直流馬達定位控制-最佳 PID 控制器之設計
洪美玲
1顏錦柱
2賴寵文
1邱銘彰
1劉修綜
11遠東技術學院電機工程學系
2樹德科技大學電腦與通訊系
摘 要
本論文主要討論直流馬達定位控制之比例-積分-微分(PID)控制器最佳化 的設計方法。由於進化演算法則已被公認可以用來搜尋全域最佳解，因此在本 論文中，我們將結合進化演算法則來解決直流馬達定位之PID 控制器的最佳設 計問題。本文所提出的方法，不同於以往文獻的傳統方法，設計者透過固定的 步驟和進化演算程序，便可很容易得到最佳的PID 控制器參數，並使得控制性 能指標(IAE)達到最小值，使系統之響應，滿足設計者之需求。最後，我們將 利用 QUANSER 直流馬達系統的定位控制實驗，來驗証我們提出的演算方法 的可行性及優越性。
關鍵詞：比例-積分-微分控制器、進化演算法則、性能指標。
OPTIMAL PID CONTROLLER DESIGN FOR DC MOTOR POSITIONING CONTROL
Meei-Ling Hung1 Chon-Wen Lai2 Jun-Juh Yan1 Min-Chang Chiou1 Sho-Jon Liu1
1Department of Electrical Engineering, Far-East College,
Tainan, Taiwan 744, R.O.C.
2Department of Computer and Communication, Shu-Te University,
Kaohsiung, Taiwan 824, R.O.C
Key Words: PID controller, evolutionary programming algorithm, performance index.
ABSTRACT
This paper studies the optimum proportional-integral-derivative (PID) controller design for a DC motor position control. Since the evolutionary programming (EP) algorithm has been considered as a useful technique for finding global optimization solutions for certain complicated functions in recent years, we attempt to combine the EP algorithm with the PID control design to solve the positioning control problem of a DC motor, such that a performance index of integrated-absolute error (IAE) is minimized. Last, a QUANSER DC Motor position control system is used to verify the superiority of the proposed method.
技術學刊 第二十卷 第二期 民國九十四年 195
Journal of Technology, Vol. 20, No. 2, pp. 195-200 (2005)
在目前的控制理論中，即使已有很多不同的方法，可 以用來設計各種不同型式之控制器，以解決各種複雜的控 制問題[1]，但是，就目前工業上所用的控制器而言，大部 份仍然使用比例-積分-微分控制器(PID controller)來實 現。其主要原因是PID 控制器架構簡單，成本較低，維修 也較容易。而且PID 控制器，針對大部份的低階(一、二階) 受控程序而言，已經足夠用來控制系統且保有很好的性 能。在傳統PID 控制器的設計方法中，Cohen-Coon(C-C)[2]
及 Ziegler-Nichols(Z-N)[3]兩種方法，經常被引用來決定 PID 控制器中的三個參數，但在以上的方法中，均假設系 統響應具有特定的延遲特性，因此針對無明顯延遲特性之 系統，如直流馬達控制系統，及一些較高階之系統，這些 方法並不適用。
而若以試誤法或根據設計者個人經驗，來調整PID 控 制器的三個參數，則受控系統可能會因不佳之參數設定，
而使整個系統變的更不穩定及難以精準的控制，而且所浪 費的時間也較久。因此本文之主要動機，就是討論如何提 出簡單且有效率的方法，來設計出最佳之PID 控制器的參 數，使得系統的控制性能最好。因此在本文中，我們結合 進化演算法則，提出簡單有效率且適用所有系統之PID 控 制器的設計方法，並用來解決直流馬達之定位控制問題。
二、主要結果
首先，我們先考慮之控制對象 QUANSER 直流馬達 之系統轉移函數，其基本架構如圖1，為求簡潔，部分相 關之符號可參考[4]，由圖 1，應用克希荷夫電壓定律，可 得到如下：
=0
−
−
− m m m m emf
m E
dt L dI I R
V (1)
因為Lm<<Rm，因此電樞電流可以表示如下式：
m emf
m m R
E
I V −
= (2)
m m m
m m R
I = (3)
g g m t
m m K
T T
J ω• = − η (4)
註：其中
g g
t
K T
η 這個負載轉矩上所看見之等效負載，而ηg 是齒輪箱的效率。
