1.1 函數關係

1 函數(functions)與

模型(models)

1.1 ^函數關係

函數關係

函數用以表示特定量與量之間的相應關係。以下我們列舉數 例解釋。

Ａ、

以 A 表示一半徑為 r 之圓的面積，則 A 與 r 之關係便可以

A =  r

的方程式表達。我們可以發現給定任意的正數 r ，就有一 個相應的面積 A ，此時我們稱 A 為 r 的函數。

函數關係

Ｂ、

世界人口數目 P 隨著時間 t 變化，下表給定了特定幾年的 估計值。例如， 1950 年代的估計值為

P(1950) 

事實上給定一個時間 t ，都會有一個 數字 P(t) 代表 t 時的人口數目，此時 我們稱 P(t) 為 t 的函數。

函數關係

Ｃ、

信件的寄送郵資與其重量有關，其計算公式是由郵局所訂 定，我們可知道其相關性有一定的規則。此時我們可將郵 資視為寄送郵件重量的函數。

Ｄ、

地震時，地表於鉛直方向的加速度可由地震儀測量。我們 可於不同的時間，讀出各個測量值，此時我們可將此測量 值視為時間的函數。

函數關係

下圖一是測量 1994 年發生於洛杉磯的 Northridge 地震所得 到的圖形。任意給定一個時間 t ，從圖上可看出此時間所對 應到的加速度值。

Northridge地震發生時所測量到的地表震動

函數關係

假設 D, E 皆為實數子集。

我們稱這樣的 D 為函數的定義域 (domain) 。 x 所對應到的 數字 f(x) ，我們念作 “ f of x ” ，表示 f 在 x 的函數值。

我們在定義域 D 中選擇各種不同的 x ，此時，所有被對應到 的數 f(x) 所構成的集合，我們稱為值域 (range) 。而我們所 選擇、跑遍定義域 的 x ，稱為獨立變數 (independent

variable) ，一般簡稱為變數。

[定義] 一個函數 (function) f 是指一種對應規則，對集合 D 中的任一元素 x ，指定一個集合 E 中的元素，記作 f(x) 。

函數關係

在 f 的值域中所被對應到的數字，我們也常用符號代表，並 稱這個數字為應變數 (dependent variable) 。

在前述的例Ａ裡，圓的半徑 r 為獨立變數，而面積 A 隨著 r 變動，為應變數。

我們通常可將函數理解為輸入、輸出的機器，如下圖：

函數 f 的輸出、入圖

函數關係

函數 f 之定義域中的 x 進入機器，作為輸入；根據函數關係 的規則，爾後機器會產出一個 f(x) 作為輸出。

此時我們可以想成：函數的定義域便是所有可能的輸入值，

而值域便是所有可能的輸出值。

函數關係

將前面的機器黑箱打開，我們有另一種描述函數對應關係的 箭圖 (arrow diagram) ，如下圖三：

每個箭頭連結了一個 D 中的元素到 E 的元素，箭頭方向表 示 f(x), f(a) 分別是與 x, a 相關的函數值。

函數 f 的箭圖

圖三

函數關係

除了直接表明對應的箭圖 (arrow diagram) 之外，我們通常

也使用座標圖來刻劃一個函數。假設 f 為定義在 D 上的函數，

則 f 的圖 (graph) 我們定義為這樣的集合 {(x, f(x)) | x 

D}

在 xy 座標平面上， f 的函數圖形即由點對 (x,y) 所構成，

其中 x 點跑遍定義域 D ，點對 (x,y) 滿足 y = f(x) 的函數關 係。

使用座標圖的好處便是座標圖可以完整的刻劃一個函數在定 義域上的整體行為。

函數關係

我們實際來看函數圖形的例子。從下圖四中，我們可以看出 來，圖形上一個點 (x, f(x)) 表示的意義即為，點 x 所對應到 的函數值 f(x) ，就是對應到 y 軸方向的高度。

