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初級 Field 的性質

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Academic year: 2022

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(1)

李華介

國立台灣師範大學數學系

(2)

Part III

FIELD

(3)
(4)

Chapter 9

初級 Field 的性質

這一章中我們介紹一些 field 的基本性質. 由於很多有關於 field 的性質可以用線性 代數的觀點得到, 所以我們也會簡單的複習一下線性代數的基本概念.

9.1. Field 的基本性質

這一節中我們首先介紹一些直接由定義得到的 field 的性質.

回顧一下一個 field 是一個 commutative ring with 1 而且其中非 0 的元素都是 unit. 也就是若 F 是一個 field, 則 F 中的 + 和 · 需滿足 Definition 5.1.1 中 (R1) 到 (R8) 的性質, 另外需有:

• 對任意 a, b ∈ F 皆滿足 a · b = b · a.

• 存在 1 ∈ F 使得對任意 a ∈ F 皆滿足 a · 1 = 1 · a = a.

• 對任意 a ∈ F 且 a 6= 0, 皆存在 a−1∈ F 使得 a · a−1 = a−1· a = 1.

前兩項是要求 F 是一個 commutative ring with 1; 最後一項是要求 F 中不為 0 的 元素都是 unit.

很快的利用以上的定義我們可以得到以下有關 field 簡單但重要的性質.

Lemma 9.1.1. 若 F 是一個 field, 則 F 是一個 integral domain.

Proof. 由 field 的定義已知 F 是一個 commutative ring with 1, 所以我們只要證明 F 中沒有 zero-divisor 即可. 這可有由 Lemma 5.3.7 馬上得知, 不過為了完整性我 們再給一次證明.

若 a ∈ F 是 F 中的一個 zero-divisor, 即 a 6= 0 且存在 b 6= 0 滿足 a · b = 0. 然 而由 b 6= 0 知 b 是 F 中的 unit, 故知存在 b−1∈ F 滿足 b · b−1 = 1. 因此可得

0 = (a · b) · b−1= a · (b · b−1) = a · 1 = a.

此和 a 6= 0 的假設相矛盾, 故 a 不可能是 F 中的 zero-divisor. ¤ 165

(5)

以後我們會看到 Lemma 9.1.1 在有關 field 的性質的推導過程中很多地方占了 關鍵性的地位. 首先看一個簡單的例子:

Corollary 9.1.2. 假設 F 是一個 field, 令 F= F \ {0} 表示 F 中不為 0 的元素 所成的集合, 則 F 在乘法的運算之下是一個 abelian group.

Proof. 利用 F 是一個 ring with 1, 我們知道 F 滿足 Definition 1.1.1 中 (GP2) 和 (GP3) 的條件. 再來若 a ∈ F 我們知存在 a−1∈ F 滿足 a · a−1= 1, 然而 a−1 不可能是 0, 否則會造成 a · a−1 = a · 0 = 0. 故知 a−1 ∈ F, 也就是說 F 也滿足 Definition 1.1.1 中 (GP4) 的性質. 因此要證明 F 在乘法的運算之下是一個 group 我們僅要檢查 (GP1). 也就是說若 a, b ∈ F, 則 a · b ∈ F. 然而 a, b ∈ F 表示 a, b ∈ F 且 a 6= 0, b 6= 0, 故由 Lemma 9.1.1 知 a · b 6= 0, 即 a · b ∈ F. 至於 F

abelian, 則由 F 是 commutative ring 馬上得知. ¤

Example 9.1.3. 考慮

Z/5Z = {0, 1, 2, 3, 4}

這一個 ring. 由於 5 是 Z 中的 irreducible element 且 Z 是 principle ideal domain 利用 Lemma 8.3.2 知 5Z =¡

是 Z 中的 maximal ideal. 所以知 Z/5Z 是一個 field (Theorem 6.5.11). 我們可以驗證

(Z/5Z)= {1, 2, 3, 4}

在乘法之下是一個 abelian group. 事實上由

22= 4, 23 = 3, 24 = 1,

可知 (Z/5Z) 在乘法之下是一個 cyclic group (因 |(Z/5Z)| = 4 且 ord(2) = 4).

假設 F 是一個 field 且 S ⊆ F . 如果將 F 的加法與乘法運算限制在 S 中來看, S 也是一個 field, 則稱 S 是 F 的subfield. 因此如果 S 在 F 的加法之下是 F 的 subgroup 且 S = S \ {0} 在 F 的乘法之下是 Fsubgroup, 則 S 就會是 F 的 subfield. 因此利用 Lemma 1.3.4 我們有以下的檢查 subfield 的方法.

Lemma 9.1.4. ƒ' F Î×Í field v S ⊆ F . AŒEŒ a, b ∈ S, Í b 6= 0 /b a − b ∈ S v a · b−1 ∈ S, J S Î F Ý subfield.

接下來我們來看 field 之間 homomorphism 的性質. 若 R 和 R0 是兩個 ring 且 ψ : R → R0, 其中對任意的 a ∈ R 皆有 ψ(a) = 0, 則依定義 ψ 當然是 R 到 R0 的一 個 ring homomorphism. 不過這種 ring homomorphism 對我們來說是無用的, 一般 我們稱之為trivial homomorphism.

Proposition 9.1.5. ƒ' F õ F0 KÎ field v 1F õ 1F0 5½Î F õ F0

°Ý identity. AŒ ψ : F → F0 Î×Í nontrivial Ý ring homomorphism, J (1) ψ(1F) = 1F0.

(6)

9.2. Field 的 Characteristic 167

(2) ψ 是一對一的 homomorphism.

Proof. (1) 我們要證明 ψ(1F) 是 F0 的乘法 identity. 由於 ψ 不是 trivial, 故存 在 a ∈ F 使得 ψ(a) 6= 0. 然而 ψ(a) = ψ(a · 1F), 利用 ψ 是 ring homomorphism 我們得 ψ(a) = ψ(a) · ψ(1F). 然而在 F0 中我們仍然有 ψ(a) · 1F0 = ψ(a), 故得 ψ(a) · ψ(1F) = ψ(a) · 1F0, 也就是說

ψ(a) ·¡

ψ(1F) − 1F0¢

= 0.

利用 F0 是一個 integral domain (Lemma 9.1.1) 且 ψ(a) 6= 0, 我們得證 ψ(1F) = 1F0. (2) 要證明 ψ 是一對一的等價於要證明 ker(ψ) =¡

(Lemma 6.3.4). 然而因 ker(ψ) 一定是 F 的一個 ideal (Lemma 6.3.3) 且 F 中僅有 F 和 ¡

這兩個 trivial ideals (Lemma 6.2.4) 所以可知 ker(ψ) = F 或 ker(ψ) = ¡

. 但如果 ker(ψ) = F , 表示對任意 a ∈ F 皆使得 ψ(a) = 0, 此與 ψ 不是 trivial 的 ring homomorphism 相 矛盾. 故知 ker(ψ) =¡

, 也就是說 ψ 是一對一的 ring homomorphism. ¤ 9.2. Field 的 Characteristic

對一般的 field F , 若 a ∈ F , 由於 1 ∈ F , 故對任意的 n ∈ N 我們有 a + · · · + a

| {z }

n

= (1 + · · · + 1| {z }

n

) · a. (9.1)

要注意在這裡 1 加 n 次並不等於 n, 這是由於這裡的 1 是 F 中的 1 並不是自然數 N 中的 1. 例如上例中 1 是 Z/5Z 中的 1, 但

1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0,

而在 N 中 5 是不等於 0 的. 所以我們不能把式子 (9.1) 寫成 a + · · · + a

| {z }

n

= n · a.

不過為了方便, 對任意 a ∈ F 且 n ∈ N 我們用 na 來表示 a 自己加自己 n 次, 也就 是說

a + · · · + a

| {z }

n

= na.

希望不會造成大家的困擾. 因此我們可以將式子 (9.1) 寫成 na = a + · · · + a| {z }

n

= (1 + · · · + 1| {z }

n

) · a = (n1) · a.

Lemma 9.2.1. 假設 F 是一個 field, 則對 F 下面兩種情況之ㄧ會發生:

(1) 對任意 n ∈ N 且 a ∈ F \ {0} 皆有 na 6= 0.

(2) 存在一個 prime p ∈ N 使得對任意的 a ∈ F 皆有 pa = 0.

(7)

Proof. 考慮 φ : Z → F 其中 φ(0) = 0, 且對任意 n ∈ N, φ(n) = n1, φ(−n) = n(−1).

φ(n) = 1 + · · · + 1| {z }

n

φ(−n) = (−1) + · · · + (−1)

| {z }

n

.

注意這裡的 1 是 F 中的 1, 而 −1 是 F 中 1 的加法 inverse. 很容易檢查 φ 是一個 從 Z 到 F 的 ring homomorphism.

現考慮 φ 的 kernel. 由 ring 的 1st isomorphism theorem (Theorem 6.4.2) 我們

Z/ ker(φ) ' im(φ).

