數學A考科

112 學年度學科能力測驗試題

數學 A 考科

請於考試開始鈴響起，在答題卷簽名欄位以正楷簽全名

作答注意事項

考試時間：100分鐘 作答方式：

․選擇（填）題用 2B 鉛筆在「答題卷」上作答；更正時以橡皮擦擦拭，切勿使用修正 帶（液）。

․除題目另有規定外，非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在「答題卷」上作答；更正 時，可以使用修正帶（液）。

․考生須依上述規定劃記或作答，若未依規定而導致答案難以辨識或評閱時，恐將影響 成績。

․答題卷每人一張，不得要求增補。

․選填題考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。請仔細閱讀 下面的例子。

例：若答案格式是 ，而依題意計算出來的答案是 ，則考生必須分別在答題卷上

的第 18-1 列的 與第 18-2 列的 劃記，如：

例：若答案格式是 ，而答案是 時，則考生必須分別在答題卷的第 19-1 列

的 與第 19-2 列的 劃記，如：

選擇（填）題計分方式：

․單選題：每題有

個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得該 題的分數；答錯、未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。

․多選題：每題有

個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所 有選項均答對者，得該題全部的分數；答錯 k 個選項者，得該題

n



的分數；但得

分低於零分或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

․選填題每題有

個空格，須全部答對才給分，答錯不倒扣。

3 8

7 50

 3

18-2 18-1

8

 7

19-1 19-2 50

18-1

 

2 4 5 6 7 8 9 0

1 3

 

2 4 5 6 7 8 9 0

1 3

18-2

19-1

 

2 4 5 6 7 8 9 0

1 3

 

2 4 5 6 7 8 9 0

1 3

19-2

第 壹 部 分 、 選 擇 （ 填 ） 題 （ 占 85分 ） 一 、 單 選 題 （ 占 30 分 ）

說明：第 1 題至第 6 題，每題 5 分。

1. 若 在 計 算 器 中 鍵 入 某 正 整 數 N， 接 著 連 按 「 」 鍵 （ 取 正 平 方 根 ）3 次 ， 視 窗 顯 示 得 到 答 案 為 2， 則 N 等 於 下 列 哪 一 個 選 項 ？

(1) 2 (2) ³ 2 (3) ⁴ 2 (4) ⁶ 2⁸ (5) 2 ¹²

2. 坐 標 平 面 上，以 原 點 O 為 圓 心、1 為 半 徑 作 圓，分 別 交 坐 標 軸 正 向 於 A、B 兩 點 。 在 第 一 象 限 的 圓 弧 上 取 一 點 C 作 圓 的 切 線 分 別 交 兩 軸 於 點 D、E，

如 圖 所 示 。 令 OEC， 試 選 出 為tan的 選 項 。 (1) OE

(2) OC (3) OD (4) CE (5) CD

3. 某 生 推 導 出 兩 物 理 量s t

,

1, ,15

k  。老 師 建 議 他 將 其 中 的t_k先 取 對 數，在 坐 標 平 面 上 標 出 對 應 的 點( ,log )s_k t_k ，k1, ,15 ，如 圖 所 示；

其 中 第 一 個 數 據 為 橫 軸 坐 標，第 二 個 數 據 為 縱 軸 坐 標 。 利 用 迴 歸 直 線 分 析 ， 某 生 印 證 了 其 理 論 。 試 問 該 生 所 得 s t

,

(1) s2t (2) s3t (3) t10^s (4) t²10^s (5) t³10^s

4. 將 數 字 1、2、3、…、9 等 9 個 數 字 排 成 九 位 數 （ 數 字 不 得 重 複 ） ， 使 得 前 5 位 從 左 至 右 遞 增 、 且 後 5 位 從 左 至 右 遞 減 。 試 問 共 有 幾 個 滿 足 條 件 的 九 位 數 ？ (1) 8!

4!4! (2) 8!

5!3! (3) 9!

5!4! (4) 8!

5! (5) 9!

5!

2 1 0 -1

-2 -2 -1 0 1 2 y

E

B

C

O x

θ

D A θ

C

5. 已 知 坐 標 空 間 中 P、Q、R 為 平 面2x3y5z 7上 不 共 線 三 點 。 令



1 1 1

( , , )a b c

 ，



2 2 2

( , , )a b c

 。 試 選 出 下 列 行 列 式 中 絕 對 值 為 最 大 的 選 項 。

(1) _{1 1 1}

2 2 2

1 1 1 a b c a b c



(2) _{1 1 1}

2 2 2

1 1 1 a b c a b c



(3) _{1 1 1}

2 2 2

1 1 1

a b c a b c



(4) _{1 1 1}

2 2 2

1 1 1 a b c a b c

 

(5) _{1 1 1}

2 2 2

1 1 1 a b c a b c

  

6. 坐 標 空 間 中 ， 考 慮 邊 長 為 1 的 正 立 方 體 ， 固 定 一 頂 點 O。 從 O 以 外 的 七 個 頂 點 隨 機 選 取 相 異 兩 點 ， 設 此 兩 點 為 P、Q， 試 問 所 得 的 內 積





