第二章 電子躍遷與調制原理

第二章 電子躍遷與調制原理

2-1 電子躍遷理論

考慮單一電子在電磁場中，其動能為 ) 2

c A P e m ( 2

1 v v

+ (2.1) m 是電子質量，e 是電子電荷， P v

是電子動量，A v

是電磁場的向量位，

假設其為一平面波形式

) wt r k ( i 0 eˆ e A

A v = ⋅ ^{v ⋅ v −}

(2.2)

eˆ 為平面波偏極化方向， k r

為波向量， _ω 為電磁波頻率 則電子和電磁場交互作用的哈密爾頓(Hamiltonian)為

) r ( V ) c A P e m ( 2

H 1 v v ² v

+ +

=

) r ( V mc A

2 ) e P A A P mc ( 2

e m 2

P 2

2 2 2

v v v

v v v v

+ +

⋅ +

⋅ +

= (2.3)

採用庫倫規範(Coulomb gauge)，使得 ∇ ⋅ A v = 0

，則 )

A ( i )

A P

( ψ v ψ

v h

v ⋅ → − ∇ ⋅

] A

) A [(

i ∇ ⋅ ψ + ⋅ ∇ ψ

−

= v v

h

ψ ) A ( i ⋅ ∇

−

= v

h

ψ ) ( A v P v

⋅

→

所以(2.3)式中第二項可化為

) P A mc ( ) e P A A P mc ( 2

e v v v v v v

⋅

=

⋅ +

⋅ (2.4) 由於(2.3)式中第三項(即 A v ²

項)所造成的非線性影響很小，所以忽略 不計，則電子和電磁場交互作用的 Hamiltonian 可改寫為

rad

0 H

H

H = + (2.5) 其中

) r ( m V 2 H P

2 0

v v

+

= ， ( A P )

mc

H _rad e v v

⋅

=

H rad 是因電磁場所引起與時間有關的微擾項，此項將導致電子由價帶 (valence band)躍遷到導帶(conduction band)。亦即若我們對樣品中的 電子加諸電磁場微擾，將導致電子的躍遷。

根據 Fermi-Golden Rule

¹

，在單位時間內電子由初狀態 i 到末狀 態 f 的躍遷率為

P

ⁱ

_→

^f

2 f H i ( E E )

f i 2

rad δ ω

π h

h − ±

= (2.6)

E i 表初狀態的能量， E 表末狀態的能量，而 _f h 為光子的能量。當 ω h ω 前方為〝＋〞號時表示吸收一光子;〝－〞號表示放出一光子。

考慮電子在導帶及價帶的波向量分別為 k v _c 與 k v _v

，且電子在導帶及 價帶的波函數分別為

k

c

, c v

ψ 與

k

v

, v v

ψ ，則

v

c

v , k

k ,

rad c A P

mc i e

H

f ^v v v ^v

ψ

ψ ⋅

= (2.7) 將上面的(2.2)式與(2.7)式代入(2.6)式中，則由光子的電磁場所引發電 子自價帶到導帶間的單位時間躍遷率，可以表示為

P

^v

_→

^c

) e eˆ P ( E ( k ) E ( k ) ) mc

( eA 2

v c

2 k , v )

r k ( i k , c 0 2

v

c

ψ δ ω

π ψ v v v h

h

v v v

v ⋅ − −

= ^⋅ (2.8)

首先探討能量部分，可發現(2.8)式只有在 v v h ω

=

− E ( k ) )

k (

E _{c v} 時才不

會為零，即當入射光子的能量等於導帶空態 E _c ( k v )

和價帶佔據態 )

k ( E _v v

之間的能量差時，吸收躍遷率才不為零。所以δ-function 代表 能量守恆的要求。

接著討論動量部分，將(2.8)式動量表象以傅利葉轉換為位置表象，其 期望值平方向可改寫成

( ) _∫ ( ) ( ^{+ −} )