圖四

函數圖形

觀察函數圖形的範圍可以看出函數的定義域以及值域，如下 圖五。

範例一

給定一個函數 f 如下圖六，試問：

(a) 找出 f(1) 及 f(5) 之值。

(b) f 的定義域及值域為何？

圖六

範例一 / 解

(a) 從圖中看得出來 (1,3) 落在圖形上，因此 f(1) = 3 。

當 x=5 時，圖形穿過 x=5 格線於 x 軸下方靠近 (5,-1) 之 處，約略估計其值為 y = -0.7 ，因此 f(5) ≈ -0.7 。

(b) 我們可以看出來 f 的圖形畫在 0 

x 

[0,7] = { x | 0 

x 

因此 f 的定義於即為閉區間 [0,7] 。另外觀察到 f 對應到 的高度分佈在 -2 到 4 之間，因此其值域為 [-2,4] 。

[-2,4] = {y | –2 

y 

函數表示法

函數表示法

我們在前一節用了定義、箭圖指定、座標圖形等等方式來解 釋函數，那到底我們還有什麼方式來決定一個函數呢？

函數的表示不外乎以下這四種：









範例四

現在有一個水龍頭，當我們將開關調整至熱水時，流出的水 溫度便會漸漸上升。假設我們不開熱水器，試粗略畫出水流 出之溫度 T 與時間 t 的函數圖形。

解:

原始的水溫與室溫接近，當我們轉開熱水後，溫度會開始上 升，最後升至接近原本熱水槽的熱水溫度。爾後，當熱水槽 的水流光以後，水溫又漸漸降至原先接近室溫的溫度。

範例四 / 解

由上述分析，我們對水溫有一個粗略的刻劃如下圖十一：

圖十一

cont’d

函數表示法

上例中我們可以觀察到，函數的圖形通常是 xy 平面上的一 條曲線。那麼，反過來，任意 xy 平面上的曲線會是一個函 數的圖形嗎？

我們可以這樣檢驗：

鉛直線檢驗法：xy 平面上的曲線是一個函數圖形，若且唯 若，任意平面上的鉛直線跟該曲線最多相交一點。

函數表示法

若任一鉛直線 x = a 與曲線只相交一點 (a, b) ，如下圖左，

則表示函數在 a 的值即為 b ， b = f(a) 。

若 x = a 與曲線相交超過一點，如下圖右，交於兩點 (a, b) 與 (a, c) 兩點，則違反函數之定義，因為我們無法指定 a 對 應超過一個值。

函數表示法

再舉一例，下圖十四 (a) 為橫拋物線，其圖形上各點滿足 x

= y² – 2 。此圖形也並非 x 的函數圖形，顯然有鉛直線通過 圖形超過一點。

不過即使如此，這個橫拋物線可以看成兩個函數圖形的組成。

x = y² – 2

圖十四 (a)

函數表示法

我們可以將方程式移項： x = y² – 2 得到 y² = x + 2 ，開平 方跟後得到

因此這個橫拋物線便可以分成兩個函數圖形，其分別為：

函數表示法

在這個例子中，另一個觀察是，若我們將 x, y 角色互換，從 方程式 x = h(y) = y² – 2 看出， x 可以是 y 的函數，此時 y 為變數， x 為應變數。

而前面的橫拋物線，便是 x = h(y) = y² – 2 這個函數的圖形。

分段定義函數

範例七

給定函數定義如下：

1 – x if x  –1

x

計算 f(–2), f(–1) 以及 f(0) 之值，並刻劃其圖形。

解:

注意到這個函數隨著範圍不同，其定義的公式不同。

若 x 小於或等於 -1 ，則其計算公式為 1 – x ；若 x 大於 -1 則其計算式為 x² 。

f(x) =

範例七 / 解

因此，由於 -2  -1 ，由定義 f(-2) = 1 – (-2) = 3 。 而 –1  –1 ，我們有 f(–1) = 1 – (–1) = 2 。

而 0 > –1 ，我們有 f(0) = 0² = 0.

那麼，怎麼刻劃函數的圖形呢？注意到這是分段定義，於是 我們可以先劃出 f(x) = 1 – x ，擷取定義域在 x  –1 的部分。

y = 1 – x 即斜率為 -1 與 y 軸相交於 (0,1) 的直線。

cont’d

範例七 / 解

當 x > -1 ，函數的定義為 f(x) = x² ，因此在 x = -1 的右半部 分圖形即為拋物線，最後我們得到下圖十五。

注意到圖中實心的點 (-1,2) 表示此點是包含在函數圖形中的 一部分，而空心的點 (-1,1) 則此點不在函數圖形中。

cont’d

圖十五

分段定義函數

常見的分段定義函數還有絕對值。回憶，一個數 a 的絕對值

（記作 |a| ）定義為此數在數線上距離原點 0 的距離。

由於是距離，因此對任意數 a ，均有

|a |  0 舉實際的數字說明，

| 3 | = 3 |–3| = 3 |0| = 0 | –1| = – 1

| 3 –





分段定義

我們可以透過分段定義來實際寫下計算絕對值的公式：

注意到當 a < 0 ，則 –a 為正數。

範例八

刻劃絕對值函數 f(x) = |x| 的圖形。

解:

