壓電能量擷取器應用於感應線圈驅動同步切換電路之自供電系統設計

國立台灣大學工學院工程科學及海洋工程研究所 碩士論文

Department of Engineering Science and Ocean Engineering College of Engineering

National Taiwan University Master Thesis

壓電能量擷取器應用於感應線圈驅動同步切換電路之 自供電系統設計

Using Piezoelectric Energy Harvesting Devices in Synchronized Switch Harvesting on Inductor (SSHI) Circuit Driven by Induction Coil and its Application in Self-powered System

楊智翔 Chih-Hsiang Yang

指導教授：吳文中 博士 Advisor: Wen-Jong Wu, Ph.D

中華民國 100 年 9 月

September, 2011

誌謝

很開心也很幸運在 98 年的暑假加入 NTUMEMS 這個大家庭，兩 年中跟著吳文中老師學習，老師給予學生於研究上最大的支持與資源，

老師亦師亦友的態度常能給我最直接的勉勵。李世光老師貴為實驗室 的大家長，總是撥出繁忙的公務時間參與實驗室的會議，給予學生適 當的建議與方向，此外老師在學術領域的成就和言行舉止皆為學生最 佳的榜樣。謝謝昱任在我初次來到這團隊時，不斷鼓勵我，與我常有 聊不完的話題，謝謝 KT 哥如同我的老大哥，常能給我最正面的鼓勵 與幫助，謝謝小白學姐視我如自己的親弟弟，和我們共同度過大多的 喜怒哀樂，三兩句已無法表達對你們的感激。謝謝八哥、肇哥和孙捷 學長平時主動的關心問候，讓我備感窩心。謝謝柏勳和順區學長帶領 我接觸並學習壓電理論知識，同時也指導我英文文章的撰寫，謝謝昱 因學長在做實驗上的認知及相關知識常能不厭其煩的教我，雖然元平 學長身在法國，但總能及時的為我解惑，讓我深感放心。謝謝峻豪、

伯禹學長、瀅爺和建凱學長在鐵皮屋時對我的支持，謝謝志仁對我於 電腦問題總是義務的幫助，謝謝承恩和我共體時艱走過了接計畫的日 子，讓我們學到很多也建立起革命情感，謝謝大白總能像媽媽一樣對 我叮嚀提醒，妳對實驗室的付出也是有目共睹的，謝謝育正與我共同

熬夜做研究，一起討論度過靜寂的時光。謝謝大寶、小 A、嘎嘎、侑 勳和琪琪，雖然我們各自為自己的研究努力，但是我們不斷的互相打 氣，很開心有你們這些朋友，在我成長的路上陪我走過許許多多難忘 的回憶。謝謝助理們在我需要幫忙的時候成為我與老師或我與系上聯 繫的橋樑。謝謝主任對學生遇到困難時給予最大的寬容與幫助，謝謝 楊小姐和汪小姐在我修課及口詴相關事宜全力幫忙，讓我能順利的完 成學業。謝謝這意外的邂逅，在這段過程有妳陪我度過。最後謝謝爸 爸媽媽讓我無憂無慮的學習，並支持我，也謝謝姑丈姑姑也如同我父 母一般，在異鄉求學卻有家一樣的溫暖，你們辛苦了。謝謝這兩年中 曾經幫助我的人，這過程有妳們陪我寫下精彩。

中文摘要

近年來能源耗竭與替代能源的議題逐漸受到重視，壓電材料的安 全性、穩定性佳及體積小之優勢，使其成為重要的替代能源之一。

此壓電能量擷取器所擷取之能量能成功應用於電感式同步切換 電路，此外，藉由將從陶瓷壓電材料擷取之能量作分配，將一部分提 供給原感式同步切換電路，另一部分提供給其它電子元件，使整體電 路能達到自供電之成效，並成為一高效率的能量擷取系統。最後，本 論文利用磁場感應線圈之方式成功驅動切換開關，優點為磁場感應線 圈的訊號擁有低雜訊使之在控制上更顯容易並減少濾波電路的設計 以降低能量的損耗。

關鍵字：電感式同步切換電路、自供電系統、電磁感應

ABSTRACT

In recent years, energy depletion and alternative energy issues gradually are taken seriously, the piezoelectric material security, good stability and small size of the advantage, making it an important alternative energy sources.

The energy derived from the piezoelectric power harvester could be applied to the circuit of Synchronized Switch Harvesting on Inductor (SSHI) successfully. Moreover, by allocating the energy into two parts, one for SSHI circuit, the other for electric components, the energy is enough to supply the whole circuit, which makes it become a self-powered system with high efficiency. In this paper, the method of electromagnetic induction is used to drive the switches because its produced signals have low noises. This advantage makes it easier to control, decreases the design of filter circuits in the whole system and deduces the energy consumption.

Keyword: SSHI circuit, self-powered system, electromagnetic induction

目錄

誌謝..………I 中文摘要 ... III ABSTRACT ... IV 目錄...………..V 圖目錄 ... VII 表目錄 ... XI 第 1章 緒論 ... 1 研究動機 ... 1 1.1

