2 2

二元一次方程式解的圖形

1

2 ^{2 二元一次方程式的圖形}

　　上一節中，我們學習利用數對表示坐標平面上某一點的位置。在本節中，

我們將透過數對將二元一次方程式以圖形呈現在坐標平面上，並進一步探討二 元一次聯立方程式的解與其圖形之間的關係。

求出二元一次方程式 x＋2y＝5 的任意七組解，並在坐標平面上畫出這七 個點。

1

例

 將 y 分別以 0、1、2、… …、6 代入，求出對應的 x 值，可得到七組 解，如下表：

x＝5，y＝0 這一組解的圖形是點 A（5 , 0）； x＝3，y＝1 這一組解的圖形是點 B（3 , 1）； x＝1，y＝2 這一組解的圖形是點 C（1 , 2）； x＝－1，y＝3 這一組解的圖形是點 D（－1 , 3）； x＝－3，y＝4 這一組解的圖形是點 E（－3 , 4）；

　　一個二元一次方程式的任意一組解，可以記錄成數對的形式，此時這一組解 在坐標平面上的圖形就是一個點。

　　例如：x＝0，y＝5 是二元一次方程式 x＋3y＝15 的一組解，這一組解的圖形 就是坐標平面上（0 , 5）這一點。

　　又如 x＝1，y＝ 是二元一次方程式 x＋3y＝15 的另一組解，這一組解的圖 形就是坐標平面上（1 , ）這一點。

x 5 3 1

1 2

0 3 4 5 6

－1 －3 －5 －7

y

14 3 14

3

1 下表中 x 與 y 的值都是二元一次方程式 2x－y＝4 的解，請完成下表，

並將這些解的圖形畫在坐標平面上。

2下列哪些是二元一次方程式 3x＋y＝4 的解？

（4 , 0）、（0 , 4）、（1 , 1）、（2 , 2）、（－2 ,－2）、（－2 , 10）

x －1 0 3

y －2 0 6

x＝－5，y＝5 這一組解的圖形是點 F（－5 , 5）； x＝－7，y＝6 這一組解的圖形是點 G（－7 , 6）。

x y

O

圖 2-11

1 x

1 B（3 , 1）

C（1 , 2）

D（－1 , 3）

E（－3 , 4）

F（－5 , 5）

G（－7 , 6）

y

O

A （5 , 0）

1 1

（5 , 6）

（3 , 2）

（2 , 0）

（1 , －2）

（0 , －4）

（－1 , －6）

（0 , 4）、（1 , 1）、 （－2 , 10）是二元一次方程式 3x＋y＝4 的解。

1 2 5

－6 －4 2

二元一次方程式的圖形

2

　　在第一章，我們學過二元一次方程式的解有無限多組，例如下表中的每一 組 x、y 的值都是二元一次方程式 x－y＝1 的一組解：

x ⋯⋯ －3 －2 －1 0 1 2

y ⋯⋯ －4 －3 －2 －1 0 1

x y

圖 2-12 O 1

1

x y

圖 2-13 O 1

1

　　把這些解的點描繪在坐標平面上，如圖 2-12。

　　在圖 2-13 中，畫出通過 A（－3 ,－4）、B（4 , 3）兩點的直線，並稱此直線 為直線 AB，如圖 2-13。

