就是τ 的每个元素都是D 的子集

§ 3 拓扑空间

一、 基本概念

[拓扑与拓扑空间] 假定D是一个集，τ ^D2（就是τ 的每个元素都是D的子集），且

满足条件：

(i) φ τ ，Dτ ；

(ii) 任何一族属于τ 的集的和集属于τ ；

(iii) 任何有限个属于τ 的集的通集属于τ ，

那末称τ 为D的一个拓扑，称<D,τ >这个有序对（见§1，二）为一个拓扑空间.

假定 X=<D,τ >是一个拓扑空间，那末 D 的每个元素都称为X 里的点，D 的每个子集都 称为 X 里的点集，特别，D 称为 X的承载点集.τ 的每个元素（是 D 的特殊子集）都称为 X 里的开集，τ 称为X的拓扑.

在不至于引起误解的情况下，也往往把一个拓扑空间跟它的承载点集混为一谈.

[凝固拓扑与分散拓扑] 注意，任何一个集 D 的拓扑总是存在的.比如{φ ，D}就是 D 的

一个拓扑，称为D的凝固拓扑，<D，{φ ，D}>称为一个凝固空间，在这个凝固空间里，开集 只有φ 和D.还有^D2也是D的一个拓扑，称为D的分散拓扑，<D, ^D2>称为分散空间，在这 个分散空间里，任何点集都是开集.

[诱导拓扑与拓扑子空间] 假定X是一个拓扑空间，A是X里的一个点集.把X里的任何

一个开集跟A的通集称为A的一个相对开集，那末A的所有相对开集全体τ '是A的一个拓扑，

称为A的诱导拓扑，<A,τ '>称为X的一个拓扑子空间.

注意，凡是说拓扑子空间，它的拓扑一定是指诱导拓扑.

[拓扑的粗细] 假定τ 1和τ 2都是集 D 的拓扑，τ 1τ 2，那末说τ 1比τ 2粗，或者说

τ 2比τ 1细.

一个集D的每个拓扑都是^D2的一个子集，因此是^D22的一个元素，应用划分公理，一个 集D的所有拓扑的全体是一个集，称为D的拓扑族，而粗细关系是这个拓扑族里的一个小大 关系，不过还不是次序，因为D的不同的拓扑不一定可以比粗细.因此，D的拓扑族按照这个 粗细关系是一个分行集.不过，当D的元素不止一个时，D一定有最粗的拓扑，那就是凝固拓 扑，也一定有最细的拓扑，那就是分散拓扑.

[拓扑亚基与拓扑的确定] 虽然一个集D的任何一族子集的全体只要满足上面定义的条

* 实数的进位制见第一章，§1，一.

件（i），（ii），（iii）就可以取做拓扑，但是要验证这些条件是否满足往往不很方便.通常要利 用拓扑亚基的概念来确定一个拓扑.

假定 是集D的一族子集（就是  ^D2），把D的所有掩盖 的拓扑τ （就是τ ）的

通集记作τ 0，那末不难看到，τ 0是一个拓扑，并且是掩盖 的最粗的拓扑.τ 0称为 所繁 殖的拓扑，而称为τ 0的一个亚基.

任何一个拓扑τ 都是它自己所繁殖的拓扑，因此都是自己的一个亚基.

由这定义知道，集D的任何一族子集可以繁殖出一个唯一的拓扑来.

例 1 （一维实数空间 R¹）把实数全体记作 R¹.由所有区间（a，b）（当 ab，（a，b）表 示空集）的全体所繁殖的拓扑τ ¹称为R¹的普通拓扑.以后如果没有另外说明，就把R¹当作具 备这个普通拓扑的拓扑空间，称为一维实数空间.

R¹ 当作集看还有别的拓扑，除凝固拓扑、分散拓扑外，比如由所有的半闭区间（a，b]

（就是{x|axb }，当 ab 时，（a，b]表示空集）全体也繁殖出一个拓扑来.但是这些都不 是普通拓扑，如果要采用这些拓扑，要另外声明.

[拓扑基] 假定 是一个拓扑空间X里的一族开集的全体.如果X里任何一个开集都是一

族属于 的开集的和集，那末称为X的拓扑的一个基.显然X的拓扑自己就是自己的一个基.

由这定义知道，如果 是拓扑空间X的拓扑的一个基，那末一定是X的拓扑的一个亚基.