論文目標 ... 4 1.2

論文架構 ... 4 1.3

第 2章 簡介 ... 6 壓電材料特性 ... 6 2.1

壓電常數 ... 11 2.2

壓電本構方程式 ... 13 2.3

壓電機電耦合係數 ... 18 2.4

壓電等效電路 ... 20 2.5

第 3章 壓電能量擷取器結合電磁式驅動控制設計 ... 22 壓電式能量擷取器之一維力電等效模型 ... 22 3.1

壓電式能量擷取器之理論分析 ... 25 3.2

電磁式驅動原理 ... 28 3.3

第 4章 自供電系統電路及開關控制電路設計 ... 30 標準儲能電路之理論分析 ... 30 4.1

電感式同步切換電路之理論分析 ... 33 4.2

開關控制訊號電路之設計及理論分析 ... 42 4.3

自供電系統電路之設計及理論分析 ... 45 4.4

第 5章 實驗結果與討論 ... 53 實驗架構 ... 53 5.1

能量擷取系統夾具之設計 ... 60 5.2

開關控制訊號及自供電系統電路之設計 ... 61 5.3

實驗結果與討論 ... 66 5.4

第 6章 結論與未來展望 ... 78 結論 ... 78 6.1

未來展望 ... 80 6.2

參考文獻 ... 81 附錄一 ... 83 附錄二 ... 85

圖目錄

圖 1 壓電材料極化前後電偶極的排列；(a)極化前(b)極化後 ... 7

圖 2 壓電材料的正壓電效應；(a)受壓應力產生電場(b)受張應力產生 反向電場 ... 8

圖 3 壓電材料的逆壓電效應；(a)受外加電場而壓縮(b)受外加電場而 伸張 ... 8

圖 4 陶瓷壓電材料磁滯效應示意圖：虛線是指應變與極化度之間的 關係；實線是指應變與電場之間的關係 ... 11

圖 5 力電轉換物理關係式 ... 13

圖 6 具力學因子之壓電等效電路 ... 20

圖 7 Van Dyke 壓電等效電路 ... 21

圖 8 穩態壓電等效電路；(a)以電壓源簡化之(b)以電流源簡化之 ... 22

圖 9 壓電能量擷取器之一維力電轉換等效模型 ... 23

圖 10 壓電結構力電轉換等效模型 ... 24

圖 11 懸臂樑架構示意圖 ... 25

圖 12 穩態壓電等效電路於 Kirchhoff's current law ... 26

圖 13 冷次定律 ... 29

圖 14 標準儲能電路 ... 30

圖 15 SSDI 電路示意圖 ... 33

圖 16 開關(ON)時間與電感-電容共振訊號關係圖 ... 34

圖 17 SSDI 的開關切換訊號和壓電電壓波形變化示意圖 ... 36

圖 18 SSHI Technique(AC)電路示意圖 ... 37

圖 19 SSHI 壓電電壓與位移波形圖 ... 38

圖 20 SSHI-DC 儲能電路示意圖 ... 40

圖 21 SSHI-DC 壓電電壓與位移波形圖 ... 40

圖 22 反相史密特觸發器 ... 44

圖 23 反相史密特觸發電路輸出入波形圖 ... 44

圖 24 非反相史密特觸發器 ... 45

圖 25 自供電系統電路示意圖 ... 46

圖 26 自供電系統之壓電電壓及直流電壓波形圖 ... 47

圖 27 自供電系統之等效電路示意圖 ... 47

圖 28 自供電系統之正直流電訊號簡化電路示意圖 ... 49

圖 29 簡化電路之輸入及輸出訊號之波形圖 ... 49

圖 30 導通時間波形圖 ... 50

圖 31 二極體導通過程電流示意圖；(a)導通 ON(b)截止 OFF ... 51

圖 32 單支懸臂樑實驗架構圖 ... 54

圖 33 壓電材料的鋪設示意圖 ... 54

圖 34 雙支懸臂樑實驗架構圖 ... 55

圖 35 新夾具之結構圖 ... 61

圖 36 壓電(綠線)與線圈感應電壓訊號(黃線)波形圖 ... 62

圖 37 開關控制電路圖 ... 63

圖 38 切換開關示意圖 ... 63

圖 39 開關皆未倒通之時間 td：壓電電壓(綠線)、N-MOSFET 之 D-S 極誇壓(藍線)和 P-MOSFET 之 D-S 極誇壓(紅線) ... 64

圖 40 線圈電壓與開關控制訊號波形圖 ... 64

圖 41 自供電系統電路波形圖：壓電電壓訊號(黃線)、正直流訊號(藍 線)和負直流訊號(綠線) ... 65

圖 42 壓電壓電流波形圖；(a)標準儲能電路(b)電感式同步切換電路 ... 68

圖 43 標準儲能電路電壓波形圖：整流前電壓訊號(綠線)、電容之誇 壓(紅線) ... 68

圖 44 電感式同步切換電路電壓波形圖；整流前電壓訊號(綠線)、電 容之誇壓(紅線) ... 69

圖 45 單支壓電能量擷取器之後端電路分解示意圖 ... 70

圖 46 雙支壓電能量擷取器之後端電路分解示意圖 ... 70

圖 47 PCB 雕刻電路板 ... 71

圖 48 感應線圈：(a)孔徑大(b)孔徑小 ... 72

圖 49 線圈感應電壓訊號：(a)孔徑大的線圈雜訊小(b)孔徑小的線圈

雜訊大... 72

圖 50 懸臂樑擺動過程示意圖 ... 73

圖 51 線圈感應電壓(藍線)波形圖 ... 74

圖 52 兩陶瓷壓電訊號(黃、藍線)及感應線圈訊號(紅線)波形圖 ... 75

圖 53 兩懸臂樑共振頻率前後相位比較圖 ... 75

圖 54 兩陶瓷壓電於同一系統實驗架構圖 ... 77

表目錄

表 1 壓電材料之優缺點比較 ... 9

表 2 壓電常數定義表 ... 11

表 3 IEEE 標準下標符號對應表 ... 16

表 4 壓電材料各物理量與壓電常數關係圖 ... 17

表 5 壓電組成律之適用條件 ... 18

表 6 壓電能量平衡方程式之各項物理意義對照表 ... 27

表 7 壓電能量平衡方程式於 SSHI 之各項物理意義對照表 ... 39

表 8 實驗所需之儀器型號與實體照片 ... 55

表 9 鋯鈦酸鉛陶瓷壓電材料特性參數表 ... 60

表 10 壓電能量擷取器相關參數表 ... 66

表 11 兩陶瓷壓電於同一系統實驗結果 ... 76

表 12 論文設計要點說明與相對優勢 ... 78

緒論 第1章

隨著運用壓電材料於結構振動上的應用漸趨廣泛且成熟，本論 文主要針對將壓電材料黏貼於結構振動體上並結合電磁式的架構應 用於擷取轉換能量的實現。然而，本論文將以震盪器做為模擬環境振 動來源，並操作於人類運動之低頻段約 10Hz 至 30Hz，為使振動能量 達最有效率的擷取，後端電路的設計即顯得不可或缺，然而電路的設 計不免需外在電源的供應，此則有違能量擷取之理念。所以本論文即 設計新式夾具以整合多支懸臂樑於一系統中並透過自供電系統電路 的概念達成此目標。

