李華介
國立台灣師範大學數學系
Chapter 9
初級 Field 的性質
這一章中我們介紹一些 field 的基本性質. 由於很多有關於 field 的性質可以用線性 代數的觀點得到, 所以我們也會簡單的複習一下線性代數的基本概念.
9.1. Field 的基本性質
這一節中我們首先介紹一些直接由定義得到的 field 的性質.
回顧一下一個 field 是一個 commutative ring with 1 而且其中非 0 的元素都是 unit. 也就是若 F 是一個 field, 則 F 中的 + 和 · 需滿足 Definition 5.1.1 中 (R1) 到 (R8) 的性質, 另外需有:
• 對任意 a, b ∈ F 皆滿足 a · b = b · a.
• 存在 1 ∈ F 使得對任意 a ∈ F 皆滿足 a · 1 = 1 · a = a.
• 對任意 a ∈ F 且 a 6= 0, 皆存在 a−1∈ F 使得 a · a−1 = a−1· a = 1.
前兩項是要求 F 是一個 commutative ring with 1; 最後一項是要求 F 中不為 0 的 元素都是 unit.
很快的利用以上的定義我們可以得到以下有關 field 簡單但重要的性質.
Lemma 9.1.1. 若 F 是一個 field, 則 F 是一個 integral domain.
Proof. 由 field 的定義已知 F 是一個 commutative ring with 1, 所以我們只要證明 F 中沒有 zero-divisor 即可. 這可有由 Lemma 5.3.7 馬上得知, 不過為了完整性我 們再給一次證明.
若 a ∈ F 是 F 中的一個 zero-divisor, 即 a 6= 0 且存在 b 6= 0 滿足 a · b = 0. 然 而由 b 6= 0 知 b 是 F 中的 unit, 故知存在 b−1∈ F 滿足 b · b−1 = 1. 因此可得
0 = (a · b) · b−1= a · (b · b−1) = a · 1 = a.
此和 a 6= 0 的假設相矛盾, 故 a 不可能是 F 中的 zero-divisor. ¤ 165
以後我們會看到 Lemma 9.1.1 在有關 field 的性質的推導過程中很多地方占了 關鍵性的地位. 首先看一個簡單的例子:
Corollary 9.1.2. 假設 F 是一個 field, 令 F∗= F \ {0} 表示 F 中不為 0 的元素 所成的集合, 則 F∗ 在乘法的運算之下是一個 abelian group.
Proof. 利用 F 是一個 ring with 1, 我們知道 F∗ 滿足 Definition 1.1.1 中 (GP2) 和 (GP3) 的條件. 再來若 a ∈ F∗ 我們知存在 a−1∈ F 滿足 a · a−1= 1, 然而 a−1 不可能是 0, 否則會造成 a · a−1 = a · 0 = 0. 故知 a−1 ∈ F∗, 也就是說 F∗ 也滿足 Definition 1.1.1 中 (GP4) 的性質. 因此要證明 F∗ 在乘法的運算之下是一個 group 我們僅要檢查 (GP1). 也就是說若 a, b ∈ F∗, 則 a · b ∈ F∗. 然而 a, b ∈ F∗ 表示 a, b ∈ F 且 a 6= 0, b 6= 0, 故由 Lemma 9.1.1 知 a · b 6= 0, 即 a · b ∈ F∗. 至於 F∗ 是
abelian, 則由 F 是 commutative ring 馬上得知. ¤
Example 9.1.3. 考慮
Z/5Z = {0, 1, 2, 3, 4}
這一個 ring. 由於 5 是 Z 中的 irreducible element 且 Z 是 principle ideal domain 利用 Lemma 8.3.2 知 5Z =¡
5¢
是 Z 中的 maximal ideal. 所以知 Z/5Z 是一個 field (Theorem 6.5.11). 我們可以驗證
(Z/5Z)∗= {1, 2, 3, 4}
在乘法之下是一個 abelian group. 事實上由
22= 4, 23 = 3, 24 = 1,
可知 (Z/5Z)∗ 在乘法之下是一個 cyclic group (因 |(Z/5Z)∗| = 4 且 ord(2) = 4).
假設 F 是一個 field 且 S ⊆ F . 如果將 F 的加法與乘法運算限制在 S 中來看, S 也是一個 field, 則稱 S 是 F 的subfield. 因此如果 S 在 F 的加法之下是 F 的 subgroup 且 S∗ = S \ {0} 在 F∗ 的乘法之下是 F∗ 的 subgroup, 則 S 就會是 F 的 subfield. 因此利用 Lemma 1.3.4 我們有以下的檢查 subfield 的方法.
Lemma 9.1.4. ' F Î×Í field v S ⊆ F . AE a, b ∈ S, Í b 6= 0 /b a − b ∈ S v a · b−1 ∈ S, J S Î F Ý subfield.