再由馬達之負載端觀察並利用牛頓第二定律，可以得 到：
t eq t t
t T B
J ω• = − ω (5)
其中Beq是輸出的阻尼係數，根據(4)代入(5)式，可得到如 下之關係式：
t m eq m g g m g t g
t K T K J B
J ω• =η −η ω• − ω (6)
其中ωm=Kgω1和T=ηgKtIm (ηm馬達效率)。
因此式子(6)可以改寫為如下：
= +
+ •
•
t t wq m g t g
t K J B
J ω η 2 ω ω ηgηmKgKtIm(7)
最後，將(3)式代入(7)式，並由 Laplace 轉換可得到速度和 輸入電壓之間的轉移函數：
) 2
( ) (
g t m m g m eq m eq
g t m g m
t
K K K R
B s R J
K K s
V s
η η η ω η
+
= + (8)
其中
g2 m g t
eq J J K
J = +η (9)
洪美玲、賴寵文、邱銘彰、劉修綜：直流馬達定位控制-最佳 PID 控制器之設計 197
圖 3 性能指標( I A E )之示意圖
上式(8)即為直流馬達輸出轉速與輸入電壓之關係。此外因 為轉速之積分，即為位置，所以位置控制和速度之轉移函 數只差一階，因此位置和輸入電壓之間的轉移函數如下：
) ) (
( ) (
g2 t m m g m eq m eq
g t m g m
t
K K K R
B s R J s
K K s
V s
η η η θ η
+
= + (10)
註：θt為直流馬達之轉動角度
在討論完受控系統後，本研究中設計之控制系統之方 塊圖如圖2：
其中PID 控制器為連續之型式，其標準型式如下：
+ +
=K e t T dedtt T
∫
eτ dτt u
t
d i
p ( ) 1 ( )
) ( )
(
0
(11)
其中e( )t =Ysp( ) ( )t −Yt 為系統誤差，u( )t 為控制輸入變數，KP
為比例增益，Td為微分時間常數，Ti為積分時間常數。
(11)式亦可表示如下：
∫
+ +
= p d Kite d
dt t K de K t u
0
) ) (
) (
( τ τ (12)
其中Kd=KpTd，Ki=Kp /Ti。
本文研究中，PID 控制器設計問題即在於：如何選取 適當的Kp、Ki、Kd三個參數，使系統具較佳之控制性能。
而典型之輸出規格中常包含最大超越量，上升時間，穩定 時間和穩態誤差等，而較常用的性能指標有誤差平方的積 分(ISE)和誤差絕對值的積分(IAE)兩種，其數學式定義分別 如下：
τ τ d e
ISE ( )
0
∫
2= ∞ (13)
∫
∞=
0
) (τ dτ e
IAE (14)
圖 4 一般隨機之二維變數
圖 5 二維 QRS
如圖3 所示，可以知道當 IAE（即圖 3 陰影部分面積）愈 小，表示控制之誤差愈小，亦即控制結果愈佳。所以，如 何設計出一個簡單易用的方法，使設計者均可很容易的決 定Kp、Ki、Kd，而且系統具有最佳（小）之性能指標(IAE)，
是本研究的主要目的。
一般而言，進化演算法 (EP) 包含四個步驟：(一)起 始族群之選取；(二)自身突變；(三)族群競爭；(四)再生。
而且為了避免系統在搜尋過程中陷入局部最佳值[5]，初始 族 群 的 選 擇 亦 相 當 重 要 ， 一 般 常 使 用 類 隨 機 序 列 (quasi-random sequence:QRS)，因為 QRS 分佈隨機均勻，
所以用來產生初始族群，以避免系統陷於局部最佳值，QRS 和一般隨機變數之差異可由圖4 和圖 5 中了解，一般隨機 取樣在有限的個體條件下，可能產生局部聚集的現象，而 QRS 就分佈較均勻。因此，若我們將待控制之直流馬達數 學模式(10)，代入圖 2 之控制系統方塊中，並利用 MATLAB 及SIMULINK 來撰寫程式執行，完成進化演算法則之演化 過程，就可以容易地得到Kp、Ki、Kd三個參數，且依進化 演算法則之精神，此求得之PID 控制器，將可以使受控系 統之性能指標IAE 儘可能最小。以下我們融入進化演算法 則的觀念，並將問題和解決方法重新描述如下：
圖 6 進化演算法則流程圖 圖 7 QUANSER 直流馬達設備圖示
圖 8 位置控制系統方塊圖
問題描述及解決步驟：
令變數 z∈S，其中S={z∈R30≤zi≤∞,i=1,2,3}。在 此，可定義本文中之最佳化問題如下：即找到一組參數 z*=[Kp*, Kl*, Kd*]，使得閉迴路系統之性能指標 IAE 最小。
更精確地，此最佳化問題可以數學式描述如下：即找到一 組參數z*∈S使得最小化。
S z , d e
IAE =∞
∫
τ τ * ∈0
)
( (15)
根據[6]一文，我們提出 EP 步驟，來解決以上所提之 最佳化問題，步驟詳細描述如下：
1. 先利用 QRS 產生起始族群 P0=[P1, P2,…,PN]族群大小為 N，其中 pi∈S,I =1,2,…,N。計算族群中個體之適應函數 值ƒi(pi)，其中 pi ,i=1,2,…,N，且
S P K , K , K , d e p
f( i)=∞
∫
( ) [ P i d]= i∈0
τ
τ (16)
2. 自身突變每個體 Pi, i=1,2,…, N 之基因，使族群之大小倍 增，即族群大小由N 擴增為 2N，而 Pi +N 由下列(17)式 方式產生：
3 2 1 0 ), j , ,
f , f ( N p
pi N,j= i,j+ i ∀ =
+ β ∑ (17)