=

⋅

⁻

⋅

c k v

v r

k i k

c

e e P d r r k k k

v c

r r h r

v

v vv

v

ψ π ψ δ

ψ

_, ^{( )}

ˆ

_,

2

^{3 3 2}

(2.9) 上式只有當 K r

_c

K v K r

_v

+

= 時，期望值才不等於零，亦即電子躍遷過程中 滿足動量守恆，否則就不會有躍遷發生。而光子與電子在價帶的波向 量 k v

、 k v _v

的絕對值分別為

λ π k 2 k v = =

a k 2

k v _v = _v = π

(2.10) 對於一般能量的光子，因為波長λ約為 10 ⁴ Å，而晶格常數 a 約為 5Å，

所以 k << k v ，故

k _c ≈ k _v (2.11) 可以視為電子吸收光子而發生躍遷時，保持波向量不變，這種躍遷稱 之為垂直躍遷(vertical transition)。若定義 M _cv ( k v

( )

_c

v , k

_v

)為

) r k ( i k ,

cv k c e eˆ P

M

eˆ ^{v v}

v

v v

v = ψ ⋅ ψ

⋅ ^⋅

⁼ eˆ ^⋅ ∫ V d r c ^∗ ( k c , r )( ⁻ i ^∇ ) v ( k v v , r v ) v h

v ψ v ψ (2.12) 其中 V 代表晶胞體積(crystal volume)，則(2.8)式可以寫為

P

^v

_→

^c

) eˆ M ( k ) ( E ( k ) E ( k ) ) mc

( eA 2

v c

2 cv

0 2 δ ω

π v v v h

h ⋅ − −

= (2.13)

根據躍遷率 P

^v

_→

^c

，可以計算當入射光頻率為ω時，單位時間單位體積 內總躍遷率 W 為

∑ ^× ∫

=

v ,

c 3 d k

) 2 ( 2 V V ) 1 (

W v

ω π P

^v

_→

^c

∑

=

v ,

c 3

0 2

) 2 ( ) 2 mc ( eA 2

π π

h ∫ ^{d k v eˆ ⋅ M cv ( k v ) 2 δ ( E c ( k v ) − E v ( k v ) − h ω ) (2.14)}

2-2 光學函數與電子躍遷的關係

在介質中傳播的平面電磁波其電場和磁場可寫成

) ( 0

wt r k

e

i

E E r = r

^r⋅r−

) ( 0

wt r k

e

i

B B r = r

^r⋅r−

(2.15) 其中 k r

為平面波向量， _ω 為平面波頻率。馬克斯威爾的波動方程式

4 0

2 2

2

2

=

∂

− ∂

∂

− ∂

∇ t

E c t E E c

r

r πσ r µε

4 0

2 2

2

2

=

∂

− ∂

∂

− ∂

∇ t

B c t B B c

r

r πσ r µε (2.16) 其中 _ε 為介電係數（dielectric constant）， _σ 為電導率

（conductivity） ， _µ 為磁導率（permeability） ，。將(2.15)式帶入(2.16) 式可得

 

  +

= ωε

πσ µε

ω 4

2

1

2

2

i

k c (2.17) 由上式可知波向量的複數形式 k r k r

₁

i k r

₂

+

=

c k

1

= n ω

r

c k

2

= K ω

r (2.18)

其中 n _{= µε} 為物質的折射率，

ω πµσ

= 4

K 又稱為衰減係數（attenuation index） ，如果考慮 z 方向傳播的電磁波，可以寫成

) (

ˆ

0 ^{cz t} i n c z K

x

x E e e

E r =

^{− ω ω −}

(2.19) 表示電磁波在介質中以 c/n 的速度在行進，並且以指數的形式

（

^{c z}

K

e

− ω

）在衰減。 （2.18）式可將

c

ε 提出，則物質的折射率 N 可看成 複數形式

) ( )

( ω iK ω n

N = + (2.20) 對非磁性半導體而言， _µ （磁導率）＝1，因此複數反射率和介電係 數關係可以表達成

N = µε = ε

^1/2

(2.21)

因此半導體的介電函數ε可以表示成 ) ( i )