接下來我們來看 field 之間 homomorphism 的性質. 若 R 和 R0 是兩個 ring 且 ψ : R → R0, 其中對任意的 a ∈ R 皆有 ψ(a) = 0, 則依定義 ψ 當然是 R 到 R0 的一 個 ring homomorphism. 不過這種 ring homomorphism 對我們來說是無用的, 一般 我們稱之為trivial homomorphism.
Proposition 9.1.5. ' F õ F0 KÎ field v 1F õ 1F0 5½Î F õ F0 ¶
°Ý identity. A ψ : F → F0 Î×Í nontrivial Ý ring homomorphism, J (1) ψ(1F) = 1F0.
9.2. Field 的 Characteristic 167
(2) ψ 是一對一的 homomorphism.
Proof. (1) 我們要證明 ψ(1F) 是 F0 的乘法 identity. 由於 ψ 不是 trivial, 故存 在 a ∈ F 使得 ψ(a) 6= 0. 然而 ψ(a) = ψ(a · 1F), 利用 ψ 是 ring homomorphism 我們得 ψ(a) = ψ(a) · ψ(1F). 然而在 F0 中我們仍然有 ψ(a) · 1F0 = ψ(a), 故得 ψ(a) · ψ(1F) = ψ(a) · 1F0, 也就是說
ψ(a) ·¡
ψ(1F) − 1F0¢
= 0.
利用 F0 是一個 integral domain (Lemma 9.1.1) 且 ψ(a) 6= 0, 我們得證 ψ(1F) = 1F0. (2) 要證明 ψ 是一對一的等價於要證明 ker(ψ) =¡
0¢
(Lemma 6.3.4). 然而因 ker(ψ) 一定是 F 的一個 ideal (Lemma 6.3.3) 且 F 中僅有 F 和 ¡
0¢
這兩個 trivial ideals (Lemma 6.2.4) 所以可知 ker(ψ) = F 或 ker(ψ) = ¡
0¢
. 但如果 ker(ψ) = F , 表示對任意 a ∈ F 皆使得 ψ(a) = 0, 此與 ψ 不是 trivial 的 ring homomorphism 相 矛盾. 故知 ker(ψ) =¡
0¢
, 也就是說 ψ 是一對一的 ring homomorphism. ¤ 9.2. Field 的 Characteristic
對一般的 field F , 若 a ∈ F , 由於 1 ∈ F , 故對任意的 n ∈ N 我們有 a + · · · + a
| {z }
n次
= (1 + · · · + 1| {z }
n次
) · a. (9.1)
要注意在這裡 1 加 n 次並不等於 n, 這是由於這裡的 1 是 F 中的 1 並不是自然數 N 中的 1. 例如上例中 1 是 Z/5Z 中的 1, 但
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0,
而在 N 中 5 是不等於 0 的. 所以我們不能把式子 (9.1) 寫成 a + · · · + a
| {z }
n次
= n · a.
不過為了方便, 對任意 a ∈ F 且 n ∈ N 我們用 na 來表示 a 自己加自己 n 次, 也就 是說
a + · · · + a
| {z }
n次
= na.
希望不會造成大家的困擾. 因此我們可以將式子 (9.1) 寫成 na = a + · · · + a| {z }
n次
= (1 + · · · + 1| {z }
n 次
) · a = (n1) · a.
Lemma 9.2.1. 假設 F 是一個 field, 則對 F 下面兩種情況之ㄧ會發生:
(1) 對任意 n ∈ N 且 a ∈ F \ {0} 皆有 na 6= 0.
(2) 存在一個 prime p ∈ N 使得對任意的 a ∈ F 皆有 pa = 0.
Proof. 考慮 φ : Z → F 其中 φ(0) = 0, 且對任意 n ∈ N, φ(n) = n1, φ(−n) = n(−1).
即
φ(n) = 1 + · · · + 1| {z }
n次
且 φ(−n) = (−1) + · · · + (−1)
| {z }
n次
.
注意這裡的 1 是 F 中的 1, 而 −1 是 F 中 1 的加法 inverse. 很容易檢查 φ 是一個 從 Z 到 F 的 ring homomorphism.
現考慮 φ 的 kernel. 由 ring 的 1st isomorphism theorem (Theorem 6.4.2) 我們 有
Z/ ker(φ) ' im(φ).
然而 im(φ) 會是 F 的一個 subring (Lemma 6.3.3), 故由 F 是 integral domain (Lemma 9.1.1) 知 im(φ) 也是一個 integral domain. 換句話說 Z/ ker(φ) 是一個 integral domain. 另一方面 ker(φ) 會是 Z 的一個 ideal (Lemma 6.3.3) 故利用 Theorem 6.5.7 知 ker(φ) 是 Z 的一個 prime ideal. 因 Z 是一個 principle ideal domain, 故存在 a ∈ N 滿足 ker(φ) = ¡
a¢
. 利用 Lemma 8.1.9 我們知 a = 0 或 a = p, 其中 p 是 Z 中的一個 prime.
