數
學 B
110-E4
數學
B 考科參考答案暨詳解
版權所有．翻印必究
99362419-30
110 學年度全國高級中學 學科能力測驗模擬考試
翰林出版事業股份有限公司
－ 2 －
數學 B 考科詳解
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 5 ) ( 4 ) 8. 9. 10. 11. 12. 13.
( 3 ) ( 2)( 4)( 5 ) ( 2)( 5 ) ( 1)( 2)( 4 ) ( 2)( 5 ) ( 1)( 2)( 3)( 5)
第壹部分、選擇（填）題 一、單選題
1. ( 3 )
出處：第一冊〈指數、對數〉、第三冊〈按比例成長模型〉
目標：非負實數之小數或分數次方的意義 解析：a＝33，b＝ 2
1
3－ ，c＝ 3
4
3 ，d＝
6 3 1
1 ＝ 6
1
3
∵3＞3 4＞
6 1＞
2
－ ∴a＞c＞d＞b，故選 1 ( 3)。
2. ( 1)
出處：第一冊〈數與式〉
目標：解絕對值方程式及了解絕對值在數線上的幾何意義 解析：| x |＋| x－t | 代表數線上 x 到 0 的距離與 x 到 t 的距離
之和
若 t＞0，觀察下圖可知，
2 0＋t
＝ 2 β
α＋ ＝2 ∴t＝4
若 t＜0，同理可得 2 0＋t
＝ 2 β
α＋ ＝2，t＝4 (矛盾) 故選 ( 1)。
3. ( 2)
出處：第三冊〈平面向量與應用〉
目標：黃金比例的應用問題
解析：正方形 ABCD、CDFE、AFGH、BHIJ、JKLE、LMNG 的邊長依序為 1、1、2、3、5、8 公分
螺線長度為 2×π×1×
2
1＋2×π×2×
4
1＋2×π×3×
4
1＋2×π×5×
4 1
＋2×π×8×
4
1＝10π (公分)，故選 ( 2)。
4. ( 1)
出處：第三冊〈按比例成長模型〉
目標：對數函數的圖形 解析：∵a
1＝
0 ) 0 ( ) (
1 1
－
－ x
f x
f 代表 (x1 , f (x1)) 和 (0 , f (0)) 的斜率
由上圖可知，
c 1＞
b 1＞
a
1 ∴a＞b＞c，故選 ( 1)。
5. ( 1)
出處：第四冊〈機率〉
目標：條件機率與貝氏定理 解析：設確實患病的比例為 x
01 . 0 ) 1 ( 95 . 0
95 . 0
．
－
＋
．
． x x
x ＝
6 5
x＝0.05
∴2000×0.05＝100 (人) 故選 ( 1)。
6. ( 5)
出處：第一冊〈直線與圓〉
目標：二元一次不等式 解析：
如上圖所示，矩形 Ω 的頂點為 (0 , 0)，(1 ,－1)，(8 , 6)，
(7 , 7)，長為7 2，寬為 2，對角線長為 10，
圓 C1 的直徑為 10，圓 C2 的直徑為 2
∴所求為 π×52＋π×
2
2 2
＝25π＋
2 π ＝
2 51π 故選 ( 5)。
7. ( 4)
出處：第四冊〈矩陣與資料表〉
目標：反矩陣和矩陣乘法 解析：由題意知
A．
3 1
2
1 ＝
8 3
1
0 －
∵ 1 3 2
1 ＝1
∵
1
3 1
2
1 －
＝
1 1
2 3 1 1
－
－ ＝
1 1
2 3
－
－
得 A＝
1 1
2 3 8 3
1 0
－
－
－ ＝
2 1
1
1 －
∴
8 5 2 1
1
1 －
＝
21
3
－
故選 ( 4)。
－ 3 － 8. ( 3)
出處：第一冊〈指數、對數〉、第三冊〈按比例成長模型〉
目標：常用對數 log 的使用
解析：酒精的 pH 值＝－log [H＋]＝6 [H＋]＝10－6 純水的 pH 值＝－log [H＋]'＝7 [H＋]'＝10－7 混合後的氫離子濃度為
1 . 0 9 . 0
1 . 0 10 9 . 0
10 6 7
＋
＋ －
－× × ＝9.1×10－7
∴調製後的 pH 值為
－log (9.1×10－7)＝7－log 9.1≈7－0.9590＝6.041 故選 ( 3)。
二、多選題 9. ( 2)( 4)( 5)
出處：第三冊〈正弦函數與週期性現象〉
目標：正弦函數的圖形 解析： ( 1)╳：y＝f (x) 的振幅為
2 2 . 0 2 .
