1.1 函数及其性质

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第1章 函数与极限

高等数学A

1.1 函数及其性质

1.1.1 集合的概念 1.1.2 集合的运算 1.1.3 区间与邻域 1.1.4 函数的映射 1.1.5 函数的概念 1.1.6 函数的特性

1.1.7 反函数与复合函数 1.1.8 函数的四则运算 1.1.9 初等函数

1.1 函数及其性质

1.1.5 函数的概念 1.1.1---1.1.4

集合 集合的运算

区间与邻域

函数定义

函数定义域和函数图形

表示函数关系式的方法及分段函数

1.1.9初等函数

1.1.8 函数的四则运算

复合函数

1.1.6 函数的特性

函数的单调性

函数的有界性 函数的奇偶性 函数的周期性

1.1.7 反函数与复合函数 ^反函数

基本初等函数 初等函数

函数 及其 性质 习 例1-7

函 数

及

其 性

质

1.1.1 集合

2. 集合的表示法 3.数集分类:

1.1.2 集合的基本运算

1.集合的概念

{ | }

A B   x x  A 且 x  B  AB

对偶律： _{A B  A B} ^{A B  A B}

1 1 1 1

,

i i i i

i i i i

A A A A

   

   

 

, , , ,

, , ( , ). ,

, , ,

{( , ) | , }

A B A B x y x A y B

A B Cart

A B x A y B

x y x y A

es n B

ia 

  







序偶 与 的

设 是两个非空集合 且 则称

为一个序偶 记作 由集合 中所有元素作成的

构成的集合 称为 记作 即

有次序的一对元素 直积或 乘积

2 2

, {( , ) | , } ,

{( , ) , }

, | .

R R x y x R y R

R R R x y x R

R y R

   

    

例如 表示整个坐标平面

记作 即

{ 1, 2}, {1, 2,3}, .

A   B  A B 

练习: 求

1.1.3 区间与邻域

区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.

. ,

, b R a b

a  

 且

}

{ x a  x  b

记作 ( a , b )

}

{ x a  x  b

记作 [ a , b ]

o a b x

o a b x

} { x a  x  b

} { x a  x  b

称为半开区间, 称为半开区间,

) , [ a b 记作

] , ( a b 记作

} {

) ,

[ a   x a  x (  , b )  { x x  b }

o a x

o b x

有限区间 无限区间

区间长度的定义:

两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.

0

叫做这邻域的中心 , 点 x

叫做这邻域的半径 .



. } {

) ,

(x₀   x x₀   x  x₀  U

0

x



0



x







, }

{

称为点

的 邻域

数集 x x  x   x 

0

, 0.

x   

设 与 是两个实数 且

) , ( x



记作 U

0

的去心的 邻域 ,

点 x 

. } 0

{ )

,

(x₀   x  x  x₀  

U

邻域引入的作用:根据(>0)的变化,刻画

. )

(

0

即 的程度

逼近常量

变量 x x x  x

x





x0



0



x



1. 函数的定义

1.1.5 函数的概念

设D是实数集，称映射 为定义在D上的函数, 通常简记为

:

f DR

D x

x f y

x f

D x

x f

y  ( ),  或 : |   ( ), 

因变量 自变量

数集D叫做函数f的定义域,记作 ^{D f}  ，即 ^D

 

可见, 函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在 内，因此构成函数的要素是：定义域与对应法则

R }

), ( {

) ( )

( ),

( )

(

) (

D x

x f y

y D

f f

R D

f f

R

f x

f







 即

或 记作

的值域，

为函数 的全体所构成的数集称

函数值

单值函数与多值函数

如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这 种函数叫做单值函数；否则叫做多值函数．例如，x²  y²  a²．

只有一个自变量的函数，称为一元函数.

故若两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 则这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.

表示函数的记号是可以任意选取的, 除了常用的 外, 还可以用其他的英 文字母或希腊字母, 比如“g _F、 、 ”等，相应的函数可记为

 ^,  ^,  

y ^ g x y ^ F x y ^ x

f 判断函数 f 与 g 是否是同一函数？

3 4 3 3

2 2

1 )

( , )

( ) 3 (

) ( , )

( ) 2 (

lg 2 )

( , lg

) ( ) 1 (

















x x x

g x

x x

f

x x

g x x

f

x x

g x

x f

(2)自然定义域. 理论研究中, 对应法则是用数学公式表示的 函数, 这种函数的定义域是使数学公式有意义的自变量的所 有值构成的实数集. 即当函数由公式（表达式）给出时，使 公式有意义的自变量的取值范围就是函数的定义域. 如：

分式的分母不为0；

; 0 ) ( ,

, )

2ⁿ f (x n为正整数 要求f x 

; 0 )

( , 1 0

), (

log_a f x 要求a  且a  f x 

; 1 )

( ),

( arccos ),

(

arcsin f x f x 要求 f x 

. 0 )

( ,

)

( ^{( )} 

 f x f x

y ^{g x} 要求

(3)定义域的表示法：

不等式法，集合法，区间法，叙述法与图示法.