可以發現，上表中二元一次方程式 x－y＝1 其他解的點都落在直線 AB 上。

B（4, 3）

A（－3,－4）

A（－3,－4）

B（4, 3）

x－y＝1

　　我們再來看看下面的例子。下表中，每一組 x、y 值都是二元一次方程式 2x＋y＝3 的解：

把這些解的點描繪在坐標平面上，如圖 2-14。

x ⋯⋯ －2 －1 0 1 2 3 4 ⋯⋯

y ⋯⋯ 7 5 3 1 －1 －3 －5 ⋯⋯

圖 2-14

x 1

1 y

O

Q（4 , －5）

圖 2-15 1 x 1

y

O

　　在圖 2-14 中，畫出通過 P（－2 , 7）、Q（4 ,－5）兩點的直線，並稱此直 線為直線 PQ，如圖 2-15。

　　可以發現，二元一次方程式 2x＋y＝3 其他解的點都落在直線 PQ 上。

2x＋y＝3 P（－2, 7）

P（－2, 7）

Q（4 , －5）

如果我們再找出方程式 2x＋y＝3 的其他組解，如下表：

把這些解的點描繪在圖 2-15 的坐標平面上，可以得到如圖 2-16 的圖形。

x ⋯⋯

－

－

x

圖 2-16 1 1

y

O

2x＋y＝3

形如 ax＋by＝c（a≠0，b≠0）的二元一次方程式，其圖形在坐標平面上是 一條直線，該直線上任何一點都是原方程式的一組解。

　　如圖 2-16，我們發現這些解的點（以藍點表示）同樣落在直線 PQ 上。

　　事實上，方程式 2x＋y＝3 的所有解描繪出的點都會落在直線 PQ 上。相對 地，直線 PQ 上的任一點都代表方程式 2x＋y＝3 的一組解。

　　例如：直線 PQ 上任一點 R 的坐標（m , n）是方程式 2x＋y＝3 的解，

即 2m＋n＝3，移項後得 n＝3－2m

　　也就是說，在方程式 2x＋y＝3 上任一點 R 的坐標，都可以寫成（m , 3－2 m）

的形式。

一個二元一次方程式的所有解在坐標平面上所成的圖形，稱為該方程式的 圖形。例如：圖 2-16 中，直線 PQ 為二元一次方程式 2x＋y＝3 所有的解在坐 標平面上形成的圖形，我們就說直線 PQ 是二元一次方程式 2x＋y＝3 的圖形，

並將直線 PQ 稱為直線 2x＋y＝3。一般來說，

3 2

1 2

1 2

3 2

5 2

7 2

9 2

Q（4 , －5）

P（－2, 7）

1 有四個數 a、b、c、d，且（2 , a）、（－3 , b）、（c , 8）、（d ,－4）都在 二元一次方程式 x＋2y＝6 的圖形上，求 a、b、c、d 這四個數的值。

2找出二元一次方程式 x－2y＝4 的五組解，描繪在坐標平面上，

再畫出二元一次方程式 x－2y＝4 的圖形。

3 承上題，若點 A（ , a）在方程式 x－2y＝4 的圖形上，求 A 點的 坐標。（以含 a 的式子表示）

x ⋯⋯

－

－

通過不同的兩點，可以畫出一條直線。因為二元一次方程式的圖形都是一 條直線，所以只要求出方程式的兩組解，然後再描出這兩組解在坐標平面上所 對應的點，就可以藉由這兩點畫出二元一次方程式的圖形。

