數學考科參考答案暨詳解

數

學

110-E2

數學考科參考答案暨詳解

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99362214-30

新北基高級中等學校

110 學年度學科能力測驗聯合模擬考試

翰林出版事業股份有限公司

數學考科詳解

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

( 5 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 1 ) ( 1)( 4) ( 2)( 5) 8. 9. 10. 11.

( 2)( 5 ) ( 2)( 3)( 5 ) ( 1)( 2)( 4 ) ( 1)( 5 )

第壹部分、選擇題 一、單選題 1. ( 5 )

出處：第二冊〈數據分析〉

目標：操作標準差公式 解析：令 X：2，3，4，5，6

Y：1，2

3，2，

2 5，3 Z：20，30，40，50，60 T：201，302，403，504，605 U：199，200，200，200，201 ( 1)μx＝

5 6 5 4 3

2＋ ＋ ＋ ＋

＝4，

σ_x＝

5

) 4 6 ( ) 4 5 ( ) 4 4 ( ) 4 3 ( ) 4 2

( － ²＋ － ²＋ － ²＋ － ²＋ － ²

＝ 2 ( 2)因為 y＝

2

1x，所以 σ_y＝₂¹σ_x^＝ ₂² ( 3)因為 z＝10x，所以 σ_z＝10σ_x＝10 2 ( 4)因為 t＝101x－1，所以 σt＝101σx＝101 2 ( 5)μu＝200，

σu＝

5

) 200 201 ( ) 200 200 ( 3 ) 200 199

( － ²＋ ． － ²＋ － ²

＝ 5

1 ) 1 (－ ²＋²

＝ 5

2 ，所以 ( 5)最小 故選 ( 5)。

2. ( 4)

出處：第二冊〈排列組合與機率〉

目標：利用餘事件和排列組合 解析：樣本空間 6×5×4＝120，

三種課程連續排在相鄰三天的排法為 4×3!＝24 所求為 120－24＝96 (種)

故選 ( 4)。 3. ( 3)

出處：第二冊〈排列組合與機率〉

目標：學習機率、組合與期望值

解析：因為玩一遍可以戳相異兩格，可獲得金額與機率如下 情況 150 元＋60 元 60 元＋60 元 150 元＋0 元 60 元＋0 元 0 元＋0 元

金額 210 120 150 60 0

機率

1 20 1 1

25 2

1 15 C C

C ＝

20 2 25 2

19 30 C C ＝

1 4 1 1 25 2

1 75 C C

C ＝

20 4

1 1

25 2

4 15 C C

C ＝

4 2 25 2

1 50 C C ＝ 所以玩一遍這個戳戳樂遊戲獲得金額的期望值為

1 19 1 4 1

210 120 150 60 0 108

15 30 75 15 50

× ＋ × ＋ × ＋ × ＋ × ＝ 元

故選 ( 3)。

4. ( 4)

出處：第一冊〈直線與圓〉

目標：學習觀察圓的特性與畢氏定理應用 解析：設圓心 O，依題意知AM⊥BC(∵相切)

做PQ中點為 N 點，則 ON⊥PQ

根據畢氏定理，在△OBM 中，

MB＝ OB²－OM² ＝ 5²－3²＝4 AM＝AO＋OM＝5＋3＝8 同樣根據畢氏定理，在△ABM 中，

AB＝ AM²＋MB² ＝ 8²＋4²＝4 5 因為 N 為圓心 O 對AB的垂足，也是AB中點 所以AN＝ AB

2

1 ＝2 5

在△AON 中，ON＝ OA²－AN²

＝ 5²－(2 5)²＝ 5 則PQ＝2PN

＝2 OP²－ON²

＝2 3²－( 5)² ＝4 故選 ( 4)。

5. ( 1)

出處：第一冊〈指數、對數〉

目標：閱讀長題意的題目，學習使用 10 的冪次 解析：公式為 Mw＝

3

2log M0－10.73

當地震矩規模為 10 時，能量 M0變成 M10

10＝3

2log M₁₀－10.73

3

2log M10＝20.73

 log M₁₀＝31.095

 M10＝10^31.095……①

當地震矩規模為 8.8 時，能量 M0變成 M8.8

8.8＝3

2log M8.8－10.73

3

2log M8.8＝19.53

log M8.8＝29.295

 M_8.8＝10^29.295 ……② 兩式相除①÷②得

8 . 8 10

M

M ＝10^{31.095－29.295}

＝10^1.8＝(10^0.3)⁶

≈

^26＝64

最接近 60，即 60 倍 故選 ( 1)。

二、多選題 6. ( 1)( 4)

出處：第一冊〈指數、對數〉

目標：學習指數的定義與數值的比較大小 解析： ( 1)○：(－3)^－2．5^－2＝ ₂

) 3 (

1

－ ． ₂ 5

1 ＝ 225

1

( 2)╳：(2 ⁶)．(2 ⁶)＝2^{2 6}≠2⁶＝64 ( 3)╳： ³

1

2 1



 