( _i

r ω ε ω

ε

ε = + (2.22) 其中 ε _r ( ω ) 和 ε _i ( ω ) 分別為介電函數的實部及虛部。由(2.20)及(2.18) 式的討論可以得到介電函數實部和虛部對應物質折射率和衰減常數 的關係

i

= 2 nK

ε (2.23) ε

_r

= n

²

− K

²

(2.24) 電磁波強度和電場振幅平方成正比

2 E

2

I = (2.25) 由於電場以指數的形式（

^{c z}

K

e

− ω

）在衰減。因此其強度應隨（

^{c z}

K

e

ω

−2

） 的形式衰減，定義 _α (absorption coefficient)為吸收係數

=

α c

Kω

2 =

nc ωε i

(2.26) 亦即

ω ε n α c

i = (2.27) 而在介質中電磁場的平均能量密度u 為

u = π ε 8

2

E v 0

= π ε 8

2

t A c 1

∂

− ∂ v

= 2 2 2 0 2

c 8

A n

π

ω (2.28)

根據吸收係數α(ω)的定義為在單位時間、單位體積樣品所吸收的能 量除以能量通量(energy flux)

( ) ^ω

α = ( )

uv W ω ω

h = ( )

uc W n h ω ω

(2.29) 將(2.14)式 W ( ) ω 代入上式得

( ) ^{ω =}

α ω

π

2 2 2

ncm e

16 ∑

v , c

) )

k ( E ) k ( E ( ) k ( M 4 eˆ

k d

v c

2

3 cv δ ω

π v v v v h

−

−

∫ ⋅ ^(2.30)

結合(2.26)式，可以求得介電函數虛部

i =

ε ₂ ² ₂ ² m

e 16

ω

π ∑

v , c

) )

k ( E ) k ( E ( ) k ( M 4 eˆ

k d

v c

2

3 cv δ ω

π v v v v h

−

−

∫ ⋅ (2.31)

由於 eˆ M _cv ( k v )

⋅ 是 k v

的漸變函數，在積分範圍內變化很小，所以可將 )

k ( M eˆ _cv v

⋅ 視為常數提到積分外，因此 ε

_i

可寫為

i =

ε ₂ ² ₂ ² m

e 16

ω

π ∑

v , c

2 cv ( k ) M

eˆ v

⋅ ( E ( k ) E ( k ) )

4 k d

v

3 δ c ω

π v v v h

−

∫ − (2.32) 令上式對k v

空間積分的部分為

) )

k ( E ) k ( E 4 (

k ) d

(

J _{cv 3} δ _{c v} ω

ω π v v v h

−

−

= ∫ (2.33) 上式為將k v

空間中所有滿足躍遷能量守恆定律的狀態累加，其與導帶 能態密度與價帶能態密度都有關，稱為結合能態密度(Joint density of states)，則

i =

ε ₂ ² ₂ ² m

e 16

ω

π ∑

v c ,

cv 2 cv ( k ) J M

eˆ v

⋅ (2.34) 由上式可知，對 _{ε i} 的影響變因有兩個：一為 J cv ，另一為 eˆ M _cv ( k v ) ²

⋅ 項。以下我們分別討論之。

首先討論 J _cv

利用δ-function 的性質

( ) ( ) ^x [ ^{f x} ] ^dx

g

b

a

∫ ^{δ = ∑ ( )}

x

0

x 0

g

1

x x

₀

x f ⁻

∂ =

∂ (2.35)

其中 f ( ) x 0 =0， a ＜ x ₀ ＜b，且 k

d v

= d ³ k = dSdk _⊥ = dS dE dE dk _⊥

(2.36) )

k ( dk E

) k ( dE

k

v v

∇

=

⊥

(2.37) 則結合能態密度 J cv 可以寫為

J _cv ＝ 4 3

1

π ^{∫ S ∇} k [ c ( ) ⁻ v ( ) ] _{E − E =}

v c

k E k E

dS

ω h

(2.38) 其中 S 表示在k v

空間中 v v h ω

=

− E ( k ) )

k (

E _{c v} 曲面，dS 、 dk _⊥ 分別表為

其等能量面上的面積元和垂直這一面積元的微分厚度。由(2.38)式可 看出當

0 )]

k ( E ) k ( E

[ _{c v}

k − =

∇ v v

(2.39) 會使 J cv 發散，亦即使介電函數 _{ε i} 發散，這些點被稱為 Van-Hove singularities，或稱為臨界點(Critical points)，是對 ε _i 值貢獻的主要來 源，即形成半導體光譜架構的來源。