x y

O 1

x 1

y

a＝2，b＝

2

A（4＋2a , a）

x－2y＝4

（2 , －1）

（4 , 0）

（－2 , －3）

（－4 , －4）

（0 , －2）

4 2 0 －2 －4 0 －1 －2 －3 －4

 先求出二元一次方程式 2x＋y＝1 的兩組解。

將 這 兩 組 解 的 點 描 繪 在 坐 標 平 面 上 ， 並 畫 出 通 過 此 兩 點 的 直 線 ， 如圖 2-17。

此直線即為二元一次方程式 2x＋y＝1 的圖形。

 先求出二元一次方程式 y＝3x＋1 的兩組解。

將 這 兩 組 解 的 點 描 繪 在 坐 標 平 面 上，並畫出通過此兩點的直線，如 圖 2-18。

此直線即為二元一次方程式 y＝3x＋1 的圖形。

在坐標平面上畫出二元一次方程式 2x＋y＝1 的圖形。

2

例

在坐標平面上畫出二元一次方程式 y＝3x＋1 的圖形。

3

例

x y

圖 2-17

（0, 1）

（1,－1）

O 1

1

2x＋y＝1

x 0 1

－1 1

y

x 0 1

1 4

y

O x

y

圖 2-18 1 （0,1）

（1,4）

1

y＝3x＋1

1 在右圖的坐標平面上，畫出二 元一次方程式 2x＋y＝2 的圖 形。

2 在右圖的坐標平面上，畫出二 元一次方程式 y＝－x＋3 的圖 形。

O x

y

1 1

知足是天賦的財富，奢侈是人為的貧窮。

——蘇格拉底（Socrates，470B.C.-399B.C.）

數學小語錄

1 1

O x

y

x y

0 3

3 0

x

y

0 2

（0 , 3）

y＝－x＋3

（3 , 0）

（0 , 2）

（1 , 0）

2x＋y＝2

 先求出二元一次方程式 3x＋2y＝0 的兩組解。

在坐標平面上畫出二元一次方程式 3x＋2y＝0 的圖形。

4

例

x 0 2

0 －3 y

將這兩組解的點描繪在坐標平面 上，並畫出通過此兩點的直線，

如圖 2-19。

此直線即為二元一次方程式 3x＋2y＝0 的圖形。

O x

y

圖 2-19 1

（2, －3）

1

3x＋2y＝0

（0,0）

在右圖的坐標平面上，畫出二元一 次方程式 4x－y＝0 的圖形。

O x

y

1 1

若方程式 ax＋by＝c 的 a、b 都不為 0 時，其圖形為一條斜直線。

特別當 c＝0 時，該直線會通過原點。

x y

0 0

1 4

（1 , 4）

（0 , 0）

4x－y＝0

將 x、y 值分別以 0 代入，並求得對應的值：

將這兩組解的點描在坐標平面上，並畫出通過此兩點的直線，如 圖 2-20。此直線即為二元一次方程式 3x＋4y＝12 的圖形。

該圖形與 x 軸的交點為（4 , 0），與 y 軸的交點為（0 , 3）。

坐標平面上任意一條直線與 x 軸相交時，因為交點在 x 軸上，所以這個交 點的 y 坐標必為 0；同樣地，坐標平面上任意一條直線與 y 軸相交時，因為交 點在 y 軸上，所以這個交點的 x 坐標必為 0。

在坐標平面上畫出二元一次方程式 3x＋4y＝12 的圖形，並寫出該圖形與 x 軸、y 軸的交點坐標。

5

例

x 0 4

3 0

y

O x

y

1 1 3x＋4y＝12

（0, 3）

圖 2-20

（4, 0）

1在右圖的坐標平面上，畫出二 元一次方程式 －3x＋4y＝12 的 圖形，並寫出該圖形與 x 軸、

y 軸的交點坐標。

2在右圖的坐標平面上，畫出二 元一次方程式 y＝－3x－2 的圖 形，並寫出該圖形與 x 軸、 y 軸的交點坐標。

O x

y

1 1

O x

y

1 1

與 x 軸交點為（－4 , 0），

與 y 軸交點為（0 , 3）。

x y

－4 0

0 3

2

x

y

－2

－ 0

2

與 x 軸交點為（－ 3 , 0）， 與 y 軸交點為（0 ,－2）。

（0 , 3）

（－4 , 0）

－3x＋4y＝12

y＝－3x－2

（0 ,－2）

（－ 2 , 0）

3

y＝k 的圖形

3

在坐標平面上，x 軸上的任一點，不論 x 坐標為任何數，其 y 坐標必 為 0，例如：（－2 , 0）、（0 , 0）、（1 , 0）、（3 , 0）、… …。這些點的坐標都 可以寫成（a , 0）的形式。也就是說，x 軸所代表的直線方程式為 y＝0，如 圖 2-21。

如圖 2-22，已知坐標平面上一直線通過（0 , 3），且該直線與 x 軸平行。

那麼，這條直線所代表的方程式會是什麼呢？

O x

y

1 1

圖 2-22

（0, 3）

O x

y

1 1

圖 2-21

（3, 0）

（1 , 0）

（－2, 0）

（0, 0） y＝0

由下列數對中找出滿足方程式 y＝－5 的解，並將這些解描在坐標平面上。

O x

y

1 1

圖 2-23

（3, 3）

（1, 3）

（－1, 3）

y＝3

（2, 3）

（－2, 3）（0, 3）

反過來說，在坐標平面上，滿足方程式 y＝3 的解，都會在同一條直線 上，而且這條直線是由所有 y 坐標都是 3 的點所形成的，它的圖形是一條與 x 軸平行的直線。

O x

y

1 1

如同 y＝0 的圖形是 x 軸之情形，這個圖形上的任一點，其 y 坐標都是 3 ， 例如：（－2 , 3） 、（－1 , 3）、（0 , 3）、（1 , 3）、（2 , 3）、（3 , 3）、… …，這些點 的坐標都可以寫成（a , 3）的形式，其中 a 為任意數，此直線的方程式為 y＝3，如圖 2-23。