定理 一个集D的一族子集的全体 是它所繁殖的拓扑的一个基的充分必要条件是：对 任何A，任何B 和任何xA∩ B，存在C,使xCA∩ B.

因此可以看到，所有实数区间（a，b）的全体是R¹的普通拓扑的一个基，因为属于任何 两个区间的通集的任何一个实数 x，一定属于这个通集的一个子区间，因此还知道R¹里的任 何一个开集都是区间的和集.

[开邻域、邻域与基本邻域] 假定一个拓扑空间里的一点x属于一个开集，那末称这开集

为x的一个开邻域.假定一个点集掩盖x的一个点邻域，那末称这点集为x的一个邻域.假设x 的一个开邻域属于这空间的拓扑的基，那末称这开邻域为x的一个基本邻域.

一个拓扑空间里的一个点集S是开集的充分必要条件：属于 S的每一点都至少有一个基 本邻域被S所掩盖.

开集也可用基本邻域的概念来定义.这是通常利用拓扑基来确定拓扑的另一个办法.例如 这样规定：假定S是一个实数集.如果对任何xS，存在一个区间（a，b）使x（a，b）S，

那末称S为一个开集.所有这种开集全体正好就是R¹的普通拓扑.

[拓扑乘积空间] 假定{Xh|hH}是一个拓扑空间族，Xh=< Dh τ h>,那末 _h

h k

k

h

D A

A ( ) | {







是τ h 的任何一个元素，h是H的任何一个元素}是

H h

Dh



 的一个子集族，由这个子集族繁殖出

H h

Dh



 的一个拓扑τ ，称为这族τ h的乘积拓扑.把<

H h

Dh



 ,τ >称为这族拓扑空间 X_h 的拓扑乘积

空间.

注意，{

H h

Ah



 |A_h 是τ h的任何一个元素}这个集族所繁殖的拓扑一般比乘积拓扑细.只有对 有限个拓扑空间的乘积，才跟乘积拓扑一致.

在不至于引起误解的情况，这个拓扑乘积空间往往就记作它的承载点集

H h

Dh



 ，因为说到 拓扑乘积空间，意思就是它的拓扑是乘积拓扑.

[n维实数空间与n维区间] 把所有实数全体记作R¹.由例 1 可知R¹是一维实数空间.当n 是一个正整数时，n个R¹的拓扑乘积空间   

个 n

R R

R¹ ¹  ¹,记作Rⁿ，称为n维实数空间.

如果把 n 个区间的直接积(a₁,b₁)(a_n,b_n)称为 n 维区间（如果其中某个（ai，bi）=

φ 的话，这个直接积也当作φ 理解），那末由拓扑乘积空间的定义知道，Rⁿ的拓扑就是所有n 维区间的全体繁殖出来的拓扑，而且所有n维区间的全体是这个拓扑的一个基.换句话说，Rⁿ 里的任何一个开集都是n维区间的和集.

二、 点集的基本拓扑概念

[内部·外部·边界·包] 假定 S 是拓扑空间 X=<D,τ >里的一个点集，也就是 SD，那末

相对于S可以把X里的点分为三类：

1° 内点与内部.如果对一点x存在一个开集V，使xVS，那末称x为S的内点.

S的所有内点的全体，称为S的内部，记作N（S），S的内部是S的子集.

2° 外点与外部.S的余集D\S的内点称为S的外点.

S的所有外点的全体称为S的外部，S的外部是S的余集的子集.

3^o 边界点与边界.既不是S的内点也不是S的外点的点称为S的边界点.

S的边界点的全体称为S的边界，记作B（S）.

S∪ B(S)称为S的包，记作S=S∪ B（S）.

它们之间的基本关系如下：

点集S的边界同时也是S的余集的边界.

点集S的包的余集就是S的外部；S的余集的包的余集就是S的内部.

点集S的包就是S的内部和S的边界的和集，也就是说S=S∪ B（S）=N（S）∪ B（S）；

注意，一般S和N(S)不一定相等，也就是S=N(S)∪ B（N(S)）不一定成立.

[处处稠密与无一处稠密] 假定P和Q是一个拓扑空间里的点集，QPQ，那末称P

在 Q里处处稠密.假定 P 的外部在 Q 里处处稠密，那末称 P在 Q 里无一处稠密.注意，这里

“ P的外部” 不能换成“ P的余集” .

例如，有理数全体在一维实数空间R¹里处处稠密.无理数全体在R¹里也是处处稠密.整数 全体在R¹里无一处稠密.一个不空区间（a，b）在R¹里既不处处稠密也不无一处稠密.

