5. x 2+ 7x + 10 = 0 6. x 2+ 6x + 9 = 0 9. 4x2+ 4x + 1 = 0

第 2 章 一元二次方程 (二)

2.1 二次方程的根的性質

下列各題中，求二次方程的判別式，由此判斷根的性質。

(5 – 16)

5. x ²

+ 7x + 10 = 0

6. x ²

+ 6x + 9 = 0

9.

4x

²

+ 4x + 1 = 0

10. –3x ²

+ 5x – 4 = 0

14.

2x(2x + 1) = 6x – 1

16. 2(x ²

– 3x) = x – 7

17. 考慮二次方程 x ²

+ 10x + k = 0。

(a) 試以 k 表示方程的判別式。 (b) 若方程沒有實根，求 k 值的範圍。

18. 考慮二次方程 3x ²

– 3x – 2k = 0。

(a) 試以 k 表示方程的判別式。 (b) 若方程有實根，求 k 值的範圍。

19. 考慮二次方程 kx ²

+ 4x – 2 = 0。

(a) 試以 k 表示方程的判別式。 (b) 若方程有兩個相異的實根，求 k 值的範圍。

20. 若下列各二次方程有一個二重實根，求 k 的值。

(a) x ²

– 2kx + 9 = 0

(b) 4x ²

+ 4kx + k = 0

21. 若下列各二次方程沒有實根，求 k 值的範圍。

(a) x ²

+ 7x + k = 0

(b) x ²

– 2x + 2k + 1 = 0

22. 若下列各二次方程有兩個相異的實根，求 k 值的範圍。

(a) x ²

– 8x + k = 0

(b) 3x ²

– 6x + (2 – k) = 0

23. 若下列各二次方程有實根，求 k 值的範圍。

(a) x ²

+ 6x – k = 0

(b) 2x ²

– 4x + (k – 1) = 0

24. 若二次方程 x ²

+ 2x + m = 3(2x + 1) 有兩個相異的實根，求 m 值的範圍。

25. 若二次方程 (x – 2)(x – 5) = p 沒有實根，求 p 值的範圍。

26. 若二次方程 (hx + 1)(x + 3) = –(x + 5) 有一個二重實根，求 h 的值。

27. 若二次方程 (k + 3)x ²

+ 6x – 4 = 0 有實根，求 k 的最小值。

30. 二次方程 2x ²

– 6x + k = 0 有實根。

(a) 求 k 值的範圍。

(b) 當 k 在 (a) 部的範圍中取最大值時，解該方程。

31. 二次方程 kx ²

+ 7x + 1 = 0 有兩個相異的實根。

(a) 求 k 值的範圍。

(b) 當 k 在 (a) 部的範圍中取最大的整數值時，解該方程。

33. 二次方程 3x ²

– 5x – (k + 1) = 0 有兩個相異的實根。

(a) 求 k 值的範圍。

(b) 當 k 在 (a) 部的範圍中取最小的整數值時，解該方程。

43. 若下列各二次方程的圖像與 x 軸只接觸於一點，求 k 的值。

(a) y = x ²

+ x + k

(b) y = kx ²

+ 12x + 9

44. 若下列各二次方程的圖像有兩個 x 軸截距，求 k 值的範圍。

(a) y = x ²

+ 5x + 4 – k

(b) y = 3x ²

+ 4x + k

45. 若下列各二次方程的圖像沒有 x 軸截距，求 k 值的範圍。

(a) y = x ²

+ 3x – 6k

(b) y = 4x ²

+ 6x + 3k

46. 下圖所示為 y = ²

3 1

x

 + 2x + s 的圖像。求 s 值的範圍。

50. 圖中，y =

4 (2 4) 2

1

₂







x s

x

的圖像與

x 軸只接觸於一點。

(a) 求 s 的值。

(b) 求該圖像的 x 軸截距。

y =



x

2

x



s

3

1

₂ y

O x

y =

4 (2 4)

2

1

x ₂



x



s



y

2.2 根和係數的關係

求下列各二次方程的兩根之和及兩根之積。

(1 – 10)

1. x ²

+ 7x + 2 = 0

2. x ²

– 3x – 8 = 0

3.

–x

²

+ 5x + 6 = 0

7.

3x

²

= 2x + 1

8.

2 – x

²

= 4x + 9

9. x(6x – 8) = –1

11. 若二次方程 x ²

+ kx – 10 = 0 的兩根之和是 3，求 k 的值。

12. 若二次方程 2x ²

+ 3x + (m – 1) = 0 的兩根之積是 –1，求 m 的值。

13. 若二次方程 px ²

– (p + 3)x – 1 = 0 的兩根之和是 –8，其中 p 0，求 p 的值。

14. 若二次方程 kx ²

+ 10x – 1 = 0 的兩根之和是 –5，其中 k 0，求

(a) k 的值；

(b) 兩根之積。

16. 若二次方程 kx ²

+ 9x – 6 = 0 的兩根之積是 3，其中 k 0，求

(a) k 的值；

(b) 兩根之和。

19. 若 3x ²

+ kx + 2 = 0 的兩根之和等於兩根之積，求 k 的值。

20. 若 x ²

– 4x + k = 0 的其中一個根是 –5，求另一個根及 k 的值。

22. 二次方程 mx ²

+ nx + 6 = 0 的兩根之和及兩根之積分別是 –8 和 12，其中 m 0。求 m 和 n 的值。

27. 若 x ²

– 4kx + (3 – 8k) = 0 的一個根是另一個根的三倍，求 k 的值。

32. 若 

和



是方程

x ²

+ 3x – 4 = 0 的根，求下列各式的值。

(a) 