2. 函数定义域的确定

(1)由实际问题决定.

例 求函数的定义域 解：

 











0 1

0 4

) 1 (

2

x

要求 x

所以函数的定义域为(1,2].

1 1

1 1 ) 1 ( ) 2

( .

x x

f



 1 

4 1

) 1

( ²

 



 x x

y





 要求 )

2 (

 0 x

1 0

1 

x 1 0 1

1 1 





x

2. , 1 1 ,

0  



 x

3. 函数的图形

. )

(

} ),

( )

, {(

的图形 称为函数

点集

x f y

D x

x f y

y x C









o x

y

) , (x y

x

W

D



4. 分段函数

对于自变量的不同值（或在不同区间上），函数的表 达式不同，这种函数称为分段函数.

(1) 绝对值函数









 

 , 0 0

,

x x

x x x

y

o x

y

(2) 符号函数



















0 ,

1

0 ,

0

0 ,

1 sgn

x x x x

y

1

1

x y

o

(3) 取整函数 y=[x]

[x]表示不超过x的最大整数

1 2 3 4 5 -2

-4 -4 -3 -2 -1

4 3 2

1

-1 -3

x y

o

(4) Dirichlet(狄利克雷)函数



 

 当 是无理数时 是有理数时 当

x x x

D

y 0

) 1 (

有理数点 无理数点•

1

x y

o

(5) 取最值函数

)}

( ), (

max{ f x g x

y 

y  min{ f ( x ), g ( x )}

y

o x

) (x f

) (x g

y

o x

) (x f

) (x g

(6) 整标函数

) (n f y  以自然数为自变量的函数:

图形为一些离散的点构成.

1.1.6 函数的特性 1. 函数的单调性

, )

, (

)

( 在区间 有限或无限 开或闭 上有定义 设函数y  f x I

有 若

对任意 x₁, x₂  I, x₁  x₂,

)) (

) (

( ) (

)

(x₁ f x₂ f x₁ f x₂

f  或 

则称 f(x)在I上严格单调上升或严格单调递增（严格单调

下降或严格单调递减）.

有 若

对任意 x₁, x₂  I, x₁  x₂,

)) (

) ( (

) (

)

(x₁ f x₂ f x₁ f x₂

f  或 

则称 f(x)在I上单调上升或单调递增(单调下降或单调递减).

单增和单减的函数统称为单调函数，I称为单调区间.

由有限个单调函数组成的函数，称为分段单调函数. 如 y  x

2. 函数的有界性

, )

( ,

, 0

, 有 成立

若X  D M  x  X f x  M . .

)

( 在 上有界 否则称无界 则称函数f x X

, )

( ,

, 0

, ₁ 有 ₁ 成立

即若X  D M  x  X f x  M .

)

( 在 上无界

则称函数f x X

通常函数的有界性与区间有关， 1 , x2

y  如

. )

1 10 , [ 1 ,

) 1 , 0

( 内无界 而在 上有界

在

3. 函数的奇偶性

偶函数图形关于y轴对称

有 对于

关于原点对称

设 D ,  x  D ,

( )

( x f x

f  

y

x

) ( x f 

) (x f y 

o x -x

) (x f

; )

( 为偶函数

称 f x

有 对于

关于原点对称

设 D ,  x  D ,

( )

( x f x

f    称 f ₍x₎为奇函数_.

奇函数图形关于原点对称 )

( x f 

y

x

) (x f

o x

-x

) (x f y 

注意：(1) 若f(x)的定义域关于原点不对称，则f(x)一定不是奇函数或偶函数. 则

上的任意函数

对于( , )( 0) ( ), )

2

( a a a  f x

, )

( )

( )

(x f x f x 为偶函数

g   

, )

( )

( )

(x f x f x 为奇函数

h   

)], (

) ( 2[

) 1

(x g x h x

f  

从而

即f(x)可表示为一个偶函数与一个奇函数之和.

(3) 奇偶函数的性质

偶函数的和与差仍是偶函数，

奇函数的和与差仍是奇函数；

两个奇（或偶）函数的商是偶函数；

奇函数与偶函数的积（或商）是奇函数；

有限个偶函数的积仍是偶函数；

偶数个奇函数的积是偶函数.