[开集与闭集] 一个拓扑空间<D,τ >里的开集的概念是基本的（本节，一），一个开集的

余集称为闭集.

1° 点集S为开集的充分必要条件是：S等于它的内部，或者说S的每个边界点都不属于 S.

2° 点集S为闭集的充分必要条件是：S等于它的包，或者说S的每个边界点都属于S.

3° 点集S 既是开集又是闭集的充分必要条件是：S 的边界是空集.例如φ 和 D 都是既开 又闭的.

4° 点集S不是开集也不是闭集的充分必要条件是：B（S）∩ Sφ 并且B（S）∩ SB（S）.

例如在R¹里，不空的区间（a，b）开而不闭，半闭区间（a，b]不开不闭，闭区间[a，b]

闭而不开，有理数全体不开不闭，无理数全体不开不闭，整数全体闭而不开，R¹既开又闭.

此外，由闭集的定义得到三个跟开集相对偶的性质：

1° φ 是闭集，D是闭集；

2° 任何一族闭集的通集是闭集；

3° 任何有限个闭集的和集是闭集.

[孤立点、聚点与导集] 假定S 是拓扑空间里的一个点集，一点xS并且 x有一个邻域

G使G∩ S={x}，那末称x为S的孤立点.

假定yS（S表示S的包），但y不是S的孤立点，那末称y为S的聚点.

一点y是点集S的聚点的充分必要条件是：对y的任何一个邻域L，（L\{y}）∩ Sφ . 由定义知道，一个点集S的任何一个孤立点一定是 S的边界点，而一个点集的任何一个 内点一定是S的聚点，但是倒过来说显然不行.

S的聚点的全体也称为S的导集，记作S'.S的包S可以表示为：

S=S∪ S'=（S的孤立点的全体）∪ S'

[孤立点集、自密集与完全集] 对一个拓扑空间里的任何一个点集S，这空间里的全部点

可以分为三类：S的外点，S的孤立点，还有S的聚点.聚点包括S的内点和不孤立的边界点.

没有聚点的点集称为孤立点集（分散点集），因为它的诱导拓扑一定是分散拓扑.

没有孤立点的点集S（就是SS'）称为自密集.特别如果S自密并且闭，那末S称为完全 集.因为S为闭集的充分必要条件是：S'S，所以S是完全集的充分必要条件是：S=S'.

三、 拓扑空间的分离程度·可数公理

1. 不同分离程度的拓扑空间

[T0空间] 如果拓扑空间 X 里任何不同的两点中至少有一点有一个邻域不包含另一点，

那末称X为T₀空间.

[T1空间] 如果拓扑空间 X里任何不同的两点一定各有邻域不包含另一点，那末称 X为

T1空间.

X是T₁空间的充分必要条件是：X里任何一个只包含一点x的集{x}是闭集.

[T2空间——豪斯道夫空间] 如果拓扑空间 X 里任何不同的两点一定各有邻域彼此没有

公共点，那末称X为T₂空间，也称分离空间.

[正则空间] 假定对拓扑空间 X 里任何一个闭集 S 和任何一点 xS，一定有两个开集 U

和V，使US，Vx且U∩ Vφ ，那末称X为正则空间.

[T₃的空间] 正则的T₁空间称为T₃空间.

[正常空间] 假定对拓扑空间X里任何两个没有公共点的闭集A和B一定有两个开集U

和V使UA,VB且U∩ V=φ ，那末称X为正常空间.

[T₄空间] 正常的T₁空间称为T₄空间.

例如n维实数空间就是T4空间.

定义所说的分离程度强弱次序如下：

正常 正则

T4 T3 T2 T1 T0

箭头表示“ 必是” .如T4空间必是T3空间，又必是正常空间.至于正常和正则是不能比较 分离强弱程度的，它们跟T₂ ,T₁与T₀也是不能比较的.

2. 可数性

[邻域基] 假定 是拓扑空间里一点x的一个邻域族，对x的任何一个邻域U，一定存在

V 使VU成立，那末称 为x的一个邻域基.

[合盖族] 假定一族点集的和集掩盖一个集S，那末称这族点集的全体是S的一个合盖族.

[第一可数空间] 假定拓扑空间 X 里任何一点有可数的邻域基，那末称这个空间为第一

可数空间（“ 满足第一可数公理” 的空间）.

