一、 勒贝格积分

§7 泛函分析初步

一、 勒贝格积分

1、测度与可测函数

[测度与可测集] 设S为某一区间(a,b)内的任一有界点集，则把覆盖S的一组区间的长

度之和的下确界称为 S 的外测度，记作m_e[S]. 包含 S 的任一有界区间(a,b)的长度ba与 S 关于(a,b)的余集（即(a,b)内不属于S的点的全体）的外测度之差称为S的内测度，记作m_i[S].

] [S

m_e =m_i[S]的集S称为可测集，其测度记作m[S].

设S为直线上的一个无界点集，若对一切大于零的x，(x,x)S是可测的，则称这个无 界点集S是可测的. 在这种情形下，定义无界点集S的测度为

m[S] limm[( x,x) S]

x  

 

这里m[S]可以有限或无限.

每个有界开集都是可测的.

可测集的概念可以推广到n维空间的点集上去.

[几乎处处] 若一个性质对区间上除了一个测度为零的集合之外，在其他点都成立，则

称这个性质在已知区间上几乎处处成立.

[可测函数] 设函数 f(x)在可测集S上定义，而c是任意实数. 若在S上使 f(x)c的一

切点x所构成的集是可测的，则称函数 f(x)为在S上的一个可测函数.

在这个定义中，条件 f(x)c可用 f(x)c， f(x)c， f(x)c中任一条件来代替.

在(a,b)内任一连续函数是(a,b)内的可测函数.

若 f₁(x),f₂(x),都是(a,b)内的可测函数，则 f₁(x) f₂(x),af(x)（a为常数），f₁(x)f₂(x) 和limf_n(x)

n （极限存在）也都是(a,b)内的可测函数.

2、勒贝格积分

[有界函数的勒贝格积分] 在有界区间(a,b)内给定一个有界可测的实函数 f(x)，在 f(x)

（x(a,b)）的变化范围内插入分点：

f(a) y₀ ₁  y₁ ₂ _n  y_n  f(b) （1）

并用S_i表示使y_i1  f(x) y_i在(a,b)内的点x所构成的集，对每个分法（1）的序列

 

yi ，当

 

⁰

max _i  _i1 

i y y 时，和式



 n

i

i im S

1

]

 [ 趋于唯一的有限极限I，记作

^ _{ }



^



 

 _

b a n

i

i y i

y m S f x x

I

i i i

d ) ( ]

[ lim

0 1

max ₁ 

这个量称为 f(x)在(a,b)内按勒贝格意义的定积分，又称为勒贝格积分，称 f(x)在(a,b)内是 可积（在勒贝格意义下，下同）的.

[无界函数的勒贝格积分] 若 f(x)在有界区间(a,b)内是无界可测函数，则勒贝格积分



a^b f(x)dx定义如下：



 



 



^b

a B

B b

a A

A b

a f(x)dx l i m f (x)dx l i m f (x)dx 式中















 

















) ) ( (

) ) ( 0 ( ) (

) 0 ) ( ( 0

) ( )

) ( (

) ) ( 0 ( ) (

) 0 ) ( ( 0

) (

B x f B

B x f x

f

x f x

f A

x f A

A x f x

f

x f x

f_{A B}

[在无界区间上的勒贝格积分] 若



a^X f(x)dx对一切X a存在，则定义勒贝格积分



a^ f(x)dx如下：











   ²

2 1

1

d ) ( l i m d

) ( l i m d

)

( ₁ ^X ₂

X a X

X a

a f x x f x x f x x

式中







 







 

) 0 ) ( ( ) (

) 0 ) ( ( ) 0

) ( 0 ) ( ( ) (

) 0 ) ( ( ) 0

( ₂

1 f x f x

x x f

x f f x f

x x f

f

同样可以定义





b f(x)dx和



^ f(x)dx.

[在一个点集上的勒贝格积分] 上述有界和无界函数的勒贝格积分的定义可推广到任一

个可测集 S上的勒贝格积分



S f(x)dx. 还可推广到n 维空间的区域或可测集上的多重勒贝格 积分.

[勒贝格积分的存在性与性质]

1^o每个有界可测集函数在任一有界可测集上是可积的，在一可测集 S 上的可积函数在 S 的每个子集上都是可积的.

2^o勒贝格积分



S f(x)dx存在的充分必要条件是：勒贝格积分



S f(x)dx存在.

3^o在一个测度等于零的集上的勒贝格积分等于零.

4^o 设S₁,S₂,为一组可数的互不相交（即S_i S_j ,i  j）的可测集，假定 f(x)在 )

, 2 , 1 (i 

S_i 和 _i

i

S 上的勒贝格积分都存在，则



 











S f⁽x^)dx S₁ f⁽x^)dx S₂ f⁽x^)dx

i i

5^o连续性定理 设 f₀(x),f₁(x),f₂(x),和一个正的函数A(x)在一个可测集 S 上都是可测 的，并且对一切n与S中一切x，不等式

f_n(x)  A(x)

几乎处处成立；又设对S中几乎一切x，使limf_n(x) F(x)

n 



 成立，则





S n n f (x)dx lim

存在，且





S n ^



S

n f (x)dx F(x)dx

l i m

6^o勒贝格基本定理 设S是一个可测集，m[S],f(x)不一定有界.

