何謂⾼高中數學?
教材, 竸試, 科展, 科學競賽, ⾯面⾯面觀.
2004 年 1 ⽉月 5 ⽇日於新⽵竹⾼高中 國家理論科學中⼼心
⺩王⾦金⻯⿓龍
何謂數學?
數學是⼈人類⼼心智的⼀一種表現, 它反映出⼈人類具有 堅強活潑的意志, 慎思明辨的理性, 以及追求完 美的意願. 其基本要素是邏輯和直覺, 解析和建 構, 概括和分殊. 雖然不同的傳統, 可能強調不 同的⽅方⾯面, 但是唯有這些反對⼒力量的交互作⽤用, 以及他們互相綜合的努⼒力, 才能提供數理科學 以⽣生命, 效⽤用, 和崇⾼高無⽐比的價值. (取⾃自
Courant: What is Mathematics.)
中學數學教育的⺫⽬目標
1. 引導學⽣生瞭解數學的「內容」,「⽅方法」與
「精神」.培養學⽣生使⽤用數學⽅方法思考問題的 素養與能⼒力.
2. 增進學⽣生的基本數學能⼒力,奠定學習相關學科 的基礎. 提供學⽣生在「實際⽣生活」與「未來⽣生 涯」所需的數學知能.
3. 培養學⽣生欣賞數學內涵「簡明有效」及結構
「嚴謹優美」的特質.
數學的基本內容
代數 幾何 分析
機率與統計
數學的基本⽅方法
演算法 邏輯推理
歸納法
創造概念
數學的基本精神
內涵
簡明-有效 結構
嚴謹-優美
Part I: 教材與教學篇
教育部中教司現⾏行⾼高中教材⼤大綱
第⼀一年: 基礎概念, 數與坐標系, 數列與級數, 多項式, 指數 與對數, 三⾓角函數的基本概念, 三⾓角函數的性質與應⽤用.
第⼆二年: 向量, 空間中的直線與平⾯面, ⼀一次⽅方程組與矩陣的 列運算, 圓與球⾯面, 圓錐曲線, 排列、組合, 機率與統計 (Ⅰ).
第三年: 機率與統計（Ⅱ）, 平⾯面上的坐標變換, 矩陣, 不等 式, 極限的概念, 極限的應⽤用.
1.1 基礎概念
1. 簡單的邏輯概念: 利⽤用國中平⾯面幾何知識來介紹簡單的 邏輯概念—包含充分條件, 必要條件、充要條件及反 證法的例⼦子.
2. 集合的基本概念: 集合的表⽰示法, 屬於, 交集, 聯集, ⼦子 集, 補集, 以將來要⽤用到的實例為主, 不涉及抽象的集 合.
3. 函數的基本概念: 以變量的對應關係說函數的意義.
1.2 數與坐標系
1. 整數: 含因數,倍數與輾轉相除法.
2. 有理數與實數: 介紹無理數如√3,π等.
3. 平⾯面坐標系: 複習平⾯面坐標系, 並介紹直線⽅方程式與 斜 率.
4. 複數與複數平⾯面: 介紹ｉ的由來 (含⼀一元⼆二次⽅方程式根 的討論, 特別是判別式⼩小於 0 之情形), 複數的四則運 算, 複數平⾯面只是強調⼀一⼀一對應關係.
1.3 數列與級數
1. 等差級數與等⽐比級數: 含數列的基本概念。
2. 無窮等⽐比級數與循環⼩小數:這裡先給學⽣生⼀一些最基本的 極限概念。
3. 數學歸納法:主要在教「數學歸納法」這個⽅方法，及⽤用 來歸納並證明⼀一些級數的和並引進遞迴數列的例⼦子。
1.4 多項式
1. 多項式的四則運算: 含綜合除法.
2. 餘式定理、因式定理: 含整係數多項式的⼀一次因式檢驗 法.
3. 最⾼高公因式與最低公倍式: 利⽤用輾轉相除法求最⾼高公因 式.
4. 多項函數: 包含⼀一次, ⼆二次函數圖形.
5. 多項⽅方程式: 含代數基本定理, 勘根定理與實係數多項
⽅方程式虛根成對定理.
6. 多項不等式: 利⽤用因式分解來解不等式並與圖形相配 合.
1.5 指數與對數
1. 指數.
2. 指數函數及其圖形.
3. 對數.
4. 對數函數及其圖形: 說明反函數的意義及其圖形.
5. 查表, 內插法: 可⽤用電算器求出指數函數與對數函數的 值.
1.6 三⾓角函數的基本概念
1. 銳⾓角三⾓角函數.
2. 三⾓角函數的基本關係: 倒數關係, 平⽅方關係, 商數關係, 餘⾓角關係.