(1) ker(φ) =¡ 0¢
的情形: 此時因對任意的 n ∈ N, 皆有 n1 6= 0 (因 n 6∈ ker(φ)), 故知對任意的 a ∈ F 且 a 6= 0, 因 F 是 integral domain, 皆有
na = (n1) · a 6= 0.
(2) ker(φ) = ¡ p¢
的情形: 此時因 p ∈ ker(φ), 我們有 p1 = 0. 故得對任意的 a ∈ F 皆有
pa = (p1) · a = 0.
¤ 在 Lemma 9.2.1 中的 0 或 p 對 field 的分類上是很重要的, 因此我們有以下之 定義.
Definition 9.2.2. 假設 F 是一個 field. 若對任意的 n ∈ N 且 a ∈ F \ {0} 皆有 na 6= 0, 則稱 F 的 characteristic 是 0. 記為 char(F ) = 0. 反之若存在 p ∈ N 是 Z 中的 prime 使得對任意的 a ∈ F 皆有 pa = 0, 則稱 F 的 characteristic 是 p. 記為 char(F ) = p.
例如有理數所成的 field Q 的 characteristic 就是 0. 又例如在 Example 9.1.3 中 的 Z/5Z 就符合對任意的 a ∈ Z/5Z 皆有 5a = 0, 所以我們有 char(Z/5Z) = 5.
要注意由 Lemma 9.2.1 我們知若 F 是一個 field, 則 char(F ) 要不是等於 0 就是 等於一個 prime p. 如果 char(F ) = p 6= 0, 則此 p 是滿足 pa = 0 其中 a ∈ F \ {0}
的最小的正整數. 因為若 n ∈ N 且 na = 0, 則由 F 是 integral domain 以及 na = (n1) · a = 0
知 n1 = 0. 也就是說 n ∈ ker(φ) =¡ p¢
. 這告訴我們 n ≥ p.
9.2. Field 的 Characteristic 169
若 F 是一個 field 且 F 只有有限多個元素, 則我們稱 F 為一個 finite field.
Lemma 9.2.3. 若 F 是一個 finite field, 則存在一 prime p ∈ N 使得 char(F ) = p.
Proof. 由 Lemma 9.2.1 我們知 char(F ) = 0 或 char(F ) = p 其中 p 是一個質數.
我們要說明 char(F ) 不可能是 0. 其實如果 char(F ) = 0, 表示前面定的那個 ring homomorphism φ : Z → F 符合 ker(φ) = ¡
0¢
, 也就是說 φ 是一對一的. 換言之 Z ' im(φ) ⊆ F . 然而 Z 有無窮多個元素, 故得到 F 中有一個 subring 其元素有無 窮多個. 此和 F 是 finite field 相矛盾, 故知 char(F ) = p 6= 0. ¤ 利用 Proposition 9.1.5 我們可得以下有關於 characteristic 的性質. 它告訴我 們當兩個 field 的 characteristic 不相同時, 它們之間不可能存在 nontrivial 的 ring homomorphism.
Proposition 9.2.4. 假設 F 和 F0 是 fields 且 F 和 F0 之間存在 nontrivial 的 ring homomorphism, 則 char(F ) = char(F0).
Proof. 假設 ψ : F → F0 不是一個 trivial 的 ring homomorphism, 由 Proposition 9.1.5 (1) 知 ψ(1F) = 1F0. 因此若 char(F ) = p 6= 0, 利用
ψ(p1F) = ψ(0) = 0 以及
ψ(p1F) = ψ(1|F + · · · 1{z F}
p 次
) = pψ(1F) = p1F0,
我們得
p1F0 = 0.
故知 char(F0) 6= 0. 然而若 char(F0) = q 6= p, 則因 p 和 q 皆是質數所以互質, 故存 在 m, n ∈ Z 使得 mp + nq = 1. 因此由 p1F0 = q1F0 = 0 可得
1F0 = (mp + nq)1F0 = 0, 造成矛盾. 故知 char(F ) = char(F0).
另外若 char(F ) = 0, 此時對任意 n ∈ N 皆有 n1F 6= 0. 利用 Proposition 9.1.5 (2) 知 ψ(n1F) 6= 0. 換句話說
ψ(n1F) = nψ(1F) = n1F0 6= 0,
這表示 char(F0) = 0. ¤
最後我們來看當 char(F ) = p 6= 0 時, 在運算上的一個特殊性質.
Lemma 9.2.5. 假設 F 是一個 field 且 char(F ) = p 6= 0, 則對任意 a, b ∈ F , 我們 有
(a + b)pn = apn+ bpn and (a − b)pn = apn− bpn, ∀ n ∈ N.
Proof. 我們先用 induction 證明 (a + b)pn = apn+ bpn. 首先考慮 n = 1 的情況. 我 們先檢查 (a + b)2 為何? 由於 (a + b)2 = a2+ a · b + b · a + b2, 利用 F 是一個 field 知 a · b = b · a, 因此我們得 (a + b)2 = a2+ 2(a · b) + b2. 再次強調這裡 2(a · b) 是 (a · b) + (a · b) 而不是 2 · (a · b). 所以繼續下去我們可以利用類似二項式定理得
(a + b)p = ap+ p(ap−1· b) + · · · + µp
i
¶
(ai· bp−i) + · · · + bp.