從前面的討論，我們可以寫下如下的定義

x

|x| =

– x

範例八 / 解

如同前面的範例，我們描繪此分段定義函數時，可分別先畫 出 y = x 然後擷取右半邊 x ≥ 0 的部分，接著畫出 y = -x 的 圖形，擷取 x < 0 的部分。最後得到下圖十六。

圖十六

cont’d

範例十

在第一節中的範例Ｃ，我們考慮了郵資 C 與郵寄重量 w 的 函數關係。

通常郵資的制訂幾乎是分段定義的，例如

0.88 if 0 < w  1 1.05 if 1 < w  2

C(w) =

範例十

接著我們得到這樣的圖形。

可以觀察到這樣的函數形成階梯的圖形。我們稱這類的函數 為階梯函數 (step functions) ，這類函數的特色便是在某些 分段點會跳躍至其它函數值。

圖十八

cont’d

函數的對稱性

函數的對稱性

若一個函數滿足對定義域中的 x 均有 f(-x) = f(x) ，則稱此函 數為偶函數 (even function) 。舉例說明， f(x) = x² 便是一 偶函數，因為

f(–x) = (–x)

幾何意義上，一個偶函數的圖形會 對 y 軸對稱，如右圖。

因此若給定一偶函數，我們只要畫出 函數在 y 軸右半邊的圖形，在對 y 軸

作反射之後便可以得到完全的圖形了 ^{一個偶函數}_圖十九

函數的對稱性

另外，若函數滿足對定義域中的 x 均有 f(-x) = -f(x) ，則稱這 樣的 f 為奇函數 (odd function) 。

舉例說明，例如 f(x) = x³ 為一奇函數，由於

f(–x) = (–x)

類似的，奇函數的圖形在幾何上的意義即為對原點對稱，如 下圖：

函數的對稱性

同樣的，若給定一奇函數，由對稱性我們也可以先畫出圖形 在 y 軸右半邊的部分，接著對原點做 180 的旋轉，便可以 得到完整的圖形。

範例十一

試判斷下列函數何者為奇函數、偶函數或者兩者皆非。

(a) f(x) = x⁵ + x (b) g(x) = 1 – x⁴ (c) h(x) = 2x – x² 解:

(a) f(–x) = (–x)⁵ + (–x) = (–1)⁵

x

= –x⁵ – x = –(x⁵ + x)

= –f(x)

依照定義 f 為奇函數。

範例十一 / 解

(b) g(–x) = 1 – (–x)⁴ = 1 – x⁴ = g(x) 因此 g 為偶函數。

(c) h(–x) = 2(–x) – (–x)² = –2x – x²

h(–x)  h(x) 且 h(–x) 

cont’d

函數的對稱性

前述範例十一的三個函數圖形如下圖，由圖形看， h 的確 並非對 y 軸對稱或對原點對稱。

(b) (c)

(a)

遞增與遞減函數

遞增與遞減函數

給定一函數圖形如下圖二十二，我們可以看出圖形的曲線在 A 到 B 的部分上升；自 B 到 C 下降；從 C 到 D 為上升。對 於圖形上升的部分，我們稱函數 f 在 [a, b] 區間為遞增

(increasing) ，而圖形下降的部分，我們稱 f 在 [c, d] 區間為 遞減。

遞增與遞減函數

我們可以注意到函數遞增便是在遞增區間 [a, b] 上任意取兩 點 x₁ < x₂ 便有 f(x₁) < f(x₂) 。

我們用這樣的性質來實際地定義遞增與遞減：

[定義]

我們稱一個函數 f 在區間 I 上遞增，表示對 I 上任意的

x

相對地，函數 f 在區間 I 上遞減，表示對 I 上任意的

x

函數的遞增與遞減

注意到在遞增函數的定義中，不等式 f(x₁) < f(x₂) 成立是對 於任意 I 中的數 x₁ < x₂ 。

右圖是 f(x) = x² 我們可以看到圖形 在 (-∞,0] 上為遞減，而在 [0, ∞) 上 為遞增。