3. 簡易測量與三⾓角函數值表: 可⽤用電算器按出三⾓角函數 值.
4. 廣義⾓角的三⾓角函數.
5. 正弦定理與餘弦定理.
6. 基本三⾓角測量.
1.7 三⾓角函數的性質與應⽤用
1. 三⾓角函數的圖形: 含弧度.
2. 和⾓角公式.
3. 倍⾓角, 半⾓角公式.
4. 和, 差與積的互化.
5. 正餘弦函數之疊合.
6. 反三⾓角函數的基本概念.
7. 複數的極式.
2.1 向量
1. 有向線段與向量: 含向量的加法, 減法, 係數積與內積等 運算.
2. 向量的基本應⽤用: 如三⾓角形兩邊中點連線定理, 平⾏行四 邊形定理, 向量在平⾯面幾何證題上的應⽤用.
3. 平⾯面向量的坐標表⽰示法: 含加法, 減法, 係數積等運算以 及分點坐標, 直線的參數式.
4. 平⾯面向量的內積: 含柯⻄西不等式, 正射影, 兩直線的夾
⾓角, 點到直線的距離.
2.2 空間中的直線與平⾯面
1. 空間概念: 空間中直線與直線或直線與平⾯面, 平⾯面與平
⾯面的位置關係.
2. 空間坐標系.
3. 空間向量的坐標表⽰示法: 含加法, 減法, 係數積, 內積等 運算.
4. 平⾯面⽅方程式: 含法向量, 平⾯面的夾⾓角, 點到平⾯面的距離.
5. 空間直線⽅方程式: 含直線的參數式, 點到直線的距離、
平⾏行線的距離, 不相交直線的公垂線⻑⾧長.
2.3 ⼀一次⽅方程組與 矩陣的列運算
1. ⼀一次⽅方程組的解法與矩陣的列運算: 含⾼高斯消去法.
2. ⾏行列式: 限⼆二階與三階, 含⾏行列式的基本性質及⽤用⾏行列 表⽰示⾯面積與體積.
3. 克拉瑪公式: 限⼆二元, 三元.
2.4 圓與球⾯面
1. 圓的⽅方程式.
2. 圓與直線的關係.
3. 球⾯面⽅方程式.
4. 球⾯面與平⾯面的關係.
2.5 圓錐曲線
1.拋物線:⽅方程式只介紹標準型式。
2.橢圓:⽅方程式只介紹標準型式。
3.雙曲線:⽅方程式只介紹標準型式。
4.圓錐曲線與直線的關係:含光學性質。
附記: 在國中我們已⼤大量減少了古典平⾯面幾何以及證明的 訓練. 在⾼高中我們也就無法去⾒見證古代⼈人如何發現圓錐 曲線. 也沒有如阿波羅圓之類的好題材.
2.6 排列、組合
1. 集合元素的計數: 含排容原理.
2. 乘法原理, 加法原理.
3. 排列.
4. 組合.
5. ⼆二項式定理: 以組合導出, 並可視為數學歸納法的⼀一個 應⽤用.
2.7 機率與統計(Ⅰ)
1. 樣本空間與事件.
2. 機率的性質.
3. 數學期望值.
4. 統計抽樣: 意義與功⽤用，介紹簡單隨機抽樣⽅方法，並說 明收集資料應注意事項.
5. 次數分配表與累積次數分配曲線: 含離散及連續數據次 數分配圖表編製⽅方法, 配合圖表解釋常態分配的意義與 性質.
6. 平均數: 含算術平均數, 中位數, 眾數, 幾何平均數及適
⽤用時機.
7. 離差: 含全距, 四分位差及標準差的意義及解釋.
3.1 機率與統計（Ⅱ ）
1. 條件機率與⾙貝⽒氏定理.
2. 獨⽴立事件.
3. 變異係數: 重視意義及解釋。
4. 相關係數: 含散佈圖, 係數計算與解釋, 數據集中直線趨 勢以最⼩小平⽅方法之決定係數表⽰示, 不必出現⾼高, 中, 低相 關的內容。
3.2 平⾯面上的坐標變換
1. 平移.
2. 旋轉.
3. ⼆二元⼆二次⽅方程式的圖形.
3.3 矩陣
1. 矩陣的加法與數積: 強調矩陣的意義, 多⽤用實例說明.
2. 矩陣的乘法及其意義: 含乘法的代數性質，轉移矩陣
（transition matrix）多⽤用實例說明含反⽅方陣.
3. ⼆二階⽅方陣所對應的平⾯面變換: 旋轉、鏡射、伸縮、推移
（shear）.
3.4 不等式
1. 絕對不等式（證明不等式）: 柯⻄西不等式, 算幾不等式, 應⽤用實例.