1 －
＝0.5 ( 2)○：y＝f (x) 的週期為 2
( 3)╳：a＝0.5 ( 4)○：
b π
2 ＝2 b＝π
( 5)○：c＝0.7 故選 ( 2)( 4)( 5)。 10.( 2)( 5)
出處：第二冊〈數據分析〉
目標：數據的標準化、統計量的線性調整
解析： ( 1)( 2)( 3)： 小賴的國文、英文、數學、自然、社會成績 的標準化數據分別為
2 11
15－ ＝2、
3 8
12－ ＝
3 4、
4 6
12－ ＝
2 3、
3 10
12－ ＝
3 2、
2 8 10－ ＝1
∴排名最好的是國文，最差的是自然 ( 4)╳：1.2×6＋1＝8.2 (級分)
( 5)○：1.2×4＝4.8 (級分) 故選 ( 2)( 5)。
11.( 1)( 2)( 4)
出處：第一冊〈多項式函數〉
目標：三次多項式函數的圖形 解析： ( 1)○：設 f (x)＝ax(x＋1)(x－1)
f (2)＝6a＝6 a＝1
∴f (x)＝x(x＋1)(x－1)＝x3－x
＝(x－0)3－(x－0)＋0
∴對稱中心為 (0 , 0)
( 2)○：y＝f (x)＝x3－x 圖形的廣域(大域)特徵近似於曲 線 y＝x3
( 3)╳：如下圖所示，y＝f (x) 的圖形非嚴格遞增
( 4)○： 1 ＋ 0 － 1 ＋ 0 －1
－ 1 ＋ 1 ＋ 0 1 － 1 ＋ 0 ＋ 0
－ 1 ＋ 2 1 － 2 ＋ 2
－ 1
1 － 3
y＝f (x)＝(x＋1)3－3(x＋1)2＋2(x＋1)＋0
∴y＝f (x) 圖形在 x＝－1 附近的圖形特徵近似 於直線 y＝2(x＋1)＝2x＋2
( 5)╳：如下圖所示，y＝2x＋2 和 y＝f (x) 有兩個交點
〈另解〉
x3－x＝2x＋2
x3－3x－2＝0
(x＋1)2(x－2)＝0
x＝－1 或 2
∴有兩個交點 故選 ( 1)( 2)( 4)。 12.( 2)( 5)
出處：第二冊〈數列與級數〉
目標：等差數列與級數、分項對消法 解析： ( 1)╳ ( 2)○：
12 3 3
10 4
1 3
1 5
＝
＋
＝
＝
＋
＝ d a S
d a
a
2
1 2
＝
＝ d a
( 3)╳：an＝2＋(n－1)×2＝2n 必為偶數 ( 4)╳：Sn＝
2 ) (a1＋an ×n
＝ 2 ) 2 2
( ＋ n ×n
＝n(n＋1)＜100
∴n＝1，2，……，9，共 9 個 ( 5)○：Tn＝
2 1
1
× ＋ 3 2
1
× ＋……＋
) 1 (
1 n＋ n
＝
2 1 1
1－ ＋
3 1 2
1－ ＋……＋
1 1 1
－ ＋ n n
＝1－ 1 1 n＋ ＝
1 n＋
n ＜1
故選 ( 2)( 5)。 13.( 1)( 2)( 3)( 5)
出處：第一冊〈直線與圓〉
目標：圓的標準式、算幾不等式
解析： ( 1)( 2)○：∵∠ABC＝90° ∴AC為直徑 則圓心為 2
C
A＋ ＝
2 2 , 0 2
3
1＋ ＋
＝(2 , 1)，
半徑為 (3 1)2 (2 0)2 2
1 － ＋ － ＝ 2
∴圓方程式為 (x－2)2＋( y－1)2＝2 ( 3)○：∵∠ABC＋∠ADC＝180°
∴∠ADC＝180°－90°＝90°
－ 4 － ( 4)╳：∵∠ADC＝90°
∴AD2＋CD2＝AC2＝(2 2)2＝8 ( 5)○：△ACD 面積為
2 CD AD× ，
又AD2＋CD2＝8，根據算幾不等式 2
2
2 CD
AD＋
≥ AD2×CD2
4≥ AD×CD
2
CD AD× ≤2
∴△ACD 面積的最大值為 2 平方公里 故選 ( 1)( 2)( 3)( 5)。
三、選填題 14. 3 2
出處：第二冊〈三角比〉
目標：三角比的定義
解析：∵∠ABO＝180°－90°－45°＝45°
