1.21.2 高斯消元法与矩阵的初等变换 高斯消元法与矩阵的初等变换

1.2 1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换 高斯消元法与矩阵的初等变换

一、 引 入 一、 引 入

二、 初等变换与高斯消元法 二、 初等变换与高斯消元法

三、 初 等 矩 阵 三、 初 等 矩 阵

一、引入

b AX  方程组

11 12 1

21 22 2

1 2

n n

m m mn

a a a

a a a

A

a a a

 

 

 

  

 

 

 

L L

M M M

L

其中 ，

1 2

n

x X x

x

 

 

 

  

 

 

 

M ，

1 2 .

m

b b b

b

 

 

 

  

 

 

  M

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1

1

2

2

1 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b

   

    



    



L L

L L L L L L L

就是

1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换

—————————————1.2 高斯消元法

———————————————

齐次方程组： AX = 0;

非齐次方程组： AX = b, b  0

(b 中至少有一分量不为零 )

1 2 ,

n

x X x

x

 

 

 

  

 

 

 

M 为 AX = b 的解： AX = b 成立 .

1, ..., _n .

x x

即 使得方程组成立

—————————————1.2 高斯消元法

———————————————

例 1 解如下方程组

1 2 3

1 3

2 1

2

x x x

x x 

  

  

 ， 2 1 1

1 0

1 2 A 1



  

   

 

—

1 3

1 2 3

2

2 1

x x

x x x

 

   



 ， 1 0 1

2

2 1

1 1

 

   



1 3

2 3

2 5 3

x x

x x

 

  



 ，

3

1 0 1 2

5 0 1 

   

 

 

得一般解（无穷多组解）：

3 1

3 2

2 3x 5 x

x x 

  





 ， 自由未知量自由未知量

—————————————1.2 高斯消元法

———————————————

交换第一行和第二行的位置 交换第一行和第二行的位置

第一行的 (-2) 倍加到第二 行第一行的 (-2) 倍加到第二 行

例 2 解如下方程组

1 2 3

2 3

3

2 4 2 2

3 3 3,

7 35

x x x

x x

x

  

    

  



1 1

0 1 1

0 0 1 5

2 1

1

 

 

   

 

 

 



显然，有唯一解 ^.

—————————————1.2 高斯消元法

———————————————

__

2 2

0 3 3

0 0 7 3

4

5 2

3 A

 

 

  





 





 

1 2 3

2 3

3

2 1

1, 5

x x x

x x

x

  

    

  



1. 第一行乘以 1/2.

2. 第二行乘以 1/3.

3. 第三行乘以 1/7.

1. 第一行乘以 1/2.

2. 第二行乘以 1/3.

3. 第三行乘以 1/7.

例 3 解如下方程组

1 2 3

2 3

2 3

2 1

1, 5

x x x

x x x x

  

    

   





























5 1

1 0

1 1

1 0

1 1

2

__ 1 A

即

3

1 2 3

2 3 1

6 2

0

1

x x x

x x

x 

  

   





1 2 1 1

0 1 1 1

0 0 0 6

 

 

 

    

 

 

显然，无解 ^.

第二行的 (-1) 倍加 到第三行

第二行的 (-1) 倍加 到第三行

1

5 1 0

1 3

2 A 0



  

  

 

__ 1 1

0 1 1

0 0 1

2

5 1

1 A

 

 

  











 



1 2 1 1

0 1 1 1

0 0 0 6

A

 

 

 

    

 

 

（行阶梯形矩阵）

（行阶梯形矩阵）

例一：

例二：

例三：

有无穷多组解

有唯一解

无解 看一看

经过对行的处理，三个方程组的增广矩阵处理 后的最终形式具有什么特点？

经过对行的处理，三个方程组的增广矩阵处理 后的最终形式具有什么特点？

答： (1) 零行位于非零行的下面 .

(2) 下一行非零首元位于上一行非零首元的右边 .

定义 1 （初等变换）矩阵的行（列）初等变换：

 交换两行（列）的位置；

 用一非零数乘某一行（列）的所有元；

 把矩阵的某一行（列）的适当倍数加到另一 行（列）上去 .

 交换两行（列）的位置；

 用一非零数乘某一行（列）的所有元；

 把矩阵的某一行（列）的适当倍数加到另一 行（列）上去 .

高斯消元法就是对增广矩阵实施行初等变换化为简行 化行阶梯形 .

高斯消元法就是对增广矩阵实施行初等变换化为简行 化行阶梯形 .