若

(i) f₁(x),f₂(x),, f_n(x),都是S上非负的可测函数；

(ii)



^





1

) ( )

(

n n x f x

f

则



^



^_

1

d ) ( d

) (

n S n

S f x x f x x

3、平方可积函数

[L2空间] 若S是有界可测集，f(x)为S上的可测函数， f ²(x)可积，并且



S f ²(x)dx

则称 f(x)为属于空间L₂(S)的函数，记作 f L₂(S)，或简写为 f L₂. 在本段中，假定 S 就 是区间(a,b).

若 f L₂，gL₂，则 fg,f g都是可积的；并有

2 1 2

1 2

1

d ) ( d

) ( d

) (

d ) ( d

) ( d

) ( ) (

2 2

2

2 2

2





 

 





 







 



















b a b

a b

a

b a b

a b

a

x x g x

x f x

g f

x x g x

x f x

x g x f

[模与距离] 设 f(x)L₂，则称

²

1

2d









a^bf x f

为f的模（范数）.

设 f,gL₂则称

(f,g) f g 为f与g的距离.

设 f,g,hL₂则

(i) (f,g)0，只当 f g几乎处处成立时，(f,g)0 (ii) (f,g)(g,f)

(iii) (f,g)(f,h)(h,g)

[平均收敛] 若 f₁(x),f₂(x),,f_n(x),L₂,f(x)L₂并且 lim  0



 f_n f

n

则称函数序列{f_n(x)}在L₂内收敛或平均收敛，且其极限为 f(x)，记作

f_n f

n 



lim ^*

平均收敛有以下性质：

1^o若 f_n f

n 



lim ， g_n g

n 



lim 则

f(x)g(x) 在(a,b)上几乎处处成立.

2^o若 f_n f

n 



lim ， f_n g

n 



lim 则

* 这里 f_n f

n 



lim 不同于lim f_n(x) f(x)

n 



 .





^



b a b

a n n

n f (x)g (x)dx f(x)g(x)dx lim

3^o若 f_n f

n 



lim ，gL₂则





^



b a b

a n

n g(x)f (x)dx g(x)f(x)dx l i m

4^oL₂(a,b)中点列

 

fn 平均收敛的充分必要条件是它为基本序列.

基本序列的定义如下：设 f_nL₂(n1,2,)，若对任意 0总有正整数 N，对一切 N

m N

n ,  ，使得

f_n  f_m  则称

 

fn 为L₂中的基本序列.

由此可见L₂是完备空间（见第二十一章，§4，一）.

[L₂空间的可分性]

1^o设 f(x)L₂(a,b)，则对任意0,总有连续函数(x)，使 f(x)(x) 

2^o设 f(x)L₂(a,b)，则对任意 0,总有系数为有理数的多项式p(x)，使 f p 

因为所有系数为有理数的多项式组成一个可数集合，并在L₂中处处稠密. 所以2^o表明L₂ 为可分空间（见二十一章，§3，三）.

二、希尔伯特空间

[希尔伯特（H）空间] 若无限维酉空间V中每个基本序列收敛于V中一个元素，则称V

为完备的. 一个完备的无限维酉空间称为希尔伯特空间，或简称H空间.

在 n 维空间中的矢量定义为 n 个数 f₁, f₂,, f_n的全体. 类似地，无限维空间中的矢量定 义为t从a变到b的函数 f(t).

矢量的加法与数乘定义为函数的加法与函数和数的乘法.

在H空间中两矢量的内积（数量积）公式为

(f,g)^



a^bf(t)g(t)dt （1）

[H空间的度量] 设 f(t)H，则



a^bf²(t)dt

为矢量 f(t)的长度. 设 f(t),g(t)H，则矢量 f(t)与g(t)之间的距离等于



a^b



f(t)^g(t)



²dt

这个表达式称为函数 f(t)与g(t)的均方差. 就是以均方差作为希尔伯特空间 H 中两元素间的 距离的度量.

在H空间中两矢量 f(t)，g(t)间的角度定义为









b a b

a b a

t t g t

t f

t t g t f

d ) ( d

) (

d ) ( ) ( c o s

2 2

 （2）

因为对任意两个函数 f(t)与g(t)都有不等式



^

 

a^b

b a b

a f(t)g(t)dt f ²(t)dt g²(t)dt 所以等式（2）的右端可以看作某角度的余弦.

[正交函数与正交函数系] 若非零矢量 f 与 g 的内积(f,g)0，则由（1）与（2）可知

0

cos  ，即 90^ο. 因此称矢量f和g是正交的. 这时



a^bf(x)g(x)dx0

设 f₁(x), f₂(x),, f_n(x)表示两两正交的函数，而 f(x) f₁(x) f₂(x) f_n(x)

为它们的和，则 f(x)的长度平方等于 f₁(x),f₂(x),,f_n(x)的长度平方和.