由於 char(F ) = p, 對任意 α ∈ F , α 自己連加自己 p 次等於 0 (即 pα = 0). 大家都知 道當 p 是質數且當 i = 1, . . . , p − 1 時,¡p
i
¢是 p 的倍數, 故知此時¡p
i
¢(ai· bp−i) = 0.
因此我們可得
(a + b)p= ap+ bp. (9.2) 現利用歸納假設
(a + b)pn−1 = apn−1+ bpn−1, (9.3) 故利用式子 (9.2) 和 (9.3) 我們知
(a + b)pn =¡
(a + b)pn−1¢p
= (apn−1+ bpn−1)p = apn+ bpn.
接下來證明 (a − b)pn = apn− bpn. 首先注意當 char(F ) = 2 時, 對任意 α ∈ F 我們有 α + α = 2α = 0, 故知 α = −α. 因此在 p = 2 時我們自然有
(a − b)pn= (a + b)pn = apn+ bpn = apn− bpn.
而當 p 是 odd prime number 時, 由於對任意 α 皆有 (−α)pn = −αpn (Corollary 5.2.4), 我們得
(a − b)pn =¡
a + (−b)¢pn
= apn+ (−b)pn = apn − bpn.
¤ Lemma 9.2.5 也可以推廣到 F [x] 上的運算. 注意 F [x] 上的 polynomial 的係數都 在 F 中, 而且 F [x] 上的加法依定義是將同次項的係數都加起來. 因此若 char(F ) = p 時, 對任意的 f (x) = anxn+ · · · + a0∈ F [x] 我們都有
f (x) + · · · + f (x)
| {z }
p 次
= (a|n+ · · · + a{z n} p 次
)xn+ · · · + (a|0+ · · · + a{z 0} p 次
) = 0.
因此利用類似 Lemma 9.2.5 的證明我們有以下的性質:
Lemma 9.2.6. 假設 F 是一個 field 且 char(F ) = p 6= 0, 則對任意 f (x) = amxm+ · · · + a0 ∈ F [x], 我們有
(f (x))pn = apmnxmpn+ · · · + ap0n, ∀ n ∈ N.
特別當 a ∈ F 時, 我們有
(x − a)pn = xpn− apn, ∀ n ∈ N.
9.3. 線性代數的應用 171
9.3. 線性代數的應用
這一節中我們先簡單的回顧一些線性代數的基本概念, 以便以後將這些概念應用在 相關 field 的性質.
9.3.1. 線性代數基本性質. 在這裡我們僅簡單回顧什麼是 vector space, basis 以及 dimension. 我們不給這些基本性質的証明, 若不清楚的同學請參考一般有關線性代 數的書籍.
Definition 9.3.1. 令 F 是一個 field. 我們說 V 是一個 vector space over F , 如果 V 本身元素間有加法 “+” 運算, 而且對任意 c ∈ F , v ∈ V 皆有 c · v ∈ V , 且滿足:
(VS1): V 在加法之下是一個 abelian group.
(VS2): 對所有的 c ∈ F 以及 v1, v2 ∈ V 皆有 c · (v1+ v2) = c · v1+ c · v2. (VS3): 對所有 c1, c2 ∈ F 以及 v ∈ V 皆有 (c1+ c2) · v = c1· v + c2 · v 且
c1· (c2· v) = (c1· c2) · v.
(VS4): 對任意 v ∈ V 皆有 1 · v = v, 其中 1 ∈ F 是 F 乘法的 identity.
這裡要注意一般 vector space 的定義裡並沒有要求 F ⊆ V , 也沒有要求 V 的元 素間有乘法運算. 不過將來我們討論 field 的性質時所碰到的 vector space 都會額 外有 F ⊆ V 以及 V 的元素間有乘法運算這兩種特性. 也就是這兩種特性使得 field 的性質比一般的 vector space 強得多.
Definition 9.3.2. 假設 F 是一個 field 且 V 是一個 vector space over F , 如果 v1, . . . , vn∈ V 滿足對任意 v ∈ F 皆存在 c1, . . . , cn∈ F 使得
v = c1· v1+ · · · + cn· vn, 則稱 v1, . . . , vn span V over F .
如果一個 vector space 存在一組 v1, . . . , vn∈ V span V over F , 則我們稱 V 是 一個 finite dimensional vector space over F .
如果 v1, . . . , vnspan V over F , 當然也有可能有另一組 w1, . . . , wm ∈ V 也 span V over F . 我們當然希望能找到一組元素最少的 v1, . . . , vn 可以 span V over F . 要 達到這一點 v1, . . . , vn 之間至少要沒有線性關係, 要不然其中的某個 vi 可以被其 他的 vj 展成, 我們就可以找到更少的元素 span V 了. 因此我們有以下的定義.