2. 條件不等式（解不等式）: 利⽤用代數⽅方法, 幾何⽅方法
（圖形）, 以及絕對不等式求極⼤大, 極⼩小.
3. 線性規劃: 只限⼆二元.
3.5 極限的概念
1. 數列的極限: 以數線上的變動, 直觀說明即可。
2. 函數的極限: 多舉多項函數, 有理函數為例, 以圖形說明 左, 右極限.
3. 連續函數: 僅以圖形說明概念, 含多項⽅方程式的勘根定 理.
3.6 極限的應⽤用
1. 導數的基本概念.
2. 多項函數的導數: 介紹 f’(x) 這個符號, 但不介紹dy/dx.
3. 函數的遞增與遞減: 以⼀一階導數判別.
4. 極值問題.
5. 曲線下的⾯面積: ⽤用極限來求, 當作極限的應⽤用, 以⼀一次函 數, ⼆二次函數為例, 不出現積分符號.
教學⽅方法
1. 教學時應以教導學⽣生整體觀念與⽅方法為導向, 避免強調 零碎知識的背誦或記憶。
2. 教學活動除了以演講式講解外, 應視各單元之需要, 以 討論, 問答, 操作等交互運⽤用, 以啟發學⽣生的思考與創造 能⼒力。
3. 教師應隨時注意培養學⽣生的邏輯思考能⼒力, 加強推理⽅方
⾯面的訓練.
4. 教學過程中宜透過引導與啟發, 使學⽣生形成解決問題所 需的數學觀念, 過程, 技能和科學態度. 教師應避免過早 提出解題⽅方法與結論, 且不宜作機械式的解題訓練.
5. 教學時應依據學⽣生個別差異, 設計教學活動, ⿎鼓勵學⽣生 主動參與. 培養完整的學習成就感, 並啟發其學習與研 究數學的興趣.
6. 教師應儘量提供適合學⽣生程度的有趣數學問題, 以提⾼高 學⽣生的學習興趣.
7. 教師應使⽤用各種⽅方法使每個學⽣生都樂於上數學課, 並使 學⽣生對⾃自⼰己的能⼒力有信⼼心.
8. 教師上課時不宜補充超越學⽣生程度之難題或過多之題
⺫⽬目.
教具及有關教學設備
1. 為增進學習效果, 各校應充實各種數學教具模型, 電腦, 影帶等教學設備, 並⿎鼓勵⽼老師與學⽣生使⽤用.
2. 各校宜設置數學資源教室, 提供⽼老師教學與研究之資料.。
3. 配合各單元之需要, 教學時應選⽤用或⾃自製各種教學媒體 或操作性教具.
教學評量
1. 評量⽅方式除紙筆測驗外, 應配合單元⺫⽬目標採⽤用討論觀察、
⼝口頭回答, 實際操作, 專題研究等⽅方式.
2. 在教學過程中隨時採⽤用各種評量⽅方式評量學⽣生的學習 狀況, 以便調整教學策略, 提⾼高教學效果.
3. 定期評量或平時測驗命題時, 宜針對教學⺫⽬目標與教材內 容, 考慮試卷的信度與效度. 試題內容與難度應顧及所 有應考學⽣生的程度.
4. 除了選擇題與填充題外, 宜多利⽤用計算, 證明, 作圖, 應
⽤用等題型, 以評量學⽣生學習情況, 並培養學⽣生的表達能
⼒力.
Part II: 數學競試
⾼高中數學競試的變⾰革 奧林匹克數學競試
數學競試與基礎⼈人才之培育 數學競試與數學研究的關係
High School Algebra?
Part III: 科學展覽
⾼高中科學展覽的意義
我們期待看到怎樣的作品?
評審的標準與公平性
⼀一個 1985 實例探討
「 ⼀一流⾼高中 」 數學教師的挑戰
Part IV: 科學競賽
研究數學的⽅方法 創意與學習
旺宏科學獎
(2002 雄⼥女,魏可欣)-海⻁虎不等式
(2003 彰中,⿈黃皓倫)-挑剔數列
(2002 魏可欣)-海⻁虎不等式
• 猜想 23 (海⾺馬猜想): 三⾓角錐之四個⾯面的⾯面積能否決定 其體積?
• 猜想 24 (海⻁虎公式): 三⾓角錐的體積能否可以明確地⽤用 其六邊⻑⾧長來表⽰示?
• 猜想 25 (海⻁虎不等式): 除了三⾓角不等式之外, 是否尚有 其他條件使得任意給定之六個正數恰可作為⼀一三⾓角錐 的六邊⻑⾧長? (充分必要.)
