數學考科

(1)

102 學年度學科能力測驗試題

數學考科

作答注意事項

考試時間：100 分鐘

題型題數：單選題 6 題，多選題 6 題，選填題第 A 至 H 題共 8 題

作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液(帶)。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案者，其後果由考生自行承擔。

選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。

例：若第 B 題的答案格式是，而依題意計算出來的答案是 8

3，則考生

必須分別在答案卡上的第 18 列的與第 19 列的畫記，如：

例：若第 C 題的答案格式是，而答案是 ⁷ 50

− 時，則考生必須分別在答案卡的第 20 列的與第 21 列的畫記，如：

※試題後附有參考公式及可能用到的數值

3

− 7

8

20 21 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 − ±

18 19

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 − ±

20

21 ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁰ ⁻ ^±

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 − ±

19 18

(2)

- 1 -

第壹部分：選擇題（占 6 0 分） 一、單選題（占 3 0 分）

說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1 . 學校規定上學期成績需同時滿足以下兩項要求，才有資格參選模範生。一、國文成績或英文成績 7 0 分 ( 含 ) 以上；

二、數學成績及格。

已知小文上學期國文 6 5 分而且他不符合參選模範生資格。請問下列哪一個選項的推論是正確的？

( 1 ) 小文的英文成績未達 7 0 分 ( 2 ) 小文的數學成績不及格

( 3 ) 小文的英文成績 7 0 分以上但數學成績不及格 ( 4 ) 小文的英文成績未達 7 0 分且數學成績不及格 ( 5 ) 小文的英文成績未達 7 0 分或數學成績不及格

2 . 令 a=2.6¹⁰-2.6⁹，b=2.6¹¹-2.6¹⁰，

11 9

2.6 2.6

c -2

= 。請選出正確的大小關係。 ( 1 ) a> >b c

( 2 ) a> >c b ( 3 ) b> >a c ( 4 ) b> >c a ( 5 ) c> >b a

3 . 袋子裡有 3 顆白球， 2 顆黑球。由甲、乙、丙三人依序各抽取 1 顆球，抽取後不放回。若每顆球被取出的機會相等，請問在甲和乙抽到相同顏色球的條件下，丙抽到白球之條件機率為何？

( 1 ) 1

3 ( 2 ) 5

12 ( 3 ) 1

2 ( 4 ) 3

5 ( 5 ) 2

3

(3)

- 2 - 4 . 已知以下各選項資料的迴歸直線 ( 最適合直線 ) 皆相同且皆為負相關，請選出相

關係數最小的選項。 ( 1 ) 2 3 5

1 13 1 x

y ( 2 ) 2 3 5

3 10 2 x

y ( 3 ) 2 3 5

5 7 3 x

y

( 4 ) 2 3 5 9 1 5 x

y ( 5 ) 2 3 5

7 4 4 x

y

5 . 將 24 顆雞蛋分裝到紅、黃、綠的三個籃子。每個籃子都要有雞蛋，且黃、綠兩個籃子裡都裝奇數顆。請選出分裝的方法數。

( 1 ) 5 5 ( 2 ) 6 6 ( 3 ) 1 3 2 ( 4 ) 1 9 8 ( 5 ) 2 5 3

6. 莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球。在上午10 : 00熱氣球的仰角為 30° ，到

上午10 :10仰角變成 34°。請利用下表判斷到上午10 : 30時，熱氣球的仰角最接近

下列哪一個度數？

θ 30° 34° 39° 40° 41° 42° 43°

θ

sin 0.500 0.559 0.629 0.643 0.656 0.669 0.682 cosθ 0.866 0.829 0.777 0.766 0.755 0.743 0.731 tanθ 0.577 0.675 0.810 0.839 0.869 0.900 0.933 ( 1 ) 39°

( 2 ) 40°

( 3 ) 41°

( 4 ) 42°

( 5 ) 43°

(4)

- 3 -

二、多選題（占 3 0 分）

說明：第 7 題至第 12 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

7 . 設 n 為正整數，符號 1 1 0 2

 n

 

  代表矩陣 1 1 0 2

 

 