Definition 9.3.3. 假設 F 是一個 field 且 V 是一個 vector space over F , 如果對 於 V 中的一組元素 v1, . . . , vn∈ V 我們都找不到不全為 0 的 c1, . . . , cn∈ F 使得
c1· v1+ · · · + cn· vn= 0, 則稱這組 v1, . . . , vn 是 linearly independent over F .
如果 v1, . . . , vn ∈ F span V 且是 linearly independent over F , 則稱 v1, . . . , vn 是一組 basis of V over F .
線性代數中最基本的性質就是當 V 是 finite dimensional vector space over F 時, 一定可以找到 V over F 的一組 basis. 雖然 basis 並不是唯一的, 不過任一組 basis 其元素個數都是相同的. 這個 basis 的個數稱之為 V over F 的 dimension, 我們記為 dimF(V ). 也就是說若 dimF(V ) = n, 則可以找到一組 v1, . . . , vn ∈ V 是 linearly independent over F 且 span V over F .
如果 W ⊆ V 且利用 V 和 F 間的運算 W 也是一個 vector space over F , 則稱 W 是 V 的一個 subspace over F . 以下是 dimension 一些基本的性質, 我們略去證 明.
Lemma 9.3.4. 假設 F 是一個 field 且 V 是一個 finite dimensional vector space over F .
(1) 若 v1, . . . , vn span V over F , 則 dimF(V ) ≤ n.
(2) 若 w1, . . . , wm ∈ F 是 linearly independent over F , 則 dimF(V ) ≥ m.
(3) 若 W 是 V 的一個 subspace over F , 則 dimF(V ) ≥ dimF(W ).
9.3.2. 將 ring 看成是 vector space. 我們首先來看一些例子, 且計算其 dimension.
假設 F 是一個 field, 我們考慮 F [x] 這一個 polynomial ring. 很容易看出來 F [x]
和 F 滿足 Definition 9.3.1 中 (VS1) 到 (VS4) 性質, 故知 F [x] 是一個 vector space over F . 至於 F [x] 會不會是 finite dimensional vector space over F 呢?
Proposition 9.3.5. 假設 F 是一個 field, 若將 F [x] 看成是一個 vector space over F , 則 F [x] 不是 finite dimensional vector space over F .
Proof. 我們利用反證法. 假設 F [x] 是 finite dimensional over F 且 dimF(F [x]) = n, 則考慮 1, x, x2, . . . , xn ∈ F [x], 我們要驗證 1, x, x2, . . . , xn 是 linearly independent over F . 這是因為對任意不全為 0 的 c0, c1, . . . , cn 我們知
c0· 1 + c1· x + · · · + cn· xn6= 0.
注意 1, x, x2, . . . , xn 共有 n + 1 個元素, 故利用 Lemma 9.3.4 (2) 知 n + 1 ≤ dimF(F [x]) = n,
因而得到矛盾. 所以 F [x] 不可能是 finite dimensional over F . ¤ 接著我們考慮另一個 ring. 假設 f (x) ∈ F [x] 且 deg(f (x)) ≥ 1, 我們考慮 R = F [x]/¡
f (x)¢
這一個 quotient ring. 回顧一下 R 中的元素都是 g(x) 的形式, 其 中 g(x) ∈ F [x]. 對任意的 c ∈ F , g(x) ∈ R, 我們定義
c · g(x) = c · g(x).
這個運算是 well-defined. 因為若 g(x) = h(x) 表示, g(x) − h(x) ∈¡ f (x)¢
. 又因為 c ∈ F ⊆ F [x] 且¡
f (x)¢
是 F [x] 的一個 ideal, 我們當然有 c · (g(x) − h(x)) ∈¡ f (x)¢
,
9.3. 線性代數的應用 173
故知 c · g(x) = c · h(x). 利用這個 F 對 R 的運算我們很容易驗證 R 是一個 vector space over F . 那麼 R 會不會是 finite dimensional vector space over F 呢?
Lemma 9.3.6. 假設 F 是一個 field, 若 f (x) ∈ F [x] 且 deg(f (x)) ≥ 1, 則 R = F [x]/¡
f (x)¢
這一個 quotient ring 是一個 finite dimensional vector space over F 而 且 dimF(R) = deg(f (x)).
Proof. 假設 deg(f (x)) = n, 我們要證明 1, x, . . . , xn−1 ∈ R 是 R over F 的一組 basis.
首先證明 1, x, . . . , xn−1 span R over F . 任取 g(x) ∈ R, 其中 g(x) ∈ F [x], 我們 要找到 c0, c1, . . . , cn−1 ∈ F 使得
g(x) = c0· 1 + c1· x + · · · + cn−1· xn−1.
