中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：一維離散動力系統之函數圖形探討

系 所 別：應用數學學系碩士班 學號姓名：M09209013 朱 祐 萱 指導教授： 蔣 世 中 博士

中 華 民 國 九十六 年 ㄧ 月

摘 要

本論文主要探討的是ㄧ維的離散動力學，邏輯函數( Logistic Function) f x( )=ux(1−x)且參數條件0< <u 4和0≤ <x 1，本文以參 數介於 3.838 與 3.856 為研究的範圍，並以程式語言C++為主，

繪圖函式庫(openGL)作為圖形顯示，製作互動式程式及繪出疊代 的分布情形。而互動式程式的使用，將有利於幫助學習並了解一 些有趣的性質。

假設 f x( )是一個從實數集到實數集的連續函數，且函數 f x( ) 有一個週期為奇數n且n>1的週期點，對於所有排在n後面的週期 而言，則函數 f x( )必有週期為(n+2)的週期點，也一定會有所有 週期是偶數的週期點，之後由此就可以證得沙可夫斯基定理 (Sarkovsky Theorem)了。

致 謝

研究所求學的生涯即將告一段落，在求學的過程中，遇到了許多 的困難與挑戰，包括課業上、生活上以及對未來的迷惘，這當然也令 我成長不少，這一路走來，受過許多人的幫忙，感謝羅琪老師和李明 恭老師給予我許多的支持與鼓勵，使我最後終能完成學位。

本論文能夠完成，我要向蔣世中老師致上最深的謝意，從論文的 決定到完稿，都提供了非常珍貴的指導，並且為本論文校正疏漏，使 得本論文能夠更加的充實完整。

其次，謝謝陪伴我成長的同學及學弟妹們，謝謝你們的鼓勵與關 懷，在我有困難時給予我適當的協助。因為你們，讓我的研究所生涯 更加多采多姿。

最後我謹呈我的論文給我親愛的雙親及家人，還有所有關心我的 朋友們，因為有你們的默默支持與鼓勵，我才有今日的成就，謹以此 論文獻予你們。

祐萱 謹誌於 中華大學應用數學所

目 錄

摘要... V 致謝詞... VI 目錄...VII

第一章 緒論... 1

第二章 離散動力系統基本定義、定理... 4

2.1 函數疊代的定義... 4

2.2 不動點(Fixed Point) ... 5

2.3 週期點(Periodic Point) ... 9

第三章 討論函數

f x ( ) = ux (1 − x )

^的動力學... 10

3.1 參數

0 < < u 4

^的動力學... 10

3.2 以電腦程式繪出 Logistic Function 的圖形 ... 15

第四章 Sharkovsky Theorem 之探討 ... 20

4.1 Li-Yorke Therorem... 20

4.2 Sharkovsky Theorem ... 26

第五章 結論... 39

附錄... 41

附錄一... 41 附錄二... 42

參考文獻... 48

第一章 緒論

動力系統是非線性科學的一門，隨著動力系統研究的演進，

引發更多數學理論的建立及一系列透過電腦的數值模擬，大大 地提升了「擬週期性及混沌」在科學現象中的正統性。以下我 們以一維離散動力系統為例，做些簡介。

直線上離散動力系統的定義很簡單：假設 f 是一個從實數集 對應到實數集的連續函數，隨便取一個實數x₀。我們可以計算

( )0

f x ， f f x( ( ))₀ ， f f f x( ( ( )))₀ ，…等等。離散動力系統的一 個研究課題就是，我們能夠描述實數列x₀， f x( )₀ ， f^{[ ]2} ( )x₀ ，

[ ]³

( )0

f x ，…， f^{[ ]n} ( )x₀ ，…；當n很大時的表現又是怎樣的情形 呢﹖通常有兩種可能，一種是：太複雜了，我們無法描述，這 是屬於混沌的範疇；另一種是：f^{[ ]n} ( )x₀ = x₀，也就是說，x₀對 f x( ) 疊代n次後會回到x₀自己，我們稱這種點(x₀)為週期點，而滿足 這個方程式 f^{[ ]n} ( )x₀ =x₀的最小正整數n，則稱n為x₀對 f x( )的週 期。

對一般的動力系統，週期點的存在與否，是一個很吸引人的 問題，因為它代表了規律性。像這一類型如沙可夫斯基定理，

其條件簡要，結果之豐富，堪稱數學定理的典範。我們給所有 自然數定一個前後次序，這個次序叫做沙可夫斯基序列，定義 如下：將所有大於一的奇數按由小而大的順序排，可得3 5> >

> >7 9…，然後我們把這些奇數每個都乘上2 後再接著排，得

到3 5 7> > >…>2 3× >2 5 2 7× > × >…，接下來奇數每個都乘上 2 的平方，得到3 5 7> > >…>2 3× >2 5 2 7× > × >…>2²×3>