（0 ,－5）、（1 ,－5）、（4 ,－5）、（－2 ,－5）、（－5 ,－5）、（－ ,－5）、（－5 , 0）、

（－5 , 5）、（1 , 1）、（0 , 0）

1 2

y＝3 也可解釋為 0•x＋y＝3，

但因 0•x＝0，所以 直接記成 y＝3。

（－2 ,－5）

（1 ,－5）

（4 ,－5）

（－5 ,－5）

（－ 1 , －5）

2 （0 ,－5）

（0 ,－5）、（1 ,－5）、

（4 ,－5）、（－2 ,－5）、

（－5 ,－5）、（－ ¹₂

,－5）



y＝－4 圖形上的任意一點，其 y 坐標 皆為－4。

先找出在方程式 y＝－4 圖形上的兩點 A（0 ,－4），B（1 ,－4），

並畫出通過 A（0 ,－4），B（1 ,－4）兩 點的直線，如圖 2-24。

此直線即為方程式 y＝－4 的圖形。

在坐標平面上畫出方程式 y＝－4 的圖形。

6

例

O x

y＝－₄ 圖 2-24

1 1

y

B（1, －4）

A（0, －4）

x 0 1

－4 －4 y

1已知一直線通過 C（5 ,－2），且該直線平行 x 軸，試求出這條直線所代 表的方程式。

2在右圖的坐標平面上，畫出方程式 y＝1 的圖形。

O x

y

1

事實上，y＝0 的圖形就是 x 軸。其他如 y＝1，y＝－5，y＝ ，… …，這種 形如 y＝k ，k≠0 的方程式，在坐標平面上的圖形都是一條與 x 軸平行的直線。

5 2

方程式 ax＋by＝c：

1若 a＝0，b≠0，c＝0，則可得 y＝0，其圖形為 x 軸。

2若 a＝0，b≠0，c≠0，則可得 y＝k，k≠0，其圖形為平行 x 軸的直線。

1

x y

0 1

1 1

y＝1

（1 , 1）

（0 , 1）

y＝－2

x＝h 的圖形

4

在坐標平面上，y 軸上的任一點，不論 y 坐標為任何數，其 x 坐標必為 0，

例如：（0 ,－2）、（0 , 0）、（0 , 3）、……，這些點的坐標都可以寫成（0 , b）的 形式。也就是說，y 軸所表示的直線方程式為 x＝0 ，如圖 2-25。

如圖 2-26，已知坐標平面上一直線通過（－3 , 2），且該直線與 y 軸平行。

那麼，這條直線所代表的方程式會是什麼呢？

O x

x＝0

圖 2-25 1 1

y

（0, －2）

（0, 0）

（0, 3）

O x

圖 2-26 1 1

y

（－3, 2）

x＝5 圖形上的任一點，其 x 坐標皆為 5。

先找出在方程式 x＝5 圖形上的兩點 A（5 , 0）、B（5 , 1），

並畫出通過 A（5 , 0），B（5 , 1）兩點的 直線，如圖 2-28。

此直線即為方程式 x＝5 的圖形。

如同方程式 x＝0 的圖形是 y 軸之情形，這個圖形上的任一點，其 x 坐標都 是－3，例如：（－3 ,－1）、（－3 , 0）、（－3 , 1）、（－3 , 2）、（－3 , 3）、… …，

這些點的坐標都可以寫成（－3 , b）的形式，其中 b 為任意數，此直線的方程 式為 x＝－3，如圖 2-27。

反過來說，在坐標平面上，滿足方程式 x＝－3 的解，都會在同一條直線 上，而且這條直線是由所有 x 坐標都是 －3 的點所形成的，它的圖形是一條與 y 軸平行的直線。

O x

圖 2-27 1 1

y

（－3, 2）

（－3, 3）

（－3, 1）

（－3, 0）

（－3, －1）

x＝－3

O x

圖 2-28 x＝5 1 1

y

B（5, 1）

A（5, 0）

在坐標平面上畫出方程式 x＝5 的圖形。

7

例

x 5 5

0 1

y

x＝－3 也可解釋為 x＋0•y＝－3，

但因 0•y＝0，所以 直接記成 x＝－3。

1已知一直線通過 A（4 ,－2），且該直線平行 y 軸，試求出這條直線所代表的 方程式。

2在右圖的坐標平面上，畫出方程式 x＝ 的圖形。

事實上，x＝0 的圖形就是 y 軸。其他如 x＝1，x＝－5，x＝ ，… …，

這種形如 x＝h，h≠0 的方程式，在坐標平面上的圖形都是一條與 y 軸平行的 直線。

方程式 ax＋by＝c：

1若 a≠0，b＝0，c＝0，則可得 x＝0，其圖形為 y 軸。

2若 a≠0，b＝0，c≠0，則可得 x＝h，h≠0，其圖形為平行 y 軸的直線。

O x

y

1 1

5 2

5 2

只要先找出滿足二元一次方程式的兩點，就可以畫出這個方程式在坐標平 面上的圖形。那麼，如果在坐標平面上，已知一條直線上的兩個點的坐標，可 不可以求出這條直線的方程式呢？

