數學考科

總召集∕陳彥良 出　版∕民國一 一 一年二月

總編輯∕李心筠 發行所∕70248 臺南市新樂路 76 號 主　編∕吳崇欽 編輯部∕70252 臺南市新忠路 8 -1 號 責　編∕黃美甄•方欽暉 電　話∕(06)2619621 #312

美　編∕戴 寧•陳雅惠 E-mail∕[email protected] 本書內容同步刊載於翰林官網 翰林官網 http://www.hle.com.tw

臺中一中•李宜展 老師 大園高中•葉子榕 老師

數學 ^考科

00847-02

2

一

　　111 學年度的學測在 1 月 21 日至 1 月 23 日舉辦。這次學測特別引人注目，一方面今 年學測為實施 108 課綱以來第一年的大考，另一方面，自 83 學年度的學測開始，數學考 科的題型一直維持單選題、多選題及選填題，共 20 題的形式，且不分自然組、社會組。

而從今年開始，學測數學考科多了混合題型，且因應課綱，也分成數學 A 考科、數學 B 考科兩卷，其中數學 A 考科的測驗內容為 10 年級必修數學、11 年級必修數學 A 類。

　　雖然在學測前，大考中心釋出的參考試卷及試辦考試試卷可供師生參考，但大家仍對 此次學測數學 A 考科是否別於以往學測及指考的難度有各自的看法。以下筆者先利用表 格呈現今年數學 A 考科的試題分布，如此便能讓讀者很清楚地看出此次考試內容，最後 分析這次試題的特色，以作為參考。

二

冊　別 單　元 題　型 難易度 分數合計 單冊合併計分

第一冊

第一章　數與式 多選 7 中 5 分

23 分 第二章　指數、對數

第三章　多項式函數 多選 10 難 多選 12 難 10 分

第四章　直線與圓

單選 6 中偏難

8 分 混合 18 中

（單選 3） 中

第二冊

第一章　數列與級數 （單選 4） 中

31 分 第二章　數據分析 單選 3 中 5 分

第三章　排列組合與機率 單選 1 易

10 分 選填 13 中

第四章　三角比

多選 8 中

16 分 選填 15 中

混合 19 中偏難

臺中一中 ●李宜展 老師

3 3

冊　別 單　元 題　型 難易度 分數合計 單冊合併計分

第三冊 A

第一章　三角函數 混合 20 中偏難 6 分

21 分 第二章　指數與對數函數 單選 2 中偏易

10 分 單選 4 中

第三章　平面向量

多選 9 難

5 分

（選填 17） 難

（混合 19） 中偏難

第四冊 A

第一章　空間向量 多選 11 難

10 分

25 分 選填 17 難

第二章　空間中的平面與直線 選填 16 中偏難 5 分 第三章　機率 單選 5 中偏難 5 分 第四章　矩陣 選填 14 中 5 分

（若題目有跨兩個章節，但僅用到次要概念，則用括號表示，不計入分數合計）

　　由上方表格可看出此次學測與之前公布的試辦考試數學 A 考科的題數相同，均為 20 題，題型除了維持單選題、多選題、選填題的形式，還多了混合題型，分別是 6 題

（30 ％）、6 題（30 ％）、5 題（25 ％）及 3 小題（15 ％）。此次學測第二冊的分量占最 多，各冊的內容大致分配均勻，但難易度為易或中偏易的題目較少，大多都是陌生且需要 思考的題目，明顯拉出與數學 B 考科的差別，難度也較以往的指考數學甲困難。

三

1　基本題型偏少：

此次基本題較少，有些題目又得細心判斷，容易造成考生的失常。若考生從考古題下 手的話，這份試卷偏考古題類型的有單選 1、2、4、5，多選 7、8，選填 14，這些屬 於概念性知識的題目，考生較容易拿到分數。至於選填 15 雖屬於基本題型，用到國中 的幾何知識便可解決，但對於離國中階段已遠的學生不知是否可以掌握。而選填 16 測 驗的內容雖然是以往大考中常強調的平面法向量，但題目條件的重新敘述，考生必須 靈活找出條件才能解題。

2　閱讀量大：

這份題目的閱讀量大，因此考生要從繁雜的文字中找出適當的數學條件顯得困難許 多，如單選 1、5，選填 13、15 及混合題型。其中單選 1 題幹中的「兩球不同口味」

及問題中的「可為同一口味」容易讓學生不小心混淆題意。選填 13 中「十連抽」的次 數及「連抽的十次抽卡動作」，這兩種不同的次數，也容易使考生花過多時間理解題 意。