2 2

2 ×5 2> ×7>…，以此類推，最後把2 的正整數次方按由大而 小的順序排在最後，所以在最後面的週期數列是2ⁿ >2^n-1>2^n-2

2ⁿ-3

> >…>2³>2²> >^{2 1}。

由沙可夫斯基定理可知，即使在不是很複雜的動力系統中都 可找到無窮多的週期解；而這種的週期現象，正是混沌概念的 起源之一。

本論文中是利用疊代(iteration)方法討論當參數介於 3.838 與 3.856 時，它的路徑軌道，也就是了解此系統的週期點(period point)的軌跡性質，並且得到兩個主要結果。第一個結果是由李 天岩和約克(Yorke)的”週期三蘊含混沌(chaos)”一個連續函數 假設有週期三的週期點，則它有其他所有週期的週期點。第二個 結果是沙可夫斯基(Sharkovsky ) 對自然數重新定義它的次序

為：3 5 7> > > …>^{2 3×} >^{2 5 2 7×} > ^× >…>^{22×3 2}> ^{2×5 2}> ^2×7

> …²ⁿ >^2n-1>^2n-2>^2n-3>…>²³>²²> >^{2 1}。

第二章 離散動力系統基本定義、定理

2.1 函數疊代的定義

在本論文中探討數學的問題都包含”疊代”(iteration)的情 形，而所謂”疊代”的動作是指:反覆地求取函數的值，每次將函 數的值視為新的輸入值再輸入函數中。

定義 2.1 設 f ：R→R是連續函數，記為

f^{[ ]n} ( )x = f o f^{[ ]n-1}( ) , x f^{[ ]0} ( )x =x (2.1) 而n為正整數，稱 f^{[ ]n} ( )x 為 f x( )的n次疊代。

舉例說明：令一 f x( )為連續函數，x₀視為函數的初始值，則

( )0

f x 為下次新的輸入值，而 f^{[ ]2} ( )x₀ 稱為函數 f 的疊代兩次，意思 即 f f x( ( ))₀ ， f^{[ ]3}( )x₀ 也就是函數 f 的疊代三次的結果，即

( ( ( )))0

f f f x ，依此類推， f^{[ ]n} ( )x₀ 就是說函數 f 的疊代n次所得的 結果。

在了解”疊代”的定義後，接著我們觀察動力系統運動的長期 行為，就是軌道^{Orb xf( )=}

{

^{f[ ]n ( ) :x n=0,1,2,...}

}

。如表 2-1 是有關 初始值及軌道(orbit)的例子。

表 2-1 有關初始值(initial value)及軌道(orbit)

函數 f x( ) 初始值(x₀) x₀在函數 f 的”軌道”

( ) 2 1

f x = +x 0 0,1,2,5,26,...

( ) ( 2)2

f x = −x 2 2,0,4,4,4,...

( ) 1 4

f x = x+ -1 -1,0,0.5,0.375,0.34375,...

2.2 不動點(Fixed Point)

對於不同的函數及不同的初始值，則會形成不同的軌跡路 徑，其中有的逐漸發散、有的趨於收斂、有的固定在某些點上跳 動。

定義 2.2 設 f ：R→R是連續函數，若 f p( )= p 則稱p為函數 f x( )的不動點(fixed point)。

定義 2.3 令p為函數 f x( )的不動點，對ε >0且x∈ −(p ε,p+ε)， 滿足 f^{[ ]n} ( )x → p，當n→ ∞

則稱p是函數 f x( )的吸引型不動點(attracting fixed point)。

定義 2.4令p為函數 f x( )的不動點，對ε >0且x∈ −(p ε,p+ε)， 滿足 f x( )− > −p x p

則稱p是函數 f x( )的排斥型不動點(repelling fixed point)。

根據以上的定義，我們還可以利用圖形來作為輔助的工具，

觀察不動點的行為，如圖 2-1。

圖 2-1 不動點

定理 2.5 設 f ：R→R是連續函數，且 f x( )在不動點 p是可微分的，則

(a) f p^'( ) 1< ，則p是吸引型不動點(attracting fixed point)，

(b) f p^'( ) 1> ，則p是排斥型不動點(repelling fixed point)，

(c) f p^'( ) 1= ，則p不是吸引型，就是排斥型或兩者都不是。

x y

Fixed point f

y=x

[證明]

1. 若 f p^'( ) 1< ，藉由導數的概念得知，有一個正數A<1和一個開 區間J =(p−ε,p+ε)且使得x J∈ ，

但x≠ p時，則

^{f x( ) f p( )} A x p

− ≤

−

對所有的x J∈ 滿足 f x( )− f p( ) ≤A x p− ； 因p為不動點，可以將它表示成:

f x( )− =p f x( )− f p( ) ≤ A x p−

2. 若 f^{[ ]n} ( )x = p，當n→ ∞且n N∈ ，則 f^{[ ]n} ( )x → p。

再利用歸納法來證明它，假設對所有的n，則 f^{[ ]n} ( )x ≠ p。 當n=1時，則 f x( )− =p f x( )− f p( ) ≤ A x p− 成立。