x＝ 5 2

（ 5 , 1）

2

（ 5 , 0）

2

x＝4

x y

0 1 5 2

5 2

已知方程式 ax＋by＝1 的圖形通過 A（3 , 5）、B（1 , 1）兩點，試求出這條 直線的方程式。

8

例

因為方程式 ax＋by＝1 的圖形通過 A（3 , 5）、B（1 , 1）兩點，

所以 A（3 , 5）、B（1 , 1）必為方程式 ax＋by＝1 的解。

將 A（3 , 5）、B（1 , 1）代入 ax＋by＝1 得

解得 a＝2，b＝－1。

所以通過 A、B 兩點的直線方程式為 2x－y＝1。

3a＋5b＝1 a＋b＝1

已知方程式 y＝ax＋b 的圖形通過 A（0 , 1）、B（1 ,－2）兩點，試求出這 條直線的方程式。

提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅是一個數 學上或實驗上的技能而已。而提出新的問題，新的可能，從新的角度去看 舊的問題，都需要有創造性的想像力，而且標誌著科學的真正進步。

——培根（Francis Bacon，1561-1626）

數學小語錄

y＝－3x＋1

二元一次聯立方程式的圖形

5

上一章我們學過二元一次聯立方程式，例如： 。其中包含兩個 二元一次方程式 x－y＝1 與 x＋2y＝4，我們可以在坐標平面上分別畫出它們 的圖形：

1 找出 x－y＝1 的兩組解：

則 x－y＝1 的圖形是通過 A（0 ,－1）、B（1 , 0）兩點 的直線 L₁。（如圖 2- 29）

2找出 x＋2y＝4 的兩組解：

則 x＋2y＝4 的圖形是通過 C（0 , 2）、D（4 , 0）兩點的 直線 L₂。（如圖 2- 29）

由圖 2-29 可以發現，直線 L₁ 與 L₂交於一點 P（2 , 1）。

因為 P（2 , 1）在直線 L₁上，所以 x＝2，y＝1 是方程式 x－y＝1 的解，

又 P（2 , 1）也在直線 L₂上，所以 x＝2，y＝1 也是方程式 x＋2y＝4 的解。

也就是說，

x－y＝1 x＋2y＝4

x 0 1

－1 0 y

x 0 4

2 0 y

先選定 x 值或 y 值為 0，

會比較容易畫圖。

O x

y

L2︰x＋2y＝4 L1︰x－y＝1

A（0, －1）

P（2, 1）

1 1 C（0, 2）

D（4, 0）

B（1, 0）

圖 2-29

兩直線的交點坐標就是二元一次聯立方程式的解，反過來說，

二元一次聯立方程式的解，在坐標平面上的位置就是此兩直線的交點。

　　在坐標平面上，不一定每次都容易描述所看到兩直線的交點坐標，此時可 配合二元一次聯立方程式的求解法，找出兩直線的交點坐標。

在坐標平面上分別畫出二元一次方程式 6x＋y＝6 與 3x－2y＝－7 的圖 形，若此兩直線相交於一點 A，試求出交點的坐標。

9

例

x 0 1

x 1 －1

6x＋y＝6 1 3x－2y＝－7 2

兩直線的交點坐標就是 二元一次聯立方程式的解。

1 3 1 3 1 3

1 3

1先找出 6x＋y＝6 的兩組解，

畫出直線 L₁。

再找出 3x－2y＝－7 的兩組解，

畫出直線 L₂。（如圖 2-30）

2解聯立方程式

由1式×2＋2式得：

15x＝5 x＝

將 x＝

代入1式得：

6× ＋y＝6 2＋y＝6 y＝4

所以直線 L₁與 L₂ 的交點坐標為 A（ , 4）。

O x

y L2︰3x－2y＝－7

L¹︰6x＋y＝6

（1, 5）

A

（1, 0）

1 1

圖 2-30

（0, 6）

（－1, 2）

1若坐標平面上直線 2x＋y＝－2 與直線 x＋2y＝5 交於一點 P，試畫出兩 直線的圖形，並求出 P 點的坐標。

2在下圖的坐標平面上，畫出二元一次聯 立 方程式 所 表 示 的兩條直線，並求出這兩條直線的交點坐標。

x y

1 1

2x＋3y＝5 x－6y＝0

O

O x

y

1 1

x y

0

－2

－1 0 2x＋y＝－2

x y

5 0

1 2

x＋2y＝5

由

解得 x＝－3，y＝4

所以 P 點坐標為（－3 , 4）

2x＋y＝－2

x＋2y＝5

由

解得 x＝2，y＝

所以交點坐標為（2 , ）

x

y

－1

－2 3 2x＋3y

＝

x y

0

0

6 1

x－6y ＝

2x＋3y＝5

x－6y＝0

1 3

1 3

x＋2y＝5

2x＋y＝－2

（5 , 0）

P

（1 , 2）

（－1 , 0）

（4 ,－1）

（－2 ,3）

（0 ,0） x－6y＝0

（2 , ）1 3

2x＋3y＝5

（6 ,1）

（0 ,－2）

有時，二元一次聯立方程式可能無解。

例如解聯立方程式

由1式×2－2式，即出現不合理的等式0＝－12。所以這個聯立方程式無解。

二元一次聯立方程式的解，在坐標平面上的位置，就是兩直線的交點。

因此，聯立方程式 無解時，它在坐標平面上的圖形為互相平行 的兩直線，即 L₁ 與 L₂ 平行，如圖 2-31 所示。

2x＋y＝－2 的圖形為通過 A（0 , －2）、B（1 ,－4） 兩點的直線 L₁； 4x＋2y＝8 的圖形為通過 P（0 , 4）、 Q（1 , 2） 兩點的直線 L ₂。

