.34 9.0075

8     年本利和達2 倍。

實際上，若每年調薪a ，在 10 年內欲使薪水加倍，則% 69.34

0.34 10 a   ，得 69.34

7.178

a 9.66  ，因此每年調薪8%才能達成目標。

《例題2》某公司為了響應節能減碳政策，決定在五年後將公司該年二氧化碳排放量降為目前排放量的 75%。公司希望每年依固定的比率（當年和前一年排放量的比）逐年減少二氧化碳的排放量。若要達到這項目標，則該公司每年至少要比前一年減少多少的二氧化碳的排放量？

［說明］設每年變化 %x 使 5 年後成為3

4倍，則



¹^^x^%



⁵  ，兩邊取對數 log ，得³₄

 

³

5log 1 % log x  4

   

 ，即



^{log 2}



^{5log 2}

log 1 % 3 log 4 x 

  

  

，所以

5log 2 69.34

0.34 12.047 log3 2log 2

x    

 ，此時 69.34

5.598 12.387

x  

 。

此公司應每年至少減少約5.6%的二氧化碳的排放量，才能達預期目標。

《例題3》利用 69.34 法則關係式



^{log 2}



^0.34 ^69.34

log 1 x%   x

 ，製作每間隔0.005，

在log1.005 ～ log1.20 間的對數表⁵。

4 若是手邊沒有對數表或工程用計算機，不容易處理底下的例題。

5 在此區段所取的對數值相當準確，而且真數愈小愈精確；又因此區段之對數值變化劇烈，此方法所取之值恰可彌補用內插法取值誤差太大的缺憾。

龍騰數亦優第26期

編輯室墨記

按照一定的順序堆疊八個全等正方形，也跟數學有關嗎？簡單的塗色遊戲也有必勝 的祕技嗎？快翻閱動手玩數學，大展身手一下吧！

[email protected]。

龍騰數亦優 2015.03 目次 龍騰業務跑天下 數學質好畫亦優

許志農 臺灣師大數學系

》 》兩岸四地華羅庚金盃少年數學菁英邀請賽

《第五屆》

江慶昱 衛道中學退休教師

》 》遞迴數列

李維昌 國立宜蘭高中

》 》 關於一道多項式函數插值問題利用四種不同方法來求解

葉善雲 臺北市東山高中

》 》迴歸線估算修正｢財富倍增之 72 法則｣ 69.34 法則

林芳綺 新北市中和高中

》 》翻轉之前～TRML 數學競賽校內培訓心得分享

鍾國華 臺北市祐德高中

》 》利用差額法求運輸問題

許志農 臺灣師大數學系

》 》動手玩數學專欄

》 》動手玩數學《第 25 期》破解秘笈 3

12

17

23

42 31

36

◎第一、二屆請見龍騰數亦優第 24 刊、第三屆請見第 13 刊、第四屆請見第 25 刊。

第五屆

一、競賽試題

大家都知道：中國象棋裡的「馬」走「日」步。左下圖是將馬擺放在棋盤的右上 角，而右下圖：標出了馬從右上角出發所走幾步經過的點的順序編號：

現讓馬從右上角出發，在每個點至多只能走過一次的限制下，盡可能讓馬走更多步，並 將其走過的點依序標在所附的答題紙上。

第 1 題答題紙

給定一個三角形，過一個頂點畫一線段將此三角形割成兩個小三角形，如下圖所示：

問題：有哪些類型的三角形可以在適當的畫一線段後，讓兩個小三角形都是等腰三角 形。

要求：1. 舉出的類型越多，得分越高；

2. 最好不要舉單一特例，例如邊長是多少或角度為幾度的三角形等。

3. 每種類型用直尺、圓規做出一個實例，保留尺規作圖痕跡。

我們手上有四個邊長為 1 的正方形，三個邊長為 2 的正方形及一個邊長為 3 的正方 形，一共八個正方形，如下圖所示：

請將這八個正方形無重疊的擺放到邊長為 5 的正方形中，並將擺放的結果標在所附 的答題紙上。

（註：不同拼法，越多越好，擺放的兩個圖形經旋轉或背後透視相同的拼法視為同一 種。）

補充：拼出越多種拼法越好，得分越高。

第 3 題答題紙

將十個數字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 填入下圖的圓圈內，每個圓圈填入不同的數 字：