當n n= 且n≥1，則 f^{[ ]n} ( )x − ≤p A x pⁿ − 成立。

則n n= +1， f^[n+1]( )x − =p f f( ^{[ ]n} ( ))x − p

≤ A f^{[ ]n} ( )x − ≤p A A x p( ⁿ − )= Aⁿ⁺¹(x p− )也成立。

3. 由0< Aⁿ < <A 1來看，得到 f^{[ ]n} ( )x 在區間 J 裡；因此，當 n→ ∞ 時，則Aⁿ →0，說明了每一個x J∈ ，使得 f^{[ ]n} ( )x → p，故(a) 得證。

同理可得，(b)也以相同類似的方法可以得證，至於(c)則需要 藉由函數本身不動點周圍的點經由疊代的軌道來判斷。

如圖 2-2 至圖 2-4，分別說明定理 2-4(a)(b)(c)的情形。

圖 2-2 p 為吸引型的不動點 圖 2-3 p 為排斥型的不動點

圖 2-4 p 為不是吸引型也不是排斥型

x y

p x

y=x f

x p x x

y

f y=x

x y

x p x y=x

f

2.3 週期點(Periodic Point)

定義 2.6 設 f ：R→R是連續函數且x_0∈R，

滿足 f^{[ ]n} ( )x_{0 =}x₀ (2.2) 則稱x₀為函數 f x( )的週期點(periodic point)，n為x₀對 f x( )的週期，

其週期軌道(periodic orbit)：

Orb x_f^{( )=0}

{

x f x^{0, ( ),0} f^{[ ]2} ( ),...,x⁰ f^{[ ]n−1}( )x⁰

}

(2.3) 另外，周期點還有兩種情形，一種是吸引型週期點(attracting

period point)，另一種是排斥型週期點(repelling period point)。

第三章 討論函數 f x ( ) = ux (1 − x ) 的動力學

本章討論的函數是 f x( )=ux(1−x)，參數u與x的條件限制分 別為：0< <u 4和0≤ <x 1，以下是針對個別情形敘述之：

3.1 參數 0 < < u 4 的動力學

(1) 參數0< <u 1時

函數 f x( )=ux(1− =x) x (3.1) 將(3.1)式經過運算後，可得到兩個不動點(fixed point)，

分別為

1 0

xp = 與

2

(1 1) xp

= −u (3.2) 由(3.2)式和定理 2.5 得知，

p1

x 是吸引型不動點(attracting fixed point)而

p2

x 是排斥型不動點(repelling fixed point)，並從 圖 3-1 清楚了解動力學的軌道方向。

圖 3-1 參數u =0.80與 f x( )=x

(2) 參數1< <u 3時

由上述的(3.1)和(3.2)式及定理 2.5 得知，

p2

x 是吸引型不動 點(attracting fixed point) 而

p1

x 是排斥型不動(repelling fixed point)，如圖 3-2(a)與(b)清楚地了解函數動力學的軌道方向。

(a) u=1.80

(b) u=2.90

圖 3-2(a)參數u =1.80(b)參數u =2.90與 f x( )=x

(3)

參數3 < < u 4 時

根據上述函數所討論的範圍為

0 < < u 3

^{，接著我們針對}

3

u > 作圖分析，看它的變化有何不同之處!

圖 3-3 參數u =3.30與 f x( )=x 由(3.1)式和定理 2.5 得知，兩個不動點

1 0

xp = 與

2

(1 1) xp

= − u 皆是排斥型不動點(repelling fixed point)，

由此可知，當參數0≤ <u 1時，則x_p =0為吸引型不動點，而 參數u >1時，則x_p =0為排斥型不動點；當參數1< 3u< 時，則

(1 1) xp

= −u 為吸引型不動點，而參數u > 3時，則為x_p (1 ¹)

= − u 排 斥型不動點。

從下圖 3-4(a)至(d)中我們很明顯地發現，當參數

u > 3.0

^與

3.0

u ≤

^{時，函數 f[ ]2 ( )x 也有不一樣的情形。}

(a) u=2.5 (b) u=3.0

圖 3-4 (a)參數u =2.50(b)參數u =3.00與 f^{[ ]2} ( )x =x

(c) ^u=3.3 (d) ^u=3.5

圖 3-4 (c)參數u =3.30(d)參數u =3.50與 f^{[ ]2} ( )x =x

可見，當參數u >3時，從圖中可知函數 f^{[ ]2} ( )x =x的交會點 有四個，且有一組 2 週期的軌道(period two attracting orbit)出現。

我們可從(3.1)式經過疊代二次後，可得：

3 4 - 2 3 3 ( 2 - ) -(3 2 2-1) 0

u x u x + u u x u x= (3.3) 推導知其四個不動點：

其解為:

1 0

xp =

2

(1 1) xp

= −u

p3

x = 1 ² 2 3

2

u u u

u

+ + − −

4

1 2 2 3

p 2

u u u

x u

+ − − −

= 。

圖 3-5 2-cycles

{

^xp3,xp4

}

^的圖解

3.2 以電腦程式繪出 Logistic Function 的圖形

本節的目的主要把前面的理論部分，以電腦輔助做進一步地 表現抽象的離散動力學概念，並使其操作程式的過程中，親自體 會出圖形的變化情形及所呈現的數學規則性質。

主要程式:

for (int i=0 ; i<=n ; i++) {

r=a+d*i;

x=0.5;

for (int j=1 ; j <= n1 ; j++) {

x=r*x*(1.0-x);

if (j >= n0 && x<= ymax && x>= ymin) {

glVertex2i((r-a)*l+100, (x-ycenter)*rate+50);

} } }

;

程式使用步驟介紹：

1.在視窗裡輸入參數(u )的左、右端點。

2.輸入 X 軸分割的份數(預設值為 1000)。

3.再接著輸入疊代次數(n)的範圍(預設值從 201~700)。

4.選擇 Y 軸的顯示範圍(0 為顯示全部，1 為自由選取)。

圖 3-6 f x 的( ) Birfurcation 圖形

圖 3-6 所示，當參數(u )與環境設定:輸入 X 軸的左、右端點 (u =0.0 4.0至u = )再將 X 軸方向座標區分為 10,000 等份，再利 用迴圈來作函數重複疊代(iteration)的 700 次的動作，最後選擇 Y 軸的顯示範圍，以觀察其收斂形式。我們以電腦為輔助工具，來 呈現函數重複疊代所形成的Birfurcation 圖形(附錄二：圖 3-7 至 圖 3-14)，圖形的局部放大是便於研究“自我相似”的特性且可以 很清楚地觀察到週期的規律性。

在函數 f x( )=ux(1−x)當中，隨著參數u增大，先是只有週期 1 的穩定解；當參數3.0< <u 3.4時，週期 1 的穩定解分岔為 2 個 週期 2 的穩定解(如圖3-7(a))；當參數3.44< <u 3.54時，2 個週期

2 的穩定解分岔為 4 個週期 4 的穩定解(如圖3-7(b))；

當參數3.54< <u 3.56時，週期 4 的穩定解分岔為週期 8 的穩定解 (如圖3-7(c))；當參數3.562< <u 3.565時，週期 8 的穩定解分岔為 週期 16 的穩定解(如圖3-7(d))；當參數u值接近 3.57 時，週期2^n-1 的穩定解又分岔為週期2ⁿ的穩定解…如此繼續，見表 3.1。對於 邏輯斯函數(Logistic Function)而言，系統的行為隨著參數的不斷 地增加，並以不動點、週期 2、週期 4、週期 8、…、週期2ⁿ、…，

週期倍加的方式進入混沌帶。

表 3-1 Logistic 函數倍週期分岔處參數值

分岔

次數 k 分岔情況 分岔時參數值(u)

1 1 分為 2 u₁=3

2 2 分為 4 u₂=3.449487743

3 4 分為 8 u₃=3.544090359

4 8 分為 16 u₄=3.564407266

5 16 分為 32 u₅=3.568759420

6 32 分為 64 u₆=3.569691610

7 64 分為 128 u₇=3.569891259 8 128 分為 256 u₈=3.569934019

從圖 3-10 中我們可以看出，混沌帶中並非亂成ㄧ片。混沌帶 中存在著不少透明清楚的多點週期，其中最明顯的是u=3.82 處視 窗的週期 3，而這個週期視窗附近的一段分岔圖已經放大顯示在圖 3-11 中。

我們把參數u=3.838~3.856 一段取出來放大，可以看到週期 3 視窗中的每ㄧ簇都發展成像圖 3-7 本身ㄧ樣的分岔序列，它繼續 分岔為週期3 2× 、週期3 4× 、週期3 8× 、週期3 16× (如圖3-12(a)~

(d))…等；然而在圖 3-13 週期 9 中，視窗放大後又可見到同樣結 構的一套東西，並分岔為週期9 2× 、週期9 4× 、週期9 8× 、週期

9 16× (如圖 3-14(a)~ (d))…等。

事實上，這裡所發生的ㄧ切現象，同樣存在於其他的視窗中。

在邏輯函數(Logistic Function)映射中，週期 3 是最能夠看出這些 現象的最短週期，也是最寬的週期視窗，因而數值計算也最易觀 察。

對於上述邏輯函數有這樣的分岔結構，並從圖中可以了解到，

ㄧ維函數映射不斷發生週期倍加分岔，比如存在：2, 2 , 2 , ^{2 3} 2 , , 24 _L ⁿ , , 2_L ^∞及3 2, 3 2 , 3 2 ,3 2 , , 3 2 , , 3 2_{× ×} ² _× ³ _× ⁴ _{L ×} ⁿ _{L ×} ^∞等週 期倍加過程。將所有可能的週期軌道進行了排序，我們可以發現 週期按次序規律地排列，得到沙可夫斯基序列(Sharkovsky ordering)，如下:

3 5 7 9 11 13 15> > > > > > >…，

2 3 2 5 2 7 2 9× × × ×

> > > > >…，

>2²×3 2> ²×5 2> ²×7 2> ²×9>…，

…

>2ⁿ×3 2> ⁿ×5 2> ⁿ×7 2> ⁿ×9>…，

-1 -2 -3 -4

2ⁿ 2ⁿ 2ⁿ 2ⁿ 2ⁿ

> > > > > >…，

，…，>2³ >2²> >2 1

在下章節裏，將繼續探討沙可夫斯基定理(Sharkovsky Theorem)。

第四章 Sharkovsky Theorem 之探討

前章節是利用圖解來說明函數疊代與 Birfurcation 的關係，所 以在本節提出證明給讀者做參考。

4.1 Li-Yorke 定理

為了討論方便，我們引入 f-覆蓋的概念。設 f：I →I為連續，

且I ⊂R是一個區間，如果閉區間I₁⊂I 和I₂ ⊂ I滿足 f I( )₁ ⊃I₂， 即I2 ⊂min_{x I∈}1 f x( ) ,max_{x I∈}1 f x( ) ，則稱I₁ f-覆蓋I₂，並記為

1 2

I →f I ，或直接簡記為I₁⇒I₂。

^證明這個 Li-Yorke 定理之前，我們先了解下面幾個定理的性

質：

定理4. 1 設 f ：I →I為連續，如果I₁⊂I為閉子區間，使得

1 1

( )

f I ⊃I ，則 f 在I₁必有不動點。

[證明]假設^I1=

[ ]

^{a b, 且c、d I∈ 1，並根據}Maximum-Minimum 定 理，則 f c( )=b為最大值及 f d( )=a為最小值，如圖 4-1。

將利用 f I( )₁ ⊃I₁的特性，令函數g x( )= f x( )−x

可得g c( )= f c( )− = − >c b c 0 (4.1) g d( )= f d( )− = − <d a d 0 (4.2)

由(4.1)和(4.2)式並依據堪根定理，且^x∈

( )

^{c d, ，}

使得g x( ) 0= ，則 f x( )− =x 0⇒ ( )f x =x。 又因^x∈

( )

^{c d, ⇒ x I∈ 1，}

可知函數 f 存在一個不動點且在^{I1 =}

[ ]

^{a b, 內。}

( )^{c b}

f =

( )^{d a}

f =

a c d b

圖 4-1

定理4. 2 若 f 在閉區間I、J 為連續函數且滿足 f I( )⊇J，則存在 ㄧ個閉子區間使得K ⊆ I ，且 f K( )= J。

[證明]假設I =[ , a a_{1 2}]與J =[ , ]b b_{1 2} 且 f a( )₁ =b₁和 f a( )₂ =b₂， 則 f I( )⊇ J ，如圖 4-2。

令x₁< x₂^且x₁、x₂∈I，並滿足於下列二式：

{ }

1= sup : 1 2 ( ) 1

x x a ≤ ≤x a ，使得 f x =b ⇒ f x( )₁ =b₁ (4.3)

{ }

2=inf : 1 2 ( ) 2

x x x ≤ ≤x a ，使得 f x =b ⇒ f x( )₂ =b₂ (4.4) 設閉子區間

[

^{x x1 , 2}

]

^{=K且K ⊆ I}，並由(4.3)和(4.4)式可得

[

^{1 2}

]

^{1 2}

( , ) [ , ]

f x x b b

⇒ = ，故 f K( )=J 。

b2

b1

a1 x₁ x₂ a₂

圖 4-2

定理4. 3 若 f 是連續函數且 f a( )=b f b , ( )=c f c , ( )=a，則函數 必存在一個不動點及一個二週期點(period-2 point)。

[證明]假設a b c< < 是 f 的一個3-週期軌道，

( ) , ( ) , ( )

f a =b f b =c f c =a (4.5) 並令^{I0 =}

[ ]

^{a b, I1=}

[ ]

^{b c, ，}

可得

0 1

( )

f I ⊃ I (4.6) f I( )₁ ⊃ I₀UI₁ (4.7) 由(4.5)和(4.7)式且依據定理4. 1，

則 f 必有一個不動點

p1

x (fixed point)在

( )

^{b c,} 內，如圖 4-4。。

由(4.6)式和依據定理4. 2且子區間K ⊂I₀，

使得 f K( )=I₁ (4.8)

[ ]

則函數 f^{[ ]2} 有一個不動點

p2

x (fixed point)且在

( )