然而 im(φ) 會是 F 的一個 subring (Lemma 6.3.3), 故由 F 是 integral domain (Lemma 9.1.1) 知 im(φ) 也是一個 integral domain. 換句話說 Z/ ker(φ) 是一個 integral domain. 另一方面 ker(φ) 會是 Z 的一個 ideal (Lemma 6.3.3) 故利用 Theorem 6.5.7 知 ker(φ) 是 Z 的一個 prime ideal. 因 Z 是一個 principle ideal domain, 故存在 a ∈ N 滿足 ker(φ) = ¡

a¢

. 利用 Lemma 8.1.9 我們知 a = 0 或 a = p, 其中 p 是 Z 中的一個 prime.

(1) ker(φ) =¡ 0¢

的情形: 此時因對任意的 n ∈ N, 皆有 n1 6= 0 (因 n 6∈ ker(φ)), 故知對任意的 a ∈ F 且 a 6= 0, 因 F 是 integral domain, 皆有

na = (n1) · a 6= 0.

(2) ker(φ) = ¡ p¢

的情形: 此時因 p ∈ ker(φ), 我們有 p1 = 0. 故得對任意的 a ∈ F 皆有

pa = (p1) · a = 0.

¤ 在 Lemma 9.2.1 中的 0 或 p 對 field 的分類上是很重要的, 因此我們有以下之 定義.

Definition 9.2.2. 假設 F 是一個 field. 若對任意的 n ∈ N 且 a ∈ F \ {0} 皆有 na 6= 0, 則稱 F 的 characteristic 是 0. 記為 char(F ) = 0. 反之若存在 p ∈ N 是 Z 中的 prime 使得對任意的 a ∈ F 皆有 pa = 0, 則稱 F 的 characteristic 是 p. 記為 char(F ) = p.

例如有理數所成的 field Q 的 characteristic 就是 0. 又例如在 Example 9.1.3 中 的 Z/5Z 就符合對任意的 a ∈ Z/5Z 皆有 5a = 0, 所以我們有 char(Z/5Z) = 5.

要注意由 Lemma 9.2.1 我們知若 F 是一個 field, 則 char(F ) 要不是等於 0 就是 等於一個 prime p. 如果 char(F ) = p 6= 0, 則此 p 是滿足 pa = 0 其中 a ∈ F \ {0}

的最小的正整數. 因為若 n ∈ N 且 na = 0, 則由 F 是 integral domain 以及 na = (n1) · a = 0

知 n1 = 0. 也就是說 n ∈ ker(φ) =¡ p¢

. 這告訴我們 n ≥ p.

(8)

9.2. Field 的 Characteristic 169

若 F 是一個 field 且 F 只有有限多個元素, 則我們稱 F 為一個 finite field.

Lemma 9.2.3. 若 F 是一個 finite field, 則存在一 prime p ∈ N 使得 char(F ) = p.

Proof. 由 Lemma 9.2.1 我們知 char(F ) = 0 或 char(F ) = p 其中 p 是一個質數.

我們要說明 char(F ) 不可能是 0. 其實如果 char(F ) = 0, 表示前面定的那個 ring homomorphism φ : Z → F 符合 ker(φ) = ¡

, 也就是說 φ 是一對一的. 換言之 Z ' im(φ) ⊆ F . 然而 Z 有無窮多個元素, 故得到 F 中有一個 subring 其元素有無 窮多個. 此和 F 是 finite field 相矛盾, 故知 char(F ) = p 6= 0. ¤ 利用 Proposition 9.1.5 我們可得以下有關於 characteristic 的性質. 它告訴我 們當兩個 field 的 characteristic 不相同時, 它們之間不可能存在 nontrivial 的 ring homomorphism.

Proposition 9.2.4. 假設 F 和 F0 是 fields 且 F 和 F0 之間存在 nontrivial 的 ring homomorphism, 則 char(F ) = char(F0).

Proof. 假設 ψ : F → F0 不是一個 trivial 的 ring homomorphism, 由 Proposition 9.1.5 (1) 知 ψ(1F) = 1F0. 因此若 char(F ) = p 6= 0, 利用

ψ(p1F) = ψ(0) = 0 以及

ψ(p1F) = ψ(1|F + · · · 1{z F}

p

) = pψ(1F) = p1F0,

我們得

p1F0 = 0.

故知 char(F0) 6= 0. 然而若 char(F0) = q 6= p, 則因 p 和 q 皆是質數所以互質, 故存 在 m, n ∈ Z 使得 mp + nq = 1. 因此由 p1F0 = q1F0 = 0 可得

1F0 = (mp + nq)1F0 = 0, 造成矛盾. 故知 char(F ) = char(F0).

另外若 char(F ) = 0, 此時對任意 n ∈ N 皆有 n1F 6= 0. 利用 Proposition 9.1.5 (2) 知 ψ(n1F) 6= 0. 換句話說

ψ(n1F) = nψ(1F) = n1F0 6= 0,

這表示 char(F0) = 0. ¤

最後我們來看當 char(F ) = p 6= 0 時, 在運算上的一個特殊性質.

Lemma 9.2.5. 假設 F 是一個 field 且 char(F ) = p 6= 0, 則對任意 a, b ∈ F , 我們

(a + b)pn = apn+ bpn and (a − b)pn = apn− bpn, ∀ n ∈ N.

(9)

Proof. 我們先用 induction 證明 (a + b)pn = apn+ bpn. 首先考慮 n = 1 的情況. 我 們先檢查 (a + b)2 為何? 由於 (a + b)2 = a2+ a · b + b · a + b2, 利用 F 是一個 field 知 a · b = b · a, 因此我們得 (a + b)2 = a2+ 2(a · b) + b2. 再次強調這裡 2(a · b) 是 (a · b) + (a · b) 而不是 2 · (a · b). 所以繼續下去我們可以利用類似二項式定理得

(a + b)p = ap+ p(ap−1· b) + · · · + µp

i

(ai· bp−i) + · · · + bp.

由於 char(F ) = p, 對任意 α ∈ F , α 自己連加自己 p 次等於 0 (即 pα = 0). 大家都知 道當 p 是質數且當 i = 1, . . . , p − 1 時,¡p

i

¢是 p 的倍數, 故知此時¡p

i

¢(ai· bp−i) = 0.

因此我們可得

(a + b)p= ap+ bp. (9.2) 現利用歸納假設

(a + b)pn−1 = apn−1+ bpn−1, (9.3) 故利用式子 (9.2) 和 (9.3) 我們知

(a + b)pn

(a + b)pn−1¢p

= (apn−1+ bpn−1)p = apn+ bpn.

接下來證明 (a − b)pn = apn− bpn. 首先注意當 char(F ) = 2 時, 對任意 α ∈ F 我們有 α + α = 2α = 0, 故知 α = −α. 因此在 p = 2 時我們自然有

(a − b)pn= (a + b)pn = apn+ bpn = apn− bpn.

而當 p 是 odd prime number 時, 由於對任意 α 皆有 (−α)pn = −αpn (Corollary 5.2.4), 我們得

(a − b)pn

a + (−b)¢pn

= apn+ (−b)pn = apn − bpn.

¤ Lemma 9.2.5 也可以推廣到 F [x] 上的運算. 注意 F [x] 上的 polynomial 的係數都 在 F 中, 而且 F [x] 上的加法依定義是將同次項的係數都加起來. 因此若 char(F ) = p 時, 對任意的 f (x) = anxn+ · · · + a0∈ F [x] 我們都有

f (x) + · · · + f (x)

| {z }

p 次

= (a|n+ · · · + a{z n} p 次

)xn+ · · · + (a|0+ · · · + a{z 0} p 次

) = 0.

因此利用類似 Lemma 9.2.5 的證明我們有以下的性質:

Lemma 9.2.6. 假設 F 是一個 field 且 char(F ) = p 6= 0, 則對任意 f (x) = amxm+ · · · + a0 ∈ F [x], 我們有

(f (x))pn = apmnxmpn+ · · · + ap0n, ∀ n ∈ N.

特別當 a ∈ F 時, 我們有

(x − a)pn = xpn− apn, ∀ n ∈ N.

(10)

9.3. 線性代數的應用 171

9.3. 線性代數的應用

這一節中我們先簡單的回顧一些線性代數的基本概念, 以便以後將這些概念應用在 相關 field 的性質.

9.3.1. 線性代數基本性質. 在這裡我們僅簡單回顧什麼是 vector space, basis 以及 dimension. 我們不給這些基本性質的証明, 若不清楚的同學請參考一般有關線性代 數的書籍.

Definition 9.3.1. 令 F 是一個 field. 我們說 V 是一個 vector space over F , 如果 V 本身元素間有加法 “+” 運算, 而且對任意 c ∈ F , v ∈ V 皆有 c · v ∈ V , 且滿足:

(VS1): V 在加法之下是一個 abelian group.

(VS2): 對所有的 c ∈ F 以及 v1, v2 ∈ V 皆有 c · (v1+ v2) = c · v1+ c · v2. (VS3): 對所有 c1, c2 ∈ F 以及 v ∈ V 皆有 (c1+ c2) · v = c1· v + c2 · v 且

c1· (c2· v) = (c1· c2) · v.