(1) 4

7 (2) 5

7 (3) 6

7 (4) 1 (5) 8

7

二 、 多 選 題 （ 占 30 分 ）

說明：第 7 題至第 12 題，每題 5 分。

7. 某 公 司 有 甲 、 乙 兩 新 進 員 工 ， 兩 人 同 時 間 入 職 且 起 薪 相 同 。 公 司 承 諾 給 甲 、 乙 兩 員 工 調 薪 的 方 式 如 下 ：

甲 ： 工 作 滿 3 個 月 ， 下 個 月 開 始 月 薪 增 加 200 元 ； 以 後 再 每 滿 3 個 月 皆 依 此 方 式 調 薪 。

乙 ： 工 作 滿 12 個 月 ， 下 個 月 開 始 月 薪 增 加 1000 元 ； 以 後 再 每 滿 12 個 月 皆 依 此 方 式 調 薪 。

根 據 以 上 敘 述 ， 試 選 出 正 確 的 選 項 。

(1) 甲 工 作 滿 8 個 月 後 ， 第 9 個 月 的 月 薪 比 第 1 個 月 的 月 薪 增 加 600 元 (2) 工 作 滿 一 年 後 ， 第 13 個 月 甲 的 月 薪 比 乙 的 月 薪 高

(3) 工 作 滿 18 個 月 後 ， 第 19 個 月 甲 的 月 薪 比 乙 的 月 薪 高

(4) 工 作 滿 18 個 月 時 ， 甲 總 共 領 到 的 薪 水 比 乙 總 共 領 到 的 薪 水 少

8. 某 抽 獎 遊 戲 單 次 中 獎 機 率 為 0.1，每 次 中 獎 與 否 皆 為 獨 立 事 件。對 每 一 正 整 數 n，

令 p_n為 玩 此 遊 戲 n 次 至 少 中 獎 1 次 的 機 率 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) p_n1 p_n

(2) p₃ 0.3

(3) p_n 為 等 差 數 列

(4) 玩 此 遊 戲 兩 次 以 上 ， 第 一 次 未 中 獎 且 第 二 次 中 獎 的 機 率 等 於 p₂p₁ (5) 玩 此 遊 戲 n 次 且 n2時 ， 至 少 中 獎 2 次 的 機 率 等 於 2p_n

9. 設 a a a₁, , , ,_{2 3} a_n是 首 項 為 3 且 公 比 為3 3的 等 比 數 列 。 試 選 出 滿 足 不 等 式

1

3 1 3 2 3 3 3 4 3

log a log a log a log a  ( 1)^n log a_n 18 的 項 數 n 之 可 能 選 項 。

(1) 23 (2) 24 (3) 25 (4) 26 (5) 27

10. 考 慮 坐 標 平 面 上 的 直 線 L： 5y(2k4)x10k0（ 其 中 k 為 一 實 數 ） ， 以 及 長 方 形 OABC，其 頂 點 坐 標 為O(0,0)、A(10,0)、B(10,6)、C(0,6)。設 L 分 別 交 直 線 O C、

直 線 AB 於 點 D、E。 試 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) 當 k 4時 ， 直 線 L 通 過 點 A

(2) 若 直 線 L 通 過 點 C， 則 L 的 斜 率 為 5

2 (3) 若 點 D 在 線 段OC上 ， 則0 k 3 (4) 若 1

k2， 則 線 段 DE在 長 方 形 OABC 內 部(含 邊 界)

(5) 若 線 段 DE在 長 方 形 OABC 內 部(含 邊 界)， 則 L 的 斜 率 可 能 為 3 10

11. 坐 標 平 面 上 ， 設 A、B 分 別 表 示 以 原 點 為 中 心 ， 順 時 針 、 逆 時 針 旋 轉90的 旋 轉 矩 陣。 設C、D分別表示以直線x y 、x y為鏡射軸的鏡射矩陣。試選出正確的選項。

(1) A、C 將 點(1,0)映 射 到 同 一 點 (2) A B

(3) C D ^1 (4) AB CD (5) AC BD

12. 令 f x( ) sin x 3 cosx， 試 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) 鉛 直 線

x_6

為 y f x( )圖 形 的 對 稱 軸

(2) 若 鉛 直 線 x a 和 x b 均 為 y f x( )圖 形 的 對 稱 軸 ， 則 f a( ) f b( ) (3) 在 區 間[ 0 , 2 ) 中 僅 有 一 個 實 數 x 滿 足 f x( ) 3

(4) 在 區 間[ 0 , 2 ) 中 滿 足 ( ) 1

f x 2的 所 有 實 數 x 之 和 不 超 過 2 (5) y f x( )的 圖 形 可 由 4sin²

2

y x的 圖 形 經 適 當 （ 左 右 、 上 下 ） 平 移 得 到

三 、 選 填 題 （ 占 25 分 ）

說明：第 13 題至第 17 題，每題 5 分。

13. 某 間 新 開 幕 飲 料 專 賣 店 推 出 果 汁 、 奶 茶 、 咖 啡 三 種 飲 料 ， 前 3 天 各 種 飲 料 的 銷 售 數 量（ 單 位：杯 ）與 收 入 總 金 額（ 單 位：元 ）如 下 表，例 如 第 一 天 果 汁、奶 茶、

