1 函數(functions)與
模型(models)
1.1 函數關係
函數關係
函數用以表示特定量與量之間的相應關係。以下我們列舉數 例解釋。
A、
以 A 表示一半徑為 r 之圓的面積,則 A 與 r 之關係便可以
A = r
2的方程式表達。我們可以發現給定任意的正數 r ,就有一 個相應的面積 A ,此時我們稱 A 為 r 的函數。
函數關係
B、
世界人口數目 P 隨著時間 t 變化,下表給定了特定幾年的 估計值。例如, 1950 年代的估計值為
P(1950)
2,560,000,000事實上給定一個時間 t ,都會有一個 數字 P(t) 代表 t 時的人口數目,此時 我們稱 P(t) 為 t 的函數。
函數關係
C、
信件的寄送郵資與其重量有關,其計算公式是由郵局所訂 定,我們可知道其相關性有一定的規則。此時我們可將郵 資視為寄送郵件重量的函數。
D、
地震時,地表於鉛直方向的加速度可由地震儀測量。我們 可於不同的時間,讀出各個測量值,此時我們可將此測量 值視為時間的函數。
函數關係
下圖一是測量 1994 年發生於洛杉磯的 Northridge 地震所得 到的圖形。任意給定一個時間 t ,從圖上可看出此時間所對 應到的加速度值。
Northridge地震發生時所測量到的地表震動
函數關係
假設 D, E 皆為實數子集。
我們稱這樣的 D 為函數的定義域 (domain) 。 x 所對應到的 數字 f(x) ,我們念作 “ f of x ” ,表示 f 在 x 的函數值。
我們在定義域 D 中選擇各種不同的 x ,此時,所有被對應到 的數 f(x) 所構成的集合,我們稱為值域 (range) 。而我們所 選擇、跑遍定義域 的 x ,稱為獨立變數 (independent
variable) ,一般簡稱為變數。
[定義] 一個函數 (function) f 是指一種對應規則,對集合 D 中的任一元素 x ,指定一個集合 E 中的元素,記作 f(x) 。
函數關係
在 f 的值域中所被對應到的數字,我們也常用符號代表,並 稱這個數字為應變數 (dependent variable) 。
在前述的例A裡,圓的半徑 r 為獨立變數,而面積 A 隨著 r 變動,為應變數。
我們通常可將函數理解為輸入、輸出的機器,如下圖:
函數 f 的輸出、入圖
函數關係
函數 f 之定義域中的 x 進入機器,作為輸入;根據函數關係 的規則,爾後機器會產出一個 f(x) 作為輸出。
此時我們可以想成:函數的定義域便是所有可能的輸入值,
而值域便是所有可能的輸出值。
函數關係
將前面的機器黑箱打開,我們有另一種描述函數對應關係的 箭圖 (arrow diagram) ,如下圖三:
每個箭頭連結了一個 D 中的元素到 E 的元素,箭頭方向表 示 f(x), f(a) 分別是與 x, a 相關的函數值。
函數 f 的箭圖
圖三
函數關係
除了直接表明對應的箭圖 (arrow diagram) 之外,我們通常
也使用座標圖來刻劃一個函數。假設 f 為定義在 D 上的函數,
則 f 的圖 (graph) 我們定義為這樣的集合 {(x, f(x)) | x
D}
在 xy 座標平面上, f 的函數圖形即由點對 (x,y) 所構成,
其中 x 點跑遍定義域 D ,點對 (x,y) 滿足 y = f(x) 的函數關 係。
使用座標圖的好處便是座標圖可以完整的刻劃一個函數在定 義域上的整體行為。
函數關係
我們實際來看函數圖形的例子。從下圖四中,我們可以看出 來,圖形上一個點 (x, f(x)) 表示的意義即為,點 x 所對應到 的函數值 f(x) ,就是對應到 y 軸方向的高度。
圖四
函數圖形
觀察函數圖形的範圍可以看出函數的定義域以及值域,如下 圖五。
範例一
給定一個函數 f 如下圖六,試問:
(a) 找出 f(1) 及 f(5) 之值。
(b) f 的定義域及值域為何?
圖六
範例一 / 解
(a) 從圖中看得出來 (1,3) 落在圖形上,因此 f(1) = 3 。
當 x=5 時,圖形穿過 x=5 格線於 x 軸下方靠近 (5,-1) 之 處,約略估計其值為 y = -0.7 ,因此 f(5) ≈ -0.7 。
(b) 我們可以看出來 f 的圖形畫在 0
x
7 的部分,這樣的 線段集合我們通常以閉區間表示[0,7] = { x | 0
x
7 }.因此 f 的定義於即為閉區間 [0,7] 。另外觀察到 f 對應到 的高度分佈在 -2 到 4 之間,因此其值域為 [-2,4] 。
[-2,4] = {y | –2
y
4}函數表示法
函數表示法
我們在前一節用了定義、箭圖指定、座標圖形等等方式來解 釋函數,那到底我們還有什麼方式來決定一個函數呢?