(VS4): 對任意 v ∈ V 皆有 1 · v = v, 其中 1 ∈ F 是 F 乘法的 identity.

這裡要注意一般 vector space 的定義裡並沒有要求 F ⊆ V , 也沒有要求 V 的元 素間有乘法運算. 不過將來我們討論 field 的性質時所碰到的 vector space 都會額 外有 F ⊆ V 以及 V 的元素間有乘法運算這兩種特性. 也就是這兩種特性使得 field 的性質比一般的 vector space 強得多.

Definition 9.3.2. 假設 F 是一個 field 且 V 是一個 vector space over F , 如果 v1, . . . , vn∈ V 滿足對任意 v ∈ F 皆存在 c1, . . . , cn∈ F 使得

v = c1· v1+ · · · + cn· vn, 則稱 v1, . . . , vn span V over F .

如果一個 vector space 存在一組 v1, . . . , vn∈ V span V over F , 則我們稱 V 是 一個 finite dimensional vector space over F .

如果 v1, . . . , vnspan V over F , 當然也有可能有另一組 w1, . . . , wm ∈ V 也 span V over F . 我們當然希望能找到一組元素最少的 v1, . . . , vn 可以 span V over F . 要 達到這一點 v1, . . . , vn 之間至少要沒有線性關係, 要不然其中的某個 vi 可以被其 他的 vj 展成, 我們就可以找到更少的元素 span V 了. 因此我們有以下的定義.

Definition 9.3.3. 假設 F 是一個 field 且 V 是一個 vector space over F , 如果對 於 V 中的一組元素 v1, . . . , vn∈ V 我們都找不到不全為 0 的 c1, . . . , cn∈ F 使得

c1· v1+ · · · + cn· vn= 0, 則稱這組 v1, . . . , vn 是 linearly independent over F .

如果 v1, . . . , vn ∈ F span V 且是 linearly independent over F , 則稱 v1, . . . , vn 是一組 basis of V over F .

(11)

線性代數中最基本的性質就是當 V 是 finite dimensional vector space over F 時, 一定可以找到 V over F 的一組 basis. 雖然 basis 並不是唯一的, 不過任一組 basis 其元素個數都是相同的. 這個 basis 的個數稱之為 V over F 的 dimension, 我們記為 dimF(V ). 也就是說若 dimF(V ) = n, 則可以找到一組 v1, . . . , vn ∈ V 是 linearly independent over F 且 span V over F .

如果 W ⊆ V 且利用 V 和 F 間的運算 W 也是一個 vector space over F , 則稱 W 是 V 的一個 subspace over F . 以下是 dimension 一些基本的性質, 我們略去證 明.

Lemma 9.3.4. 假設 F 是一個 field 且 V 是一個 finite dimensional vector space over F .

(1) 若 v1, . . . , vn span V over F , 則 dimF(V ) ≤ n.

(2) 若 w1, . . . , wm ∈ F 是 linearly independent over F , 則 dimF(V ) ≥ m.

(3) 若 W 是 V 的一個 subspace over F , 則 dimF(V ) ≥ dimF(W ).

9.3.2. 將 ring 看成是 vector space. 我們首先來看一些例子, 且計算其 dimension.

假設 F 是一個 field, 我們考慮 F [x] 這一個 polynomial ring. 很容易看出來 F [x]

和 F 滿足 Definition 9.3.1 中 (VS1) 到 (VS4) 性質, 故知 F [x] 是一個 vector space over F . 至於 F [x] 會不會是 finite dimensional vector space over F 呢?

Proposition 9.3.5. 假設 F 是一個 field, 若將 F [x] 看成是一個 vector space over F , 則 F [x] 不是 finite dimensional vector space over F .

Proof. 我們利用反證法. 假設 F [x] 是 finite dimensional over F 且 dimF(F [x]) = n, 則考慮 1, x, x2, . . . , xn ∈ F [x], 我們要驗證 1, x, x2, . . . , xn 是 linearly independent over F . 這是因為對任意不全為 0 的 c0, c1, . . . , cn 我們知

c0· 1 + c1· x + · · · + cn· xn6= 0.

注意 1, x, x2, . . . , xn 共有 n + 1 個元素, 故利用 Lemma 9.3.4 (2) 知 n + 1 ≤ dimF(F [x]) = n,

因而得到矛盾. 所以 F [x] 不可能是 finite dimensional over F . ¤ 接著我們考慮另一個 ring. 假設 f (x) ∈ F [x] 且 deg(f (x)) ≥ 1, 我們考慮 R = F [x]/¡

f (x)¢

這一個 quotient ring. 回顧一下 R 中的元素都是 g(x) 的形式, 其 中 g(x) ∈ F [x]. 對任意的 c ∈ F , g(x) ∈ R, 我們定義

c · g(x) = c · g(x).

這個運算是 well-defined. 因為若 g(x) = h(x) 表示, g(x) − h(x) ∈¡ f (x)¢

. 又因為 c ∈ F ⊆ F [x] 且¡

f (x)¢

是 F [x] 的一個 ideal, 我們當然有 c · (g(x) − h(x)) ∈¡ f (x)¢

,

(12)

9.3. 線性代數的應用 173

故知 c · g(x) = c · h(x). 利用這個 F 對 R 的運算我們很容易驗證 R 是一個 vector space over F . 那麼 R 會不會是 finite dimensional vector space over F 呢?

Lemma 9.3.6. 假設 F 是一個 field, 若 f (x) ∈ F [x] 且 deg(f (x)) ≥ 1, 則 R = F [x]/¡

f (x)¢

這一個 quotient ring 是一個 finite dimensional vector space over F 而 且 dimF(R) = deg(f (x)).

Proof. 假設 deg(f (x)) = n, 我們要證明 1, x, . . . , xn−1 ∈ R 是 R over F 的一組 basis.

首先證明 1, x, . . . , xn−1 span R over F . 任取 g(x) ∈ R, 其中 g(x) ∈ F [x], 我們 要找到 c0, c1, . . . , cn−1 ∈ F 使得

g(x) = c0· 1 + c1· x + · · · + cn−1· xn−1.

由 Theorem 7.2.4, 我們知道存在 h(x), r(x) ∈ F [x] 滿足 g(x) = f (x) · h(x) + r(x), 其中 r(x) = 0 或 deg(r(x)) < deg(f (x)). 因為 g(x) − r(x) = f (x) · h(x) ∈¡

f (x)¢ , 由 quotient ring 的定義知 g(x) = r(x). 現若 r(x) = 0, 知 g(x) = 0, 故取 c0 = c1 = · · · = cn−1= 0 時可得

g(x) = 0 = c0· 1 + c1· x + · · · + cn−1· xn−1.

另一方面若 r(x) 6= 0, 則由 deg(r(x)) ≤ n − 1 知存在 a0, a1, . . . , an−1 ∈ F 使得 r(x) = a0+ a1x + · · · + an−1xn−1, 故令 c0= a0, . . . , cn−1= an−1 時我們有

g(x) = r(x) = c0· 1 + c1· x + · · · + cn−1· xn−1. 所以 R 中的元素都可由 1, . . . , xn−1 span over F 得到.

接著證明 1, x, . . . , xn−1 是 linearly independent over F . 我們利用反證法. 假設 存在不全為 0 的 c0, c1, · · · , cn−1∈ F 使得

c0· 1 + c1· x + · · · + cn−1· xn−1 = 0,

表示 g(x) = c0 + · · · + cn−1xn−1 這個非 0 的多項式符合 g(x) = 0. 換句話說 g(x) ∈¡

f (x)¢

. 因 g(x) 6= 0, 故知存在 h(x) ∈ F [x] 且 h(x) 6= 0 使得 g(x) = f (x)·h(x).

觀察 degree 知

deg(g(x)) = deg(f (x)) + deg(h(x)) ≥ deg(f (x)) = n,

不過由當初 g(x) 的選取, 我們知道 deg(g(x)) ≤ n − 1, 因此得到矛盾. 故知 1, x, . . . , xn−1 是 linearly independent over F .

我們已證得 1, x, . . . , xn−1 ∈ R 是 R over F 的一組 basis. 又因 1, x, . . . , xn−1 中共有 n 個元素, 故知 dimF(R) = n = deg(f (x)). ¤ 當 R 是一個 integral domain 且 F 是一個包含於 R 的 field 時, 我們也可以將 R 看成是一個 vector space over F . 事實上由 ring 的性質加上 F ⊆ R, Definition 9.3.1 中的 (VS1), (VS2) 以及 (VS3) 自然都符合, 我們唯一要檢查的是 (VS4). 假

(13)

設 1F, 1R 分別是 F 和 R 乘法的 identity, 我們只要檢察 1F = 1R 即可. 這是因為 (VS4) 是說對任意的 a ∈ R 要符合 1F· a = a. 因此若能證得 1F = 1R, 那麼上式自 然成立. 要注意我們曾經看過例子一個 subring 的 identity 不一定會是原來的 ring 的 identity. 不過由於現在 R 是 integral domain, 事情就沒有那麼複雜了. 我們只 要任取 F 中的一個非 0 元素 c, 將它考慮成是 F 的元素, 我們有 1F· c = c; 另一方 面將它看成是 R 的元素, 我們有 1R· c = c. 結合上面兩個等式得: (1F − 1R) · c = 0.