∴OB＝ 45 cos
3 ＝3 2(公尺)。
15.10 19
出處：第三冊〈平面向量與應用〉
目標：向量內積
解析：|
AC|2＝| 3
AB＋AD
|2＝9 |
AB|2＋6
AB．
AD＋|
AD|2＝900＋6×10×20×cos 60°＋400
＝1900
∴|
AC |＝ 1900＝10 19(公尺)。16. 1
出處：第一冊〈多項式函數〉
目標：除法原理、餘式定理 解析：(x＋1)3＝x3＋3x2＋3x＋1
長除法如下：
3 2
3 2 6 5 4 3 2
6 5 4 3
5 4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
2
3 6 10
3 3 1 0 0 0 0 0 0
3 3
3 3 0
3 9 9 3
6 8 3 0
6 18 18 6
10 15 6 0
10 30 30 10
15 24 10
x x x
x x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
－ ＋ －
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
－ － － ＋
－ － － －
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
－ － － ＋
－ － － －
＋ ＋
∴R(x)＝15x2＋24x＋10，
r＝R(－1)＝15－24＋10＝1。
〈另解〉
設 x6＝(x＋1)3Q(x)＋R(x)
x＝－1 代入得 (－1)6＝0．Q(－1)＋R(－1)
R(－1)＝1。
17. (4 , 0)
出處：第三冊〈平面向量與應用〉
目標：正射影
解析：∵
BF
AD在⊥
BC
BC上的正射影等於
BA在
BC 上的正射影 又
BA＝(4 ,－3)，
BC ＝
AC－
AB＝(1 , 0)∴所求為
|2
C B
| BC BA
．×
BC ＝ 14×(1 , 0)＝(4 , 0)。
第貳部分、混合題或非選擇題 18.( 2)
出處：第二冊〈排列組合與機率〉
目標：組合、加法與乘法原理 解析：
6
C2＝ 1 2
5 6
×
× ＝15，故選 ( 2)。
19. 141830 種
出處：第二冊〈排列組合與機率〉
目標：組合、加法與乘法原理
解析：(任意選)－(連 4 天停水)－(連 5 天停水)
＝C305 －C ×2!262 －
! 25
! 26
＝142506－650－26
＝141830 (種)。
〈另解〉
26
C5 ＋ C264×
! 3
! 4 ＋C263×
! 2
! 3 ＋C263 ×
! 2
!
3 ＋C262×2!
(1 , 1 , 1 , 1 , 1) (2 , 1 , 1 , 1) (2 , 2 , 1) (3 , 1 , 1) (3 , 2)
＝65780＋59800＋7800＋7800＋650
＝141830 (種)。
◎評分原則
(任意選)－(連 4 天停水)－(連 5 天停水)
＝C305 －C ×2!262 －
! 25
!
26
， × ， 各3分
! 25
!
! 26 2
26 2 30
5 C
C
＝142506－650－26
＝141830 (種)。(3 分)
〈另解〉
C265 ＋ C264×
! 3
! 4 ＋C263×
! 2
! 3 ＋C263 ×
! 2
!
3 ＋C262×2!
(1 , 1 , 1 , 1 , 1) (2 , 1 , 1 , 1) (2 , 2 , 1) (3 , 1 , 1) (3 , 2) (每寫出一個狀況給 2 分)
＝65780＋59800＋7800＋7800＋650
＝141830 (種)。(2 分)
