當 x ＝0，y有最大值 c； c

1. y ＝ ax + ²  c 的最大 ( 小 ) 值 ： 

y＝ ax + ²  c ，對稱軸為 x ＝0。 

(1)  a > 0 時： a. 開口向上；(如圖一)

b. 當 x ＝0，y有最小值 c； (圖一) c. 頂點為(0， c)，為最低點。 

(2)  a < 0 時： a. 開口向下；(如圖二) b. 當 x ＝0，y有最大值 c；

c. 頂點為(0， c)，為最高點。 (圖二)

2. y ＝ a ( x - h ) ² + k 的最大 ( 小 ) 值 ：  k 

h  x  a 

y =  (  - ) ² + ，對稱軸為 x - h ＝0。 

(1)  a > 0 時： a. 開口向上；(如圖三)

b. 當 x ＝h，y有最小值 k ； (圖三) c. 頂點為(h，k)，為最低點。 

(2)  a < 0 時： a. 開口向下；(如圖四)

b. 當 x ＝h，y有最大值 k ；

c. 頂點為(h，k)，為最高點。 (圖四)

(0,c)  x  y 

O 

x  y 

O  (0,c)

(h,k) 

x  y 

O 

(h,k) 

x  y 

O

3. y ＝ ax ² + bx + c 的最大 ( 小 ) 值 ：

(1) 利用配方法將 y ＝ ax ² + bx + c 推演成 y ＝ a ( x - h ) ² + k 來找出頂點座標(h，k)

，然後即可描繪其圖形，並且得其最大(小)值。 

y ＝ ax ² + bx + c 

＝  x  c  a  x  b 

a (  ² +  ) +

＝  ^{2  2}  ) ² 

( 2  2  ) 

(  a 

a  b  a  c 

x  b  a  x  b 

a ú + - ´

û ù ê ë

é + +

＝  a 

c  b  a 

x  b 

a  )  4 

(  2 

2  2 + - +

＝  a 

b  ac  a 

x  b 

a  4 

)  4  (  2 

2 

2 -

+ +

＝  a 

ac  b 

a  x  b 

a  4 

)  4  (  2 

2 

2 -

- +

因此可得知 y ＝ ax ² + bx + c 的頂點座標為( 

a  b  - 2 ， 

a  ac  b 

4 

2 4 

- - )。

(2) y ＝ ax ² + bx + c ，對稱軸為 

a  x  b 

+ 2 ＝0。 

1.  a > 0 時： a. 開口向上；(如圖五) b. 當 

2  x  b 

= - a ，y有最小值 

2  4 

4 

b ac 

a

- - ；

c. 頂點（ 

2  b  - a ， 

a  ac  b 

4 

2 4 

- - ），為最低點。

(圖五) 

2.  a < 0 時： a. 開口向下；(如圖六）

b. 當 

2  x  b 

= - a ，y有最大值 

2  4 

4 

b ac 

a

- - ；

x  y 

O 

y 

【範例】：方程式  y＝2 x  －4 x ＋3 是否有最大值或最小值？ ² 

解 ：我們先利用配方法將方程式化成  y＝ a ( x －h) ² ＋k  的形式。 

y＝2 x  －4 x ＋3 Û ²  y＝2( x  －2 x )＋3 ² 

Û  y＝2( x  －2 x ＋1)＋3－2 ²  Û  y＝2( x －1) ² ＋1

因此，y＝2( x －1) ² ＋1 的圖形是開口向上的拋物線，有最小值為y＝1。

頂點位置在(1，1)，且以直線 x ＝1 為對稱軸。

圖形如下：

【範例】：方程式  y＝－3 x  ＋12 x －16 是否有最大值或最小值？ ² 

解 ：我們先利用配方法將方程式化成  y＝ a ( x －h) ² ＋k  的形式。 

y＝－3 x  ＋12 x －16 Û ²  y＝－3( x  －4 x )－16 ² 

Û  y＝－3( x  －4 x ＋4)－16＋12 ²  Û  y＝－3( x －2) ² －4

因此，y＝－3( x －2) ² －4 的圖形是開口向下的拋物線，有最大值為y＝－4。

頂點位置在(2，－4)，且以直線 x ＝2 為對稱軸。

圖形如下： 

y

O 

y＝2( x-1)  +1 ² 

(1，1)  x 

(0，3)  (2，3) 

y

O 

y＝-3(x-2)  -4 ²

x 

(2，－4) 