^{a b, 內。}

因函數 f^{[ ]2} 的不動點x_p2∈

( )

a b, ， 則 f x( _p2)∈ f a b

( )

, =

[ ]

b c, =I1，得知

2 2

( _p ) _p f x ≠x 。

所以 xp2不是 f 的不動點(fixed point)而是 f 的二週期點(period-2 point)。

圖 4-3 圖 4-4

定理4. 4 ( Li-Yorke 定理) 設 f 在閉區間I為連續函數，若 f 存在 一個三週期點，則對任意正整數n， f 具有n-週期點。

我們假設a b c< < 是 f 的一個3-週期軌道，滿足 ( ) , ( ) , ( )

f a =b f b =c f c =a，以下將證明函數 f 必存在一個n-週 期(period-n )，且有ㄧ個不動點(fixed point)x_p存在於閉區間

[ ]

^{b c,}

內，並滿足下面三個條件式：

(a) f^{[ ]k} ( )x_p 範圍在閉區間

[ ]

^{b c, 內，且k =1,2,3, ,L n−2.。}

(b) f^{[ ]n−1}( )x_p 範圍在區間

( )

^{a b 內。 ,}

(c) f^{[ ]n} ( )x_p =x_p，且x 會落在閉區間_p

[ ]

^{b c 內。 ,}

定義ㄧ連續性的子區間，如下：

-1 -2 2 1 0 1

n n n

A ⊂ A ⊂ A ⊂ ⊂ ⊂ ⊂_L A A A =I 且^{I0 =}

[ ]

^{a b, 及I1=}

[ ]

^{b c, ，}

使得 f I( )₀ ⊃I₁和 f I( )₁ ⊃ I_0UI₁。

[證明]因 f I( )₁ ⊃I₁則 f A( )₁ ⊃ A₁ 由 f A( )₁ ⊃ A₁和A₁⊂ A₀，依據定理4. 2，

可得 f A( )₁ = A₀ 若A₂⊂ A₁，則 f A( ₂)=A₁，

滿足 f^{[ ]2} (A₂)= f A( )₁ = A₀ 若A₃⊂ A₂，則 f A( ₃)= A₂，

滿足 f^{[ ]3} (A₃)= f^{[ ]2} ( )A₂ = A₀ 依據這種連續的特性，我們將發現

( _k) _k-1

f A A

⇒ = 且k =1,2, ,_L n−2. (4.9) 並可得第一個條件式:

⇒ f^{[ ]k} (A_k)= A₀且k =1,2, ,_L n−2. (4.10) 利用(4.10)式，可把函數寫成

f^{[ ]n−1}(A_n-2)= f f( ^{[ ]n−2} (A_n-2))= f A( )₀ (4.11)

因(4.7)和(4.11)式的關係且A_n-1⊂ A_n-2

⇒ f^{[ ]n−1}(A_n-2)= f A( )₀ ⊃I₀；並依據定理4. 2，

⇒ f^{[ ]n−1}(A_n-1)=I₀ (4.12) 接著，把函數寫成

f^{[ ]n} (A_n-1)= f f( ^{[ ]n−1}(A_n-1))= f I( )₀ (4.13) 又因(4.6)和(4.13)式的關係且A_n⊂ A_n-1

⇒ f^{[ ]n} (A_n-1)= f I( )₀ ⊃I₁；並依據定理4. 2，

可得到第三個條件式:

f^{[ ]n} (A_n)=I₁ (4.14) 我們依據定理4. 1，則函數 f 必存在一個不動點^{[ ]n} x_p(fixed point) 且在閉區間

[ ]

^{b c, = An內。}

假設 f^{[ ]n−1}( )x_p =b是成立的，則 f^{[ ]n} ( )x_p = f b( )= =c x_p，

⇒ f x( )_p = f c( )=a 因為A_n⊂ A₂⊂ A₁且 f A( )₁ ⊇ A₀，並依據定理4. 2，

⇒ f A( )₂ = A₀。

又因x_p∈^An=

[ ]

^{b c, 內，使得}

^{f x( )p ∈ f A( n)= =A0}

[ ]

^{b c,} 則 f x( )_p ≠a，故 f^{[ ]n−1}( )x_p ≠b。

同理可得， f^{[ ]n−1}( )x_p ≠a，⇒ ^{f[ ]n−1 (An-1)=}

( )

^{a b,} (4.15)

我們從上述得知，函數 f 經過第(n-2)次疊代，不動點會落在 開區間

[ ]

b c 內，經過第(n-1)次疊代，不動點會落在開區間^,

( )

^{a b,}

內，經過第(n)次疊代，不動點會落在閉區間

[ ]

b c 內，則函數 f 必^, 存在一個n-週期點(period-n point)。

4.2 Sharkovsky Theorem

對於前ㄧ節Li-Yorke Therorem 有所認識了解後，本節將繼 續討論沙可夫斯基序列(Sharkovsky ordering)的現象，如下:

3 5 7 9 11 13 15> > > > > > >…，

2 3 2 5 2 7 2 9× × × ×

> > > > >…，

_>2²×3 2_> ²×5 2_> ²×7 2_> ²×9_>…，

…

_>2ⁿ×3 2_> ⁿ×5 2_> ⁿ×7 2_> ⁿ×9_>…，

-1 -2 -3 -4

2ⁿ 2ⁿ 2ⁿ 2ⁿ 2ⁿ

> > > > > >…，

，…，_>2³ _>2²_{> >}2 1

定理4. 5 (Sharkovsky 定理) 設 f：R→R為連續函數，在沙可夫 斯基序列(Sharkovsky ordering)的定義下，若 f 存在一個週期n且

滿足n k_> ，則 f 必存在ㄧ個週期k。

為了敘述方便，我們將做以下的定義，設 f ：I →I為連續，且 有一週期n(period-n )，其週期軌道(periodic orbit)：

{

^{1 2 3}

}

f ( ) n

Orb x = x < < < <x x _L x ，並

滿足 f x( )₁ > x₁且 f x( )_n <x_n (4.16) 且^{xi =max}

{

^{xi∈Orb x f xf( ); ( )i >xi}

}

故必有ㄧ對相鄰點x_i 和x_i+1，使得

f x( )_i ≥ x_i+1^，f x( _i+1)≤x_i (4.17) 並把

[

x x 等分成(n-1)個閉子區間且^{1 , n}

]

^I1=

[

^{x xi , i+1}

]

^。

若 f I( )_j ⊃I_k，記為I_j →^f I_k (4.18)

， j=1 , 2, , -1_L n ； j k n< <

且 ₁ min ( ) ,max ( )

j j

j x I x I

O ₊ = _∈ f x _∈ f x  (4.19)

性質4. 6-1 若 f 在閉區間I₁為連續函數，且滿足 f x( )_i ≠ x_i+1與 ( _i+1) _i

f x ≠x ^，則 f I( )₁ ⊃ I₁。

[證明]運用(4.15)和(4.16)式，得到

^{f I( )1 = f x x(}

[

^{i , i+1}

] [

^{)= x x1 , n}

] [

^{⊃ x xi , i+1}

]

(4.20) 所以 f I( )₁ ⊃I₁，故得證。

性質4. 6-2 若 f I( )_j ⊃I_k且滿足I_j ⊂O_j，則子區間之間形成ㄧ個

1 2 3

f f

I → →I I → →^f _L ^f Il的環狀。

[證明] 令O_l =^Ux_j , x_j+1，且對每一子區間x_j , (x_j+1⊂ f I_l-1)， 若 f O( _l-1)⊇O_l與I_l-1⊂O_l-1，l ≥2並依據定理4. 2，

可得 f I( _l-1)=O_l (4.21) 滿足I_l ⊂O_l，則

f I( _l-1)=O_l ⊃I_l，^即I_l-1→^f I_l 。 有許多的子區間I I I₂, , , _{3 4L} I_l，則

得到I₁→ →^f I₂ ^f I₃ → →^f _L ^f Il，如圖 4-5。

I1

I2

I3

I4

Ik 1

Il₋

Il

圖 4-5

性質4. 6-3 若 f 在閉區間I₁為連續函數，且子區間

2= _j , _j 1

I x x ₊  ≠I¹，則 f I( )=₁ I_1UI₂。 [證明]假設

( )_{i k}1

f x =x 且^{k1∈ +}

{

^{i 1 , i+2 , ,} L ⁿ

}

與

+1 2

( _i ) _k f x =x 且

{ }

2 1 , 2 , ,

k ∈ _L i ，我們將區分四種情形，討論說明如下：

(一)設 ( )f x_i =x_n且 f x( _i+1)=x₁，則 ^{f I( )1 =}

[

^{x x1 , n}

]

^，

⇒ ^{f I( )1 =}

[

^{x x1 , i}

]

U U^I1

[

^{xi+1 , xn}

]

，如圖 4-6，故不存在。

x1 x^m2

k2

x x_i x_i+1

k1

x xm1

xn

圖 4-6 (二)設 f x( )_i =x_i+1且

+1 2

( _i ) _k

f x =x ，則

1 2 +1

( ) _k , _i

f I =x x  ，

1 2 1

( ) _k , _i f I x x  I

⇒ = ^U ，如圖 4-7。

m2

x x

k2

x

_i

x

_i+1

k1

x x

m1

o

2

圖 4-7

由(4.21)式，可得 f I( )₂ =O₃，如圖 4-7(a)及圖 4-7(b)，故成立。

m2

x x

k2

x

_i

x

_i+1

k1

x x

m1

o

3

I

2

圖 4-7(a)