4. 函数的周期性

. ,

) ( ),

( )

(

, ,

0 ,

) (

为周期 为周期函数

则称

都有 若

上有定义 在

设函数

T x

f x

f T

x f

D x

T D

x f y















任一周期函数都有无穷多个周期. 若在无穷多个周期 中，存在一个最小的正数，则这个正数称为最小正周 期，简称周期.

并非所有周期函数都有最小正周期, 如Dirichlet函数

 

0, ^C

y D x x

x

 

    Q Q

, ,

容易验证这是一个周期函数, 任何正有理数都是它的周 期, 因为不存在最小的正有理数, 所以Dirichlet函数没 有最小正周期.

r

1.1.7 反函数与复合函数 1. 反函数

定义：

. )

( ,

)

(x X f X Y

f

y  在 上有定义 值域 

设

, )

(

, f x y

X x

Y

y 都有唯一确定的  使得  若对任一个

. ),

1(

Y y

y f

x  ^ 

注意： ₍₁₎反函数的定义域和值域恰好是原来函数的值域和定义域. x0

y0

x0

y0

x

y

D W

) (x f y  函数

o

y

W D

) ( y x   反函数

o

设函数 是单射，则它存在逆映射 , 称此映

射 为函数 的反函数.

 

:

f D f D ^{f 1: f D} ^D

f ^1 f

亦即

) (x f y  直接函数

x y

o

) , (b a Q

) , (a b P

) (x y   反函数

(2)直接函数与反函数的 图形关于y=x对称.

反函数的求法：

(1)一般先从方程y=f(x)中解出x, 然后再将所得结果中的 x与y互换位置即可;

(2)对分段函数,只要分段求出反函数便得. (3) 反函数的对应法则是

完全由原函数的对应法 则所确定 .

2. 复合函数

定义：设有两个函数 y  f (u)(uU)与u  g(x)(x  X ), ,

) ( )

(x g X U

g

u  的值域 

且函数

, )],

(

[g x x X

f y

X上确定了函数   则在

. )

( )

( 与 的复合函数

称为 y  f u u  g x 记为 y  f  g 注意：_{(1)复合函数关键是: g(X)  U}

(2)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.

即不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的. f

g g

f    3)

( 一般

复合函数的求法：

(1)对于非分段函数常用直接代入的方法；

(2)对于分段函数常用讨论的方法.

练习 1. 由函数 _{y  u} ^{u[0, ) ,} 1 x2

u   x(, )

可构成复合函数 _{y  1 x}² _{x[1, 1]}

函数复合后一般应重新验证它的定义域

2. 分解 y = arccos ln( x

- 1)

分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止.

arccos , , ln , (

1),

y = u u = v v = w w = x -

1

3. y   (1 sin ) x

( )^{v x}( )

y  u x

形如： 的函数称为幂指函数。

1 1 1

ln(1 sin ) ln(1 sin )

1

(1 sin ) (1 sin )

x x

x x x

x

y x e e

y x

 

   

 

即 是由

u , y  e

1 ln ,

u v

 x

1 sin v   x

复合而成的复合函数

1.1.8 函数的四则运算 函数的四则运算

这四种运算称为函数的四则运算.

设函数 的定义域分别为 ， 则可以定义这两个函数的下列运算:

1, 2, 1 2

D D D  D D  

   ^,

f x g x

      

: , ;

f  g f  g x  f x  g x xD 和

      

: , ;

f  g f  g x  f x  g x x D

差

      

: , ;

f g f g x  f x  g x x  D 积

   

 





: f x , 0, .

f f

x x D x g x x D

g g g x

      

  

商

1.1.9 初等函数 1.基本初等函数

(1)常数函数

. ),

, (

, x c为常数

c

y    

(2)幂函数

) (  是常数

 x

y o x

y

) 1 , 1 (

1 1

x2

y 

x y 

y 1x



x y 

(3)指数函数

) 1 ,

0

(  

 a a a

y

a x

y 

x

y a1)

 (

) 1 (a 

) 1 , 0

 (

(4)对数函数

) 1 ,

0 (

log  

 x a a

y

y  ln x

x y  log_a

x y

a

log 1



) 1 (a 

) 0 , 1 (



(5)三角函数

正弦函数

y  sin x

x y  cos

余弦函数 ^{y  cosx}

x y  sin

正切函数

y  tan x

x y  tan

x y  cot

余切函数

x y  cot

正割函数 y x x cos sec  1



x y  sec

x x

y sin

csc  1

 余割函数

x y  csc

x y  arcsin 反正弦函数

(6)反三角函数

x y  arcsin

x y  arccos 反余弦函数

x y  arccos

x y  arctan 反正切函数

x y  arctan

x y  cot 反余切函数 arc

x y arccot

幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.