研究動機 1.1

近幾十年來各國於能量擷取領域上的研究，致力於能量的儲存，

一般用以超級電容來取代鉛蓄電池及燃料等具危險重金屬和環境汙 染的電池[1]。此時壓電材料具有將環境振動所產生的力學能轉變成 電能的特性，又其轉換效率高、材料輕薄、對溫度敏感度低等優點，

因此壓電材料可將環境振動產生的機械能轉換之電能至後端電路所

擷取和耗散，設計的後端電路大致分為標準能量擷取電路(Standard Energy Harvesting)、電阻分流阻尼電路(Resistive Shunt Damping)和電 感 式 同 步 切 換 擷 取 電 路 (Synchronized Switch Harvesting on Inductor)[2]。

標準能量擷取和電阻分流阻尼電路則分別表示為電能的擷取和 耗散，又兩電路的組成元件皆為電阻、電容等被動元件所組成，其優 點為設計簡單且電路中不需額外電源的供應，相對的也有缺點如工作 效能差。電感式同步切換電路則在電壓或位移訊號的極值出現時予以 路徑的切換，換言之，切換時機將取之於電流訊號為零時，而 LC 共 振的現象會發生在切換瞬間，最後，壓電材料的電壓和電流訊號達到 同相，以使壓電材料轉變為電能的工作效能達最佳，反之，切換電路 於路徑切換的同時必增加結構阻尼以達到減振的效果和切換頻率若 過高也會造成不必要的切換損失。因電感式同步切換電路為半主動控 制(Semi-active Control)，需由系統外部給予切換開關一個脈衝訊號或 方波訊號開(ON)、關(OFF)達到路徑的切換。[3]從系統內部找出可替 代之訊號作為開關控制的設計，使系統自供電的想法得以實現。

隨著壓電材料的研究與應用日漸成熟，大家對於系統在結構振 動帶來的能量尤顯不足，Roundy 整理出三種主要能量轉換機制可使 環境振動有效轉換成電能，此機制分別為靜電、電磁及壓電三種型式

[4]，其中任兩種機制的結合將提升輸出功率，[5]表列式的提出三種 機制能量儲存密度的比較，尤其以壓電和電磁兩機制為最高。因此，

壓電結合電磁式於同一結構系統中[6]，雖然電磁式的結合將增加系 統的結構阻尼，如果電磁式和壓電式的阻尼值相匹配即能擷取至最大 輸出功率[7]。結構振動所產生懸臂樑自由端的上下位移即是欲結合 電磁式能量轉換機制的最大原因，若懸臂樑自由端擺置磁性材料作為 質量塊不僅降低懸臂樑振動之共振頻率，更增加懸臂樑振動時之形變 量，依據冷次定律將線圈擺置磁性材料擺動之適切位置即可使線圈感 應產生感應電流[7]，因此可提升輸出功率，但兩能量轉換機制的輸 出負載卻有一千倍的差異，此為壓電結合電磁式能量擷取系統的缺 點。

本論文將以能量擷取為主要研究方向，其設計指標分為能量擷 取和自供電系統兩部分，其中兩設計指標各有以下幾個特點：

1. 多懸臂樑組成於同一系統中，以增加擷取之能量。

2. 結合兩種能量轉換機制在同一系統中，以增加輸出功率。

3. 半主動控制電路，以提升能量擷取最大工作效能。

4. 驅動頻率為低頻，不僅驅使能量擷取更廣泛的應用，還降低 後端電路於開關作動時帶來的切換損失。

5. 從系統內部取得足以驅動後端電路所需電源，以達到自供電系統 的目標。

論文目標 1.2

本論文將以電磁式訊號輔助壓電能量擷取器於半主動控制電路 為設計主軸，更從壓電訊號的整流進而達到系統自供電的最佳目標。

論文中將利用同步切換擷取電路的使用，透過感應線圈結合至壓電能 量擷取器中，將線圈訊號經由電路的設計產生同步切換電路所需的控 制訊號，再透過壓電訊號交流轉直流電的設計致使系統電路不需外部 額外電流源的供應。由於整體系統操作在低頻振動的環境中，感應線 圈訊號將最直接的反應出低頻電壓訊號，應用於控制上則無需高頻雜 訊的濾除電路設計並減少電路的複雜度與能量損耗。最後在電路的設 計中皆會有理論分析、及實驗結果的相互驗證。

論文架構 1.3

第二章由壓電材料的種類及基本特性談起，接著引入壓電常數 的定義並導出壓電本構方程式(governing equation)以了解壓電材料於 力學能和電能間的轉換比例關係，且以機電耦合係數的定義用於判定

壓電材料在力電轉換間的效率。最終則透過分析來選用壓電材料的等 效電路以利往後控制電路的設計及分析。

第三章將壓電式能量擷取器結構以一維的力電轉換等效模型導 出本質方程式，由能量孚恆來定義能量方程式可了解到系統於穩態操 作下的轉換和損失能量，且以自行設計經陽極處理之夾具即能擴增壓 電材料於懸臂樑系統中，進而增加能量的輸出。最後藉由線圈產生感 應電流的理論來整合兩機制於同一系統中的適切性。

第四章著重在於後端電路的介紹，首先，以電感式同步切換電 路為主軸導入理論分析，切換開關的控制訊號則由系統中併入感應線 圈的訊號轉換成開關所需之方波控制訊號，卻因為弦波轉成方波訊號 的電路設計採用低損耗的比較器積體電路，主動元件皆頇穩定電源的 供應，直流電源電路的設計也成為本論文討論重點之一。最後將以標 準整流電路與電感式同步切換電路之整體說明與分析。

最後以實驗結果為第五章的主軸，並延伸討論本論文之未來展 望以改進實驗方向。

簡介 第2章

因為時代的演變，人類的文明生活不斷追求便利快速，又因為 能源取之於地球，能源耗竭的問題已不得不被重視，替代能源的議題 也如雨後春筍般萌生。然而現在所有的電器用品都需具備電源裝置，

小則備有電池，在此無不需用電的新世代如何設計及應用到穩定性更 高的電源裝置已成為重要的議題。但是也隨著人口密度不斷的增加，

人們的生活空間相對縮小，較大型的發電機等電源裝置雖有穩定的大 供應電源，但體積大的缺點已明顯與生活空間造成衝突，輕薄短小的 設計將是現代趨勢下的新主流。此外，環保意識的崛起，節能減碳、