如果要求每個圓圈內的數字必須是底下兩個圓圈內的數字差，例如下圖填法

那麼一共有多少種不同的填法？並將其各種填法寫在所附的答題紙上。

補充：1. 左右對稱的填法（如下圖所示），視為同一種；

2. 列舉出越多符合題目要求的填法，得分越高。

第 4 題答題紙

二、解析

第 1 題評分準則：

(1) 說明：測試時間為 15 分鐘。

(2) 評分：在棋盤上符合「馬」走「日」步要求的最大路徑標號 N+25，得分數為 N。例 如最大路徑標號為 35，該隊得 10 分，而全走完共 45 步，會得 20 分。

(3) 原則上每個點（共 45 點）都可以走過，參考答案如下

第 2 題評判準則：

(1) 說明：測試時間為 15 分鐘。

(2) 解答：符合題目要求的三角形有三種。

①    A 90 （直角三角形）：

BC 的中點，連接

AP PB PC   ，即三角形

, 等腰三角形。

②      B 2 C 90 （一角是另一角二倍）：

作

2 C      B APB   PAC   C ，即    C PAC ，故 AB  AP PC  。

【另作】1. 作  

45

。

2. 在  C 的一邊選一點

 CBA   2 C ，

 C 另一邊 的交點。

3. 以點 A 為圓心，線段 AB 為半徑作弧交線段 BC 於點

4. 連接 AP ， AP 即為所求線段。

③     A 3 B 135  （一角是另一角三倍）：

作

  

，此時

 ，又 2

CPA BAP B BAP CAP

         ，即 CA CP  。

【另作】1. 作  

45

按照一定的順序堆疊八個全等正方形，也跟數學有關嗎？簡單的塗色遊戲也有必勝的祕技嗎？快翻閱動手玩數學，大展身手一下吧！

龍騰數亦優 2015.03 目次龍騰業務跑天下數學質好畫亦優

許志農 ^{臺灣師大數學系}

》》兩岸四地華羅庚金盃少年數學菁英邀請賽

江慶昱 ^{衛道中學退休教師}

》》遞迴數列

李維昌 ^{國立宜蘭高中}

》》關於一道多項式函數插值問題利用四種不同方法來求解

葉善雲 ^{臺北市東山高中}

》》迴歸線估算修正｢財富倍增之 72 法則｣ 69.34 法則

林芳綺 ^{新北市中和高中}

》》翻轉之前～TRML 數學競賽校內培訓心得分享

鍾國華 ^{臺北市祐德高中}

》》利用差額法求運輸問題

許志農 ^{臺灣師大數學系}

》》動手玩數學專欄

》》動手玩數學《第 25 期》破解秘笈 3

大家都知道：中國象棋裡的「馬」走「日」步。左下圖是將馬擺放在棋盤的右上角，而右下圖：標出了馬從右上角出發所走幾步經過的點的順序編號：

現讓馬從右上角出發，在每個點至多只能走過一次的限制下，盡可能讓馬走更多步，並將其走過的點依序標在所附的答題紙上。

問題：有哪些類型的三角形可以在適當的畫一線段後，讓兩個小三角形都是等腰三角形。

我們手上有四個邊長為 1 的正方形，三個邊長為 2 的正方形及一個邊長為 3 的正方形，一共八個正方形，如下圖所示：

請將這八個正方形無重疊的擺放到邊長為 5 的正方形中，並將擺放的結果標在所附的答題紙上。

（註：不同拼法，越多越好，擺放的兩個圖形經旋轉或背後透視相同的拼法視為同一種。）

將十個數字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 填入下圖的圓圈內，每個圓圈填入不同的數字：

(2) 評分：在棋盤上符合「馬」走「日」步要求的最大路徑標號 N+25，得分數為 N。例如最大路徑標號為 35，該隊得 10 分，而全走完共 45 步，會得 20 分。

 C 另一邊的交點。

(3) 給分：有上述三種類型者，準確說出一種符合題意類型給 6 分、寫明條件限制的給 2 分、畫出實例且作法正確的給 2 分，每類給 10 分。若沒列舉上述三類型，