由 Theorem 7.2.4, 我們知道存在 h(x), r(x) ∈ F [x] 滿足 g(x) = f (x) · h(x) + r(x), 其中 r(x) = 0 或 deg(r(x)) < deg(f (x)). 因為 g(x) − r(x) = f (x) · h(x) ∈¡
f (x)¢ , 由 quotient ring 的定義知 g(x) = r(x). 現若 r(x) = 0, 知 g(x) = 0, 故取 c0 = c1 = · · · = cn−1= 0 時可得
g(x) = 0 = c0· 1 + c1· x + · · · + cn−1· xn−1.
另一方面若 r(x) 6= 0, 則由 deg(r(x)) ≤ n − 1 知存在 a0, a1, . . . , an−1 ∈ F 使得 r(x) = a0+ a1x + · · · + an−1xn−1, 故令 c0= a0, . . . , cn−1= an−1 時我們有
g(x) = r(x) = c0· 1 + c1· x + · · · + cn−1· xn−1. 所以 R 中的元素都可由 1, . . . , xn−1 span over F 得到.
接著證明 1, x, . . . , xn−1 是 linearly independent over F . 我們利用反證法. 假設 存在不全為 0 的 c0, c1, · · · , cn−1∈ F 使得
c0· 1 + c1· x + · · · + cn−1· xn−1 = 0,
表示 g(x) = c0 + · · · + cn−1xn−1 這個非 0 的多項式符合 g(x) = 0. 換句話說 g(x) ∈¡
f (x)¢
. 因 g(x) 6= 0, 故知存在 h(x) ∈ F [x] 且 h(x) 6= 0 使得 g(x) = f (x)·h(x).
觀察 degree 知
deg(g(x)) = deg(f (x)) + deg(h(x)) ≥ deg(f (x)) = n,
不過由當初 g(x) 的選取, 我們知道 deg(g(x)) ≤ n − 1, 因此得到矛盾. 故知 1, x, . . . , xn−1 是 linearly independent over F .
我們已證得 1, x, . . . , xn−1 ∈ R 是 R over F 的一組 basis. 又因 1, x, . . . , xn−1 中共有 n 個元素, 故知 dimF(R) = n = deg(f (x)). ¤ 當 R 是一個 integral domain 且 F 是一個包含於 R 的 field 時, 我們也可以將 R 看成是一個 vector space over F . 事實上由 ring 的性質加上 F ⊆ R, Definition 9.3.1 中的 (VS1), (VS2) 以及 (VS3) 自然都符合, 我們唯一要檢查的是 (VS4). 假
設 1F, 1R 分別是 F 和 R 乘法的 identity, 我們只要檢察 1F = 1R 即可. 這是因為 (VS4) 是說對任意的 a ∈ R 要符合 1F· a = a. 因此若能證得 1F = 1R, 那麼上式自 然成立. 要注意我們曾經看過例子一個 subring 的 identity 不一定會是原來的 ring 的 identity. 不過由於現在 R 是 integral domain, 事情就沒有那麼複雜了. 我們只 要任取 F 中的一個非 0 元素 c, 將它考慮成是 F 的元素, 我們有 1F· c = c; 另一方 面將它看成是 R 的元素, 我們有 1R· c = c. 結合上面兩個等式得: (1F − 1R) · c = 0.
由於 R 是 integral domain 且 c 6= 0, 所以我們有 1F = 1R.
既然 R 是一個 over F 的 vector space, 我們來看當 R 是 finite dimensional over F 時它有什麼重要特性.
Theorem 9.3.7. 假設 R 是一個 integral domain, F 是一個 field 且 F ⊆ R. 又假 設 R 看成是一個 vector space over F 時是 finite dimensional over F , 則
(1) 對任意 a ∈ R, 皆存在一個非 0 的 f (x) ∈ F [x] 使得 f (a) = 0.
(2) R 是一個 field.
Proof. 我們假設 dimF(R) = n.
(1) 考慮 1, a, a2, . . . , an這 n+1 個 R 中的元素. 如果它們是 linearly independent over F , 則由 Lemma 9.3.4 (2) 得
n = dimF(R) ≥ n + 1,
造成矛盾, 故知 1, a, a2, . . . , an 不是 linearly independent over F . 換句話說存在不 全為 0 的 c0, c1, . . . , cn∈ F , 滿足
c0· 1 + c1· a + · · · + cn· an= 0.
故令 f (x) = c0+ c1x + · · · + cnxn, 我們得 f (x) 6= 0 且 f (a) = 0.
(2) 因 R 已知是 integral domain, 要證明 R 是一個 field, 我們只要證明 R 中不 為 0 的元素都是 unit. 換句話說要證明對任意 a ∈ R 且 a 6= 0, 皆存在 b ∈ R 滿足 a · b = 1. 由 (1) 知存在非 0 的多項式 f (x) 滿足 f (a) = 0. 我們假設
f (x) = c0+ c1x + · · · + cmxm ∈ F [x]
是 F [x] 中非 0 且滿足 f (a) = 0 的 degree 最小的 polynomial. 由 degree 最小的假 設, 我們可得 c0 6= 0. 這是因為若 c0 = 0, 則由
f (a) = c1· a + · · · + cm· am = (c1+ c2· a + · · · + cm· am−1) · a = 0
以及 R 是 integral domain 得 g(a) = 0, 其中 g(x) = c1+ c2x + · · · + cmxm−1 ∈ F [x]
不為 0 且 deg(g(x)) < deg(f (x)). 此和 f (x) 是 degree 最小的找法相矛盾, 故得 c0 6= 0. 現將 f (a) = 0 的 c0 移至等式的另一邊, 我們得
(c1+ c2· a + · · · + cm· am−1) · a = −c0.