[林德略夫空间] 假定一个拓扑空间里任何一个点集的任何一个合盖开集族有可数的子 合盖族，那末称这个空间为林德略夫空间.

[可分空间] 假定在一个拓扑空间X里有可数点集处处稠密，那末称这空间为可分空间.

[第二可数空间] 有可数的拓扑基的空间称为第二可数空间（“ 满足第二可数公理” 的空

间）.

它们有下面的强弱关系：

第一可数 第二可数 可 分

林德略夫

例如，n维实数空间Rⁿ是一个第二可数空间，因为{ ( , )

1 i i

n

i a b

 |a_i和b_i都是有理数}显然是它 的一个可数的拓扑基.因此Rⁿ 又是第一可数空间、可分空间和林德略夫空间.

四、 极限与连续

[变换的极限] 假定 f是把一个拓扑空间 X里的一个点集 A变进另一个拓扑空间 Y的变

换.又假定x₀是A的一个聚点.如果Y里有一点y₀，对y₀的任何一个邻域V，x0有一个邻域G，

使

f（(G\{ x0}）∩ A）V 那末称y₀为f在x₀的极限，记作

) 0

( lim

0

y x

x f

x

A 





注意，1^o 假定 y₀是 f 在点x₀A'的极限，那末只有两种情形，一种情形是 x₀有一个邻 域G使f（(G\{ x0}）∩ A）={ y0}成立，否则就是对x0的任何一个邻域G，y0都是f（(G\{ x0}）

∩ A）的一个聚点.

2^o 一般， lim ( )

0

x f

x x

A  不一定存在，存在的话也不一定唯一.但是特别当 f 是把 A 变进一 个T2空间的变换时， lim ( )

0

x

x f

x

A  要么不存在，要么存在并且唯一.

[连续变换] 假定f 是把一个拓扑空间里的点集A 变进一个拓扑空间的变换.假定x₀是A

的孤立点或者x₀是A的聚点而 lim ( )

0

x f

x x

A  =f（x0），那么称f在x₀连续.

如果f（x）在每一点xA都连续，那末称f在A里连续，或称f为A的连续变换.

定理 把拓扑空间里的一个点集A变进一个拓扑空间的变换f是A的连续变换的充分必 要条件是：f（A）的任何一个相对开集的象源（就是这个相对开集里每一点的象源的全体）

是A的相对开集（条件中的“ 开” 可以改成“ 闭” ）.

[使一个变换连续的最粗的拓扑] 假定一个变换f把一个集A变进一个拓扑空间的承载点

集B，那末把f（A）的所有相对开集的象源全体当作A的一个拓扑亚基，就得到A的一个拓

扑τ .这个拓扑τ 就是使f在A里连续的最粗的拓扑.

特别当f是在集A里定义的实函数（或者实泛函）^*时，f可以看作把A变进R¹的变换，

于是所有形如{x|xA并且a<f(x)<b}的子集（其中a和 b是任意实数）全体就可以繁殖出使 f 连续的最粗的拓扑.

[开拓定理——体策定理] 假定 f 是正常空间 X 的一个闭集 B 里的连续有界实函数，对

任何 xB，m f(x)M成立，那末存在一个函数g 在X（X 的承载点集）里连续，并且对 所有的xB,g(x) f(x)，而对X里所有的点x，mg(x)M成立.

它是下面实变函数连续函数性质的推广：

假定A是一个拓扑空间里的点集，f1，f2，是A里一列连续函数，一致收敛于函数f（也 就是对任何正数 ，存在正整数N，使| fn（x）-f（x）|< 对任何xA和任何n>N成立），那 末f在A里连续.

[拓扑变换与同胚] 假定X和Y都是拓扑空间，f是一个把X的承载点集一对一地变上Y

的承载点集的变换，在变换f下，X里的每个开集的象是Y里的开集，Y里的每个开集的象源 也是X里的开集，那末称f为一个把X变上Y的拓扑变换（同胚变换），称X和Y在f下同胚 或者拓扑地等价.

定理 把拓扑空间X的承载点集一对一地变上拓扑空间Y的承载点集的变换为拓扑变换 的充分必要条件是：f可逆连续（就是f和f ^-1都是连续变换）.

五、 点网

在实变数分析中，数列、函数列、函数值列等等是常见的基本工具.这些概念可以用拓扑

* 当A是一个函数族时，习惯上把在A里定义的实函数称为实泛函.