而滿足 ∇ _k [ E _c ( k v ) − E _v ( k v )] = 0

有兩種可能性，即 0

)]

k ( E [ )]

k ( E

[ _{c k v}

k = ∇ =

∇ v v

(2.40) 或

0 )]

k ( E [ )]

k ( E

[ _{c k v}

k = ∇ ≠

∇ v v

(2.41) 其中滿足(2.40)式的臨界點一般是一些極值點，而這些極值點僅發生 在布里淵區中高對稱的位置。 ﹙如 Γ、Σ、 X 等點﹚， 稱為第一類 臨界點 (critical point, Van Hove singularity)。而滿足(2.41) 式的臨界點發生在對稱性較低的位置上。稱為第二類臨界點或馬鞍點 (Saddle point)。在臨界點附近， [ E _c ( k v ) E _v ( k v )]

− 可用在臨界點附

近的泰勒展開式來趨近，則

∑ = −

+

=

− ³

1 i

2 i 0 i i 0

0 v

c ( k ) E ( k ) E ( k ) ( k k )

E v v v v v

α (2.42) 其中 k v ₀

是臨界點的波向量

k

0

2 k i

v c 2

i dk

) E E (

d v v

=

= −

α (2.43) 由於 _{α i} 的正負關係不同，臨界點可以分成四類，並將隨之改變的 Joint density of states 計算出，列出表(2-1)及圖(2-1)表示之。我們可以發現，

J( ∆Ｅ)隨臨界點的不同而有顯著的差別，亦即由 ε _i 所影響的光譜有所

變化。

由下表可知 M 0 和 M 3 類型的臨界點是滿足(2.40)式的臨界點，即第一

類臨界點或極值型臨界點。而 M 1 和 M 2 類型的臨界點是滿足(2.41)式

的馬鞍型臨界點。

表(2-1)：Joint density-of-states function at four types of critical point

²

Critical point α

1

,α

2

,α

3

Joint density-of-states function J(ΔE)

M

0

(+,+,+) ΔE < E

g

C

1

ΔE > E

g

C

1

+C

2

(ΔE–E

g

)

^1/2

M

₁

(+,+,–) ΔE < E

g

C

₁

–C

₂

(E

g

–ΔE)

^1/2

ΔE > E

g

C

1

M

2

(+,–,–) ΔE < E

g

C

1

ΔE > E

g

C

1

–C

2

(ΔE–E

g

)

^1/2

M

3

(–,–,–) ΔE < E

g

C

1

+C

2

(E

g

–ΔE)

^1/2

ΔE > E

g

C

1

圖(2-1) ： 臨界點附近的四種 J

_cv

形態

²

接著討論 eˆ M _cv ( k v ) ²

⋅

光激發躍遷是垂直躍遷

k k k v _c v _v v

=

≈

∫ ^{− ∇}

⋅

=

⋅ M cv ( k ) eˆ _V d r c ^∗ ( k c , r )( i ) v ( k v , r )

eˆ v v

v h v v

v ψ ψ (2.44)

經由計算化簡後得

] u e r eˆ u e r d )[

E E m )(

( ) k ( M

eˆ V v

r k i c r k i v

2 c

cv ^{= − −} ∫ ^{− ⋅ ∗ ⋅ ⋅}

⋅ v ^{v v} v ^{v v}

h v

^{= −} m 2 )( E c ⁻ E v ) ∫ V d r c ^∗ eˆ ^⋅ r v

( v ψ v ψ

h (2.45) 只要知道導帶與價帶波函數 _{ϕ c} ^∗ 及 _{ϕ v} 的形式，就可求得 eˆ M _cv ( k v )