因为H空间中矢量的长度是用积分给出的，所以这时类似于商高定理由下面的公式给出：



^



^



a^{b  }



b a n b

a b

a f ²(x)dx f₁²(x)dx f₂²(x)dx  f ²(x)dx 以上所述的积分，例如



a^bf ²(x)dx,是指勒贝格积分有意义而言的.

若H空间中函数系

₁(x),₂(x),,_n(x), 中的任意两函数相互正交，即

^b (x) (x)dx 0 (i j)

a i j  



^{ }

则称这个函数系为正交函数系. 若还满足



a^bk²(^x)d^x1 (^k 1,2) 则称此函数系为标准正交系.

[依 标 准 正 交 函 数 系 的 分 解] 若 在 H 空 间 中 给 定 一 个 完 备 的 标 准 正 交 函 数 系



, ( ), ),

( ),

( ₂

1 x  x _n x

 （即不可能再加一个不恒为零的函数与系中的一切函数正交），则一 切函数 f(x)都可依这个系中函数展开成级数（平均收敛）：

f(x)a₁₁(x)a₂₂(x)a_n_n(x) 式中函数a_n等于矢量 f(x)在标准正交系中的矢量上的投影：

^an (^f,n)



a^bf(^x)n(^x)d^x (ⁿ1,2,) 可以证明：



^



^_

1 2 2( )d

k k b

a f x x a

它的几何意义是，H 空间中矢量的长度平方等于该矢量在完备的标准正交系中的矢量上的投 影平方和.

三、 巴拿赫空间

[赋范线性空间] 设V为一个线性空间，对于V中每个元素α ，有一个实数 与之对应，

且具有下列性质：

(i)  0，当且仅当 0时^*，  0；

(ii) a  a  ，特别    ；

(iii)      ；

则称V为赋范线性空间.  称为α 的范数或模.

对于赋范线性空间V，

(,) 

则V成为一个尺度空间. 以后讲到赋范线性空间，总认为它是一个尺度空间，并且用（1）式 表示它的距离.

[巴拿赫空间的定义与例子] 完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间.

例1 L₂(a,b)是巴拿赫空间.

例 2 设在(a,b)内所定义的一切连续函数的全体记为 C，令 f₁  f₁(x)， f₂  f₂(x)属于 C，c是任一实数，定义

f₁ f₂  f₁(x) f₂(x), cf cf(x) 易知C是一个线性空间，对于C中的 f  f(x)，定义

f sup f(x)

b x a 



则C为一赋范线性空间，这种空间称为空间C(a,b).

设 f_n  f_n(x)C(n1,2,)，则由 f_n  f(f  f(x)C)可得函数序列



f_n(x)



一致收敛于 )

(x f .

可以证明，空间C(a,b)是完备的，所以是巴拿赫空间.

例3 设有界实数列

x₍x_1,x_2,_,x_n,₎

的全体记为M. 设x(x₁,x₂,,x_n,)与y(y₁,y₂,,y_n,)是两个有界数列，a是任一实数. 定义和，数乘与范数如下：

x y(x₁ y₁,x₂  y₂,,x_n  y_n,) ax(ax₁,ax₂,,ax_n,)

 

i i

x x sup

那末M成为一个赋范线性空间,称为收敛序列空间，简称为空间M. 并可证明空间M是完备 的，所以是巴拿赫空间.

[紧致性] 设A为尺度空间E中一个非空集，或者A的任一无限子集A₀至少有一极限点，

则称A是一个紧致集.

任一紧致集必为有界.

设 ^A



^f(x)



是定义在区间[a,b]上的一个函数族，若对任一 0，恒有 0，当

* 这里0是线性空间中的零元素。

] , [ ], ,

[ ^"

' a b x a b

x   ，且 x^" x^'  时，不等式

f(x^") f(x^') 

对A中任意函数 f(x)成立，则称函数族A在[a,b]上等度连续.

阿尔采拉—阿斯可里定理 设A



f(x)



是定义在[a,b]上的连续函数族，

若

(i) 存在一个常数M，使此族中的函数都满足 f(x) M ；

(ii) A在[a,b]上等度连续；

则A中存在着在[a,b]上一致收敛的函数序列.

设A是空间C中的一个元素，则A为紧致的充分必要条件是：A中一切函数为有界且为 等度连续.

[线性泛函及其性质] 考虑巴拿赫空间V上的泛函数v，对于V中任一点x，有一实函数

) (x

v 与它对应，若

(i) v是可加的，齐次的，即对V中任两点x和y与任两实数a，b，恒有

v(axby)av(x)bv(y)

(ii) v是连续的，即当 x_n x 0时，v(x_n)v(x)，则称v(x)为V上的线性泛函.

线性泛函有以下性质：

1^o可加齐次泛函v(x)连续的充分必要条件是：有常数M 0，使

v(x) M x, xV （2）

2^o设v(x)是线性泛函，则由满足（2）的一切M构成数集的下确界称为v(x)的模或范数，

记作 v ；且有

s u p( )

1

x v v

x



3^o若对巴拿赫空间V上一个线性泛函序列{v(x)}，使limv_n(x)

n 在V上处处存在，则有常 数M₀，使得

v_n(x) M₀ (n1,2,3,) 这称为一致有界原理或共鸣定理.