 ＝ ⁶

2

2 1



 



 ＝

6 1 2

2 1











 



 



 ＝ ⁶

1

4 1



 



 ，

2 1

3 1



 



 ＝ ⁶

3

3 1



 



 ＝

6 1 3

3 1











 



 



 ＝ ⁶

1

27 1



 





因為4 1＞

27

1 ，所以 ³

1

2 1



 



 ＞ ²

1

3 1



 





( 4)○：根據算幾不等式且 2^1.301≠2^2.699， 2^1.301＋2^2.699＞2 2^1.301．2^2.699 ＝2．2²＝2³ ( 5)╳：因為 8

≈

^100.903，7

≈

^100.8451，6

≈

^100.7781

所以 8¹⁰⁰≈ 10^90.3，7¹⁰⁰≈ 10^84.51，6¹⁰⁰ ≈ 10^77.81， 也就是 8¹⁰⁰為 91 位數，7¹⁰⁰ 為 85 位數，6¹⁰⁰為 78 位數，

可知 7¹⁰⁰和 6¹⁰⁰的總和不會超過 91 位數 得出 7¹⁰⁰＋6¹⁰⁰＜8¹⁰⁰

故選 ( 1)( 4)。 7. ( 2)( 5)

出處：第二冊〈數列與級數〉

目標：學習使用遞迴數列，利用級數和求出一般項 解析：n＝2 時，a2＝a1＋2²＝6，

n＝3 時，a3＝a2＋2³＝14 n 項相加如下

a1＝2 a2＝a1＋2² a₃＝a₂＋2³

. . . . . .

＋) a_n＝a_n－1＋2ⁿ

a_n＝2＋2²＋2³＋……＋2ⁿ＝2^n＋1－2 n＝1 時，a1＝2²－2＝2 (合)

故選 ( 2)( 5)。 8. ( 2)( 5)

出處：第一冊〈多項式函數〉

目標：認識二次多項式的圖形與方程式 f (x)＝0 沒有實數解的 意義

解析：y＝f (x) 為二次實係數多項式函數且 f (x)＝0 沒有實數 解有兩種可能：

y＝f (x) 的圖形開口向上，y 值恆正，也就是 f (x)＞0 或 y＝f (x) 的圖形開口向下，y 值恆負，也就是 f (x)＜0 ( 1)╳：f (0) 可能為負數

( 2)○：f (1) 和 f (2) 的函數值同正或是同負，所以乘積 必定為正數

( 3)╳：因為 f (x) 的函數值可能恆為正數或負數，所以 解不能確定

( 4)╳：承 ( 3)，同理可知解不能確定 ( 5)○：因為 ( f (x))²恆正，所以等同於解

(x＋3)(x－4)＜0，即為－3＜x＜4 故選 ( 2)( 5)。

9. ( 2)( 3)( 5)

出處：第二冊〈三角比〉

目標：學習使用廣義角與面積公式 解析： ( 1)╳：A 點坐標為 (cos θ , sin θ )

( 2)○：OB＝OAcos (180^°－θ )＝cos (180^°－θ ) ( 3)○：△OAD 的面積為

2

1 OA．OD．sin (180^°－θ )

＝2

1．1．1．sin (180^°－θ )

＝ 2 sinθ

( 4)╳：△OCD 的面積為 2

1 OD．CD

＝2

1．1．tan (180^°－θ )

＝－ 2 tanθ

( 5)○：∵△OAB～△OCD

∴CD AB＝

D O

B O ＝

1 ) 180 (

cos ^－θ _{＝－cos θ} 故選 ( 2)( 3)( 5)。

10.( 1)( 2)( 4)

出處：第一冊〈多項式函數〉

目標：認識三次函數的對稱中心與圖形平移，多項式函數的 意義

解析： ( 1)○：f (0)＝a(2)³＋2(2)＋16＝4  a＝－2＜0 ( 2)○

( 3)╳：因為 a＝－2，所以 y＝g(x)＝x³＋2x＋16 的圖 形無法平移得到 y＝f (x) 的圖形

( 4)○：y＝f (x) 的圖形在 x＝－2 附近的近似直線為 y＝2(x＋2)＋16，斜率為 2

( 5)╳：f (－2.01)＝－2(－0.01)³＋2(－0.01)＋16 ≈ 15.98 故選 ( 1)( 2)( 4)。

11.( 1)( 5)

出處：第二冊〈數據分析〉

目標：本題為程序題，學習相關係數與利用迴歸直線估算人 口數

解析：μ_x＝

5 8 7 6 4

0＋ ＋ ＋ ＋

＝5，μ_y＝

5 18 14 10 5

3＋ ＋ ＋ ＋

＝10 I

(編號) X (年度)