⋅ 。也

可 藉 由 當 eˆ ⋅ M _cv ( k v ) ≠ 0

則 ε _i ≠ 0 ， 為 躍 遷 允 許 的 情 況 ； 當 0

) k ( M

eˆ ⋅ _cv v =

則 ε _i = 0 ，則不會有躍遷產生，來判斷可能躍遷的情形。

2-3 調制光譜的基本原理

1964 年，在關於鍺材料反射率電場效應的研究中

³

，賽若芬 (Seraphin)首度以電場調制技術(electroreflectance；ER)得到微分形式 的譜線，1966 年 Aspnes 完成 ER 的基本理論。三十多年來，相關 的理論與新的技術不斷的被開發出來，至今調制光譜量測已成為半導 體特性研究上重要的量測技術之一。原因在於其光譜呈現出微分形式 的譜線，訊號僅出現在結合能態密度的奇異點(singularities)上，可有 效的抑除背景訊號和雜訊，所得到的訊息相當豐富，包括半導體表面 及界面間的電場

⁴

、能帶間的躍遷

⁵

、雜質效應、單軸性應力

⁶

、激子 作用的強弱、費米能階在表面的能量、載子濃度、深層缺陷、活化能、

材料均勻度及化合物的組成等等，皆可由調制光譜求得。近來更用於 實際元件結構及量子點、量子井等低維度結構之光學特性探討，為一 便利且有效的非破壞鑑定方法。

所謂調制就是將探測光或樣品的某種物理特性作週期性的小變 化。而調制光譜學的基本原理是量測樣品受到調制之後，其光學性質 的變化量，將測得的變化量以探測光的強度規正之後即為調制光譜。

調制的方法大致上有兩類，一為調制探測光本身的物理特性，如改變

探 測 光 的 波 長 或 偏 振 ， 這 樣 的 調 制 稱 為 內 部 調 制 (Internal

modulation)。另一種是調制外加於樣品的物理量，如溫度、壓力或電

場，稱為外部調制(external modulation)。在應力、溫度的調制下，樣

品仍具有平移對稱（translation symmetry）的特性，這時在倒晶格向

量中，動量仍是一好的量子數（good quantum number）。如圖 2-2(a)

所示。這種微擾所產生的譜線通常是一階微分的（first derivative）特

性。在電場的調制下則較為複雜，在此種微擾中由於晶體內的自由電

子及電洞被外加電場所加速而破壞了晶體在外加電場方向上的平移

對稱性，這時動量在電場方向上就不是好的量子數，使得未受微擾的

電子（電洞）波函數產生混合，若調制的電場不大，則波函數的混合 僅限於導帶底端（價帶頂端），所以遠離臨界點的能帶結構則不被調 制，這使得不感興趣的背景值被抑制。若調制是屬於低電場調制，如 圖 2-2(b)所示，譜型交 x 軸有兩點，這正是三階微分的特性。

圖2-2：(a)在晶格仍具週期性下，調制時介電函數虛部呈現一階微分的變化圖；

(b)在電場調制下，晶格週期被破壞後介電函數虛部呈現類似於三階微分 的變化圖

⁷

。

ω h

ω h

ω

h

ω

h

高電場調制時，譜線常會包含一些振盪曲線，這些振盪曲線稱之 為 Franz-Keldysh oscillation，簡稱 FKO。FKO 的週期與樣品的電場有 著密切的關係，透過 FKO 週期的測量，可以求得半導體的內建

（built-in）電場或介面電場。另外，Pollak 及 Glembocki ⁸ 指出，對 束縛態（bound state）諸如激子（exciton），雜質態（impurity level）

及量子井中之獨立能階(isolated state)等而言，由於載子被侷限在空間 中，電場無法加速載子，仍保持平移對稱性，故其譜型應為一階微分。

常用的調制技術有光反射調制（photoreflectance ：PR ）、電解 液電場調制（electrolyte electro-.reflectance ：EER ）、無接點式電場 調 制 （ contactless electroreflectance ： CER ） 與 壓 電 調 制

（piezoreflectance ：PzR ）等。由於調制的機制不同，譜型強調的 部分也就不一樣，將不同調制技術的結果互相比較對照，對譜型的解 釋有莫大的助益，並得到完整可靠的光譜訊息。