綠色能源興起，替代能源的高效能也是人類突破現狀的目標。

壓電材料特性 2.1

十九世紀末居禮兄弟(Pierre Curie and Jacques Curie)發現當對 電氣石施加壓力時，電氣石的表面就會產生帶電電荷，換句話說，當 材料因受力變形而產生的電極化現象時稱其為壓電性，因此，當一個 材料具有壓電性時，人們將此材料稱之為壓電材料。材料晶體結構中 不存在對稱中心，而使材料晶體內的正負電荷出現無法中和的現象就 是材料具有壓電性的原因，而當壓電材料受機械作用力時會在表面產 生帶電電荷，若該材料特性未經極化的過程，則材料內部電偶極呈現

電場方向紊亂的不規則排列，如圖 1(a)，壓電性不佳。反之，欲有良 好壓電性則材料必先經過極化，如圖 1(b)。因此，當居禮兄弟證實了 逆壓電效應存在後，學者紛紛就壓電現象整理出正壓電效應及逆壓電 效應。正壓電效應即為當機械作用力加入一壓電材料時，其兩端將產 生正比於作用力大小的電荷並產生電場的現象，如圖 2(a)和圖 2(b)所 示。而逆壓電效應則為當直流電場加入壓電材料的兩端時，電場的大 小也會影響材料幾何形狀的改變，如圖 3(a)和圖 3(b)示之。

(a) (b)

圖 1 壓電材料極化前後電偶極的排列；(a)極化前(b)極化後

(a)

(b)

圖 2 壓電材料的正壓電效應；(a)受壓應力產生電場(b)受張應力產生反向電場

(a)

(b)

圖 3 壓電材料的逆壓電效應；(a)受外加電場而壓縮(b)受外加電場而伸張

壓電材料的種類中當然也不僅僅只有居禮兄弟所發現的電氣 石具有這種特性，因此，壓電材料的研究也受到大家廣泛的討論與研 究[8]。以下列舉出五種具有壓電效應的壓電材料：

(1) 單晶系(single crystal)：石英(quartz) (2) 薄膜(thin film)：氧化鋅(zinc oxide)

(3) 聚合物(polymer)：聚乙烯氟化合物(Polyvinylidene Fluoride, PVDF) (4) 陶瓷(ceramic)：鋯鈦酸鉛(lead zirconate titanate, PZT)

(5) 複合材料(composite material)：PVDF-PZT polymaterial

以上每種壓電材料的特性與用途各有不同，皆需視其應用端的需求而 決定選用哪一種材料，表 1 為五種壓電材料之優缺點比較：

表 1 壓電材料之優缺點比較

種類 優點 缺點 應用端

單晶系

1. Q 值高

2. 對溫度穩定性 高

1. 製作技術困難 2. 價格昂貴

震盪器

薄膜

微機電系統的整合 易

特別技術加工 微機電系統

聚合物 1. 易製作

2. 高機電偶合係

需機械加工方能極化

感測器 1. 對溫度穩定性

陶瓷 數 低

2. 耐磨性低

致動器

其中又以陶瓷類中的鋯鈦酸鉛的使用最為廣泛，製作時易擠壓成形、

燒結與極化電壓低，其中因極化後，壓電材料之晶格不具中心對稱性 而產生壓電性，這類壓電材料之機電偶合係數相對他種類壓電材料高，

換言之即力學與電學之間的轉換效率高。但鋯鈦酸鉛(PZT)之居禮溫 度範圍約在 150℃~360℃間，若操作溫度超過此範圍則引起結構趨於 中心對稱而喪失壓電性。所以其操作溫度相較於單晶系的壓電材料受 居禮溫度的限制造成對溫度穩定性低的缺點。

壓電材料為具有良好壓電性，製作過程的極化便格外重要。外 加電場的大小不僅會影響極化度，甚至對於壓電材料發生再極化的現 象。再極化現象如圖 4 所示之蝴蝶曲線，表示電場大到某一程度時與 應變之間的關係。加大電場所對應的應變路徑與減小電場有所不同，

此稱為磁滯效應，若電場越大，磁滯效應也會越明顯。

圖 4 陶瓷壓電材料磁滯效應示意圖：虛線是指應變與極化度之間的關係；實線 是指應變與電場之間的關係

壓電常數 2.2

壓電材料的力學與電學間轉換的比例關係可藉由壓電常數的 定義來表示[9]，表 2 可指出當壓電材料的輸出能量形式為機械能時，

d 和 g 為壓電應變常數而 e 和 h 為壓電應力常數；又當輸出能量形式 為電能時，d 和 e 為壓電電荷常數而 g 和 h 為壓電電壓常數。

表 2 壓電常數定義表

壓電常數 定義常數 定義 關係式

d

電場(E) 外 加 應 力 (T) 與 產 生 電 位 移

(D)的比值 T^E

D _T

g d   應力(T) 外加電場(E)與產生應變(S)

的比值 E^T

S d (c^E)^1e

e

電場(E) 外 加 應 變 (S) 與 產 生 電 位 移

(D)的比值 S^E

D _S

h e  應變(S) 外加電場(E)與產生應力(T)

的比值 E^S

T ec^Ed

g

電位移(D) 外加應力(T)與產生電場(E)

的比值 T^D

E g(c^D)^1h

應力(T) 外 加 電 位 移 (D) 與 產 生 應 變

(S)的比值 D^T

S ₁

) ( ^

d ^T

g 

h

電位移(D) 外加應變(S)與產生電場(E)

的比值 S^D

E hc^Dg

應變(S) 外 加 電 位 移 (D) 與 產 生 應 力

(T)的比值 D^S

T ₁

) ( ^

e ^S

h 

壓電常數可表示電能和電能間、力學能和力學能間或電能和力學能間 的相互轉換關係，也代表著各常數間所具有的物理特性依材料的不同 皆不相同，從圖 5 中知使用壓電常數時其可幫助分析系統邊界條件，