Y

(人數) xi－μx yi－μy (xi－μx)² ( yi－μy)² (xi－μx)( yi－μy) 1 0 3 －5 －7 25 49 35 2 4 5 －1 －5 1 25 5 3 6 10 1 0 1 0 0 4 7 14 2 4 4 16 8 5 8 18 3 8 9 64 24

總和 40 154 72

r＝

2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1

5 5 4 4 3 3 2 2 1 1

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

) )(

( ) )(

( ) )(

( ) )(

( ) )(

(

y y y y y x x x x x

y x y x y x y x y x

y y y y y x x x x x

y x y x y x y x y x

μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ

μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ

－

＋

－

＋

－

＋

－

＋

－

－

＋

－

＋

－

＋

－

＋

－

－

－

＋

－

－

＋

－

－

＋

－

－

＋

－

－

×

＝ 40 154 72

× ＝

385

18 ＞

20 18 ＝0.9 又迴歸直線斜率為

2 5 2 4 2 3 2 2 2 1

5 5 4 4 3 3 2 2 1 1

) ( ) ( ) ( ) ( ) (

) )(

( ) )(

( ) )(

( ) )(

( ) )(

(

x x x x x

y x y x y x y x y x

x x x x x

y x y x y x y x y x

μ μ μ μ μ

μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ

－

＋

－

＋

－

＋

－

＋

－

－

－

＋

－

－

＋

－

－

＋

－

－

＋

－

－

＝40 72＝

5 9

且通過 ( μ_x , μ_y)＝(5 , 10)，得迴歸直線方程式為 y＝5

9x＋1，則 a＝1，b＝

5 9

故 ( 1)○； ( 2)( 3)╳

( 4)╳：1950 年表示 x＝5，代入迴歸直線方程式得 y＝10，表示人口為 1000 萬人

( 5)○：2000 年表示 x＝10，代入迴歸直線方程式得 y＝19，表示人口為 1900 萬人

故選擇 ( 1)( 5)。 三、選填題

12. 15

出處：第一冊〈數與式〉

目標：化簡雙重根式和近似值運算

解析： 11－6 2 ＝ 11－2 18

＝ ( 9－ 2)²

＝3－ 2 得知10

k ＜3－ 2 ＜ 10

1 k＋

 k＜30－10 2＜k＋1

又 30－10 2 ≈ 15.86，因此 k＝15。

13.

3 32

出處：第一冊〈直線與圓〉

目標：利用二元一次不等式，計算坐標平面上被圍成的區域 面積

解析：滿足聯立不等式所形成的區域如下圖陰影區域，此區 域為 ABCD 四點所圍成的四邊形

四邊形 ABCD 面積可利用△OBC 面積減去

△OAD 面積，即 2 1×

3 20 ×6－

2 1×

3 14×4＝

3 32 。 14. 228

出處：第二冊〈排列組合與機率〉

目標：利用排列組合討論滿足條件的入座方式

解析：當甲選第 1，3，5 列的座位時，乙剩下 12 個座位可以 選

當甲選第 2，4 列的座位時，乙剩下 14 個座位可以選 所以共有 3×4×12＋2×3×14＝228 種入座方式。

15. 18

出處：第二冊〈三角比〉

目標：學習利用餘弦定理求距離

解析：設補給太空船的平均速度為每天前進 x 萬公里 五天的航程距離為 5x 萬公里

且太空站 A 距離補給點 D 為 180 萬公里 採用餘弦定理得

(5x)²＝150²＋180²－2×150×180 cos 30^°

 25x²＝22500＋32400－54000×

2

3 ≈ 8136

則 x² ≈ 325.44 x ≈ 18 故應每天前進 18 萬公里。

16. 16

出處：第二冊〈數列與級數〉

目標：利用平方和公式來估計滿足題意的最大值 解析：由題意可知第 n 層有 n²個橘子

1²＋2²＋……＋n²＝ 6

) 1 2 )(

1 (n＋ n＋

n ≤20×80＝1600

n＝15 時，

6 31 16

15× × ＝1240≤1600 n＝16 時，1240＋16²＝1496≤1600 n＝17 時，1496＋17²＝1785≥1600(不合) 故最高可以堆 16 層。

17.