如果二元一次聯立方程式無解（沒有解），則表示它所代表的兩條直線平行 2x＋y＝－2 1

4x＋2y＝8 2

（沒有交點）。

2x＋y＝－2 4x＋2y＝8

L1︰2x＋y＝－2

L2︰4x＋2y＝8

O x

y

1 1

圖 2-31 P（0, 4）

Q（1, 2）

B（1, －4）

A（0, －2）

1解聯立方程式

由1式×3－2式得： 0＝16。

所以聯立方程式無解（沒有解）。

　 2 找出 2x－y＝6 的兩組解，

畫出直線 L₁。

再找出 6x－3y＝2 的兩組解，

畫出直線 L₂。（如圖 2-32）



解二元一次聯立方程式 ， 並在右圖的坐標平面上，畫出其所表示 的兩條直線。

解二元一次聯立方程式 ，並在坐標平面上畫出此聯立方程 式所表示的兩條直線。

聯立方程式與平行線

例

10

x 0 3

－6 0 y

2x－y＝6 6x－3y＝2

2x－y

＝

＝

3x－3y

＝

＝

O x

y

1 1

x 0 y 0

－2 3

1 3

x y L²︰6x－3y＝2

L1︰2x－y＝6 1 1

圖 2-32

（3, 0）

（0, －6）

（0, － ）O

（ , 0）

2 3

1 3

x y

4 0

0

－4 3x－3y＝12

x y

3 0

0

－3 2x－2y＝6 3x－3y＝12 1

2x－2y＝6 2 （3 , 0）

（0 ,－3）

（4 , 0）

（0 ,－4）

2x－2y＝6 3x－3y＝12 1式×2－2式×3 得︰0＝6

所以此二元一次聯立方程式無解

有時，二元一次聯立方程式有解，但它的解不一定只有一組。

例如解聯立方程式　 　　 將1式各項乘以 2 可得： 6x－2y＝12，

所以 3x－y＝6 的所有解，就是 6x－2y＝12 的所有解。

在坐標平面上畫出 的圖形，如圖2-33 所示，

3x－y＝6 的圖形為通過 A（0 ,－6）、B（2 , 0）兩點的直線 L；

6x－2y＝12 的圖形也是通過 A（0 ,－6）、B（2 , 0）兩點的直線 L。

O x

y

圖 2-33 1

A（0, －6）

B（2, 0）

L

1

　　換句話說，聯立方程式 表面上看起來是兩個方程式，但其 實只有一個方程式，其圖形就是一條直線。

　　也可以說 3x－y＝6 和 6x－2y＝12 所代表的直線重合。一條直線上有無限 多個點，因此上述聯立方程式有無限多組解。

　　也就是說，

3x－y＝6 1 6x－2y＝12 2

如果二元一次聯立方程式有無限多組解，則表示它所代表的兩條直線重合

（即一條直線）。

3x－y＝6 6x－2y＝12

3x－y＝6 6x－2y＝12

1解二元一次聯立方程式 。

2在坐標平面上，畫出二元一次聯立方程式 所表示的圖形。

聯立方程式與重合直線

例

11