 自乘 n 次。令 1 1 0 2

n

n n

a b c d

 

=  

 

   ，請選

出正確的選項。 ( 1) a₂ = 1

( 2) a a a 為等比數列 ₁, ₂, ₃ ( 3) d d d 為等比數列 ₁, ₂, ₃ ( 4) b b b 為等差數列 ₁, ₂, ₃ ( 5) c c c 為等差數列 ₁, ₂, ₃

8 . 設 a> > >1 b 0，關於下列不等式，請選出正確的選項。 ( 1) (−a)⁷> −( a)⁹

( 2) b⁻⁹>b⁻⁷ ( 3) ₁₀1 ₁₀1

log log a > b ( 4) log 1 log 1_a > _b ( 5) log_ab≥log_ba

9 . 設 a< <b c。已知實係數多項式函數 y= f x( )的圖形為一開口向上的拋物線，且 與 x 軸交於 ( ,0)a 、 ( ,0)b 兩點；實係數多項式函數 y=g x( )的圖形亦為一開口向上 的拋物線，且跟 x 軸相交於 ( ,0)b 、 ( ,0)c 兩點。請選出 y= f x( )+g x( )的圖形可能的選項。

( 1) 水平直線

( 2) 和 x 軸僅交於一點的直線 ( 3) 和 x 軸無交點的拋物線 ( 4) 和 x 軸僅交於一點的拋物線 ( 5) 和 x 軸交於兩點的拋物線

(5)

- 4 - 1 0 . 坐標平面上考慮兩點 Q₁(1, 0),Q₂( 1, 0)− 。在下列各方程式的圖形中，請選出其上至

少有一點 P滿足內積 

PQ1⋅P Q^2<0的選項。 ( 1) 1

y= 2 ( 2) y=x²+ 1 ( 3) − +x² 2y²= 1 ( 4) 4x²+y² = 1 (5 )

2 2

2 2 1 x − y =

11 . 設 F F 為橢圓 Γ 的兩個焦點。₁, ₂ S為以 F 為中心的正方形 (₁ S的各邊可不與 Γ 的對稱軸平行 ) 。試問 S可能有幾個頂點落在 Γ 上？

(1 ) 1 (2 ) 2 (3 ) 3 (4 ) 4 (5 ) 0

12. 設實數組成的數列 a_n 是公比為 −0.8的等比數列，實數組成的數列 b_n 是首項為 1 0 的等差數列。已知 a₉> 且b₉ a₁₀ >b₁₀。請選出正確的選項。

( 1 ) a₉×a₁₀ < 0 ( 2 ) b₁₀> 0 ( 3 ) b₉>b₁₀ ( 4 ) a₉>a₁₀ ( 5 ) a₈ > b₈

(6)

- 5 -

第貳部分：選填題（占 4 0 分）

說明：1.第 A 至 H 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號

（13–35）。

2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A . 設 k為一整數。已知 1

3 31 3

k < <k+ ，則 k = 。

B . 設 a b 為實數且 (, a+bi)(2+6 )i = − ，其中80 i² = − 。則 ( , )1 a b = ( , )。

C. 坐標平面中 A a( ,3), (16, ), (19,12)B b C 三點共線。已知 C 不在 ,A B 之間，且 AC BC: =3 :1， 則 a b+ = 。

D . 阿德賣 1 0 0 公斤的香蕉，第一天每公斤賣 4 0 元；沒賣完的部份，第二天降價為每公斤 3 6 元；第三天再降為每公斤 32 元，到第三天全部賣完，三天所得 共為 3 7 20 元。假設阿德在第三天所賣香蕉的公斤數為 t ，可算得第二天賣出 香蕉的公斤數為 at+b，其中 a= ， b= 。

E. 坐標平面上，一圓與直線 x− = 以及直線y 1 x− = 所截的弦長皆為 14。則此圓的y 5 面積為 π。

13 14

17 18 15 16

19 20

21 22 23 24

25 26

(7)