由於 R 是 integral domain 且 c 6= 0, 所以我們有 1F = 1R.

既然 R 是一個 over F 的 vector space, 我們來看當 R 是 finite dimensional over F 時它有什麼重要特性.

Theorem 9.3.7. 假設 R 是一個 integral domain, F 是一個 field 且 F ⊆ R. 又假 設 R 看成是一個 vector space over F 時是 finite dimensional over F , 則

(1) 對任意 a ∈ R, 皆存在一個非 0 的 f (x) ∈ F [x] 使得 f (a) = 0.

(2) R 是一個 field.

Proof. 我們假設 dimF(R) = n.

(1) 考慮 1, a, a2, . . . , an這 n+1 個 R 中的元素. 如果它們是 linearly independent over F , 則由 Lemma 9.3.4 (2) 得

n = dimF(R) ≥ n + 1,

造成矛盾, 故知 1, a, a2, . . . , an 不是 linearly independent over F . 換句話說存在不 全為 0 的 c0, c1, . . . , cn∈ F , 滿足

c0· 1 + c1· a + · · · + cn· an= 0.

故令 f (x) = c0+ c1x + · · · + cnxn, 我們得 f (x) 6= 0 且 f (a) = 0.

(2) 因 R 已知是 integral domain, 要證明 R 是一個 field, 我們只要證明 R 中不 為 0 的元素都是 unit. 換句話說要證明對任意 a ∈ R 且 a 6= 0, 皆存在 b ∈ R 滿足 a · b = 1. 由 (1) 知存在非 0 的多項式 f (x) 滿足 f (a) = 0. 我們假設

f (x) = c0+ c1x + · · · + cmxm ∈ F [x]

是 F [x] 中非 0 且滿足 f (a) = 0 的 degree 最小的 polynomial. 由 degree 最小的假 設, 我們可得 c0 6= 0. 這是因為若 c0 = 0, 則由

f (a) = c1· a + · · · + cm· am = (c1+ c2· a + · · · + cm· am−1) · a = 0

以及 R 是 integral domain 得 g(a) = 0, 其中 g(x) = c1+ c2x + · · · + cmxm−1 ∈ F [x]

不為 0 且 deg(g(x)) < deg(f (x)). 此和 f (x) 是 degree 最小的找法相矛盾, 故得 c0 6= 0. 現將 f (a) = 0 的 c0 移至等式的另一邊, 我們得

(c1+ c2· a + · · · + cm· am−1) · a = −c0.

(14)

9.4. Extension Field 175

因此若令

b = (−c0)−1· (c1+ c2· a + · · · + cm· am−1),

則我們有 a · b = 1. 注意由於 −c0 ∈ F 且 −c0 6= 0 以及 F 是一個 field, 我們有 (−c0)−1∈ F ⊆ R, 再加上 c1+ c2· a + · · · + cm· am−1 ∈ R 我們得 b ∈ R, 故知 a 是

R 的一個 unit. ¤

利用 Theorem 9.3.7 我們可以很快的給 Proposition 9.3.5 另一個證明: 假如 F [x]

是 finite dimensional over F , 由於 F [x] 是 integral domain 利用 Theorem 9.3.7 我 們得 F [x] 會是一個 field. 但這是不可能的, 因為 F [x] 中只有 degree 為 0 的元素 才是 unit.

9.4. Extension Field

給定一個 field F , 我們當然可以討論其 subfield, 不過因一般 field 的理論關心的是 給定 f (x) ∈ F [x] 如果在 F 中 f (x) 沒有根, 那麼如何在比 F 大的 field 找到根. 所 以我們比較關心的就是所謂 F 的 extension field.

Definition 9.4.1. 給定 F 是一個 field, 若 L ⊇ F 也是一個 field 而且 L 的運算限 制在 F 中就是原本 F 的運算, 則我們稱 L 是 F 的一個 extension (或稱 extension field). 當然了我們也可以稱 F 是 L 的一個 subfield.

假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 extension field, 由 Lemma 9.1.1 知 L 是 一個 integral domain, 故由前一節的討論我們知 L 是一個 vector space over F . 我 們當然可以討論 L over F 的 dimension.

Definition 9.4.2. 假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 extension field. 如果將 L 看成是 over F 的一個 vector space 是一個 finite dimensional vector space over F , 則稱 L 是 F 的一個 finite extension. 通常我們會將 dimF(L) 用 [L : F ] 來表示, 稱之為 the degree of L over F (而不是說 the dimension of L over F ).

我們可以利用 Theorem 9.3.7 得到以下有趣的結果:

Proposition 9.4.3. 假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 finite extension. 如果 R 是 L 的一個 subring 且符合 F ⊆ R ⊆ L, 則 R 是一個 field.

Proof. 我們不打算用定義直接證明 R 是一個 field, 而是想套用 Theorem 9.3.7 來 得到. 要套用 Theorem 9.3.7, 我們必須說明 R 是一個 integral domain 且 dimF(R) 是有限的.

因為 L 已經是一個 integral domain (Lemma 9.1.1), 而 R 是 L 的 subring, 所 以 R 當然是 integral domain. 另一方面, 我們可以把 R 看成是 L 的一個 subspace over F . 故利用 L 是 F 的一個 finite extension 的假設以及 Lemma 9.3.4 知 dimF(R) ≤ dimF(L), 換句話說 R 是一個 finite dimensional vector space over F .

因此利用 Theorem 9.3.7 (2) 得證 R 是一個 field. ¤

(15)

若 L 是 F 的一個 finite extension, 則直接將 Theorem 9.3.7 (1) 套用在 L 上, 我 們馬上知對任意的 a ∈ L 皆存在一個 F [x] 中的 polynomial f (x) 6= 0 滿足 f (a) = 0.

這樣的元素我們給它一個特殊的名字.

Definition 9.4.4. 假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 extension field. 假設 a ∈ L, 如果存在 F [x] 中的一個非 0 的 polynomial f (x) 滿足 f (a) = 0, 則稱 a 是 algebraic over F .

所以 Theorem 9.3.7 告訴我們以下結果:

Lemma 9.4.5. 假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 finite extension, 則 L 中的 元素都是 algebraic over F .

當一個 extensional field of F 中的元素都是 algebraic over F 時, 我們稱這個 extension 是一個 algebraic extension. Lemma 9.4.5 告訴我們任何的 finite extension of F 也都是 algebraic extension of F . 不過要注意的是一個 algebraic extension of F 不一定是 finite extension of F .

最後我們再看一個有關 finite extension 重要的性質. 如果 F 是一個 field, K 是 F 的 一個 extension field, 而又 L 是 K 的一個 extension field. 也就是我們有 F ⊆ K ⊆ L 這一個關係. 當然了 L 也可看成是 F 的一個 extension. 現若假設 K over F 和 L over K 都是 finite extension, 我們自然會問那麼 L 看成是 F 的 extension 時是否也是 finite extension?

Theorem 9.4.6. 假設 F 是一個 field, L 和 K 都是 F 的 extensions 且符合 F ⊆ K ⊆ L. 若已知 K 是 F 的一個 finite extension 且 L 是 K 的一個 finite extension, 則 L 也是 F 的一個 finite extension, 而且

[L : F ] = [L : K][K : F ].

Proof. 假設 [K : F ] = m 以及 [L : K] = n, 我們想證明 L 是一個 finite extension of F 且其 degree 為 m · n. 由 [K : F ] = m 的假設知 dimF(K) = m, 即存在 a1, . . . , am∈ K 是 K over F 的一組 basis. 同樣的存在 b1, . . . , bn∈ L 是 L over K 的一組 basis. 我們想證明

{ai· bj}, i = 1, . . . , m 且 j = 1, . . . , n

是 L over F 的一組 basis. 如此自然得證本定理. 首先要注意的是因為 K ⊆ L 所 以由 ai∈ K, bj ∈ L 自然可得 ai· bj ∈ L. 我們要證明這些 ai· bj span L over F 且 是 linearly independent over F .

首先證明 {ai· bj} span L over F : 任取 α ∈ L, 我們要找到 ci,j ∈ F 使得 α =

Xn j=1

Xm i=1

ci,j· (ai· bj).

(16)

9.4. Extension Field 177

然而因 b1, . . . , bn span L over K, 我們可以找到 d1, . . . , dn∈ K 使得

α = d1· b1+ · · · + dn· bn. (9.4) 再利用 a1, . . . , amspan K over F , 對任一 dj ∈ K, 我們都可以找到 c1,j, . . . , cm,j ∈ F 使得

dj = c1,j· a1+ c2,j · a2+ · · · + cm,j· am. 將這些 dj 帶入式子 (9.4), 得證{ai· bj} span L over F .