m2

x x

k2

x

_i

x

_i+1

k1

x x

m1

I

2

圖 4-7(b) (三)設 f x( )_i =x_k1且 f x( _i+1)=x_i，則

1 1

( ) _i , _k f I =x x  ，

1 1 +1 1

( ) _i , _k f I I x x 

⇒ = ^U ，如圖 4-8。

m2

x x

k2

x

_i

x

_i+1

k1

x x

m1

圖 4-8

由(4.21)式，可得 f I( )₂ =O₃，如圖 4-8(a)及圖 4-8(b)，故成立。

m2

x x

k2

x

_i

x

_i+1

k1

x x

m1

I

2

圖 4-7(a)

m2

x x

k2

x

_i

x

_i+1

k1

x x

m1

I

2

圖 4-8(b) (四)設 f x( )_i =x_k1且

+1 2

( _i ) _k

f x =x ，則

2 1

( )1 _k , _k f I =x x  ⇒ f I( )1 =x_k2, x_i^{U U}I1 x_i+1 , x_k1，如圖 4-9。。

m2

x x

k2

x

_i

x

_i+1

k1

x x

m1

o

2

圖 4-9 (1) 令

2, 1 2

k k

x x O

 =

  且

1 2

( _k ) _m f x =x 與

2 1

( _k ) _m f x =x ，

2 1

2 3

( ) _m , _m f O O x x 

⇒ = =  ，

=

但實際上，

2 1 2 1

2 3

( ) _k , , _{m m m}

f I =x x   ≠ x x =O ，如圖 4-9(a)。

m2

x x

k2

x

_i

x

_i+1

k1

x x

m1

I

2

圖 4-9(a) (2) 令

2, 1 2

k k

x x O

 =

  且

1 1

( _k ) _m f x =x 、

2 2

( _k ) _m f x =x ， 同理可證，可得

2 1 2 1

2 3

( ) _m , , _{k m m} f I =x x  ≠x x  =O ， 如圖 4-9(b)，故不存在。

m2

x x

k2

x

_i

x

_i+1

k1

x x

m1

I

2

圖 4-9(b)

性質4. 6-4 若函數 f I( )₁ 經過( - 2)n 次曡代後，並使得

[ ]

-1

1 1

1

, ,

n

j j n

j

x x ₊ x x

=

 =

 

U

^{，則 f( -2)n ( )I1 =}

^[

^{x1 , xn}

^]

^。

[證明]運用(4.21)式，當l=2時⇒ f I( )₁ =O₂ 若 f O( )₂ =O₃，則 f^{[ ]2} ( )I₁ = f O( )₂ =O₃，

並依據性質4.6-2及性質4.6-3，可得 f^{[ ]2}( )I₁ =O₃ =I_{1U U}I₂ I₃。 若 f O( _l-1)=O_l，

同理可得 ⇒ f^{[ ]l-1}( )I₁ = f O( _l-1)=O_l =I_{1U UL U}I₂ I_l。

令^{Ol =}

[

^{x1 , xn}

]

^{且等分成( -1)n 個子區間，即表示}

{

¹ , , , ^{2 -1}

}

l n

O = I I _L I ，可得l=( -1)n ， 並使得 ^{f[ ]n-2 ( )I1 =Ol =}

[

^{x1 , xn}

]

^。

子區間(I_j)的排列，我們發現有兩種組合的情形，如下：

第一種： I_n-1 , I_n-3 , I_n-5 , , , , , , _L I₂ I₁ I_{3 L} I_n-6 , I_n-4 , I_n-2， 第二種：I_n-2 , I_n-4 , I_n-6 , , , , , , _L I₃ I₁ I_{2 L} I_n-5 , I_n-3 , I_n-1， 在本論文中，並將選擇第一種組合來探討之。

【step 1】當 f x( )_i =x_i+1與 f x( _i+1)=x_a ≠x_i且a∈

{

1 , 2 , , -1_L i

}

時，

則 ^{f I( )1 =}

[

^{x xa, i+1}

]

^{⇒ f I( )1 =}

[

^{x xa, i}

]

U^I1， 依據性質4.6-3，可得x_a =x_i-1且 f x( _i+1)=x_i-1。

【step 2】當 f x( _i+1)=x_i-1且^{I2 =}

[

^{xi-1 , xi}

]

，再細分以下兩種可能性，

(a)設

-1 1

( _i ) _b

f x =x ^且b¹∈

{

1 , 2 , , -2_L i

}

， 則 f I( )2 =_x_b1, x_i+1_ ⇒ f I( )₂ ⊃I₁^。

我們得知I₁→ →I₂ I₁^，所以當n=3時，

Li-Yorke Therorem 是成立的。

(b)設

-1 2

( _i ) _b

f x =x ^{且b2∈ +}

{

^{i 2 , i+3 , ,} L ⁿ

}

則 f I( )2 =_x_i-1 , x_b2_

⇒ f I( )2 =

[

x_i-1 , x_i

]

_{U U}I1 _x_i+1 , x_b2_。