216 11

出處：第二冊〈排列組合與機率〉

目標：學習古典機率與方程式為 0 時的條件 解析：擲一顆公正骰子 4 次

若點數分別為 a、b、c、d，

則所求即為找尋 a＝b 且 b＝c 或 c＝d 的事件機率 令 X 表示點數 a＝b 的事件，Y 表示點數 b＝c 的事件

Z 表示點數 c＝d 的事件

所求即為

P(X ∩(Y∪Z ))＝P((X ∩ Y )∪(X ∩ Z ))

＝P(X ∩ Y )＋P(X ∩ Z )－P((X ∩ Y )∩(X ∩ Z ))

＝P(a＝b＝c)＋P(a＝b 且 c＝d )

－P(a＝b＝c 且(a＝b 且 c＝d ))

＝P(a＝b＝c)＋P(a＝b 且 c＝d )－P(a＝b＝c＝d )

＝6 6 6 6 6 1 1 6

×

×

×

×

×

× ＋

6 6 6 6

1 6 1 6

×

×

×

×

×

× －

6 6 6 6

1 1 1 6

×

×

×

×

×

×

＝216 11 。

第貳部分、混合題 18.( 3)( 5)

出處：第一冊〈直線與圓〉

目標：圓的定義 解析：如下圖，

可知 翰翰無人機的飛行範圍是以 O 為圓心，OP為半 徑的圓及其內部

因此可得 C 行政中心與 E 市立圖書館也在這個圓內 故選 ( 3)( 5)。

19. 187500π＋125000 平方公尺 出處：第一冊〈直線與圓〉

目標：解出直線與圓的交點坐標

解析：通過 (2 , 11) 與 (4 ,－3) 這兩點的直線方程式為 L：7x＋y＝25

而以 O 為圓心，OP為半徑的圓方程式為 C：x²＋y²＝25

其與 L 的交點為 G(3 , 4) 與 H(4 ,－3) 可計算GH＝ (4－3)²＋(－3－4)²

＝5 2 且OG＝OH＝5

即得△GOH 是等腰直角三角形 所以∠GOH＝90^°

或利用 d(O , L)＝

2

2 1

7

| 25

|

＋

－

＝ 2 5

令 M 為 O 到 L 的垂線之垂足，利用畢氏定理，

可得GM＝ 2

5 ，同理HM ＝

2 5

即△GMO、△HMO、△GOH 都是等腰直角三角形 所以∠GOH＝90^°

實際上圓半徑為 5×100＝500 公尺

因此 翰翰無人機最遠可操控的範圍如上圖的陰影區域，

其面積為 500²π ×

4 3＋

2

1×500²＝187500π＋125000(平方公尺)。

◎評分原則

19.通過 (2 , 11) 與 (4 ,－3) 這兩點的直線方程式為 L：7x＋y＝25

而以 O 為圓心，OP為半徑的圓方程式為 C：x²＋y²＝25

其與 L 的交點為 G(3 , 4) 與 H(4 ,－3) 可計算GH ＝ (4－3)²＋(－3－4)²

＝5 2 且OG＝OH ＝5

即得△GOH 是等腰直角三角形 所以∠GOH＝90^°。(2 分) 或利用 d(O , L)＝

2

2 1

7

| 25

|

＋

－

＝ 2 5

令 M 為 O 到 L 的垂線之垂足，利用畢氏定理，

可得GM＝ 2

5 ，同理HM ＝

2 5

即△GMO、△HMO、△GOH 都是等腰直角三角形 所以∠GOH＝90^°

實際上圓半徑為 5×100＝500 公尺

因此 翰翰無人機最遠可操控的範圍如上圖的陰影區域，

其面積為 500²π ×

4 3＋

2

1×500²＝187500π＋125000(平方公尺)。

(3 分)(單位寫錯得 2 分) 20.

11 11

－5 ≤m≤ 11 11 5

出處：第一冊〈直線與圓〉

目標：求直線與圓的切線方程式

解析：如下圖，過 F(－6 , 0) 向圓 C 作切線 L，切點為 Q 點 與 R 點

切線方程式可設為 L：mx－y＋6m＝0 因為兩臺無人機可能會相遇

所以 d(O , L)≤r 

2 2 ( 1)

| 6

|

－ m＋

m ≤5

解得 11 11

－5 ≤m≤ 11 11

5 。

〈另解〉

也可以利用直角三角形 QFO 中 sin∠QFO＝

OF Q O ＝

6 5

則 m＝tan∠QFO＝

11 11 5

並取 11 11

－5 ≤m≤ 11

11

5 。

◎評分原則

20.如下圖，過 F(－6 , 0) 向圓 C 作切線 L，切點為 Q 點與 R 點

切線方程式可設為 L：mx－y＋6m＝0 (1 分) 因為兩臺無人機可能會相遇

所以 d(O , L)≤r 

2 2 ( 1)

| 6

|

－ m＋

m ≤5 (2 分)

解得 11 11

－5 ≤m≤ 11 11

5 。(3 分)

〈另解〉

也可以利用直角三角形 QFO 中 sin∠QFO＝

OF Q O ＝

6 5 (1 分)

則 m＝tan∠QFO＝

11 11 5 (2 分)

並取 11 11

－5 ≤m≤ 11

11

5 。(3 分)