- 6 - F. 令_{A ，}B 為坐標平面上兩向量。已知A 的長度為 1，B 的長度為 2 且_{A 與}_B

之間的夾角為 60°。令

u = A + B ，

v = x A +y

B ，其中 x y, 為實數且符合 6≤ + ≤ 以及 2x y 8 − ≤ − ≤ ，則內積x y 0 

u ⋅ v 的最大值為。

G . 設銳角三角形 ABC的外接圓半徑為 8。已知外接圓圓心到 AB 的距離為 2，而到 BC 的距離為 7 ，則 AC= 。（化成最簡根式）

H . 如下圖，在坐標空間中， A , B , C , D , E , F , G , H 為正立方體的八個頂點，已知其中 四個點的坐標 A ( 0 , 0, 0 ) 、 B ( 6 , 0 , 0 ) 、 D ( 0 , 6, 0 ) 及 E( 0 , 0 , 6) ， P在線段 CG 上且

: 1: 5

CP PG= ， R在線段 EH上且 ER RH: =1:1， Q在線段 AD上。若空間中通過 P , Q , R 這三點的平面，與直線 AG不相交，則 Q點的 y坐標為。 ( 化成最簡分數 )

27 28

34 32 33

35 29 30 31

P z

y

x

Q R

H

F G

E

D

C B

A

(8)

- 7 -

參考公式及可能用到的數值

1 . 首項為 a ，公差為 d的等差數列前 n 項之和為 (2 ( 1) ) 2 n a n d

S= + −

首項為 a ，公比為 r r( ¹ 的等比數列前 n 項之和為1) (1 ) 1 a rn

S r

= −

−

2 . 三角函數的和角公式： sin(A+B)=sinAcosB+cos sinA B cos(A+B)=cos cosA B−sinAsinB

tan tan tan( )

1 tan tan

A B

A B + = +

−

3 . ∆ABC的正弦定理： 2

sin sin sin

a b c

A= B= C = R ( R 為 ∆ABC外接圓半徑 )

∆ABC的餘弦定理： c²=a²+b²−2abcosC

4 . 一維數據 X x x: ₁, ₂,...,x ，算術平均數_n ₁ ₂

1

1 1

( )

n

X n i

i

x x x x

n n

µ

=

= + + ⋅⋅⋅ + =

∑

標準差 ² ² ²

1 1

( ) (( ) )

n n

X i X i X

i i

x x n

n n

σ µ µ

= =

= ∑ − = ∑ −

5 . 二維數據 ( , ) : ( ,X Y x y₁ ₁),( ,x y₂ ₂),...,(x y ，相關係數_n, _n) _, ¹

( )( )

n

i X i Y

i X Y

X Y

x y

r n

µ µ

σ σ

=

− −

=

∑

迴歸直線 ( 最適合直線 ) 方程式 _Y _{X Y}_, ^Y ( _X)

X

y µ r σ x µ

− = σ −

6 . 參考數值： 2 ≈1.414 , 3≈1.732 , 5≈2.236 , 6≈2.449 ,π ≈3.142

7. 對數值： log 2₁₀ ≈0.3010, log 3₁₀ ≈0.4771, log 5₁₀ ≈0.6990, log 7₁₀ ≈0.8451

(9)

數學考科選擇（填）題答案

題號答案題號答案題號答案 1 5

A

13 1 E

25 5

2 4 14 6 26 1

3 3 B

15 －

F 27 3

4 5 16 4 28 1

5 2 17 1

G

29 4

6 3 18 2 30 1

7 1,2,3,5

C 19 1 31 5

8 1,2 20 9

H

32 1 9 4,5

D

21 － 33 5

10 1,3,4 22 2 34 1 11 1,2,5 23 7 35 1

12 1,3 24 0

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102 學年度學科能力測驗試題

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作答注意事項

考試時間：100 分鐘

題型題數：單選題 6 題，多選題 6 題，選填題第 A 至 H 題共 8 題

作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿 使用修正液(帶)。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案 者，其後果由考生自行承擔。

選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能 不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在 一個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。

※試題後附有參考公式及可能用到的數值

∑

∑

數學考科選擇（填）題答案

作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液(帶)。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案者，其後果由考生自行承擔。

選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。