咖 啡 的 銷 售 量 分 別 為 60 杯 、80 杯 與 50 杯 ， 收 入 總 金 額 為 12900 元 。

已 知 同 一 種 飲 料 每 天 的 售 價 皆 相 同 ， 則 咖 啡 每 杯 的 售 價 為

○

○

果 汁 （ 杯 ） 奶 茶 （ 杯 ） 咖 啡 （ 杯 ） 收 入 總 金 額 （ 元 ）

第 1 天 60 80 50 12900

第 2 天 30 40 30 6850

第 3 天 50 70 40 10800

14. 設 a b, 為 實 數 （ 其 中 a0） ， 若 多 項 式ax²(2a b x ) 12除 以 x²(2a x) 2a所 得 餘 式 為 6， 則 數 對 ( , )a b  (

○

○

○

15. 設 O、A、B 為 坐 標 平 面 上 不 共 線 三 點 ， 其 中 向 量





直 線 AB 上，滿 足



5



5







OA

○

○

（化為最簡分數）

16. 令 E：x+z=2 為 坐 標 空 間 中 過 三 點 A(2, 1,0) 、 B(0,1,2)、 C( 2,1,4) 的 平 面 。 另 有 一 點 P 在 平 面 z=1 上 且 其 於 E 之 投 影 點 與 A、B、C 三 點 等 距 離 。 則 點 P 與 平 面 E 的 距 離 為

○

○

17. 坐 標 空 間 中 有 兩 不 相 交 直 線 ₁

1

: 1

2

x t

L y t

z t

  

  

  



，t 為 實 數 、 ₂

2 2

: 5

6

x s

L y s

z s

  

  

  



，s 為 實 數 ， 另

一 直 線L₃與 L₁、L₂皆 相 交 且 垂 直。若 P、Q兩點分別在L₁、L₂上且與L₃之距離皆為 3，

則 P、Q兩點的距離為

○

○

第 貳 部 分 、 混 合 題 或 非 選 擇 題 （ 占 15 分 ）

說明︰本部分共有 1 題組，單選題每題 3 分，非選擇題配分標於題末。限在標示題號作答 區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時以橡皮擦擦 拭，切勿使用修正帶（液）。非選擇題請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算 過程或理由，否則將酌予扣分。

18-20題為題組

坐 標 平 面 上 O 為 原 點 ， 給 定 A(1,0)、B( 2,0) 兩 點 。 另 有 兩 點 P、Q 在 上 半 平 面 ， 且 滿 足 AP OA 、 BQ OB 、 POQ為 直 角 ， 如 圖 所 示 。 令 AOP。 根 據 上 述 ， 試 回 答 下 列 問 題 。

18. 線段OP長 為 下 列 哪 一 選 項 ？ （ 單 選 題 ，3 分 ）

(1) sin (2) cos (3) 2sin (4) 2cos (5) cos 2

19. 若 sin 3

 5， 試 求 點Q的 坐 標 ， 並 說 明





（ 非 選 擇 題 ，6 分 ）

B O A

P Q

參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值

1. 首 項 為a， 公 差 為 d 的 等 差 數 列 前 n 項 之 和 為 (2 ( 1) ) 2 n a n d

S   

首 項 為a， 公 比 為 r r( ¹1)的 等 比 數 列 前 n 項 之 和 為 (1 ) 1 a rn

S r

 



2. 三 角 函 數 的 和 角 公 式 ：sin(A B ) sin cos A Bcos sinA B cos(A B ) cos cos A Bsin sinA B

tan tan tan( )

1 tan tan

A B

A B A B

  



3. ABC的 正 弦 定 理 ： 2 sin sin sin

a b c

A B C  R （ R為 ABC外 接 圓 半 徑 ）

ABC的 餘 弦 定 理 ： c² a²b²2abcosC

4. 一 維 數 據 X x x: , , ,_{1 2}  x_n， 算 術 平 均 數 1 _{1 2}

( )

X x x xn

 n    

標 準 差 _X ¹[(x_{1 X})² (x_{2 X})² (x_{n X}) ]^{2 1}[(x₁² x₂² x_n²) n _X²]

n n

           

5. 二 維 數 據 (X,Y)：(x1,y1),(x2,y2),…, (xn,yn)

相 關 係 數 _, ( ¹ _X)( ¹ _Y) ( ² _X)( ² _Y) ( _{n X})( _{n Y})

X Y

X Y

x y x y x y

r n

     

 

        

 

迴 歸 直 線 （ 最 適 合 直 線 ） 方 程 式 _{Y X Y,} ^Y ( _X)

X

y  r  x 

   

6. 參 考 數 值 ： 2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 ,     3.142

7. 對 數 值 ：log 2 0.3010, log3 0.4771, log5 0.6990, log 7 0.8451   