圖 2-3 是砷化鎵(GaAs)直接反射的譜型與電場調制反射的譜型相

比較。我們可以看出直接反射的譜型較平滑，在能級躍遷的臨界點處

變化很小，光學躍遷的能量很難精確量測。然而調制反射光譜在每個

光學躍遷的臨界點上，有顯著尖銳的變化，所以很容易就可以精確的

量測能階之間躍遷的能量。一般來說，調制的光譜寬度要比直接的反

射光譜寬度窄約 20~50 倍 ⁹ ，所以調制光譜已被廣為利用來研究材料

結構的電光性質。

圖(2-3) 室溫下，砷化鎵的反射光譜與電調反射光譜之比較圖

⁹

調制反射光譜是藉由外加週期性微擾所產生的反射率變化量( ∆ R) 與反射率 R 的比值(即

R

∆ R

)，來觀察樣品中光激躍遷的情形。若光源 幾乎垂直入射樣品界面時，垂直反射率與介電函數的關係如下

R＝R( ε _r , ε _i )＝ ( ) [ ( ) ]

( ^{r 2 i 2} ) ^{1 2} [ ^{2 2 r 2 2} ( ^{r 2 i 2} ) ^{1 2} ] ^{1 2 1 1}

2 2 1 2 1 i 2 r r

2 2 1 i 2 r

+ +

+ +

+

+ +

+

− +

ε ε ε

ε ε

ε ε ε

ε

ε (2.46)

當樣品受到擾動或調制時，介電函數的變化量為

∆ ε = ∆ ε _r + i ∆ ε _i (2.47) 將 R( ε _r , ε _i )對 ε _r 和 _{ε i} 作偏微分，即得反射率變化量 ∆ R 與介電函數變 化量 ∆ ε 的關係為 ⁸

( r , i ) r ( r , i ) i

R

R = α ε ε ∆ ε + β ε ε ∆ ε

∆ (2.48)

其中係數

( )

r i

r

R R , 1

ε ε ε

α ∂

= ∂

( )

i i

r

R R , 1

ε ε ε

β ∂

= ∂ (2.49)

α、β稱為塞若芬(Seraphin)係數，是決定介電函數調制行為的參數，

為能量的函數。而 ∆ ε _r 與 ∆ ε _i 可以藉由 Kramers-Kronig 關係互相轉換。

介電函數為樣品能帶結構中電子狀態所呈現出來的巨觀整體行為，透 過調制反射光譜

R

∆ R 此一可觀測量，即可間接得到樣品受微擾時介電 函數的變化情形。若樣品受到微擾(或調制)後，而仍保持晶格的平移 對稱性(trans-lation symmetry)時，例如：溫度、壓力等，則

ξ ξ ε ε ∆

∂

= ∂

∆ (2.50)

上式中， ξ 是微擾因素， ε ∆ 為 ε 對ξ 的一階導數。若是在電場、磁場

等調制下，晶格的對稱性被破壞，則 ∆ ε 的變化將較為複雜。

2-4 電場調制

電子受到外加電場 ℑ v

的作用後，設外加電場的方向為 zˆ，電子 e 被 電場 ℑ v

加速後在晶格中的位移為 z v

，其 Hamiltonian 為 z

e H

H ₀ v v

⋅ ℑ

−

= (2.51) 其中 H

₀

為未受微擾的 Hamiltonian

( ) ^r

m V 2 H P

e 2 0

v v

+

= (2.52) 一起考慮電子、電洞時， H

₀

可分為質心運動部分及相對運動部分，

因電子－電洞對的總電量為零，所以質心運動部分的解即為平面波的 波函數。我們主要計算相對運動部分的 Hamiltonian，其 Schrödinger 方程式為

 

 



 ² ∇ ² + e ℑ z + W _i 2 µ

h Φ i ( ) ^r v = ⁰

(2.53) 式中μ為電子和電洞沿電場方向能帶間的有效減縮質量， W

_i

為能量本 徵值(eigenvalue)，在選擇 z 軸平行電場下，可表示為

W i ＝ ² ( ^{k x 2 k y 2} )