例 4 是否为行阶梯形或简化行阶梯形？

 

 

 

 

 

2 0 5 6 9 0 0 1 0 -4 0 0 1 0 -1

，

 

 

 

 

 

2 5 0 2 3 0 0 4 3 2 0 0 0 2 1

，

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 0 0 3 2

. 0 0 0 0 0 0 0 0 0

二、初等变换与高斯消元法

例 5 解方程组 解：

无解 .

—————————————1.2 高斯消元法

———————————————

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 5 2 2 3 4 5

x x x

x x x

x x x

  

    

    



 

 

 

 

 

__ 1 1 1 1 A = 1 2 -5 2 2 3 -4 5

 

 

  

 

 

1 1 1 1 0 1 -6 1 0 1 -6 3

 

 

  

 

 0 

1 1 1 1 0 1 -6 1

0 0 2

例 6 解方程组 解：







1 2 3 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

- - +3 = -1

2 - 2 - + 2 + 4 = -2 3 - 3 - + 4 + 5 = -3

- + + + 8 = 2

x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

—————————————1.2 高斯消元法

———————————————

 

 

 

 

 

 

 

1 -1 -1 0 3 0 0 1 2 -2 0 0 0 1 -3

-1 0 -1 0 0 0 0 0 0

→

 

 

 

 

 

 

 

-1 0 0 1 -1 -1 0 3

0 0 1 2 -2 0 0 0 0 0

0 0 0 -3 9 3

→

 

 

 

 

 

 

 

1 -1 -1 0 3 0 0 1 2 -2 0 0 2 4 -4 0

-1 0 0 3 0 2 1 5

→

 

 

 

 

 

 

 

__

1 -1 -1 0 3 2 -2 -1 2 4 A = 3 -3 -1

-1 -2 -3 4

2 5

1 -1 1 1 8

 

 

 

 

 

 

 

-1 2 - 1 -1 -1 0 3 0 0 1 0 4

→ 0 0 0 1 -3 0 0 0

1 0 0 0

 

 

 

 

 

 

 

1 2 -1 0 0

0 0 0

→ 0 1

1 0 0 0 0

-1 7

0 4

- 1 3 0 0 0

2 5

5 2 5

5 3

1

4

7 4 1

, 3

2 1

x x

x x x x

x x

x  

  

    





 ， 任意（自由未知量）

为方程组的全部解 .

—————————————1.2 高斯消元法

——————————————— 

 

 

 

 

 

 

1 -1 -1 0 3 0 0 1 2 -2 0 0 0 1 -3

-1 0 -1 0 0 0 0 0 0

→

 

 

 

 

 

 

 

__

1 -1 0 0 7 1 0 0 1 0 4 2 A→ 0 0 0 1 -3 -1

0 0 0 0 0 0

 

 

 

 

 

__

1 0 7 0 A→ 0 1 -6 1

0 0 0 2

 

 

 

 

 

__ 1 -2 -1 1 A→ 0 1 -1 -1

0 0 1 5 例 6 ：

例 2:

例 5: 该数不为零该数不为零

唯一解唯一解

行（简化）阶梯形中

非零行的行数 = 未知量个数行（简化）阶梯形中 非零行的行数 = 未知量个数

行（简化）阶梯形中

非零行的行数 < 未知量个数行（简化）阶梯形中 非零行的行数 < 未知量个数

无穷多解无穷多解

 小结：增广矩阵经 行行 初等变换化为行（简化）阶 梯形，该阶梯形与方程组解的关系如下：该阶梯形与方程组解的关系如下

 小结：增广矩阵经 行行 初等变换化为行（简化）阶 梯形，该阶梯形与方程组解的关系如下：该阶梯形与方程组解的关系如下

无解无解

： 的增广矩阵为

设线性方程

一般地， AX  b

 

 

 

 

 

 

 

 

11 12 1n

21 2

1

2 2n

m1 m2 m

2

m n

| =

L L

M M O M M

L

b b

a a a

a a a

a b

A

a a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11 1,r +1 1n

22 2,r+1 2n

rr r,

1 2

r r+

r +1 r,r+

1 1

c

c

c

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0

d d d

c c

c

c

d c

c

M L

L

O M M M

L

L L

L L

L L

（行阶梯形矩阵）

（行阶梯形矩阵）

—————————————1.2 高斯消元法

———————————————定理 1.

1. d_r1  0 , 无解；

2. d

 0 , 有解：

  1 r  n : 有唯一解 ： x d c



/ ,

L , x d c



/

.