接著證明 {ai· bj} 是 linearly independent over F . 利用反證法, 假設存在一組 不全為 0 的 ci,j ∈ F 使得 P

ci,j· (ai· bj) = 0. 這表示 0 = (c1,1· a1+ c2,1· a2+ · · · + cm,1· am) · b1

+ · · · + (c1,n· a1+ c2,n· a2+ · · · + cm,n· am) · bn 注意對任意的 j = 1, . . . , n, 若令

dj = c1,j· a1+ c2,j · a2+ · · · + cm,j· am, 因為 ci,j ∈ F , ai ∈ K 且 F ⊆ K, 我們有 dj ∈ K 且

0 = d1· b1+ d2· b2+ · · · + dn· bn.

因為 b1, . . . , bn 是 linearly independent over K, 故得 d1 = d2 = · · · = dn= 0. 換句 話說對任意的 j = 1, . . . , n, 皆有

0 = dj = c1,j· a1+ c2,j · a2+ · · · + cm,j· am.

再利用 a1, . . . , am 是 linearly independent over F 以及這些 ci,j 皆屬於 F , 我們得 這些 ci,j 皆等於 0. 此和當初假設 ci,j 不全為 0 相矛盾, 故得證 {ai· bj} 是 linearly

independent over F . ¤

要注意 Theorem 9.4.6 中的條件是要求 K 是 F 的 finite extension 且 L 是 K 的 finite extension 才能推得 L 是 F 的 finite extension. 我們自然會問反過來對嗎?

也就是說但如果已知 L 是 F 的 finite extension, 我們是否可得 K 是 F 的 finite extension 且 L 是 K 的 finite extension 呢? 答案是肯定的, 事實上我們有以下的 結果:

Corollary 9.4.7. 假設 F 是一個 field, L 和 K 都是 F 的 extensions 且符合 F ⊆ K ⊆ L. 若已知 L 是 F 的一個 finite extension, 則 K 是 F 的一個 finite extension 且 L 是 K 的一個 finite extension, 而且

[L : F ] = [L : K][K : F ].

Proof. 由 F ⊆ K ⊆ L 這個關係式, 我們可將 K 看成是 L over F 的 subspace, 所以由 Lemma 9.3.4 (3) 知 dimF(L) ≥ dimF(K), 換句話說若 L over F 是一 個 finite extension 那麼 K over F 當然也是 finite extension. 另一方面若假設 [L : F ] = dimF(L) = n, 也就說存在 a1, . . . , an∈ L 是一組 L over F 的 basis, 由於

(17)

a1, . . . , an span L over F 再加上 F ⊆ K, 我們當然知 a1, . . . , an 也 span L over K.

所以利用 Lemma 9.3.4 (1) 知 dimK(L) ≤ n = dimF(L). 因此得 L 是 K 的一個 finite extension.

上面已證若 L 是 F 的一個 finite extension, 則 K 是 F 的一個 finite extension 且 L 是 K 的一個 finite extension. 因此可套用 Theorem 9.4.6 得證

[L : F ] = [L : K][K : F ].

¤

(18)

Chapter 10

中級 Field 的性質

在這一章中我們要更進一步探討 algebraic element 以及 algebraic extension 的性 質. 另外我們也會利用所得的性質來探討一些有關 finite field 的基本性質.

10.1. Algebraic Elements

假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension. 要知道 F 中的一個元素 a 是 否 algebraic over F , 依定義就必須驗證是否存在一個不為 0 的 f (x) ∈ F [x] 使得 f (a) = 0. 一般來說用這種方法來驗證一個元素是否是 algebraic over F , 技術上是 相當困難的. 這一節中我們將討論幾種和原先 algebraic element 的定義等價的性質, 這樣以後我們要驗證一個元素是否是 algebraic over F 就有多一點的方法來處理.

首先注意當 a ∈ L 是 algebraic over F 時, 事實上滿足 f (x) ∈ F [x] 且 f (a) = 0 的多項式有無窮多個. 不過這其中有一個相當特別. 我們首先可以考慮滿足 f (a) = 0 的 f (x) ∈ F [x] 中 degree 最小的 polynomials. 這樣的 polynomials 有以下兩個重 要的性質.

Lemma 10.1.1. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension. 若 a ∈ L 是 algebraic over F 且 f (x) ∈ F [x] 是 F [x] 中滿足 f (a) = 0 的非 0 多項式中 degree 最小的一個 polynomial, 則 f (x) 有以下兩個性質:

(1) 若 g(x) ∈ F [x] 且 g(a) = 0, 則存在 h(x) ∈ F [x] 滿足 g(x) = f (x) · h(x).

(2) f (x) 是 F [x] 中的 irreducible element.

Proof. (1) 由於 F 是一個 field, 利用 Euclid’s Algorithm (Theorem 7.2.4) 知存在 h(x), r(x) ∈ F [x] 使得

g(x) = f (x) · h(x) + r(x) (10.1) 其中 r(x) = 0 或 deg(r(x)) < deg(f (x)). 將 a 代入式子 (10.1) 得

g(a) = f (a) · h(a) + r(a).

179

(19)

由於 f (a) = g(a) = 0, 我們得 r(a) = 0. 如果 r(x) 6= 0, 則得到 r(x) ∈ F [x] 滿足 deg(r(x)) < deg(f (x)) 且 r(a) = 0. 這和 f (x) 當初的選取相矛盾, 故知 r(x) = 0.

也就是說 g(x) = f (x) · h(x).

(2) 假設 f (x) 在 F [x] 中不是 irreducible, 即存在 h(x), l(x) ∈ F [x] 滿足 deg(h(x)) < deg(f (x)), deg(l(x)) < deg(f (x)) 且 f (x) = h(x) · l(x). 將 a 代入 上式, 由 f (a) = 0 知 h(a) · l(a) = 0. 由於 h(x), l(x) ∈ F [x] 且 a ∈ L, 我們知 h(a), l(a) ∈ L. 故由 L 是 integral domain (Lemma 9.1.1) 得 h(a) = 0 或 l(a) = 0.

這再次和 f (x) 的選取相矛盾, 故知 f (x) 是 F [x] 中的 irreducible element. ¤ 若 f (x) ∈ F [x] 是 F [x] 中符合 f (a) = 0 degree 最小的 polynomial 且 g(x) ∈ F [x]

滿足 g(a) = 0, 則由 Lemma 10.1.1 (1) 知 g(x) ∈¡ f (x)¢

. 現在如果 g(x) 也是 F [x]

中符合 g(a) = 0 degree 最小的 polynomial, 則可得 ¡ f (x)¢

g(x)¢

. 由於 F [x] 中 的 unit 都是 F 中的非 0 元素 (Proposition 7.2.3) 利用 Lemma 8.1.3 知存在 c ∈ F 使得 f (x) = c · g(x). 所以如果我們將這些次數最低而滿足 f (a) = 0 的 polynomial 除以它們的最高次項係數所得的 monic polynomial 就唯一了. 因此我們有以下之 定義.

Definition 10.1.2. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension field 且 a ∈ L 是 algebraic over F . 若 p(x) ∈ F [x] 是 F [x] 的非 0 polynomial 中滿足 p(a) = 0 degree 最小的 monic polynomial, 則稱 p(x) 是 a over F 的 minimal polynomial. 又 如果 deg(p(x)) = n, 則稱 a 是 algebraic over F of degree n.

我們知道當 [L : F ] 是有限的時候, L 中的元素都是 algebraic over F . 若 [L : F ] = n 且 a ∈ L, 則由於 1, a, . . . , an 一定 linearly independent over F , 故 知存在 f (x) ∈ F [x] 且 deg(f (x)) ≤ n 使得 f (a) = 0 (詳見 Theorem 9.3.7 的証 明) 故由 minimal polynomial 的定義知: 若 p(x) 是 a 的 minimal polynomial, 則 deg(p(x)) ≤ deg(f (x)) ≤ n. 換言之我們得 a 的 degree 小於或等於 [L : F ]. 我們將 這個結果寫成以下之 Lemma.

Lemma 10.1.3. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 finite extension, 則 L 中任 意的元素都是 algebraic over F 且其 degree 小於或等於 [L : F ].

當 L 不是 finite extension over F 時, L 中當然有可能存在元素是 algebraic over F . 如果 a ∈ L 是 algebraic over F , 我們想知道 F 和 L 之間是否可以找到一個 field K 是 F 的一個 finite extension 滿足 a ∈ K?

Definition 10.1.4. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension field. 若 K 是 L 的一個 extension field 且 F ⊆ K ⊆ L, 則稱 K 是 L over F 的一個 subextension 或是 intermediate field.

(20)

10.1. Algebraic Elements 181

Proposition 10.1.5. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension field. 若 a ∈ L 是 algebraic over F 且其 degree 為 n, 則存在 L over F 的一個 subextension K 滿 足 a ∈ K 且 [K : F ] = n.