然而方能選擇使用正確的壓電常數。舉例來說，若以壓電材料作為感 應器時，則選擇 g 和 h 兩個以電壓訊號作為輸出訊號的壓電常數；反 之，若以壓電材料作為致動器時，因力學能是致動器之輸出訊號，則 選擇 d 和 e 兩個壓電常數作為依據[10]。

圖 5 力電轉換物理關係式

壓電本構方程式 2.3

當電場大小超過某個程度時，壓電材料之磁滯效應會越來越明 顯，又此效應具非線性的變化會使得本構方程式(constitutive equations) 的推導趨於複雜化。因此，欲使電場和應變關係是為線性變化，則假 設外加電場的操作情況在正常範圍下，那麼以下本構方程式的推導即 以線性的變化做為假設依據。

壓電材料擁有彈性和介電性之行為表現，又假設壓電材料為線 性的變化，應變能密度(strain energy density，Um)和電能密度(electric energy density，Ue)分別可寫成(2.1)式和(2.2)式。

ij ij

m

T S

U   

i i

e

E D

U   

e

m

U

U

U     

i i ij

ij

S E D

T   



由(2.3)式可代表壓電材料的儲能密度等於力學能量密度和電能量密 度的總和。其中，又忽略磁場效應後定義出電焓密度(electric enthalpy density，H)，表示為

i i

D E U H

(2.4) 將(2.4)式對時間微分一次並將(2.3)式代入可得：

i i ij

ij

S E D

T

H     

(2.5) 其中由(2.5)式可知電焓密度為應變 S 及電場 E 的函數，即 H=H(Sij , Ei)，

將此函數經微分後可得方程式(2.6)

i i

i ij ij

ij i

ij

E

E E S S H

S E S

H  H  



 



  ( , ) ( , )

(2.6) 比較(2.5)式和(2.6)式可得：

0 )

( )

(



 

 

  _i

i i

ij ij

ij

E

E D H

S S

T H  

(2.7) 因(2.7)式中應變與電場並無時間效應，對時間微分後必為任意常數，

故可得應力 T 和電位移 D 與電焓密度間的關係式如(2.8)和(2.9)式。

ij

ij

S

T H



 

(2.8)

i

i

E

D H



 



根據上述對壓電材料的線性假設，可將電焓密度用二次式表示：

j i S ij ij

k kij kl ij E

ijkl

S S e E S E E

c

H 

2 1 2

1  



再將方程式(2.10)代入(2.8)式和(2.9)式可得到一組壓電組成律的組成 關係式如(2.11 a,b)式，此為分析常用的 e-form 形式。

e-form



 











k S ik q iq i

k kp q E pq p

E S

e D

E e S c T



其中依據 IEEE Standard 之標準來定義下標符號 i

、

、

、

、

表 3 IEEE 標準下標符號對應表

ij 或 kl pq

11 1

22 2

33 3

23 或 32 4

31 或 13 5

12 或 21 6

由(2.11 a,b)式了解到因需要而選擇之自變數及應變數不同，所推導出 壓電材料物性方程式也會不同，不同應變數還可寫成另外三種形式如 下：

d-form



 











k T ik q iq i

k kp q

E pq p

E T

d D

E d T s S



h-form



 













k S ik q iq i

k kp q D pq p

D S

h E

D h S c T



g-form



 













k T ik q iq i

k kp q

D pq p

D T

g E

D g T s S



在壓電組成律中符號所代表之物理意義整理列出於表 4。

表 4 壓電材料各物理量與壓電常數關係圖

Tp 應力(Stress)

Sp 應變(Strain)

Ek 電場(Electric field) D_k 電位移(Electric displacement)

εki 介電常數矩陣(Impermittivity constant matrix)

βki 反介電常數矩陣(Dielectric or permittivity constant matrix) cpq 彈性勁度矩陣(Elastic stiffness matrix)

s_pq 彈性柔度矩陣(Elastic compliance matrix)

hkp 壓電應力/電壓常數(Piezoelectric stress/voltage constant) gkp 壓電應變/電壓常數(Piezoelectric strain/voltage constant) ekp 壓電應力/電荷常數(Piezoelectric stress/charge constant) d_kp 壓電應變/電荷常數(Piezoelectric strain/charge constant)

從方程式(2.11 a,b)到方程式(2.14 a,b)均可用來描述壓電材料的行為，

同樣的，壓電材料在力學和電學上的耦合也可從方程式中得到證明。

因此欲選擇哪些壓電組成方程式則需先了解該系統在力學上的假設 和電學上的邊界條件，透過系統輸出入的物理量或者是致動器和感測 器的應用來判定適合的壓電組成方程式。舉例來說，致動方程式可代

表驅動電路而感測方程式為介面電路。當壓電材料用於致動器時如方 程式(2.11 a)和(2.12 a)，方程式中電學項代表其阻抗相對較大，因此 在等效電路中可等效為受電壓源驅動，(2.13 a)式和(2.14 a)式則相反，

等效電路可等效為受電流源驅動。其適用條件如表 5 所示。

表 5 壓電組成律之適用條件

力學條件 適用組成律公式 電學條件

平面應變



 











k S ik q iq i

k kp q E pq p

E S

e D

E e S c T



致動器：受電壓源驅動 感測器：電流源 平面應力



 











k T ik q iq i

k kp q

E pq p

E T

d D

E d T s S



致動器：受電壓源驅動 感測器：電流源 平面應變



 













k S ik q iq i

k kp q D pq p

D S

h E

D h S c T



致動器：受電流源驅動 感測器：電壓源 平面應力



 













k T ik q iq i

k kp q

D pq p

D T

g E

D g T s S



致動器：受電流源驅動 感測器：電壓源

壓電機電耦合係數 2.4

前述提到壓電材料都存在著正壓電效應或是逆壓電效應之特 性，然而，正壓電效應的轉換效率即是當機械能儲存於壓電材料中

時 轉 換 至 電 能 的 能 力 ， 轉 換 效 率 的 優 劣 常 以 機 電 耦 合 係 數 (electro-mechanical coupling coefficient)的值作為判斷的依據。因此在 推導機電耦合係數前頇先計算儲存於壓電材料中的內能，假設壓電材 料為一個線性系統則儲存於壓電中的內能 U 可表示為：