函數的表示不外乎以下這四種:
描述法:直接描述變數與應變數之間的關係。
列表法:給定表格列出變數以及其對應到的函數值。
圖形法:刻劃函數圖形。
運算法:給出 x 與函數值 f(x) 之間對應的公式。範例四
現在有一個水龍頭,當我們將開關調整至熱水時,流出的水 溫度便會漸漸上升。假設我們不開熱水器,試粗略畫出水流 出之溫度 T 與時間 t 的函數圖形。
解:
原始的水溫與室溫接近,當我們轉開熱水後,溫度會開始上 升,最後升至接近原本熱水槽的熱水溫度。爾後,當熱水槽 的水流光以後,水溫又漸漸降至原先接近室溫的溫度。
範例四 / 解
由上述分析,我們對水溫有一個粗略的刻劃如下圖十一:
圖十一
cont’d
函數表示法
上例中我們可以觀察到,函數的圖形通常是 xy 平面上的一 條曲線。那麼,反過來,任意 xy 平面上的曲線會是一個函 數的圖形嗎?
我們可以這樣檢驗:
鉛直線檢驗法:xy 平面上的曲線是一個函數圖形,若且唯 若,任意平面上的鉛直線跟該曲線最多相交一點。
函數表示法
若任一鉛直線 x = a 與曲線只相交一點 (a, b) ,如下圖左,
則表示函數在 a 的值即為 b , b = f(a) 。
若 x = a 與曲線相交超過一點,如下圖右,交於兩點 (a, b) 與 (a, c) 兩點,則違反函數之定義,因為我們無法指定 a 對 應超過一個值。
函數表示法
再舉一例,下圖十四 (a) 為橫拋物線,其圖形上各點滿足 x
= y2 – 2 。此圖形也並非 x 的函數圖形,顯然有鉛直線通過 圖形超過一點。
不過即使如此,這個橫拋物線可以看成兩個函數圖形的組成。
x = y2 – 2
圖十四 (a)
函數表示法
我們可以將方程式移項: x = y2 – 2 得到 y2 = x + 2 ,開平 方跟後得到
因此這個橫拋物線便可以分成兩個函數圖形,其分別為:
函數表示法
在這個例子中,另一個觀察是,若我們將 x, y 角色互換,從 方程式 x = h(y) = y2 – 2 看出, x 可以是 y 的函數,此時 y 為變數, x 為應變數。
而前面的橫拋物線,便是 x = h(y) = y2 – 2 這個函數的圖形。
分段定義函數
範例七
給定函數定義如下:
1 – x if x –1
x
2 if x > –1計算 f(–2), f(–1) 以及 f(0) 之值,並刻劃其圖形。
解:
注意到這個函數隨著範圍不同,其定義的公式不同。
若 x 小於或等於 -1 ,則其計算公式為 1 – x ;若 x 大於 -1 則其計算式為 x2 。
f(x) =
範例七 / 解
因此,由於 -2 -1 ,由定義 f(-2) = 1 – (-2) = 3 。 而 –1 –1 ,我們有 f(–1) = 1 – (–1) = 2 。
而 0 > –1 ,我們有 f(0) = 02 = 0.