9.4. Extension Field 175
因此若令
b = (−c0)−1· (c1+ c2· a + · · · + cm· am−1),
則我們有 a · b = 1. 注意由於 −c0 ∈ F 且 −c0 6= 0 以及 F 是一個 field, 我們有 (−c0)−1∈ F ⊆ R, 再加上 c1+ c2· a + · · · + cm· am−1 ∈ R 我們得 b ∈ R, 故知 a 是
R 的一個 unit. ¤
利用 Theorem 9.3.7 我們可以很快的給 Proposition 9.3.5 另一個證明: 假如 F [x]
是 finite dimensional over F , 由於 F [x] 是 integral domain 利用 Theorem 9.3.7 我 們得 F [x] 會是一個 field. 但這是不可能的, 因為 F [x] 中只有 degree 為 0 的元素 才是 unit.
9.4. Extension Field
給定一個 field F , 我們當然可以討論其 subfield, 不過因一般 field 的理論關心的是 給定 f (x) ∈ F [x] 如果在 F 中 f (x) 沒有根, 那麼如何在比 F 大的 field 找到根. 所 以我們比較關心的就是所謂 F 的 extension field.
Definition 9.4.1. 給定 F 是一個 field, 若 L ⊇ F 也是一個 field 而且 L 的運算限 制在 F 中就是原本 F 的運算, 則我們稱 L 是 F 的一個 extension (或稱 extension field). 當然了我們也可以稱 F 是 L 的一個 subfield.
假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 extension field, 由 Lemma 9.1.1 知 L 是 一個 integral domain, 故由前一節的討論我們知 L 是一個 vector space over F . 我 們當然可以討論 L over F 的 dimension.
Definition 9.4.2. 假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 extension field. 如果將 L 看成是 over F 的一個 vector space 是一個 finite dimensional vector space over F , 則稱 L 是 F 的一個 finite extension. 通常我們會將 dimF(L) 用 [L : F ] 來表示, 稱之為 the degree of L over F (而不是說 the dimension of L over F ).
我們可以利用 Theorem 9.3.7 得到以下有趣的結果:
Proposition 9.4.3. 假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 finite extension. 如果 R 是 L 的一個 subring 且符合 F ⊆ R ⊆ L, 則 R 是一個 field.
Proof. 我們不打算用定義直接證明 R 是一個 field, 而是想套用 Theorem 9.3.7 來 得到. 要套用 Theorem 9.3.7, 我們必須說明 R 是一個 integral domain 且 dimF(R) 是有限的.
因為 L 已經是一個 integral domain (Lemma 9.1.1), 而 R 是 L 的 subring, 所 以 R 當然是 integral domain. 另一方面, 我們可以把 R 看成是 L 的一個 subspace over F . 故利用 L 是 F 的一個 finite extension 的假設以及 Lemma 9.3.4 知 dimF(R) ≤ dimF(L), 換句話說 R 是一個 finite dimensional vector space over F .
因此利用 Theorem 9.3.7 (2) 得證 R 是一個 field. ¤
若 L 是 F 的一個 finite extension, 則直接將 Theorem 9.3.7 (1) 套用在 L 上, 我 們馬上知對任意的 a ∈ L 皆存在一個 F [x] 中的 polynomial f (x) 6= 0 滿足 f (a) = 0.
這樣的元素我們給它一個特殊的名字.
Definition 9.4.4. 假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 extension field. 假設 a ∈ L, 如果存在 F [x] 中的一個非 0 的 polynomial f (x) 滿足 f (a) = 0, 則稱 a 是 algebraic over F .
所以 Theorem 9.3.7 告訴我們以下結果:
Lemma 9.4.5. 假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 finite extension, 則 L 中的 元素都是 algebraic over F .
當一個 extensional field of F 中的元素都是 algebraic over F 時, 我們稱這個 extension 是一個 algebraic extension. Lemma 9.4.5 告訴我們任何的 finite extension of F 也都是 algebraic extension of F . 不過要注意的是一個 algebraic extension of F 不一定是 finite extension of F .
最後我們再看一個有關 finite extension 重要的性質. 如果 F 是一個 field, K 是 F 的 一個 extension field, 而又 L 是 K 的一個 extension field. 也就是我們有 F ⊆ K ⊆ L 這一個關係. 當然了 L 也可看成是 F 的一個 extension. 現若假設 K over F 和 L over K 都是 finite extension, 我們自然會問那麼 L 看成是 F 的 extension 時是否也是 finite extension?
