54 3. 一些特殊的拓樸性質
一 拓樸的性質, 的 , 些性質 的 subspace topology,
disjoint union topology, product space topology quotient space topology 的 .
, connected 的性質, , .
X, Y 的 topological space. disjoint union space X⨿Y. disjoint union topology X 的 X⨿ Y 的 clopen subset. Proposition 3.1.2 X⨿ Y
connected topological space. product space, 的 .
Proposition 3.1.10. X, Y 的 topological spaces, produce space X× Y.
X× Y connected X, Y connected.
Proof. X, Y connected topological spaces. product space X× Y connected. discrete topological space Z ={0, 1}. Proposition 3.1.9,
的 f : X× Y → Z constant function. (x0, y0) ∈ X × Y, 一 性 f (x0, y0) = 0. hy0 : X → X × Y, hy0(x) = (x, y0).
product space topology 的 , hy0 continuous. f ◦ hy0 : X → Z
一 , X connected 的 Proposition 3.1.9 f ◦ hy0 一
constant function,
f (x, y0) = f ◦ hy0(x) = f ◦ hy0(x0) = f (x0, y0) = 0, ∀ x ∈ X.
(a, b) ∈ X × Y, f (a, b) = 0, f constant function.
a∈ X, f (a, y0) = 0. la: Y → X ×Y, la(y) = (a, y).
的, la continuous Y connected, f◦la: Y → Z constant function,
f (a, y) = f ◦ la(y) = f ◦ la(y0) = f (a, y0) = 0, ∀ y ∈ Y.
b∈ Y f (a, b) = 0.
一 , X× Y connected, π1 : X× Y → X π2 : X× Y → Y onto 的
continuous functions, Corollary 3.1.7 X, Y connected.
Proposition 3.1.10 topological spaces 的
product space 的 . topological spaces 的 product
space 的 , 的 axiom of choice, .
connected quotient space 的 , 的 .
Proposition 3.1.11. X topological spaces ∼ X 的一 equivalence relation.
X connected, quotient space X/∼ connected.
Proof. quotient space topology 的 quotient map q : X→ X/∼ onto 的 contin- uous function. X connected Corollary 3.1.7 X/∼ connected. Question 3.6. X topological spaces ∼ X 的一 equivalence relation.
quotient space X/∼ connected, X connected?
3.1. Connectedness 55
, connected subspace topology 的 .
3.1.2. Connected Subsets. 一 topological space connected,
一 topological space 的 subset connected.
, subset topological space. topological space ?
subspace topology .
Definition 3.1.12. X topological spaces S subset. subspace topology S topological space , S connected, S X 的 connected subset; disconnected subset.
的 topological space X, 一 a ∈ X 的 {a} 一 connected.
R 的 standard topology , (0, 1), (1, 2) 的 (0, 1) ∪ (1, 2) disconnected subset.
一 , subspace topology 的 topological space 的 topology
, 一 connected, 的 space 的 topology . subspace
topology 的 X, Y topological spaces f : X → Y continuous, subspace
topology 的 S ⊆ X subspace topology, f|S : S → Y
continuous. f (S ) Y 的 subset, g : S → f (S ),
g(s) = f (s), ∀ s ∈ S ( f|S 一 S f (S ) 的 ), f (S ) subspace topology, g : S → f (S ) continuous ( Question 1.10). 一
特性, .
Proposition 3.1.13. X, Y topological spaces f : X→ Y continuous. S X 的 connected subset, f (S ) Y 的 connected subset.
Proof. S, f (S ) X, Y 的 subspace. g : S → f (S ), g(s) = f (s),∀ s ∈ S . S connected, g connected topological space S
f (S ) 的 onto. Corollary 3.1.7 f (S ) connected.
Question 3.7. X, Y topological spaces f : X → Y continuous. S X 的 disconnected subset, f (S ) Y 的 disconnected subset?
connected subsets 的 一 connected (
的 ), connected subsets , 的 connected.
Proposition 3.1.14. X topological space S, S′ X 的 connected subsets.