2 +

π

h ＋E z (2.54) 上式中 E z 為 z 方向的能量本徵值。波函數 i ( ) ^r

Φ v 可寫為在 x,y 方向上 平面波的波函數(未受微擾)和 z 方向上 Airy function 的乘積

( ) ^r

i

Φ v ＝ _



 



 Ω

−

 ℑ

 

 Ω

ℑ

h h

i i

y x ik

ik

e z W

A e e e

_{x y}

π

2

1 (2.55) 式中 A

i

( ) ^ζ 為 Airy function

¹⁰

，為波函數沿電場方向薛丁格方程式的解。

ζ ζψ ψ

₂

=

2

d

d (2.56) Ω

h 為 Franz-Keldysh 效應的特徵能量

= Ω

h ³

1 2 2 2

2 e  

  ℑ µ

h (2.57)

介電函數的虛數部分 _{ε i} 為

¹¹

( ) ^E

ε i ＝ ^ _ ^{ Ξ } _ ^ ∑ ^Φ ( )

cv

2

2 i 0

E δ ( ^W i − ^E ) (2.58) 其中

Ξ ＝ ²

3 2

2 cv 2

2 2

M m eˆ

e

2 



 



⋅ 

 

 

h

h µ

(2.59) 由(2-55)式將 Φ i ( ) ⁰ 代入(2-58)式中，可得 ε

i

( ^{E , ℑ} ) 為

( ^{E , ℑ} )

ε i ＝ ^π 2 [ A ^{i 2} ( ) ^{η η} A ^{i 2} ( ) ^η ]

E  Ω ′ −



 



 Ξ h (2.60)

( ) ^{E , 0}

lim _i

0

F ε

→ ＝ ( E E ) H ( E E )

E ²  Ω − ^g − ^g



 



 Ξ h (2.61)

式中 ^H ( ) ^x 是階梯函數(step function)且 η＝ Ω

− h

E E _g

(2.62) 將(2.60)式有限電場和(2.61)式零電場極限時介電函數的差值 ∆ ε 以 F ( ) ^{η 和 G} ( ) ^{η 表示為}

¹²

( ^ℑ )

∆ ε E , ＝  Ω



 



 Ξ ₂ h

E [ F ( ) ^{η + i G} ( ) ^{η ]} (2.63) 其中

F ( ) ^{η = π} [ ^{A i ′ 2} ( ) ^{η − η A i 2} ( ) ^η ] ^{− ( ) ( ) − η 2 1 H − η} (2.64) G ( ) ^{η = π} [ ^A i ′ ( ) ( ) ^{η B} i ′ ^η − ^{η A} i ( ) ( ) ^{η B} i ^η ] + ^{η 2 1 H} ( ) ^η (2.65) F 和 G 為η的函數，其隨η振盪情形如圖 2-4

¹¹

所示。

圖 2-4：表現出振盪型式的 F、G 函數

¹¹

電子從光子獲得的能量小於能隙值 E g 時，η>0，就古典物理而 言在此禁帶區間是不允許有電子狀態的存在，以量子物理的觀點來 看，在禁帶電子是存在的只是機率很小。在電場之中，半導體導帶與 價帶的能帶邊緣變得傾斜，使得電子穿隧效應較容易。這時價帶的電 子雖然吸收小於能隙的光子，但在電場提供額外的能量下，就有機會 將價帶的電子激發至導帶，導致光譜的吸收邊緣向較低能的方向漂 移。即在 h < E ω _g 時吸收係數並不為零，電子由價帶躍遷至導帶的機 率就如指數函數圖形尾部。

入射光子能量大於能隙值 E g 時，η＜0，電子從價帶躍遷至導帶 的機率和這兩個能帶波函數的重疊(overlap)程度有關，波函數的相對 相位隨外加電場的大小而改變，這兩個波函數的干涉(interference)結 果使得吸收係數呈現振盪型式，稱為 Franz-Keldysh 振盪，簡稱 FKO。

使用 Airy function 的漸近式(asymptotic expression)