Proof. 考慮 φ : F [x] → L 其中對任意的 f (x) ∈ F [x], φ(f (x)) = f (a). 由於 a ∈ L, 所以自然有 φ(f (x)) = f (a) ∈ L, 因此 φ 確實是一個從 F [x] 映射到 L 的函數. 很 容易驗證 φ 是一個 ring homomorphism.

什麼是 ker(φ) 呢? 由於 F [x] 是一個 principle ideal domain 且 ker(φ) 是 F [x]

的一個 ideal, 我們知存在 p(x) ∈ f [x] 使得 ker(φ) = ¡ p(x)¢

. 事實上 我們可以有 ker(φ) =¡

p(x)¢

其中 p(x) 是 a 的 minimal polynomial. 這是因為若 f (x) ∈ ker(φ), 則知 φ(f (x)) = f (a) = 0. 故由 Lemma 10.1.1 知 f (x) ∈ ¡

p(x)¢

. 反之, 對任 意 f (x) ∈ ¡

p(x)¢

, 存在 h(x) ∈ F [x] 使得 f (x) = p(x) · h(x), 因此由 p(a) = 0 得 f (a) = p(a) · h(a) = 0. 故得證 ker(φ) = ¡

p(x)¢

, 其中 p(x) 是 a 的 minimal polynomial.

現由 First Isomorphism Theorem (6.4.2) 知 F [x]/¡

p(x)¢

' im(φ).

然而 p(x) 是 F [x] 的一個 irreducible element (Lemma 10.1.1), 故由¡ p(x)¢

是 F [x] 的 一個 maximal ideal (Lemma 8.3.2), 得知 F [x]/¡

p(x)¢

是一個 field (Theorem 6.5.11).

換言之 im(φ) 是一個 field.

至於什麼是 im(φ) 呢? 由定義知

im(φ) = {f (a) | f (x) ∈ F [x]}.

換言之, im(φ) 裡的元素都是由某個 F [x] 裡的 polynomial 代入 a 所得. 所以若 c ∈ F , 我們自然有 φ(c) = c ∈ im(φ), 故得 F ⊆ im(φ) ⊆ L. 另一方面將 a 代入 x 這 一個 polynomial 得到 a: 也就是說 φ 將 x 送到 a (即 φ(x) = a), 故知 a ∈ im(φ). 所 以若令 K = im(φ), 則知 K 是 L over F 的一個 subextension 且 a ∈ K. 最後由假設 a over F 的 degree 是 n, 也就是說 a 的 minimal polynomial p(x) 的 degree 是 n, 因 此由 Lemma 9.3.6 知 dimF(F [x]/¡

p(x)¢

) = deg(p(x)) = n. 故由 K ' F [x]/¡ p(x)¢

知 [K : F ] = n. ¤

若僅由定義來看 Proposition 10.1.5 中的 im(φ) = {f (a) | f (x) ∈ F [x]} 只是 一個 ring, 那為何它會是 field 呢? 若你記得 Theorem 9.3.7 這就一點都不奇怪 了. 因為 im(φ) ⊆ L 自然是 integral domain, 而由 Proposition 10.1.5 的證明也知 dimF(im(φ)) = n.

我們也很容易檢查 {f (a) | f (x) ∈ F [x]} 會是 L 中包含 F 以及 a 最小的 ring, 這 是因為若 R 是一個 ring 且包含 F 以及 a, 則對任意的 f (x) ∈ F [x], 由於 f (a) 僅牽 涉到 a 和 F 中的元素間的加法以及乘法, 別忘了這些都是 R 中元素的運算所以當然

(21)

得 f (a) ∈ R. 換言之我們得 {f (a) | f (x) ∈ F [x]} ⊆ R, 再加上 {f (a) | f (x) ∈ F [x]}

本身是一個 ring 所以它自然是包含 F 以及 a 最小的 ring 了!

為了方便我們定以下之符號, 在一般的代數書上這個定義是標準的且常被使用 的定義.

Definition 10.1.6. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension field 且 a ∈ L.

我們令 F [a] 表示 L 中包含 F 以及 a 最小的 ring; 我們也令 F (a) 表示 L 中包含 F 以及 a 最小的 field.

前面已知 F [a] 就是 im(φ) = {f (a) | f (x) ∈ F [x]}. 那麼 F (a) 中的元素又是怎 樣呢? 利用 quotient field 的性質 (Proposition 7.4.2) 很容易驗證

F (a) = {f (a)/g(a) | f (x), g(x) ∈ F [x] 且 g(a) 6= 0}.

由這裡可看出: 一般來說 F [a] 和 F (a) 是不相同的; 不過前面提過若 a 是 algebraic over F , 則 F [a] 會是一個 field, 所以 F [a] 自然是包含 F 以及 a 最小的 field. 換句 話說當 a 是 algebraic over F 時, 我們有 F [a] = F (a). 因此 F (a) 就是 Proposition 10.1.5 中所要找的 K, 所以我們將 Proposition 10.1.5 重整以後可以得:

Corollary 10.1.7. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension field. 若 a ∈ L 是 algebraic over F 且 p(x) ∈ F [x] 為 a over F 的 minimal polynomial, 則

F (a) ' F [x]/¡ p(x)¢

and [F (a) : F ] = deg(p(x)).

Remark 10.1.8. 同學或許會奇怪 F [a] 裡的元素長的是 f (a) 其中 f (x) ∈ F [x] 這 種樣子, 而 F (a) 裡的元素長的是 f (a)/g(a) 其中 f (x), g(x) ∈ F [x] 這種樣子: 兩個 樣子差這麼多, 怎麼可能會 F [a] = F (a) 呢? 這是因為當 a 是 algebraic over F 時, F [a] (或 F (a)) 裡的元素其表示法是不唯一的. 例如若 p(x) ∈ F [x] 是 a 的 minimal polynomial, 如果令 g(x) = f (x) + p(x), 則 g(a) = f (a). 所以當然有可能用不同的 形式寫下來的元素它們的值是相同的.

接下來我們就來看和 a 是 algebraic over F 等價的條件是什麼?

Theorem 10.1.9. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension field 且 a ∈ L, 則下面有關於 a 的敘述是等價的.

(1) a 是 algebraic over F .

(2) 存在 K 是 L over F 的 subextension 滿足 a ∈ K 且 [K : F ] 是有限的.

(3) F [a] = F (a).

Proof. 由前面 Proposition 10.1.5 可知 (1) ⇒ (2), 所以我們僅要驗證 (2) ⇒ (3) 以 及 (3) ⇒ (1).

(22)

10.2. Algebraic Closure 183

(2) ⇒ (3): 若 K 是 L over F 的 subextension (即 F ⊆ K ⊆ L), 則由假設 a ∈ K 知 F [a] ⊆ K. 再由假設 K 是 F 的一個 finite extension, 套用 Proposition 9.4.3 可 得 F [a] 是一個 field. 故知 F [a] = F (a).

(3) ⇒ (1): 假設 F [a] = F (a), 也就是說 F [a] 是一個 field. 如果 a = 0 ∈ F , 那 當然 a 是 algebraic over F (注意 F 中的元素當然是 algebraic over F ). 如果 a 6= 0, 則由 a ∈ F [a] 且 F [a] 是一個 field 知 a−1 ∈ F [a]. 別忘了 F [a] 裡的元素都是 f (a), 其中 f (x) ∈ F [x] 這種形式, 所以我們有 a−1 = f (a), 其中

f (x) = cnxn+ · · · + c1x + c0, ci ∈ F.

故由

a−1= cn· an+ · · · + c1· a + c0

1 = cn· an+1+ · · · + c1· a2+ c0· a.

因此若令

g(x) = cnxn+1+ · · · + c1x2+ c0x − 1,

則 g(a) = 0. 由於 g(x) ∈ F [x] 且 g(x) 6= 0, 故知 a 是 algebraic over F . ¤ Theorem 10.1.9 給了我們一個很好的方法來驗證 a 是否是 algebraic over F . 也 就是說今後要檢查 a 是 algebraic over F 我們可以不必真的去找一個 f (x) ∈ F [x] 使 得 f (a) = 0. 當然了要用什們方法會因問題而有所差別. 比方說若 a2 ∈ L 且我們知 a2 是 algebraic over F , 如果 f (x) ∈ F [x] 滿足 f (a2) = 0, 則令 g(x) = f (x2), 我們 可得 g(a) = f (a2) = 0. 因此知 a 也是 algebraic over F . 也就是當 a2 是 algebraic over F 時, a 也會是 algebraic over F . 但是反過來, 如果已知 a 是 algebraic over F , 我們就無法利用滿足 a 的 polynomial 來製造一個滿足 a2 的 polynomial 了. 同 學或許會想若 f (a) = 0, 我們可以令 g(x) = f (x1/2), 則 g(a2) = f (a) = 0 呀! 這是 不對的, 因為 f (x) 若有奇數次項, 則 g(x) = f (x1/2) 就不再是一個 polynomial 了.