6x＋9y＝18 2x＋3y＝6 6x＋9y＝18

2x＋3y＝6

1解二元一次聯立方程式

1式÷3 得： 2x＋3y＝6 3

因為3式與2式完全相同，所以它們的解就是 2x＋3y＝6 的所有解。

我們可以找出二元一次方程式 2x＋3y＝6 的一些解，如下表：

表中的每一組 x^、y 值都滿足二元一次方程式 6x＋9y

＝

　　 故二元一次聯立方程式 有無限多組解。

2 因為6x＋9y

＝

2x＋3y＝6 的解完全相同，

　　 所以只要畫出 2x＋3y＝6 的圖形即可。

找出 2x＋3y＝6 的兩組解，

畫出直線 L 。（如圖 2-34）

x 0 1

2

3 4 0

y

……

……

2

－

6x＋9y＝18 1 2x＋3y＝6 2

x 0 3

y 2 0

x y

1 1

圖 2-34

（3, 0）

（0, 2）

O L︰2x＋3y＝6

6x＋9y＝18

2x＋3y＝6 4

3

2 3

2 3

1解二元一次聯立方程式 。

2 在 下 圖 的 坐 標 平 面 上 ， 畫 出 二元一次聯立方程式 所表示 的圖形。

x＋y＝2 3x＋3y＝6

綜合上面的結論，

x＋y＝2 3x＋3y＝6

O x

y

1 1

在坐標平面上，一個二元一次聯立方程式的圖形有下列三種情形：

1 圖形為相交於一點的兩直線，代表此聯立方程式有解且僅有一組解。

2 圖形為平行的兩直線，代表此聯立方程式無解（沒有解）。

3 圖形為重合成一直線的兩直線，代表此聯立方程式有無限多組解。

x＋y＝2

x y

0 2

2 0

（0 , 2）

x＋y＝2

（2 , 0）

（3x＋3y＝6）

2 式÷3 得 x＋y＝2 與1式相同

所以此二元一次聯立方程式有無限多組解

x＋y＝2

!二元一次方程式的解：如果一數對代入一個二元一次方程式，能使此 方程式的等號成立，則此數對就是該二元一次方程式的解。

@二元一次方程式的圖形與畫法：一個二元一次方程式的所有解在坐標平 面上所成的圖形，稱為該方程式的圖形。二元一次方程式的圖形都是 一條直線，所以二元一次方程式又稱直線方程式。畫二元一次方程式 的圖形，只要先找出二元一次方程式中兩組不同的解，然後在坐標平 面描出此兩點並以直線連接之，即為該方程式的圖形。

#直線方程式圖形的類型：（ax＋by＝c）

1若 a、b 都不為 0 時，其圖形為一條斜直線，例如：2x－y＝4。

特別當 c＝0 時，該直線會通過原點，例如：3x－2y＝0。

21 若 a＝0，b≠0，c＝0，則可得 y＝0，其圖形為 x 軸。

2 若 a＝0，b≠0，c≠0，則可得 y＝k，k≠0，其圖形為平行 x 軸的 直線。

31 若 a≠0，b＝0，c＝0，則可得 x＝0，其圖形為 y 軸。

　　 2 若 a≠0，b＝0，c≠0，則可得 x＝h，h≠0，其圖形為平行 y 軸 的直線。

  