( ) η

Ai ＝ ( ) ^{− −} _ ^ ( ) ^{− +} _ ^

4 3

sin 2 ²

3 4

1 η π

η

π (2.66) 因為極值出現在 _ ^ ( ) ^{− +} _ ^

4 3

2

2

3

π

η ＝

2 π

n 之處 ¹⁰ ，所以

π n ＝

2 3 g

n E

E 3

4  

 

Ω + −

φ h (2.67) n 代表在譜形上第n 個極值，φ 是任意的相位因子， E _n 是第n 個振盪 極值的能量。若將 ( E n E g ) ^{3 / 2}

3

4 −

π 對n 作圖，如圖(2-5)所示，其中直 線斜率等於 ( ) h Ω ^{3 / 2} ，也就可以求得樣品內建電場 ℑ v

的大小。

( )

h h e

2 3

2 Ω

=

ℑ µ

(2.68) 利用 FKO 可以很方便地得到樣品內的電場大小，目前亦廣泛地被使 用於半導體材料及元件的檢測上。

圖 2-5：FKO 極值位置與能隙差值(En-Eg)對 n 作圖，

E

_n是第

n

個振盪極值能量 ¹⁰

2-5 弱電場調制

當電子能量受電場影響的變化為ΔE 時，介電函數 ε 的變化量 ε ∆ 可以表示為

( ^Γ )

∆ ε E , E _g , = ε ( ^{E + ∆ E , E} g ^{, Γ} ) ( ⁻ ε ^{E , E} g ^{, Γ} ) (2.69) 其中 E g ＝E c －E v ，Γ為展寬參數(broadening parameter)，是電子壽命 所造成的譜形展寬。當調制電場很小時，電子受電場影響的能量變化 ΔE 也很小，介電函數的變化量可以使用泰勒展開式的第一級來近似

^∆ ε ( ^{E , E} g ^{, Γ} ) = ^∆ _∂ ^∂ ( ^{E , E , Γ} )

E E ε _g (2.70) 考慮空間中存有電場 ℑ v

的情況下，對於未受束縛的電子和電洞而言，

在時間 t 內將會獲得能量ΔE 為

=

∆ E ( t ) ( )

µ 2

t e ℑ ²

(2.71) 式 中 µ 為沿電場方向能帶間的有效減縮質量 (interband effective reduced mass)

µ

1 ＝ E ( k ) k

1

2 2 2

v h ∂

∂ (2.72)

根據量子力學，時間算符(operator) t 可表為

t → 



 





∂

∂

ih E (2.73) 則

( ^Γ ) ⁼

∆ ε E , E _g , ( )

µ 2

t e ℑ ²

3 3

∂ E

∂ ε ( ^{E , E} g ^{, Γ} ) 3

= 1 ( ) h Ω ³

3 3

∂ E

∂ ^ε ( ^{E , E g , Γ} ) (2.74) 式中 ( ) h Ω ³ ＝ ( )

µ 2 e ℑ h ²

(2.75)

是系統的特徵電光能量 (characteristic electro-optic energy)。 很明顯

地，由弱電場所引起的介電函數變化量與未受微擾的介電函數之三階

導數有關，即在弱電場下的電場調制反射光譜譜線形狀為對能量的三 次微分形式，而且譜線形狀不受調制電場大小的影響，電場的大小只 和訊號強弱有關。將介電函數在弱電場中的變化量Δε，結合(2.48) 式可以寫為 ¹³

^、

¹⁴

R

∆ R

＝Re [ ^{Ce i θ} ( ^{E − E g + i Γ} ) ^{− m} ] (2.76) C 表振幅大小，θ為相位因子。這兩個參數均隨著 E 緩慢變化，所以 在 E 變化很小時，可以視為與 E 無關。而臨界點的性質決定於參數 m，

在三維臨界點的情況下

m＝2.5 為三階導函數譜形 m＝1.5 為二階導函數譜形 m＝0.5 為一階導函數譜形 在二維臨界點的情況下

m＝3 為三階導函數譜形

m＝2.5

為二階導函數譜形

m＝2 為一階導函數譜形

參考文獻

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