所以在這種狀況下就不可能利用找 polynomial 的方法來證明 a2 是 algebraic over F . 其實當 a 是 algebraic over F 時利用 Theorem 10.1.9 知存在一個 field K 是 F 的 finite extension 且 a ∈ K. 然而 K 是一個 field 且 a ∈ K, 所以當然 a2∈ K, 所 以再用一次 Theorem 10.1.9 (或是利用 Lemma 10.1.3) 我們得證 a2 也是 algebraic over F . 以後我們常會用類似的方法來處理相關的問題.

10.2. Algebraic Closure

當 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension 時, 我們可以將 L 中的元素分成 algebraic over F 和不是 algebraic over F 的兩種. 在這一節中我們將探討 L 中所有 algebraic over F 的元素所成之集合.

Definition 10.2.1. 假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 extension. 我們令 LF = {a ∈ L | a 是 algebraic over F },

(23)

稱之為 F 在 L 的 algebraic closure.

F 中的元素當然是 algebraic over F , 所以由定義知 F ⊆ LF ⊆ L. 另外如果 L 是 F 的一個 finite extension, 則由 Lemma 9.4.5 知 L 中的元素都 algebraic over F , 所以在這個假設之下 LF = L.

接下來我們要證明 LF 的一個重要性質, 即 LF 是一個 field. 換言之, 我們要證 明若 a, b ∈ LF, 其中 b 6= 0, 則 a − b 以及 a · b−1 皆在 LF 中 (Lemma 9.1.4). 要如 何證明這些元素都是 algebraic over F 呢? 當然不可能用找 polynomial 的方法, 我 們必須藉助 Theorem 10.1.9. 在這之前我們先推廣一下 Definition 10.1.6.

Definition 10.2.2. 假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 extension. 若 a1, . . . , an L, 則定 F (a1, . . . , an) 表示為 L 中包含 F 以及 a1, . . . , an 最小的 field.

Lemma 10.2.3. 假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 extension. 若 a1, . . . , an∈ L 皆為 algebraic over F , 則 F (a1, . . . , an) 是 F 的一個 finite extension. 事實上, 如 果已知 a1, . . . , an over F 的 degree 分別為 m1, . . . , mn, 則

[F (a1, . . . , an) : F ] ≤ m1· · · mn. Proof. 為了方便, 我們令

K1 = F (a1), K2= K1(a2) = F (a1, a2), . . . , Kn= Kn−1(an) = F (a1, . . . , an).

對任意的 i, 我們有 [Ki : Ki−1] = [Ki−1(ai) : Ki] ≤ mi. 這裡 [Ki−1(ai) : Ki−1] 會小於或等於 mi 的原因是: 由 Corollary 10.1.7 知 [Ki−1(ai) : Ki−1] 的值剛 好是 ai over Ki−1 的 minimal polynomial qi(x) ∈ Ki−1[x] 的 degree. 然而由 假設 ai over F 的 minimal polynomial pi(x) ∈ F [x] 的 degree 為 mi. 由於 pi(x) ∈ F [x] ⊆ Ki−1[x] 且 pi(ai) = 0, 故由 qi(x) 是 ai over Ki−1 的 minimal polynomial 的假設知 deg(qi(x)) ≤ deg(pi(x)) = mi. 故知

[Ki: Ki−1] = [Ki−1(ai) : Ki−1] = deg(qi(x)) ≤ mi.

現在由於每一段 [Ki : Ki−1] 都是有限的, 所以我們可以連續套用 Theorem 9.4.6 得:

[F (a1, . . . , an) : F ] = [Kn: Kn−1][Kn−1: F ]

= [Kn: Kn−1][Kn−1: Kn−2][Kn−2: F ] ...

= [Kn: Kn−1] · · · [K1 : F ] ≤ mn· · · m1.

故得證 F (a1, . . . , an) 是 F 的一個 finite extension. ¤ 利用 Lemma 10.2.3 我們馬上可得知 LF 是一個 field.

(24)

10.2. Algebraic Closure 185

Theorem 10.2.4. 假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 extension. 若 a, b ∈ L, 其中 b 6= 0, 皆為 algebraic over F , 則 a + b, a − b, a · b 以及 a · b−1 皆為 algebraic over F . 由此我們可得 LF 是一個 field.

Proof. 由 Lemma 10.2.3 我們知 F (a, b) 是 F 的一個 finite extension. 由於 a, b ∈ F (a, b), b 6= 0 且 F (a, b) 是一個 field, 我們自然有 a + b, a − b, a · b 以及 a · b−1 皆為 F (a, b) 的元素. 故由 Theorem 10.1.9 (或 Lemma 10.1.3) 知這四個元素皆為 algebraic over F .

今若 a, b ∈ LF, 其中 b 6= 0, 則由定義知 a, b 皆為 algebraic over F . 故由前知 a + b, a − b, a · b 以及 a · b−1 皆為 algebraic over F . 故知這四個元素皆在 LF 中,

因此得證 LF 是一個 field. ¤

假設 L 是 F 的一個 extension, 且 K 是 L over F 的 subextension (即 F ⊆ K ⊆ L).

L 中是 algebraic over K 的元素未必是 algebraic over F . 不過 L 中是 algebraic over F 的元素就一定是 algebraic over K. 這是因為若 a ∈ LF (即 a ∈ L 是 algebraic over F ), 表示在 F [x] 中存在 f (x) 6= 0 使得 f (a) = 0. 由於 f (x) ∈ F [x] ⊆ K[x], 我 們自然得 a 也是 algebraic over K. 故得 a ∈ LK, 換句話說我們總是有

LF ⊆ LK.

我們有興趣知道什麼時候 LF 會等於 LK. 以下是一個例子.

Lemma 10.2.5. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension, 且 K 是 L over F 的 subextension. 若 K 是 F 的一個 finite extension, 則 LF = LK

Proof. 我們已知 LF ⊆ LK, 所以只要證明 LK ⊆ LF. 也就是要證明: 若 a ∈ L 是 algebraic over K, 則 a 是 algebraic over F . 我們考慮 K(a) 這一個 field. 由假設 a 是 algebraic over K, 故利用 Corollary 10.1.7 知 K(a) 是 K 的一個 finite extension.

再加上 K 是 F 的一個 finite extension, 套用 Theorem 9.4.6 可得 [K(a) : F ] = [K(a) : K][K : F ],

因此 K(a) 是 F 的一個 finite extension. 故利用 a ∈ K(a) 以及 Theorem 10.1.9 (或 Lemma 10.1.3) 知 a 是 algebraic over F . ¤ 我們可以將 Lemma 10.2.5 推廣到更一般的狀況. 回顧一下若 K 是 F 的一個 algebraic extension 表示 K 中的元素皆為 algebraic over F . 在 Lemma 10.2.5 中的 假設 K 是 F 的 finite extension, 所以自然是 F 的一個 algebraic extension. 我們 要將 Lemma 10.2.5 推廣到 K 是 F 的 algebraic extension 這個狀況.

Theorem 10.2.6. 假設 F 是一個 field, L 是 F 的一個 extension, 且 K 是 L over F 的 subextension. 若 K 是 F 的一個 algebraic extension, 則 LF = LK

(25)

Proof. 和 Lemma 10.2.5 相同的情形, 我們只要證明: 若 a ∈ L 是 algebraic over K, 則 a 是 algebraic over F . 不過這裡碰到的狀況是 K 可能不是 finite extension over F , 所以我們不能直接套用 Lemma 10.2.5. 要克服這個困難, 我們必須想辦法找 到一個 F 的 finite extension K0 且滿足 a 是 algebraic over K0. 如此再套用 Lemma 10.2.5 得證 a 是 algebraic over F .

由假設 a 是 algebraic over K, 知存在 f (x) 6= 0 且 f (x) ∈ K[x] 使得 f (a) = 0.

假設 f (x) = anxn+ · · · + a0. 由於 an, . . . , a0 ∈ K 且 K 是 F 的一個 algebraic extension, 故知 an, . . . , a0 皆為 algebraic over F . 令 K0 = F (an, . . . , a0), 由 Lemma 10.2.3 知 K0 是 F 的一個 finite extension. 故利用 Lemma 10.2.5 知 LK0 = LF. 另 外由於 an, . . . , a0 ∈ F (an, . . . , a0) = K0, 我們知 f (x) ∈ K0[x]. 故由 f (a) = 0 知 a 是 algebraic over K0. 換言之, 我們有 a ∈ LK0, 故由 LK0 = LF 得知 a ∈ LF. 因此

得證 a 是 algebraic over F . ¤

我們已知 LF 是一個 filed (Theorem 10.2.4) 且 F ⊆ LF ⊆ L. 如果我們再收集 L 中是 algebraic over LF 的元素會不會得到更大的 field 的呢? 換句話來說, 我們 想知道 LL

F (不要被這符號嚇著了) 是什麼? 事實上所謂的 algebraic closure 就是 說 L 中 algebraic over LF 的元素所成的集合就是 LF 自己.