S ∩ S′ , ∅, S ∪ S′ X 的 connected subset.
Proof. S = S′, S ∪ S′ = S connected. S , S′, S ∩ S′ , ∅,
S ∪ S′ 一 的 , S ∪ S′ disconnected. Lemma 3.1.8
continuous onto 的 f : S ∪ S′ → {0, 1}, {0, 1} discrete topology.
56 3. 一些特殊的拓樸性質
S connected f|S : S → {0, 1} continuous, Proposition 3.1.9 f|S constant function. 一 性 s ∈ S f (s) = 0. f|S′ : S′ → {0, 1}
constant function. f : S∪ S′→ {0, 1} onto, f (s′) = 1,∀ s′∈ S′. a∈ S ∩ S′, f (a) = 0 ( a∈ S ) f (a) = 1 ( a∈ S′) ,
S ∪ S′ connected.
Question 3.8. X topological space. I index set 的 indexed family{Si}i∈I, Si X 的 connected subset. i, j ∈ I, Si∩ Sj , ∅. ∪
i∈ISi
X 的 connected subset.
Question 3.9. X topological space S, S′ X 的 connected subsets.
S ∩ S′ connected ?
connected 的性質, , 一 的
性質, .
Proposition 3.1.15. X topological space S X 的 connected subset. S′ ⊆ X S ⊆ S′ ⊆ cl(S ), S′ X 的 connected subset.
Proof. S′ connected, Proposition 3.1.2 , S′ X 的 subspace topology
, S′ 的 clopen subset T . U X open C
X closed U∩ S′ = C∩ S′= T . T , ∅, a∈ T, a∈ U ( T = U∩ S′), U a X 的一 open neighborhood, a∈ cl(S ) ( T ⊆ S′ ⊆ cl(S )),
s∈ U ∩ S . U∩ S S 一 的 open set.
C∩ S = C ∩ (S′∩ S ) = (C ∩ S′)∩ S = (U ∩ S′)∩ S = U ∩ S,
U∩ S S 的 closed set, U∩ S S 的 clopen set. S connected Proposition 3.1.2 S = U∩ S = C ∩ S , S ⊆ C. cl(S ) X S 的 closed set (Theorem 2.2.3), cl(S )⊆ C. S′ ⊆ cl(S ) T = C∩ S′= S′.
T , S′ , S′ connected.
Question 3.10. S topological space X 的 connected subset. cl(S ) connected. int(S ) connected ?
Connected topological space 的性質, 的 的
( ). topological space X connected , a ∈ X,
a 的 connected subset, a 的 connected component. 的
a connected component 一 ? 的. {a} a 的
一 connected subset, a 的 connected subset 一 . a
的 connected subset, a 的 connected subset ,
S ={S ∈ P(X) | a ∈ S S is connected}, D =∪
S∈SS . a 一 S
, a∈ D. , S, S′ ∈ S a∈ S ∩ S′, S ∩ S′ , ∅.
3.1. Connectedness 57
些 S connected Question 3.8 的 , D connected.
a 的 connected component 一的. connected component
的 .
Definition 3.1.16. X topological space S X 的 connected subset. X
S 的 connected subset S , S X 的一 connected component.
, 一些拓樸的 “ ” 的 connected subset connected component.
的 connected subset, 的 connected subset
. 的 的 total order 的 (
), 的 “ ” 的 的 . 的 的
的 一 的. 的 a 的 connected component
a 的 connected subset .
Excecise 3.4. X, Y, Z topological spaces X connected. f : X→ Y ⨿ Z continuous. either f (X)⊆ Y or f (X) ⊆ Z.
Excecise 3.5. X disconnected topological space. 的 topological spaces Y, Z X Y⨿ Z homeomorphic.
Excecise 3.6. X topological space S1, S2, . . . , Sn, . . . X 的 connected sub- sets. Si∩ Si+1, ∅, ∀ i ∈ N, ∪
i∈NSi X 的 connected subset.
———————————– 01 December, 2017