Theorem 9.4.6. 假設 F 是一個 field, L 和 K 都是 F 的 extensions 且符合 F ⊆ K ⊆ L. 若已知 K 是 F 的一個 finite extension 且 L 是 K 的一個 finite extension, 則 L 也是 F 的一個 finite extension, 而且
[L : F ] = [L : K][K : F ].
Proof. 假設 [K : F ] = m 以及 [L : K] = n, 我們想證明 L 是一個 finite extension of F 且其 degree 為 m · n. 由 [K : F ] = m 的假設知 dimF(K) = m, 即存在 a1, . . . , am∈ K 是 K over F 的一組 basis. 同樣的存在 b1, . . . , bn∈ L 是 L over K 的一組 basis. 我們想證明
{ai· bj}, i = 1, . . . , m 且 j = 1, . . . , n
是 L over F 的一組 basis. 如此自然得證本定理. 首先要注意的是因為 K ⊆ L 所 以由 ai∈ K, bj ∈ L 自然可得 ai· bj ∈ L. 我們要證明這些 ai· bj span L over F 且 是 linearly independent over F .
首先證明 {ai· bj} span L over F : 任取 α ∈ L, 我們要找到 ci,j ∈ F 使得 α =
Xn j=1
Xm i=1
ci,j· (ai· bj).
9.4. Extension Field 177
然而因 b1, . . . , bn span L over K, 我們可以找到 d1, . . . , dn∈ K 使得
α = d1· b1+ · · · + dn· bn. (9.4) 再利用 a1, . . . , amspan K over F , 對任一 dj ∈ K, 我們都可以找到 c1,j, . . . , cm,j ∈ F 使得
dj = c1,j· a1+ c2,j · a2+ · · · + cm,j· am. 將這些 dj 帶入式子 (9.4), 得證{ai· bj} span L over F .
接著證明 {ai· bj} 是 linearly independent over F . 利用反證法, 假設存在一組 不全為 0 的 ci,j ∈ F 使得 P
ci,j· (ai· bj) = 0. 這表示 0 = (c1,1· a1+ c2,1· a2+ · · · + cm,1· am) · b1
+ · · · + (c1,n· a1+ c2,n· a2+ · · · + cm,n· am) · bn 注意對任意的 j = 1, . . . , n, 若令
dj = c1,j· a1+ c2,j · a2+ · · · + cm,j· am, 因為 ci,j ∈ F , ai ∈ K 且 F ⊆ K, 我們有 dj ∈ K 且
0 = d1· b1+ d2· b2+ · · · + dn· bn.
因為 b1, . . . , bn 是 linearly independent over K, 故得 d1 = d2 = · · · = dn= 0. 換句 話說對任意的 j = 1, . . . , n, 皆有
0 = dj = c1,j· a1+ c2,j · a2+ · · · + cm,j· am.
再利用 a1, . . . , am 是 linearly independent over F 以及這些 ci,j 皆屬於 F , 我們得 這些 ci,j 皆等於 0. 此和當初假設 ci,j 不全為 0 相矛盾, 故得證 {ai· bj} 是 linearly
independent over F . ¤
要注意 Theorem 9.4.6 中的條件是要求 K 是 F 的 finite extension 且 L 是 K 的 finite extension 才能推得 L 是 F 的 finite extension. 我們自然會問反過來對嗎?
也就是說但如果已知 L 是 F 的 finite extension, 我們是否可得 K 是 F 的 finite extension 且 L 是 K 的 finite extension 呢? 答案是肯定的, 事實上我們有以下的 結果:
Corollary 9.4.7. 假設 F 是一個 field, L 和 K 都是 F 的 extensions 且符合 F ⊆ K ⊆ L. 若已知 L 是 F 的一個 finite extension, 則 K 是 F 的一個 finite extension 且 L 是 K 的一個 finite extension, 而且
[L : F ] = [L : K][K : F ].
Proof. 由 F ⊆ K ⊆ L 這個關係式, 我們可將 K 看成是 L over F 的 subspace, 所以由 Lemma 9.3.4 (3) 知 dimF(L) ≥ dimF(K), 換句話說若 L over F 是一 個 finite extension 那麼 K over F 當然也是 finite extension. 另一方面若假設 [L : F ] = dimF(L) = n, 也就說存在 a1, . . . , an∈ L 是一組 L over F 的 basis, 由於
a1, . . . , an span L over F 再加上 F ⊆ K, 我們當然知 a1, . . . , an 也 span L over K.
所以利用 Lemma 9.3.4 (1) 知 dimK(L) ≤ n = dimF(L). 因此得 L 是 K 的一個 finite extension.
上面已證若 L 是 F 的一個 finite extension, 則 K 是 F 的一個 finite extension 且 L 是 K 的一個 finite extension. 因此可套用 Theorem 9.4.6 得證
[L : F ] = [L : K][K : F ].
¤