其中Pi, j表示第i 個體的第 j 基因元素；而 N (0, β fi / fΣ) 表示，均值(meanvalue)為 0，泛數(variance)為 β fi / fΣ之 隨機之高斯(Gaussion)變數，而 fΣ為所有個體之適應函 數值之總合，β 為調整 fi / fΣ影響程度之參數。
3. 依據(14)式，再次計算新生族群 Pi+N, i=1,2,…, N 之適應 函數值fi+N。並隨機地將新舊族群Pi , i=1,2,…, N 和 Pj, j=N+1,2,…, 2N 隨機競爭。若 fi < fj，則Pi為優勝者並存 活下來，否則Pj為優勝者，而Pi淘汰，由Pj取代。經 過隨機競爭程序之後，有N 個勝利者存活下來，同時我 們將具有最小適應函數值之個體安排為P1。
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圖 9 適應函數值 IAE 之收斂曲線 圖 10 實 際位 置控制 系統 響應； PID 控 制器 參數為 Kp=12、Ki =1.8237，Kd =0.0061 其中實線表示 輸入訊號；虛線表示實際輸出訊號
4. 此時若 fΣ之值收斂至最小值，則 Z*=Pi，即為最佳值而 且其基因Z*=[K*p, Ki*, K*d]即為最佳之 PID 控制器參數，
此參數將使得系統之性能指標IAE 最小。若 fΣ之值尚未 收斂，則回至步驟 3。以上演算法之流程圖，亦可表示 如圖6。
三、實例驗証
在此例子中，我們將以QUANSER SRV02 Plant Model 做為受控系統，實際照片如圖7 所示，並考慮其定位控制 的問題。由以上之討論，首先將受控馬達之參數[4]，代入 (10)式，可得系統之開迴路轉移函數如下：
) 18989 0 00542 0 (
33398 0 )
( ) (
. s . s
. s
V s m t
= +
θ (18)
現利用SIMULINK 建立 PID 控制系統之控制方塊圖如圖 8。
在圖8 中，Pulse Genetator 是 輸 入 的 電 壓 ，Setpoint Amplitude(deg)是我們設定馬達的轉動角度，Degrees to Radians 和 Radians to Degrees1 是角度和弳度的轉換，而 Kp、Ki、Kd是待求之PID 控制器的參數，γ就是 IAE 值，
Transfer Fcn 中是受控之直流馬達轉移函數(18)，在圖 8 中 我們亦加入低通濾波器以消除對馬達有害的高頻訊號，改 善系統的響應。
再者，令族群大小N=30，β=0.1，並使用Matlab 和 Simulink[7]所提供之工具函數，我們可以利用上述所提出 之EP 演算法則來解此 PID 定位控制系統之最佳化問題。
根據上述 EP 演算法則，首先利用 QRS 產生起始族群
Pn=[P1，P2，…，P30]。經過一連串競爭進化後，系統之 IAE 收斂曲線如圖9 所示。由圖 9，可以知道系統之 IAE 在進 化50 代之後便收斂（在電腦 CPU 等級為 P-4 3.0G 的速度 下 執 行 約 7~8 分 鐘 可 執 行 完 畢 ）， 且 其 最 佳 值 為
= ) (z*
f 0.465，同時，PID 控制器之最佳參數可以得到如 下：z*=[Kp*，Ki*，Kd*] =[12，1.8237，0.0061]。我們將此 最佳參數代入QUANSER SRV02 Plant Model，其轉角之位 置響應情形如圖10 所示。
由圖10，可以觀察到系統之響應無論是在響應上升時 間，最大超越量及穩態誤差和安定時間等控制性能表現 上，均非常好，因此驗証了本研究結果之可行性及優越性。
四、結 論
在本文中，結合進化演算法則，我們成功地提出一套 有系統之方法，求取最佳之PID 控制器設計，來解決直流 馬達定位控制問題。依據，本文中所提之步驟(1~3)，設計 者可以有系統地解決最佳化之問題，並得到PID 控制器之 三個最佳參數，除了改善前述傳統方法之缺點外，並且顯 著地提昇PID 控制器設計之效率和整體之控制性能。最後 透過實驗，也印證了本文所提方法之可行性。
誌 謝
本研究承蒙國科會大專生專題研究計畫資助，計畫編 號，NSC-93-2815-C-269 -005 –E，特此致謝。
Kd KpTd
Ki Kp/Ti
KP 比例增益
PID 控制器為連續之型式 u(t) 控制輸入變數 θt 直流馬達之轉動角度
ωm Kgωt和T= ηm KtIm (ηm馬達效率)
4. Quanser SRV02-series Rotary Servo Plant of User Man- ual，鈦思科技公司 (2004).
5. Fogel, D. B., Evolutionary Computation: Toward a New Philosophy of Machine Intelligence, IEEE, London, UK (1995).
6. Cao, Y. J., “Eigenvalue Optimisation Problems Via Evolu- tionary Programming,” Electronics Letters, 33 , pp.
642-643 (1997).
7. 蒙以正，Matlab 入門與精進，儒林圖書公司，台北，
(2004)。
2005 年 03 月 03 日 收稿 2005 年 03 月 14 日 初審 2005 年 05 月 10 日 複審 2005 年 06 月 13 日 接受