那麼,怎麼刻劃函數的圖形呢?注意到這是分段定義,於是 我們可以先劃出 f(x) = 1 – x ,擷取定義域在 x –1 的部分。
y = 1 – x 即斜率為 -1 與 y 軸相交於 (0,1) 的直線。
cont’d
範例七 / 解
當 x > -1 ,函數的定義為 f(x) = x2 ,因此在 x = -1 的右半部 分圖形即為拋物線,最後我們得到下圖十五。
注意到圖中實心的點 (-1,2) 表示此點是包含在函數圖形中的 一部分,而空心的點 (-1,1) 則此點不在函數圖形中。
cont’d
圖十五
分段定義函數
常見的分段定義函數還有絕對值。回憶,一個數 a 的絕對值
(記作 |a| )定義為此數在數線上距離原點 0 的距離。
由於是距離,因此對任意數 a ,均有
|a | 0 舉實際的數字說明,
| 3 | = 3 |–3| = 3 |0| = 0 | –1| = – 1
| 3 –
| =
– 3分段定義
我們可以透過分段定義來實際寫下計算絕對值的公式:
注意到當 a < 0 ,則 –a 為正數。
範例八
刻劃絕對值函數 f(x) = |x| 的圖形。
解:
從前面的討論,我們可以寫下如下的定義
x
if x 0|x| =
– x
if x < 0範例八 / 解
如同前面的範例,我們描繪此分段定義函數時,可分別先畫 出 y = x 然後擷取右半邊 x ≥ 0 的部分,接著畫出 y = -x 的 圖形,擷取 x < 0 的部分。最後得到下圖十六。
圖十六
cont’d
範例十
在第一節中的範例C,我們考慮了郵資 C 與郵寄重量 w 的 函數關係。
通常郵資的制訂幾乎是分段定義的,例如
0.88 if 0 < w 1 1.05 if 1 < w 2
C(w) =
1.22 if 2 < w 3 1.39 if 3 < w 4範例十
接著我們得到這樣的圖形。
可以觀察到這樣的函數形成階梯的圖形。我們稱這類的函數 為階梯函數 (step functions) ,這類函數的特色便是在某些 分段點會跳躍至其它函數值。
圖十八
cont’d
函數的對稱性
函數的對稱性
若一個函數滿足對定義域中的 x 均有 f(-x) = f(x) ,則稱此函 數為偶函數 (even function) 。舉例說明, f(x) = x2 便是一 偶函數,因為
f(–x) = (–x)
2 = x2 = f(x).幾何意義上,一個偶函數的圖形會 對 y 軸對稱,如右圖。
因此若給定一偶函數,我們只要畫出 函數在 y 軸右半邊的圖形,在對 y 軸
作反射之後便可以得到完全的圖形了 一個偶函數圖十九
函數的對稱性
另外,若函數滿足對定義域中的 x 均有 f(-x) = -f(x) ,則稱這 樣的 f 為奇函數 (odd function) 。
舉例說明,例如 f(x) = x3 為一奇函數,由於
f(–x) = (–x)
3 = –x3 = –f(x).類似的,奇函數的圖形在幾何上的意義即為對原點對稱,如 下圖:
函數的對稱性
同樣的,若給定一奇函數,由對稱性我們也可以先畫出圖形 在 y 軸右半邊的部分,接著對原點做 180 的旋轉,便可以 得到完整的圖形。
範例十一
試判斷下列函數何者為奇函數、偶函數或者兩者皆非。
(a) f(x) = x5 + x (b) g(x) = 1 – x4 (c) h(x) = 2x – x2 解:
(a) f(–x) = (–x)5 + (–x) = (–1)5
x
5 + (–x)= –x5 – x = –(x5 + x)
= –f(x)
依照定義 f 為奇函數。
範例十一 / 解
(b) g(–x) = 1 – (–x)4 = 1 – x4 = g(x) 因此 g 為偶函數。
(c) h(–x) = 2(–x) – (–x)2 = –2x – x2
h(–x) h(x) 且 h(–x)
–h(x) , 因此 h 並非奇函數或偶函數。cont’d
函數的對稱性
前述範例十一的三個函數圖形如下圖,由圖形看, h 的確 並非對 y 軸對稱或對原點對稱。
(b) (c)
(a)
遞增與遞減函數
遞增與遞減函數
給定一函數圖形如下圖二十二,我們可以看出圖形的曲線在 A 到 B 的部分上升;自 B 到 C 下降;從 C 到 D 為上升。對 於圖形上升的部分,我們稱函數 f 在 [a, b] 區間為遞增
(increasing) ,而圖形下降的部分,我們稱 f 在 [c, d] 區間為 遞減。
遞增與遞減函數
我們可以注意到函數遞增便是在遞增區間 [a, b] 上任意取兩 點 x1 < x2 便有 f(x1) < f(x2) 。
我們用這樣的性質來實際地定義遞增與遞減:
[定義]
我們稱一個函數 f 在區間 I 上遞增,表示對 I 上任意的
x
1 < x2 ,有 f(x1) < f(x2) 。相對地,函數 f 在區間 I 上遞減,表示對 I 上任意的
x
1 < x2 ,有 f(x1) > f(x2) 。函數的遞增與遞減
注意到在遞增函數的定義中,不等式 f(x1) < f(x2) 成立是對 於任意 I 中的數 x1 < x2 。
右圖是 f(x) = x2 我們可以看到圖形 在 (-∞,0] 上為遞減,而在 [0, ∞) 上 為遞增。