$「二元一次聯立方程式的解」與「兩直線的交點坐標」：

二元一次聯立方程式的解 這兩個方程式的圖形的交點坐標；

兩直線的交點坐標 這兩條直線所代表的兩個方程式的共同解。

%二元一次聯立方程式的解與圖形的類型：

1圖形為相交於一點的兩直線，代表此聯立方程式有解且僅有一組 解。

2圖形為平行的兩直線，代表此聯立方程式無解（沒有解）。

3圖形為重合成一直線的兩直線，代表此聯立方程式有無限多組解。

就是

就是



1下列哪些是二元一次方程式 3x＋y＝－4 的解？

　（2 , －2）、（－1 , －1）、（ 23 ,－6）、（0 , －4）

2 在坐標平面上畫出下列各二元一次方程式的圖形：

1 y＝3x－1 2x＋2y＝4

2-2

x y

O x

y

1

1 1

1

33x＋y＝0 43x－4y－12＝0

O x

y

O x

y

1 1

1 1

O x y

0 1

－1 2

x y

0 4 0 2

y＝3x－1

x＋2y＝4

（0 , 2）

（4 , 0）

x y

0 1

－3 0

x y

4 0

－3 0

（0 ,－3）

3x－4y－12＝0

（4 , 0）

（0 , 0）

（1 ,－3）

3x＋y＝0

（－1 ,－1）、（ 23 ,－6）、（0 ,－4）

（1 , 2）

（0 ,－1）

5y＝－4 62x－5＝0

3 下列哪些點在直線 x＝0（y 軸）上？

　（4 , 0）、（0 , 4）、（0 , 0）、（－ 34 , 0）、（0 ,－ 34 ）、（1 , 1）

4 在下圖的坐標平面上，畫出通過（－4 , 3）且平行 y 軸的直線，並求出代表 此直線的方程式。

O x

y

O x

y

1 1

1 1

O x

y

1 1

x＝－4

2x－5＝0

（ 52 , 1）

（ 52 , 0）

x＝－4

（－4 , 3）

y＝－4

（－1 ,－4）（0 ,－4）

x y

5 2

5 2 0 1 x

y

0 －1

－4

－4

（0 , 4）、（0 , 0）、（0 ,－ 34 ）

5 二元一次方程式 y＝4x－8 的圖形與 x 軸交於 P 點，與 y 軸交於 Q 點，試求 P、Q 兩點的坐標。

6 已知 x、y 的二元一次方程式 ax＋by＝2 的圖形通過 P（1 , 1）、Q（4 ,－2）

兩點，試求：

1 a、b 之值。

7 已知 x、y 的二元一次方程式 ax＋y＝3 和 x＋by＝4 的圖形都通過點 （2 ,－1），試求出 a、b 之值。

P（2 , 0）

1 a＝1，b＝1 2 x＋y＝2

a＝2，b＝－2

8 在坐標平面上，畫出下列各二元一次聯立方程式的圖形，並判斷其解為

「只有一組解」、「無解」或「無限多組解」：



 12

343x＝y＋5 6x－2y＝10

y＝－4x＋5 y＝3x＋5

O x

y

O x

y

x＋y＝3 x－y＝6

2x－3y＝6

8x－12y＋24＝0

O x

O x

1 1

1 1 1

1

1 1

□只有一組解　 □無解　

□無限多組解

□只有一組解　 □無解　

□無限多組解

□只有一組解　 □無解　

□無限多組解

□只有一組解　 □無解　

□無限多組解

y y

（3 , 0）

（1 ,－5）

x－y＝6

2x－3y＝6

（0 ,2）

（3 ,0）

（－3 ,0）

（0 ,－2）

x y

0 3 3 0

x y

3 0 0 －2 x y

－3 0 2 0 x

y 1 4

－2

－5

8x－12y＋24＝0 x＋y＝3

（4 ,－2）

（0 , 3）

3x＝y＋5 6x－2y＝10

y＝3x＋5

（2 , 1）

（1 ,－2）

（0 ,－5）

（2 ,－3）

y＝－4x＋5

L

L

x y

1 2 1 －3 x y

－1

－1 2

－2 x

y 2 1 1 －2 x y

0 1

－5 －2

L L

（1 , 1）

（－2 ,－1）

（－1 , 2）

笛卡兒

笛卡兒（René Descartes，1596-1650）生於 法國的拉艾鎮（La Haye），父親是地方法院的評議 員，家境富裕。求學時代，笛卡兒身體孱弱，因此 養成了每天早上待在床上思考、作功課、11 點才起 床的習慣，並且終身奉行不渝。

他 20 歲畢業於 Poitiers 大學法律系，之後，前

往巴黎追隨 Mydorde 和 Mersenne 學了一年數學，由於解決了荷蘭 Bredas 公開挑戰的一道難題，而信心大增，從此認真學習並研究數學。

笛卡兒說：「希臘幾何太過抽象，它只是用來訓練理解，使想像力 大為疲勞的工具罷了！而代數太過於遵守原則和公式，計算過於繁雜，

不是一門改良心智的科學。」

為了讓幾何問題有一定的思考方法，笛卡兒發明了坐標幾何。在 此之前，算術或從算術衍生的未知數概念產生的代數學是和研究圖形的 幾何學獨立發展的。到了笛卡兒建立坐標平面後，幾何圖形便可以透過 代數學來研究。反過來說，代數學也可以透過幾何學來研究了。這個想 法大大刺激了數學的發展，後來微積分的發明，乃至萬有引力定律的發 現，都可以回溯到坐標幾何的原始想法。

我們常用的電腦軟體—Microsoft Photo Editor 或小畫家，同樣應用 了坐標平面的想法。不過，這些軟體都是以圖片的左上角為原點，x 軸正 向向右，y 軸正向向下。