Corollary 10.2.7. 假設 F 是一個 field 且 L 是 F 的一個 extension, 若 a ∈ L 且 a 是 algebraic over LF, 則 a 是 algebraic over F . 也就是說, 我們有

LL

F = LF.

Proof. 首先注意由定義 LF 中的元素都是 algebraic over F , 故知 LF 是 F 的一個 algebraic extension. 因此若令 K = LF, 則 K 符合 Theorem 10.2.6 的條件, 故知 LK = LF. 也因此若 a ∈ L 是 algebraic over LF = K, 表示 a ∈ LK. 故由 LK = LF 得知 a ∈ LF, 也就是說 a 是 algebraic over F . ¤

10.3. Roots of Polynomials

這一節中我們將討論一個 polynomial 在一個 field 中它的根的性質.

首先我們還是來看大家最熟悉的餘式定理.

Lemma 10.3.1. 假設 F 是一個 field. 若 f (x) ∈ F [x], 其中 deg(f (x)) = n, 且 a ∈ F 滿足 f (a) = 0, 則存在 h(x) ∈ F [x], 其中 deg(h(x)) = n − 1, 使得 f (x) = (x − a) · h(x).

Proof. 由於 F 是一個 field, 考慮 f (x) ∈ F [x] 以及 (x − a) ∈ F [x], 利用 Euclid’s Algorithm (Theorem 7.2.4) 知存在 h(x), r(x) ∈ F [x] 滿足 f (x) = (x−a)·h(x)+r(x), 其中 r(x) = 0 或 deg(r(x)) < deg(x − a) = 1. 如果 r(x) 6= 0 由 deg(r(x)) < 1 知 r(x) = c ∈ F 是一個常數. 但由於 f (a) = 0 故將 a 代入 f (x) = (x − a) · h(x) + c

(26)

10.3. Roots of Polynomials 187

得 c = 0, 此和 r(x) 6= 0 相矛盾故知 r(x) = 0. 也就是 f (x) = (x − a) · h(x). 至於 deg(h(x)) = n − 1, 可由 Lemma 7.2.2 直接得知. ¤ 由於 deg(x − a) = 1, 我們知道 x − a 是 F [x] 中的 irreducible element. 因此 Lemma 10.3.1 告訴我們若 f (a) = 0, 則 x − a 會是 f (x) 的一個 irreducible divisor.

利用 F [x] 是 unique factorization domain (Theorem 7.2.14), 我們知存在 k ∈ N 以 及 q(x) ∈ F [x] 使得 f (x) = (x − a)k· q(x), 其中 q(a) 6= 0 (即 x − a 不是 q(x) 的 divisor). 我們依此來定義 a 在 f (x) 的重根數.

Definition 10.3.2. 假設 F 是一個 field. 若 f (x) ∈ F [x] 且 a ∈ F 滿足 f (a) = 0, 則稱 a 是一個 root of f (x). 又如果 f (x) = (x − a)k· q(x), 其中 q(a) 6= 0, 則稱 a 是一個 root of multiplicity k of f (x).

接下來也是大家熟悉的定理: 一個 n 次多項式在一個 field 中計算重根在內至 多有 n 個根. 這裡指的計算重根在內是說如果 a 是 k 重根, 則要算成是 k 個根.

Theorem 10.3.3. 假設 F 是一個 field. 若 f (x) ∈ F [x] 且 deg(f (x)) = n ≥ 1, 則 在 F 中將 multiplicity 計算在內, f (x) 至多有 n 個 roots.

Proof. 我們利用 induction. 如果 deg(f (x)) = 1, 則 f (x) 當然僅有 1 個根. 假設 degree 小於 n 的 polynomial 定理皆成立. 現考慮 f (x) ∈ F [x] 且 deg(f (x)) = n 的情形. 如果 f (x) 在 F 中沒有 root, 則定理當然成立. 如果 a ∈ F 是 f (x) 的一 個 root of multiplicity k, 即表示存在 q(x) ∈ F [x] 使得 f (x) = (x − a)k· q(x), 其中 q(a) 6= 0. 利用 degree 的性質 (Lemma 7.2.2) 我們有 deg(q(x)) = n − k < n, 故利 用 induction 的假設知在 F 中將 multiplicity 計算在內, q(x) 至多有 n − k 個 roots.

然而若 b ∈ F 是 f (x) 的一個 root, 我們有

0 = f (b) = (b − a)k· q(b).

利用 F 是 integral domain, 我們知 f (x) 的 roots 要不是 a 就是 q(x) 的 roots.

因此在 F 中 f (x) roots 的個數就是 k 加上 q(x) 的 roots 的個數, 所以至多有

k + (n − k) = n 個. ¤

我們要看一個元素 a 是否是 f (x) 的一個根, 大家直覺的想法就是將 a 代入 f (x) 看是否為 0. 事實上這是不對的, 要將 a 代入 f (x) 牽扯上 a 和 f (x) 的係數間的加法 和乘法. 換言之如果 a 座落在一個包含 F 和 a 的 field L (至少要是 ring) 中, 這樣 我們才可以將 a 和 f (x) 的係數考慮成是 L 的元素而加以運算. 這樣 f (a) (看成是 L 的元素) 才有意義. 這就是為甚麼我們前面的討論都會先給 F 的一個 extension L, 然後再談論 a ∈ L 與 F [x] 中的 polynomials 的關係. 所以我們自然會問: 給定 任一非常數的 f (x) ∈ F [x] 是否可以找到 F 的一個 extension L 使得 f (x) 在 L 中有根? 答案是肯定的. 以下的定理就是回答這個問題. 我們將會建構一個 F 的 extension field 然後說明在其中可找到一個根. 這個定理的證明同學或許會覺得“虛

(27)

虛”的, 因為好像沒有真的在找根的感覺. 不過這就是數學在談存在性所關心的重 點, 我們只要知道東西存在而不必真正告訴你東西是什麼.

Theorem 10.3.4. 假設 F 是一個 field 且 p(x) ∈ F [x] 是 F [x] 中的 irreducible element, 則存在一個 field L 是 F 的 finite extension, 其中 [L : F ] = deg(p(x)) 且 L 中存在 a ∈ L 滿足 p(a) = 0.

Proof. 令 L = F [x]/¡ p(x)¢

. 由於 p(x) 是 irreducible, 我們知¡ p(x)¢

是 F [x] 中的 maximal ideal, 故知 L 是一個 field.

首先我們要驗證 L 中存在一個 subfield 和 F 是 isomorphic 的, 因此我們可以將 L 看成是 F 的一個 extension. 事實上考慮 π : F → F [x]/¡

p(x)¢

, 定義成 π(c) = c, 很容易驗證 π 是一個 ring homomorphism. 也很容易驗證 π 是一對一的: 這是因 為如果 c ∈ ker(π), 表示 c = 0, 即 c ∈¡

p(x)¢

. 但是 ¡ p(x)¢

中除了 0 以外沒有其他 的常數, 故得 c = 0 (也可套用 Proposition 9.1.5 (2) 得到 π 是一對一). 因此得證 im(π) 是 L 的 subfield 且和 F 是 isomorphic 的.

現在要證明 L 中存在一元素是 p(x) 的根. 考慮 a = x ∈ L, 我們要說明 p(x) = 0 (注意 0 是 L = F [x]/¡

p(x)¢

的 0). 假設 p(x) = anxn+ · · · + a1x + a0, 其中 ai∈ F . 那麼 p(a) 會是什麼呢? 別忘了我們提過這裡代入 a 必須用到的是 L 中的運算, 而 在 L 中 c ∈ F 是需經過 π 送到 L 的, 換句話說我們必須考慮的是 c. 因此有

p(a) = p(x)

= an· xn+ · · · + a1· x + a0

= an· xn+ · · · + a1· x + a0 (依 L 的運算定義)

= anxn+ · · · + a1x + a0

= p(x) = 0

所以 L 中真的存在一個元素代入 p(x) 等於 L 中的 0.

最後由 Lemma 9.3.6 知 [L : F ] = dimF(L) = dimF(F [x]/¡ p(x)¢

) = deg(p(x)).

¤ 由 Theorem 10.3.4 我們很容易得到以下一般的狀況.

Corollary 10.3.5. 假設 F 是一個 field 且 f (x) ∈ F [x], 其中 deg(f (x)) = n ≥ 1, 則存在一個 field L 是 F 的 finite extension, 其中 [L : F ] ≤ n 且 L 中存在 a ∈ L 滿足 f (a) = 0.

Proof. 由於 f (x) ∈ F [x] 而且 deg(f (x)) ≥ 1, 所以 f (x) 不是 F [x] 中的 unit. 利 用 F [x] 是 unique factorization domain, 我們知存在 p(x) ∈ F [x] 是 F [x] 中的 irreducible element 滿足 p(x) | f (x). 注意如果 p(a) = 0, 則當然得 f (a) = 0. 因此 由 Theorem 10.3.4 知存在 L, 其中 [L : F ] = deg(p(x)) ≤ deg(f (x)) 且 a ∈ L, 滿足

f (a) = p(a) = 0. ¤

參考文獻

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