(1，－7)  (3，－7)

【例題 2】

試由下列各二次函數的圖形，寫出其頂點坐標、對稱軸及y的最大或最小值。

(1)  y = 2 ( x - 1 ) ² - 4  (2)  y = - 2 ( x - 5 ) ² + 6  解：

【例題 1】 【練習 1】 

4  )  1  (  + ² -

=  x 

y  ：

(1) x =  時，y有最 值為 ； (2) 頂點坐標為 ；

(3) 對稱軸為 ；

(4) 與 x 軸交點為 ； (5) 與y軸交點為 。 

x  x 

y = ² + 2  ：

(1) x =  時，y有最 值為 ； (2) 頂點坐標為 ；

(3) 對稱軸為 ；

(4) 與 x 軸交點為 ； (5) 與y軸交點為 。

【練習 2】

試由下列各二次函數的圖形，寫出其頂點坐標、對稱軸及y的最大或最小值。

(1)  y = 2 x ² + 4 x + 1  (2)  y = 4 - 4 x - 2 x ²  解：

【例題 3】

試求下列之最大值：

(1)  ( 7 - x ) ( x + 1 )  (2)  _{2  2}  )  10  ( 

1  x  x + - 解：

【練習 3】

試求下列之最小值：

(1)  ( x + 6 ) ( 3 x + 2 )  (2)  _{2  2}  )  10  ( 

1  x  x - - -

解：

【例題 4】

若 ( a - 1 ) : ( b + 1 ) : ( c + 2 ) = 1 : 2 : 3 ，求 a ² + b ² + c ² 的最小值及 a 值 解：

【練習 4】

若 ( a + 1 ) : ( b + 2 ) : ( c + 3 ) = 3 : 4 : 5 ，求 a ² + b ² + c ² 的最小值及 a 值 解：

【例題 5】 【練習 5】

二次函數 y = - 3 x ² + ax + b ，當 x = 3 時，y有 最大值4，則 a + b = ?

解：

二次函數 y = - 2 x ² + ax - b ，當 x = 2 時，y有 最大值12，則 a - b = ?

解：

【例題 6】 【練習 6】

已知 x +  y 2 = 20 ，當 = x  ， y =  ， 

2 

2  y 

x + 有最小值為 。

解：

已知 x + y = 3 0 ，當 = x  ， y =  ， 

2 

2  y 

x + 有最小值為 。

解：

【例題 7】 【練習 7】 

A、B為數線上的兩點，它們的坐標分別為  7、2，在此數線上求一點P的坐標，使 

2 

2  PB 

PA + 的值為最小且最小為多少？

解： 

A、B為數線上的兩點，它們的坐標分別為  6、 - 4 ，在此數線上求一點P的坐標，使 

2 

2  PB 

PA + 的值為最小且最小為多少？

解：

【例題 8】 【練習 8】

一果園中種 20 棵芭樂，每棵平均可生產芭樂 400 個，若在此園中，每加種一棵，則每棵平 均生產量減少 8 個，問應加種幾棵，才能使 此園的產量達到最大？ 最大產量是多少個 芭樂？

解：

阿呆在柑園裡種 30 棵柑樹，每棵年產 600 個 柑橘，若在此園中，每加種 1 棵，則每棵每 年少產 10 個，則共種多少棵時，此園年產量 達最大？ 最大產量是多少個？

解：

【例題 9】 【練習 9】

某商人銷售商品，每件商品的成本 300 元，

售價 400 元，每月可售出 500 件。商人估計 售價每增加 1 元，銷售量將隨之減少 10 件；

而售價每降低 1 元，銷售量將增加 10 件，則 (1)商人應將售價調整為多少元，獲利可最

大？

(2)如果商人估計正確，則每月最多可增加獲 利多少元？

解：

瘋子旅行社招攬環島旅行團，預定人數為 30 人，每人收費 5000 元，但若增加一人，則每 人減收 100 元，問應增加多少人，這個旅行 社才能收到最多錢？ 最多共多少錢？

解：