大學入學考試中心指定科目考試研究用試卷

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大學入學考試中心指定科目考試研究用試卷

數學考科

(數學乙卷三)試題第一部份

作答時間：70 分鐘作答方式：

˙選擇題用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液

˙非選擇題用黑色或藍色原子筆，直接作答於試題所標示的答案欄內

祝考試順利

本試卷之著作權屬於財團法人大學入學考試中心基金會

本試卷 (含參考答案 )預定於 97年 6月 4日

公布在大考中心網站 http://www.ceec.edu.tw

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壹、單選題 ( 1 8 分 )

說明：第1-3題，選出一個最適當的選項，劃記在答案卡之「解答欄」。答對得6分，答錯或劃記多於一個選項者倒扣1.5分，倒扣到本大題之實得分數為零為止。未作答者，不給分亦不扣分。

1. 物理學家狄拉克善於玩弄只用三個 2 及數學符號來表示實數，例如

2 2

log log 2 n= −

就是一個例子。問：這個實數 n 等於

(1) − (2) 1 (3) 2 (4) 3 (5) 8 3

2. 有二顆公正骰子，其中一顆是正常的骰子，上面的點數各為 1、2、3、4、5、6，另一顆是特製的，上面的點數各為 2、3、4、5、6、7。若同時投擲此二顆骰子，則點數和為幾點時機率最大？

(1) 6 點 (2) 7 點 (3) 8 點 (4) 9 點 (5) 10 點

3. 滿足不等式 (0.027)^x²>(0.3)¹⁰^x−³的整數 x 有

幾

個？

(1) 0 個 (2) 1 個 (3) 2 個 (4) 3 個 (5) 無窮多個

(3)

貳、多重選擇題(40 分)

說明：第4-8題，每題有4個選項，其中至少有一個選項是正確的。請選出正確選項，標示在答案卡之「解答欄」。每題8分，各選項獨立計分，每答對一個選項，可得2 分；每答錯一個選項，倒扣2分，完全答對得8分。整題未作答者，不給分亦不扣分。若在備答選項以外之區域劃記，一律倒扣2分。倒扣到本大題之實得分數為零為止。

4. 下表是函數 f x( )= +b log_ax的四個函數值：

x 0.25 2 4 8

( )

f x n m 10 n− m+ 4

選出正確的選項：

(1) a 是無理數 (2) b= 5 (3) n< 0 (4) 8m<

5. 如下圖將四個頂點用 x 種顏色塗色，要求線段相連的任兩點必須不同色，滿足這些條件的著 色方法有 f x 種。 ( )

選出正確的選項：

(1) f(5) 120=

(2) ( )f x 是三次多項式 (3)

(

^x⁻²

)

²^整除 ^{f x}^{( )}

(4) ( )f x 的一次項係數為 4

6. 設

α

與

β

是方程式

x

²

+ ax + b = 0

的兩根，且

0 < α < 1 < β < 2

，則下列哪些選項是正確的？

(1) a必不為整數 (2) b可為整數 (3) a>−3 (4) b>0

(4)

7. 將

(1 + 2 ) i

⁶展開並化簡為 a bi+ 的型式，其中

a b ,

為實數，選出正確的選項：

(1)

a b ,

皆為有理數 (2) a=23

(3) b<0 (4) b= −10

8. 設 (0 , 0)A 、B(2 , 0)、C(5 , 2)、D(0 , 3)為坐標平面上的四點。若區域 S 代表四邊形 ABCD 的內部（含邊界），則區域 S 中的點 ( , )x y 代入下列哪些目標函數的最大值會發生在 C 點？

(1)

P x y

₁

( , ) = − x y

(2)

P x y

₂

( , ) = − x 2 y

(3)

P x y

₃

( , ) = + x y

(4)

P x y

₄

( , ) = + x 2 y

參、選填題(16 分)

說明： 1.第A-B題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(9–13)。

2.每題完全答對得8分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 假設樣本資料 x x₁, ₂ ,⋅⋅⋅,x₁₀的平均數為 x=5，標準差為

S

_x，並令 , 1, 2 , ,10

i i

y =ax +b i= ⋅⋅⋅ ，其中 a> 。假設 0 y y₁, ₂,⋅⋅⋅,y₁₀的平均數為

y = 3

，標準差

S

_y

滿足

S

_y

= 2 S

_x，則 a=

○ ⁹

^，b=

○ ¹⁰ ○ ¹¹

^。

B. 在右圖 5 5× 的黑白相間的固定棋盤中，隨機選取1 個黑方格與 1 個白方格。選出的黑方格

與白方格不在同一行也不在同一列，則選擇的方法有

○ ¹²

¹¹

○ ¹³

^種。

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(卷三)試題第二部份(共 26 分)

說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題號（一、二），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。每題配分標於題末。

一、人們常用各種方式將原始的數字資料（稱為明碼）編成密碼來傳遞，下面是一種將明碼數組 ( , , )a b c 轉換成密碼數組 ( , , )x y z 的編碼公式：(13 分)

2 2

b c x a b c y

a b z

 + =

 − + =

− + =



(1) 求數組 (1, 2 , 3) 的密碼。

(2) 求密碼 (1, 2 , 3) 的原始數字資料（即明碼）為何?

(3) 已知密碼可透過一個三階方陣 A 來轉換成明碼，即

x a A y b z c

   

   =

   

   

，求此三階方陣 A 。

二、中國明代數學家朱載堉被譽為鋼琴理論鼻祖，他在 1581 年創立十二平均律理論：用第一弦的長度除以 ¹²2 得到第二個音的弦長，將第二個弦的長度除以 ¹²2 得到第三個音的弦長，以下用相同的方法求得各個音的弦長。設第一個音的弦長為1：(13 分)

(1) 若第七個音的弦長為 2^k，求 k 的值。

(2) 已知第 m 個音的弦長為 1

4，求 m 的值。

(3) 經測量後發現第 n 個音的弦長最接近 1

3，求正整數 n 的值？

(log 2 0.3010₁₀ ≈ ，log 3 0.4771₁₀ ≈ )

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