基本初等函数

2. 初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次 的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数.

并非所有的函数都是初等函数,

分段函数一般不是初等函数. 但也有例外!

3. 双曲函数与反双曲函数

---都是初等函数.

例如

都是初等函数.

1 5 ²

3  

 x x

y 1

1

2  

 

x x

y x y  3 x²

x x x

y 2

2

sin 1

cos sin 1



 



一般说来, 分段函数不是初等函数.

但有个别分段函数例外，例如









 

0

,

0

,

x x

x y x

因为它可以改写为初等函数 y  x^{2 的形式.}

x x

x e

x

y ^ln

1 1





0 ,

1



 x x

y ^x

幂指函数 是否为初等函数？

它是由 y  e^{u 与}

x

u  ln x 构成的复合函数, 故该幂指函数是一个初等函数.

解

附：双曲函数与反双曲函数

sh 2

x x

e e x

 



双曲正弦 _{y  ch x}

sh y  x ),

, (

:  

D

奇函数.

ch 2

x x

e e x



 双曲余弦

), ,

(

:  

D

偶函数.

(1) 双曲函数

ex

y 2

 1

e x

y  ^ 2 1

双曲函数与反双曲函数

th sh

ch

x x

x x

x e e

x x e e





   双曲正切 

奇函数,

) ,

(

:  

D

双曲函数常用公式

sh( x  y )  sh ch x y  ch sh ; x y

ch( x  y )  ch ch x y  sh sh ; x y

2 2

ch x  sh x  1;

sh 2 x  2sh ch ; x x

2 2

ch 2 x  ch x  sh x .

双曲函数与反双曲函数

(2) 反双曲函数

奇函数,

) ,

(

:  

D

. )

,

( 内单调增加 在  

sh ; y  ar x 反双曲正弦

ln( 2 1).

y arshx

x x



  

双曲函数与反双曲函数

y  arshx

解： 令

( ) 2

1

e e

y  

则

e

 2 ye

 1  0

2

 1



 y y

e

)

1 ln( 



 y y

x

将字母 与 互换,得 x y y  ln( x  x²  1)

) 1 ln(

)

(

1

  



x x x

即

f

例 求函数 的反函数

( ) 2

) 1

( x e

e

f  

. )

, 1

[ 内单调增加 在 

) ,

1 [

: 

D

 反双曲余弦 y

ln( 2 1).

y archx

x x



  

archx

双曲函数与反双曲函数

y  archx

1 . ln 1 2 1

x x



 

) 1 , 1 (

:  D

奇函数,

. )

1 , 1

( 内单调增加 在 



反双曲正切 y

双曲函数与反双曲函数

y  arthx

yarthx

函数的分类:

函 数

初 等函 数

非初等函数(一些分段函数,有无穷多项等函数) 三角函数

幂函数

反三角函数 对数函数 指数函数

基本初等函数的有限次 四则运算式

简单函数——

基本初等函数

复合函数—— 基本初等函数或简单函 数的有限次复合运算式

函数及其性质——举例 .

1 求下列函数的定义域 例

) 49

3 ln(

) 1 ( 1)

( x²

x x

f  

 

) 2 (sin ,

) ( 1

0 )

2

( 设  u  时函数f u 有定义 求f x 的定义域



















 



2 1

,

2

1 0

,

0

1, 1 )

( ) 3 (

x x x

x x

x f

).

1 (

, 3 5

) 1 (

.

2 设f x²   x⁴  x²  求f x²  例

2).

(cos ,

cos 1

2) (sin .

3 x

f x x

f 求

设

例  

, ,

, , ,

1 ) ( )

( .

4 a b c a b

x c bf x

x

af   其中 为常数 且 

设 例

).

( )

(

: f x   f x 求证

, )

, (

) ( )

( ), (

.

5 设 及 为 上的单增函数 例 f x





: ),

( )

( )

( 求证

且 x  f x  x ^[^(x)] ^{f [ f (x)]}^[ ^(x)].

. ,

2 1

, 2

1 0

,

ln

0 1

,

. 6

1 2

求反函数 已知

例 























 x

e

x x

x x

y

x

, )

( , 1

, 1

1

, 0

1

, 1 )

( .

7 g x e^x

x x x x

f 















 设

例 求f [g(x)],g[ f (x)].