+

 (b)  (c) ( 

+ 2)(



+ 2)

(d)  ²

+

 ²

33. 若 

和



是方程

x ²

– 6x + 4 = 0 的根，求下列各式的值。

(a) ( 

+ 1)(



+ 1)

(b)

1 1 1 1

 





 ^(c)  





(d)

1

₂

1

₂





^

34. 若 

和



是方程

x ²

– x – 2 = 0 的根，求下列各式的值。

(a)  

1  1

(b)  ² 

+

 ² (c) (1 – 2 

)(1 – 2



)

(d)  ²

+



35. 若 

和



是方程

x ²

+ 5x – 16 = 0 的根，求下列各式的值。

(a)  ²

–



+

 ² (b)





 

 



 



 

 

 

^{1 1}

(c)





 



 



 

  1 1 1 1



 ^(d)  ²

– 5



37. 若 

和



是方程2x

²

– 6x + 3 = 0 的根，求下列各式的值。

(a)  ²

+

 ² (b)









_

(c) (4 

–



)(4



–



)

(d)

1 1 











試用下列各組的根建立以

x 為未知數的二次方程。 (40 – 45)

40. 3，7 41. –6，2

42.

1 3，1 3

45.

9

 ，1 5

2

46. 若 

和



是

x ²

– 4x + 2 = 0 的根，試用下列各組的根建立以 x 為未知數的二次方程。

(a) –2 

，–2

 (b) 

+ 3，



+ 3

47. 若 

和



是

x ²

+ 7x + 12 = 0 的根，試用下列各組的根建立以 x 為未知數的二次方程。

(a) 5 

，5

 (b)



 1 ，



 1

50. 若 

和



是2x

²

– 3x + 1 = 0 的根，試用下列各組的根建立以 x 為未知數的二次方程。

(a)

3



， 3

 (b)



 2 ，



 2

(c)  ²

，

 ² (d)





，





53. 圖中，y = x ²

+ mx + n 的圖像與 x 軸相交於 A(



, 0) 和 B(



, 0) 兩點。P(1, 0) 是 AB 的中點。

(a) 試以 m 表示 

+



。

(b) 求 m 的值。 ^y _{y = x}

²_{+ mx + n}

O x P

A B

54. 圖中，y = –x ²

+ (k + 5)x – (4k + 1) 的圖像與 x 軸相交於 A(



, 0) 和 B(



, 0) 兩點，其中



>



。

(a) 試以 k 表示 

+



和



。

(b) 若 AB = 4，求 k 的值。 y ^{y = –x}

²+ (k + 5)x – (4k + 1)

O A B x

答案

2.1 二次方程的根的性質

程度

2（第 1 頁）

5.

9，兩個相異的實根

6.

0，一個二重實根

9.

0，一個二重實根

10.

–23，沒有實根

14.

0，一個二重實根

16.

–7，沒有實根

17. (a)

100 – 4k

(b) k > 25 18. (a)

9 + 24k

(b) k



8

3

19. (a)

16 + 8k

(b) k > –2，除了 k = 0 20. (a)

3, –3

(b)

0, 1

21. (a) k >

4

49

(b) k > 0

22. (a) k < 16 (b) k > –1 23. (a) k

 –9

(b) k

 3

24. m < 7 25. p <

4

9

26.

9

2, 2

27.

4

21

30. (a) k

 2

9

(b)

2

3（二重根）

31. (a) k <

4

49，除了

k = 0

(b)

3

 ,1 4

1

33. (a) k >

12

37

(b)

3 2, 1

43. (a)

4

1

(b)

4

44. (a) k >

4

9

(b) k <

3 4

45. (a) k <

8

3

(b) k >

4 3

46. s < –3

50. (a)

2

(b)

4

根和係數的關係

9.

兩根之和=

3

4，兩根之積= 6 1

11.

–3

12.

–1

13.

3

1

14. (a)

2

(b)

2

1

16. (a)

–2

(b)

2 9

19.

–2

20.

另一個根= 9，k = –45

22. m =

2 1, n = 4

27.

–3, 3 1

32. (a)

–3

(b)

–4

(c)

–6

(d)

17

33. (a)

11

(b)

11 8

(c)

3

2

(d)

4 7

34. (a)

2

1

(b)

–2

(c)

–9

(d)

3

35. (a)

73

(b)

16

225

(c)

8

5

(d)

41

37. (a)

6

(b)

4

(c)

2

3

(d)

–6

40. x

²– 10x + 21 = 0

41. x

²+ 4x – 12 = 0

42. x

²– 2x – 2 = 0

45.

45x²+ 23x + 2 = 0

46. (a) x

²+ 8x + 8 = 0

(b) x

²– 10x + 23 = 0

47. (a) x

²+ 35x + 300 = 0

(b)

12x²– 7x + 1 = 0

50. (a)

18x²– 9x + 1 = 0

(b) x

²+ 6x + 8 = 0

(c)

4x²– 5x + 1 = 0