) 2 (

1

k k p

p

T D E

S

U  

(2.15) 將 d-form 之壓電組成律如(2.12 a,b)式代入可得：

i T ki k p

kp k k

pk p q

E pq

p

s T T d E E d T E E

T

U 

2 ) 1 2

1 2

( 1 2

1   



d m

e

U U

U



2

(2.16) 其中 Ue為彈性能(elastic energy)，Um為共通能量(mutual energy)和 Ud

為介電能量(dielectric energy)；此定義機電耦合係數 k 如(2.17)式：

d e

m

U U k  U

(2.17) 由於(2.17)式實驗上難以求得，因此改以用 Mason 公式來表示壓電材 料之機電耦合係數[11]，如(2.18)式表示之。機電耦合係數的平方代表 的物理意義為輸入能量和能量經轉換後所儲存的能量比值。對於感測 器來說即是機械能轉換到電能的百分比，而由電能轉換至機械能的比 值為致動器的表現方式。

2 2 2 2

a r

k





 



(2.18)

其中ωa為壓電的反共振頻率而 ωr為壓電的共振頻率。

壓電等效電路 2.5

各界不斷的研究壓電材料，不管是做為感測器或是制動器，都 需要一個適用的等效電路來表示壓電材料在機械能和電能間的耦合。

如圖 6 中了解到變壓器在一次側和二次側的線圈比可視為壓電材料 在力學能和電學能間的轉換比例，一次側 RLC 共振可以模擬成力學 上的振動，也代表著能量的損耗，被動元件 Lm、Cm和 Rm分別為等效 質量(mass)、等效短路韌度(elastic compliance)和等效阻尼(mechanical damping)經逆壓電效應後轉換所得相對應的電能值，而 Cp 為壓電材 料在共振頻率下且無形變的電容值[12]。圖中變壓器之線圈比稱 α 為 力學因子(force factor)，單位為(N/V)。同樣的壓電材料雖有相同的等 效電路，等效被動元件必隨著不同的振動模態或是不同的極化方向而 有不同的等效值，力學因子當然也跟著改變。

圖 6 具力學因子之壓電等效電路

Van Dyke 提出一較為簡化之壓電等效電路如圖 7 來表達壓電 共振器(piezoelectric resonator)[12]，本論文中的電路分析將採 Van Dyke 等效電路進行分析。

圖 7 Van Dyke 壓電等效電路

多數壓電材料的應用皆操作在特定頻率上，所以 RLC 寄生共 振串的效應可忽略，又壓電結構的振動行為非常穩定且對溫度反應不 明顯，達到安全性高、易控制等優點，因此當壓電結構的操作頻率接 近於共振頻率，此時壓電結構內的電偶極能量損失很低，Rp也可以忽 略，則等效電路可再簡化為一個電壓源串聯靜態電容，如圖 8(a)，或 如圖 8(b)為一個電流源並聯靜態電容。兩種穩態的等效電路可以戴維 寧定理(Thevenin theorem)和諾頓定理(Norton theorem)來分析，根據戴 維寧定理知當輸入阻抗很小時，壓電材料適合以電壓源表示，如圖 8(a)示之；反之，從諾頓定理知當輸入阻抗很大時，壓電材料即適合 以電流源表示如圖 8(b)。

(a) (b)

圖 8 穩態壓電等效電路；(a)以電壓源簡化之(b)以電流源簡化之

壓電能量擷取器結合電磁式驅動控制設計 第3章

壓電式能量擷取器之一維力電等效模型 3.1

Van Dyke 提出了較簡化之壓電等效電路，RLC 共振串是模擬 力學振動上的控制方程式而得來的[13]，圖 9 為壓電能量擷取器在結

構控制上的力學振動模型，亦可視為壓電結構之一維力電轉換等效模 型。

圖 9 壓電能量擷取器之一維力電轉換等效模型

從圖 9 中可看出此系統結構共受到外力 F、系統重力 Fm、系統阻尼力 Fc、壓電結構受力 Fp和結構彈性力 Fe共五種力。其中，系統阻尼 Fc

包含空氣阻力和結構阻尼力，但空氣阻力在此系統中遠小於結構阻尼 力，因此空氣阻力可忽略不計。壓電結構受力 Fp 分別為壓電材料彈

性力 Kpu 和力電轉換後產生的力 αV，如方程式(3.1)與圖 10 所示。

V u K

F



 

(3.1)

圖 10 壓電結構力電轉換等效模型

而系統彈性力則為結構彈性力 Ku 與壓電材料彈性力 Kpu 之和，因此，

彈性勁度 KE在壓電結構處於閉迴路系統中可以方程式(3.2)表示：

p

E

K K

K  

(3.2) 然而，機電耦合係數 k²可由壓電材料的選定後推導如(3.3)式：

2 33 33 33

2 33 33

33 2 2 33

e c

e c

k

e

 

  

0 2 2

0 2

C K C

K





 _

 

(3.3) 其中 c33E和 ε33T為壓電材料在閉迴路系統中之彈性勁度及介電係數，

(2.18)式不同於(3.3)式的是前者是壓電材料包含分流阻抗電路之動態 定義而後者為壓電材料本身之機電耦合係數[2]。而壓電材料之面積 A 與厚度 L 設計完成後，則 KE、C0和 α 可導出如(3.4)式：

L A K c

E E



,

L C A

E 33 0

 

,

L A e



(3.4) 最後從方程式(3.3)中也可導出壓電結構於開迴路系統中之彈性勁度 KD[14]，如(3.5)式。

1 k

K

K

 

(3.5)

壓電式能量擷取器之理論分析 3.2

懸臂樑(cantilever beam)之架構示意圖如圖 11，將懸臂樑固定 於夾具上，其固定端黏貼壓電片。其中，黏貼於懸臂樑上的壓電片極 化方向均與樑垂直，其耦合方向為 k31，懸臂樑是系統中的地，因此 上下壓電片的地與樑相同。

圖 11 懸臂樑架構示意圖

藉由力電等效模型圖 10 可透過力平衡列出方程式(3.6)，又如 2.5 節提到當此系統操作於共振頻率上，此時壓電結構內的電偶極能 量損失很低，Rp也可忽略，然則等效電路可簡化為一電流源並聯靜態 電容如圖 12，穩態電流源可模擬成機械速度

 u

) ( )