(2003 ⿈黃皓倫)-挑剔數列
在⼀一個偶然的機會下，接觸到⼀一種特別的數列，這種數 列是由 1~7 等數字組成，其中每個數字都重複使⽤用兩 次，在總共 14 格的格⼦子裡排列，⽽而且要符合 1 與 1 之間有 1 個數、2 與 2 之間有 2 個數字、、、6 與 6 之間有 6 個數字、7 與 7 之間有 7 個數字。
例：2 3 7 2 6 3 5 1 4 1 7 6 5 4
依據此種排列規則也找出 1~3 組成的數列 312132、1~4 組成得數列 41312432，將此數列改成由 1~n 所組成 的 2n 位數列，並討論此 2n 位數列的各種特性，並將 有此特別規則的數列命為”挑剔數列”。
⺫⽬目的-(主要結果)
• 證明 n = 4k + 1 和 4k + 2 (k 為⾮非負整數) 時不存在挑 剔數列。
• 找出⼀一種排法能排出 2n 位的挑剔數列。
• 証明此排法並反推 n = 4k 和 4k + 3 時⼀一定有挑剔數列 存在。
n=4k+1,4k+2 挑剔數列不存在
• 『序數』之定義：此挑剔數列從左邊開始數來,第⼀一位 之序數 = 1,第⼆二位之序數 = 2,依序遞增.
• 證明：⼀一個需填⼊入 1~n 各兩次的挑剔數列，其序數和 為 1 + 2 + 3 + 4 + … + 2n = n(2n + 1).
• 當 r ＝ １時,兩個１分別對應序數Ａ1,Ａ1 + (１+１)當 r
＝ ２時,兩個２分別對應序數Ａ２,Ａ２+ (２+１) 當 r ＝ ｎ時,兩個ｎ分別對應序數Ａn ,Ａn + (n+１)
• n(2n + 1) = 2 (Ａ１+ … + Ａn) + n(n + 1)/2 + n
• n(3n - 1) = 4 (Ａ1 + … + Ａn).
挑剔數列之化簡
1. 先把挑剔數列中最⼤大的數字 n 寫下，再依造數字的⼤大
⼩小順序由第⼀一個 n 的右邊開始空⼀一格依序填⼊入直到第 2 個 n 之左⽅方。
例： 7_6_5_4_7 (n = 7)
2. 把步驟⼀一所填⼊入的數字往其右⽅方填⼊入第⼆二次，同時在 第⼀一個 n 之左⽅方補上此挑剔數列應有但尚未畫上之空 格。
例： _ _ 7_6_5_4_7 6 5 4 (n = 7)
3. 把剩餘數字的偶數由左到右遞增填⼊入偶數格中，這些 偶數的第 2 次皆填⼊入原先填⼊入之偶數的右⽅方。
偶數格的定義為與第 1 個 n 之序數差為偶數的格⼦子。
奇數格的定義為與第 1 個 n 之序數差為奇數的格⼦子。
例： 2 _ 4 2 11_10 4 9_8_7_6 _ 11 10 9 8 7 6 (n = 11)
4. 把剩餘的數字與空格⼀一起作化簡，把剩餘的奇數皆減
⼀一再除以⼆二，空格與空格間的距離也減⼀一再除以⼆二，
使之變為⼀一「新的挑剔數列」 。
例：原 n = 11 的挑剔數列化簡為_ X _ X _ _ _ _ X 表⽰示此格在「原挑剔數列」中已被填⼊入過數字。
新挑剔數列之排法
新挑剔數列之定義：由 0 ⾄至 n – 1 之挑剔數列:
新挑剔數列之形式為 _ X _ _ _
其中 X 之數量為右⽅方連續空格之數量減⼆二.
num(X) = 4a + 1 時的排法
• 先把偶數由右往左遞增填⼊入偶數格中，填⼊入這偶數的 第 2 次時，最⼤大偶數的第 2 次往原來的右⽅方填，其餘 的往左⽅方填⼊入。
例： _ X _ X _ X _ X _ X 2 4 _ 2 0 0 4
• 剩餘的數字與空格⼀一起作化簡，剩餘的奇數皆減⼀一再 除以⼆二，空格與空格間的距離也減⼀一再除以⼆二，使此 挑剔數列再做變化。
例：原 num(X) = 5 變為_ _ _ _ _ X _
• 再把偶數由左往右遞增填⼊入偶數格，這些偶數的第 2 次填⼊入中最⼤大的偶數第 2 次往原來的左⽅方填，其餘的 往右⽅方填⼊入. 再化簡⼀一次，則此數列就會變回新挑剔數 列，形成⼀一循環過程，每次循環後原 num(X) = 4a + 1 之 a 值減少2 (a≧0)。