空间里的点列这样一个统一的概念来概括.不过对一般拓扑空间的极限理论，点列的概念是过 分狭隘的，应该推广为点网的概念，点网的作用就相当于实变数分析中点列所起的作用.

[汇总集] 假定 Q 是一个集，Q 里有一个大小关系<，并且满足条件：（i）对任何 pQ

和qQ，式子p<q, p=q, q<p有一个且只有一个成立；（ii）若p, q, r都属于Q，并且p<q和 q<r都成立，则p<r成立；（iii）对任何pQ和qQ，存在rQ使p<r, q<r都成立.那末称Q 为汇总集.

由定义看到，汇总集就是满足条件（iii）的分行集.

[点网] 一个汇总集Q变进一个拓扑空间X的变换f称为X里的点网，通常把一点qQ

的象f（q）记作x_q，于是< xq |qQ>={{f(q), q}|qQ}是一个点网.

特别当Q是有限序数的全体ω 或者正整数的全体时，点网< xq |qQ>称为点列.

[点网极限的两种定义]

1° 假定Q是一个汇总集，把Q看作分散空间.任意取一个不属于Q的事物（比如就是Q 自己）记作∞ ，称为 Q的无限大（终极）.把∞ 和 Q里所有比某个元素 p大的元素 q的全体

（就是{∞ }∪ {q|qQ 并且 q>p}）规定为 Q∪ {∞ }里的一个开集.在上面规定下，在 Q∪ {∞ }里 繁殖一个拓扑.在这拓扑下，Q成了一个拓扑空间里的点集，∞ 是Q的唯一的聚点.

拓扑空间X里的一个点网< xq |qQ>是一个把Q变进X的变换，因此由上节变换的极限 的定义，得到 _q

q

Q

x





lim

Q

q x

lim ，这是因为除∞ 外，没有别的聚点.

如果一个点网的极限存在，则称这点网收敛于这个极限.

2° 假定< xq |qQ>是拓扑空间里的一个点网，那末 a x_q

Q

q 

lim

的意思就是对a的任一邻域V，总存在一个pQ，使对所有的q>p, xqV成立.

这就跟通常点列极限的定义在形式上更加一致了.

[子网与聚限] 假定 Q1是一个汇总集 Q 的没有上界的子集（也就是 Q 里没有元素能比

Q₁的所有元素都大），那末称Q₁为Q的共终极的子汇总集.

取这名字的理由是Q1必然也是一个汇总集，并且在Q∪ {∞ }里，终极∞ 也是Q1的唯一聚 点.

假定< xq |qQ>是一个点网，又假定Q₁是Q的一个共终极的子汇总集，那末< xq |q Q₁>

称为< xq |qQ>的子网.更一般，设Q1是一个汇总集，变换q(q1)把Q1变进Q去， 

 ( ) lim ₁

1 1

q q

Q

q ,

那末称 _{( )}| ₁ ₁

1 q Q

x_qq 为< xq |qQ>的一个子网.

一个点网的子网的极限称为这个点网的一个聚限.

定理 1 在一个拓扑空间里，一点x0为一个点集A的聚点的充分必要条件是：A\{ x0 }里 有一个点网收敛于x₀.

推论 在一个第一可数空间里，一点x₀为点集A的聚点的充分必要条件是：A\{ x0 }有一 个点列收敛于x0.

定理 2 假定A是一个拓扑空间里的一个子集，x₀是A的聚点，f是把A变进一个拓扑空 间的变换，那末

lim ( )

0

y x

x

f

x

A





 的充分必要条件是：对A\{ x0 }里所有收敛于x0的点网

< xp|pQ>，limf(x_p) y₀

Q

p 

 .

[变换族的点点收敛拓扑] 把一个集A变进一个拓扑空间Y的变换的全体是叠集^AY.^AY实

际上可以看作直接积

xAYx，这里每个 Yx 都是同一个 Y，因为每个变换 f 可以理解为有序组

<f(x)|xA>.

由于Y是拓扑空间，可以把^AY 或者

xAYx 看作拓扑乘积.^AY 的这个乘积拓扑称为点点收 敛拓扑.

定理 假定A是一个集，Y是一个拓扑空间，那末跟^AY 的别的拓扑比较，点点收敛拓扑 的特点是：^AY 里的任何一个点网< fp|pQ>收敛的充分必要条件是：对每一个 xA，Y 里的 点网< fp(x)|pQ>都收敛.