( )

( )

( )

( t C u t K u t V t F t u

M ^{ }

^



(3.6)

圖 12 穩態壓電等效電路於 Kirchhoff's current law

根據 Kirchhoff's current law(KCL)可列出方程式(3.7)，最後整個系統的 運動控制方程式即由(3.6)式和(3.7)式來表示。

) ( )

( )

( t u t C V t I

 



(3.7) 一個獨立系統的總能量保持不變稱之為能量孚恆，系統在運動過程中 屬穩態操作，壓電結構內部的能量損失很低，可先忽略熱能的耗散不 計，因此由力平衡方程式(3.6)可推導出系統能量孚恆方程式，即對(3.6) 式同乘以𝑢̇後對時間 t 積分即可得方程式：





 ^{F ( t ) u  ( t ) dt  M u   ( t ) u  ( t ) dt  K}

^{u ( t ) u  ( t ) dt}



 ^

 C u 

( t ) dt  V ( t ) u  ( t ) dt

(3.8) 積分運算後可得簡化之方程式(3.9)，其動能與系統彈力能之運算過程 請詳見附錄一。

) 2 (

) 1 2 (

) 1 ( )

( t u t dt M u

t K u

t

F

 ^{ }



 ^

 C u 

( t ) dt  V ( t ) u  ( t ) dt

(3.9) 其中，表 6 將更清楚描述(3.8)式中不同項所代表的物理意義：

表 6 壓電能量平衡方程式之各項物理意義對照表

數學積分式 物理意義

 ^{F (  t ) u ( t ) dt}

)

2 ( 1

t u

M 

) 2 (

1

t u

K

 ^{C u }

^{( t ) dt}

 ^{ V (  t ) u ( t ) dt}

(Transferred energy)

然而對 ti~tf共半個週期的時間範圍將能量方程式做積分運算，假設懸 臂樑自由端振動由位移最低點至最高點的線性簡諧運動，時間點 ti

和 tf剛好為簡諧運動之速度為零、位移量最大，因此在能量方程式對 ti~tf積分運算中動能為零、系統彈力能的改變量為零。最後我們可將 能量方程式(3.9)簡化為外力供給為系統力電場之轉換能量與機械損 失之和如(3.10)式。





 ^{F ( t ) u  ( t ) dt  C u }

^{( t ) dt   V ( t ) u  ( t ) dt}

電磁式驅動原理

3.3

目前最佳的能量轉換機制分別為壓電、靜電和電磁三種，論 文 3.2 節中討論到壓電能量轉換機制，然而，壓電材料因環境作用力 而產生應變，對於中性軸不對稱的壓電材料而言，為了維持材料內電 中性於兩極產生與極化電偶相反的電荷，因此產生了電訊號。在結構 受力而產生物體運動狀態的改變之下，物體位移或速度訊號為了得到 最充分的利用，根據法拉第電磁感應定律，在一線圈內，若其磁場與 線圈之間有相對性的變化，而使單位時間內磁通量的變化，則於線圈 兩端產生感應電動勢或感應電流的現象。感應電動勢之極性定義為抵 制線圈磁通量變化即為冷次定律，當磁場磁力線欲進入線圈，則線圈 便會感應一電動勢以產生應電流，而此應電流所產生之磁力線為阻止 線圈內磁通量增加；反之當磁場離開線圈，則產生之磁力線為阻止線 圈內磁通量減少。

(a) (b)

圖 13 冷次定律

將法拉第電磁感應定律和冷次定律合併即可決定線圈之感應電動勢 大小及極性如方程式(3.11)所示。而一個面積 S 且與磁場方向垂直的 平面，而磁場強度 B 與面積 S 的內積叫做穿過這平面的磁通量如(3.12) 式表示。

N t



 







S B



(3.12)

自供電系統電路及開關控制電路設計 第4章

壓電材料具有將環境振動產生的力學能轉換成電能之特性，

且轉換效率高、對溫度敏感度低等優點，學者開始著眼於如何將轉換 之電能有效的儲存，設計後端電路的種類如第一章提到標準能量擷取 電路和同步切換擷取電路兩種，以下針對本論文所提出後端電路之理 論分析。

標準儲能電路之理論分析 4.1

透過上章對壓電材料的介紹，了解壓電材料操作頻率接近於 特定頻率時，此時的壓電結構處於靜平衡狀態，流過壓電結構之機械 電流為穩定弦波，等效電路可簡化為一個電流源對壓電電容充放電，

如圖 12，而後端電路以橋式整流將訊號由 ac 轉為直流的 dc 訊號並儲 存於大電容中，此種最基本的儲存電能的方式稱為標準儲能電路，如 圖 14。

圖 14 標準儲能電路

根據標準儲能電路中必遵孚電量孚恆，論文將針對圖 12 推導出來的 電流方程式(3.7)對時間積分運算，積分時間從 ti~tf，恰為半週期的時 間如(4.1)式。

2 t T t

(4.1) 當時間為 ti時，位移量 ui為懸臂樑自由端擺動至最低點(-um)，壓電電 容 C0及儲存電容 Cr的電壓因視橋式整流之二極體為理想被動元件，

二極體的導通電壓可忽略不計，故其電壓近乎相等，約為(-Vcc)；反 之，當時間為 tf時，懸臂樑自由端擺動到最高點，位移量為(um)，儲 存電容電壓為(Vcc)。(3.7)式經過積分運算可得以下三條方程式[15]：

m t

t ^f

u t dt u

i



 ( )  2

 ^

cc p t

t ^f

C

V t dt C V

i

2 )

( 

 ^

) 2

( )

( T

R dt V t V C dt

t

I

t r

t t

f

i f

i









 ^



 R

V

 (4.4)

其中在穩態操作下，平均電流使累積在儲存電容 Cr 的電量為零，如 (4.5)式：

0 )

( 



C 

V t dt

(3.15) 整理後可計算出儲存電容電壓 Vcc及平均功率 P。

m p

cc

u

RC V R









 

2

2

C F RC

R

p

 



 

 2

2

(4.6)

2 2 2 2

2 )

( C

F R

C

P R

p

 

  