 

. n

r 非零行的

其中 为行阶梯形的 行数， 为未知量的个数

—————————————1.2 高斯消元法

——————————————— 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11 1,r+1 1n

22 2,r+1 2n

rr r,

1 2

r r +

r +1 r,r+

1 1

c

c

c

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0

d d d

c c

c

c

d c

c

M L

L

O M M M

L

L L

L L

L L

—————————————1.2 高斯消元法

——————————————— 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11 1,r +1 1n

22 2,r +1 2n

rr r,r +1 r,

1 2

1 r

r +

r +1

0 c

c

c

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

L L

O M M M

L

L L

L

M

L

L L

d d

d d

c c

c c

c c

1

0 , .

d

 r n  时，有无穷多解

想一想：表示出全部解的步骤？

想一想：表示出全部解的步骤？

答：第一步，选取每一个非零行的第一个非零元所 在的列代表的未知量为基本未知量。其余未知 量为自由未知量。

第一步，选取每一个非零行的第一个非零元所 在的列代表的未知量为基本未知量。其余未知 量为自由未知量。

第二步，从最后一个非零行开始，将基本未知 量用自由未知量和常数来表示。

第二步，从最后一个非零行开始，将基本未知 量用自由未知量和常数来表示。

齐次方程组 AX = 0 的解有几种情况

？

行（简化）阶梯形中

非零行的行数 < 未知量个数行（简化）阶梯形中 非零行的行数 < 未知量个数

有非零解 ( 无穷多解 ) 有非零解 ( 无穷多解 )

__

1 1 0 0 7 0 0 0 1 0 4 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 A

  

 

 

   

 

 

 

__

1 2 1 0

0 1 1 0

0 0 1 0

A

 

 

 

   

 

 

行（简化）阶梯形中

非零行的行数 = 未知量个数行（简化）阶梯形中 非零行的行数 = 未知量个数

只有零解 ( 唯一解 ) 只有零解 ( 唯一解 )

—————————————1.2 高斯消元法

———————————————想一想

A

. A  B 记为：

  ^{1 反身性 A A  ;}

 

  ^{3 传递性 A  B 且 B C   A C  .}

—————————————1.2 高斯消元法

———————————————

矩阵等价具有以下性质：

三、初等矩阵

例

0 1 0

1 0 0 0

2 6

0 1 3 0 4

  

  

  

  

  

2

1 2 6 4 5 2 3 0

 

 

  

 

 

1 0 0 2 5 2 1

0 0

0

2 6 0 1 3 0 4 5

  

  

  

  

  

1 0 0 2 5 2

0 1 0 1 2 6 3 0 4 5 0 1

  

  

  

  

  

2 5 2 3 0 4 5 10 30

 

 

  

 

 

13 25 11

1 6

2 5 2

2

 

 

  

 

 

—————————————1.2 高斯消元法

———————————————

定义 2 （初等矩阵）对单位矩阵作一次初等变 换所得矩阵。

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

=

0 1

1

1 1

1 0

Eij

O

L

M O M

L

O

i

j

—————————————1.2 高斯消元法

———————————————

1 ( )

1

i c c

E

 

 

 

 

  

 

 

 





i 行 ^{(c  0)}

1

1

( ) .

1

1

ij c

c E

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

O

M O L

O

i 行

j 行

—————————————1.2 高斯消元法

———————————————

定理 3 对矩阵 A 作一次行 ( 列 ) 初等变换，相 当于 在 A 的左（右）边乘上相应的初等矩阵

.

（“左乘行，右乘列^”）

（“左乘行，右乘列^”）

定理的应用：

1. 若矩阵 B 是 A 经有限次行初等变换得到的，则 存在有限个初等矩阵 E₁, …, E_k , 使得

1 1

.

k

E

B  E

L E A

2. 若矩阵 B 是 A 经有限次列初等变换得到的，则 存在有限个初等矩阵 E₁, …, E_k , 使得

1 1 1

.

k t t

B  L P P Q A L Q

Q

3. 若矩阵 B 是 A 经有限次初等变换得到的，则 存 在有限个初等矩阵 P₁, …, P_k , Q₁, …, Q_t 使得

1 2 _k

.

E E

B  A L E

—————————————1.2 高斯消元法

———————————————

例 7 设矩阵

1 2 3

1 1 0 1 0 0 0 0 1

0 1 0 , 1 1 0 , 0 1 0

0 0 1 0 0 1 1 0 0

P P P

     

     

        

     

     

( ) .

B

则

 

P AP

 

APP

 

AP P

 

AP P

 

答案 :

—————————————1.2 高斯消元法

———————————————

11 12 13 13 12 11 12

21 22 23 23 22 21 22

31 32 33 33 32 31 32

,

a a a a a a a

A a a a B a a a a

a a a a a a a

    

   

      

    

   