(4.7) 最大輸出功率 PMAX也是我們探討的重點，在此將 P(R)對負載 R 偏微 分等於零做極值的運算可得最佳負載阻抗 Ropt如方程式(4.8)。

p

opt

C

R 





2

(4.8) 將(4.8)式代入(4.7)式即可得最大輸出功率如方程式(4.9)。

2 2 2

2 C

F

P C

p

MAX

 







(4.9) 由(3.7)式中可知對方程式同乘以 V(t)並做半週期的積分運算即 可得標準儲能電路之能量孚恆方程式(4.10)，







^

^

t

t p

t

t

 V ( t ) u  ( t ) dt C V ( t ) V  ( t ) dt V ( t ) I ( t ) dt

(4.10) 然而將(4.10)式代入(3.10)式中運算可得最大位移量 um，另外，外力及 機械損耗之運算過程請詳見附錄一。

] 2 ) (

[ 2

2 2

 



 

 



p m m

RC C R

u F

(4.11)

電感式同步切換電路之理論分析 4.2

利用一組開關元件與壓電材料並聯為同步切換控制電路的最 主要設計。此設計之基本概念為當壓電電壓或位移訊號的極值出現時 開關進行切換。開關(SW)將串接外加電感(Ls)和壓電本身的靜態電容 (Cp)形成一個共振電路，當開關關上(ON)時，其外加電感和壓電靜態 電容就會產生共振，開關一直關上(ON)至電壓訊號反轉後才又打開 (OFF) ， 此 電 路 被 稱 之 為 電 感 式 同 步 切 換 阻 尼 系 統 (Synchronized Switch Damping on Inductor，SSDI)，如圖 15。

圖 15 SSDI 電路示意圖

對於 SSDI 在開關關上(ON)時，外加電感和壓電靜態電容產生 LC 共振。判別開關關上(ON)的時機為壓電電壓訊號的極值出現，然 而開關(ON)維持多久則視壓電電壓訊號反轉後，開關才會再次打開 (OFF)。圖 16 看到電壓反轉訊號為電感-電容共振週期 Tlc的一半時會 有最佳的切換效果如方程式(4.12)，而 td即為開關關上(ON)的時間和 電感-電容之共振頻率為 ω0如(4.13)式[16]。

圖 16 開關(ON)時間與電感-電容共振訊號關係圖

p s lc

d

T L C

t



2

p s

C L

1

0 



(4.13)

在切換開關系統中，會有部分儲存在壓電靜態電容內的能量消 散，其源自於開關元件之場效電晶體、電感等都會造成損耗，如此一 來，開關的切換使得電感-電容共振產生之電壓反轉並非理想，電品 質因子(electrical quality factor ,QI)來模擬開關切換所造成電壓反轉時 非為垂直瞬間變化之非線性現象。電壓反轉中最大電壓 VMAX 和最小 電壓 Vmin之間可以新定義之反轉係數(inversion coefficient,γ)來表示其 關係如方程式(4.14)，另外，(4.15)式則表示反轉係數 γ 和電品質因子 QI間的關係[17]。

V

V



(4.14)

QI

e

 

(4.15) 將 SSDI 的開關切換訊號和壓電電壓波形變化做一段時間的比 對說明如圖 17。

圖 17 SSDI 的開關切換訊號和壓電電壓波形變化示意圖

利用 SSDI 的方法，本論文探討的是阻抗匹配後能取出多少能 量，在 SSDI 電路中接上一等效負載阻抗 R 如圖 18，了解到當負載阻 抗匹配後輸出功率會最大，此視為可擷取之最大能量。圖 18 之電路 即稱為電感式同步切換能量擷取系統(Synchronized Switch Harvesting on Inductor，SSHI)。

圖 18 SSHI Technique(AC)電路示意圖

圖 18 之電路圖同樣以方程式(3.7)來表示，其中 I(t)為 V(t)/R 如(4.16) 式並帶入(3.7)式可導出壓電電壓訊號於同步切換後之波形函數。

R t t V

I ( )

) ( 

(4.16) 首先，由 SSHI 壓電電壓與位移波形圖如圖 19 中可假設 u(t)和電壓反 轉前後電壓關係式為方程式(4.17)和(4.18)，並將此兩式與(4.16)式代 入方程式(3.7)。

圖 19 SSHI 壓電電壓與位移波形圖

) ( )

( t u Cos t u  



(4.17)

QI

T e V

V )

( 2 )

0 (

 



壓電電壓波形函數如(4.19)式，而推導過程詳見附錄二。

p

I p

I RC

t

Q RC

Q

p m

p

e

e e

e C

R u C

t R V





 

 



 









2

2 2

2 2

2

2

1

) 1 (

1 ) tan

( )

( 1

1

2

 







p p m

t RC Cos

RC u

R 

 

(4.19)

當開關(ON)時，電壓反轉電壓為 V(0)及 V(T/2)，可藉由儲存於壓電電 容內的能量差計算出因開關切換所帶來的損失[14]，如(4.20)式示之。

) 1

2 )(

2 ( ) 1 0 2 (

) 1 ( 2 2

1

p p

p

ls

T e

V C V

T C V C E

 









因此能量平衡方程式隨即以(4.21)式列出，並從表 7 說明各項代表之 物理意義：



 ^{F ( t ) u  ( t ) dt  C u }

^{( t ) dt}







 ^

dt

R t e V

V T

C

( )

) 1

( 2 ) 2 (

1

(4.21)

表 7 壓電能量平衡方程式於 SSHI 之各項物理意義對照表

數學積分式 物理意義

 ^{F (  t ) u ( t ) dt}

 ^{C u }

^{( t ) dt}

) 1

( 2 ) 2 (

1

p

T e

V C

 



 ^V

_R ^{( t ) dt}

上述 SSHI-AC 電路為接上一負載阻抗的分流電路而計算其壓電材料 透過開關的切換後消耗的能量，當輸出負載阻抗與系統電路之阻抗相 匹配會有最大功率的輸出，且可獲得最佳阻抗值。但是本論文追求之 目標為如何將能量儲存下來以致更多更廣泛的應用，因而 SSHI-DC 的儲能電路則以儲存電容取代耗能的被動元件，並於 SSHI 電路與負 載端之間連接一橋式整流對交流轉換成直流訊號(AC-DC)以利後端