44

3　綜合推理題增多：

以往多選題往往是考生最害怕的題型，今年也不讓人意外，出現了許多需要考生具備 綜合推理能力的問題，如多選 9、10、11、12。其中多選 9、10、11 這三題除了要能掌 握核心概念外，也得細心判斷以避開選項的陷阱。而多選 12 則考了大考中常見的除法 原理，主要解題技巧為判斷除式的次數，這對考生來說是較為困難的。

4　新課綱別於舊課綱的內容：

這次新課綱增加了幾個別於舊課綱的內容，在多選 9、10 均有出現。多選 9 和試辦考 試數學 A 考科的多選 11 有類似之處，考了新課綱強調的克拉瑪公式與線性組合的關 係，若能用這個概念則容易許多。而多選 10 考了三次多項式函數的對稱中心，也與參 考試卷數學 A 考科的多選 9 有相似之處。至於從 99 課綱指考數學甲範圍移至學測數 學 A 考科範圍的內容，如「空間中點到直線的距離」、「兩平行線或兩歪斜線的距離」

與「平面上的線性變換」均未出現，這些內容可能是未來數學 A 考科的考試重點。

5　混合題型：

今年首次登場的混合題型出現了 3 小題，而 2 小題需要考生手寫。考生首先得迅速了 解此題的情境敘述，再由小題的引導寫出過程。其實這題混合題型循序漸進的引導方 式的確能幫助考生思考，但可惜的是，在前面眾多精采的題目之下，考生可能無法在 時間內完成這題。

四

　　近幾年的多選題大多是考查綜合推理能力，考生需在平時即養成思考推理的習 慣，才不致於在考場中慌張。而今年混合題型的手寫題部分共占 12 分，考生必須跟著 題幹的引導，詳細寫出過程，也是平常可以準備的一大方向。

　　綜合來說，今年學測數學 A 考科的題目靈活變化，考生需要非常精熟這四冊的內 容，才有辦法拿到高分，這樣的考試題目算是給師生們一個很大的挑戰。雖說數學 A 考科是適合高數學需求的科系，但難度是否要到這麼高，的確有待商榷。

F

5

第壹部分、選擇（填）題（占 85 分）

一、單選題（占 30 分）

說明： 第 1 題至第 6 題，每題 5 分。

1　某冰淇淋店最少需準備 n 桶不同口味的冰淇淋，才能滿足廣告所稱「任選兩球 不同口味冰淇淋的組合數超過 100 種」。試問來店顧客從 n 桶中任選兩球（可 為同一口味）共有幾種方法？

1 101 2 105 3 115 4 120 5 225

答　　案 4

命題出處 第二冊第三章　排列組合與機率

測驗目標 理解組合的方法與原理

難 易 度 易

詳　　解 Cⁿ₂＞100 n（n－1）

2! ＞100 n（n－1）＞200

又14×13＝182＜200 　15×14＝210＞200 取 n＝15

∴從 15 桶中任選兩球（可為同一口味）的方法數有 　 C¹⁵₂ ＋C¹⁵₁ ＝105＋15＝120 種

故選4

2　某品牌計算機在計算對數 log_a b 時需按 log （ a ， b ）。某生在計算 log_a b 時（其中 a＞1 且 b＞1）順序弄錯，誤按 log （ b ， a ），所得 為正確值的 9

4 倍。試選出 a，b 間的關係式。

1 a²＝b³ 2 a³＝b² 3 a⁴＝b⁹ 4 2a＝3b 5 3a＝2b

答　　案 1

命題出處 第三冊 A 第二章　指數與對數函數

測驗目標 換底公式的運用

難 易 度 中偏易 　　

兩種不 同口味

兩種同 一口味

臺中一中 ●李宜展 老師

6

詳　　解 由題意可知 log_b a＝9

4 log_a b 由換底公式可得 log a

log b ＝9

4． log b log a

（log a）²＝9

4（log b）² log a＝±3

2 log b 又 a＞1 且 b＞1　∴log a＞0，log b＞0 可得 log a＝3

2 log b＝log b³²

∴a＝b³²，即 a²＝b³，故選1

3　在處理二維數據時，有種方法是將數據垂直投影 到某一直線，並以該直線為數線，進而了解投影 點所成一維數據的變異。右圖的一組二維數據，

試問投影到哪一選項的直線，所得之一維投影數 據的變異數會是最小？

1 y＝2x 2 y＝－2x 3 y＝－x 4 y＝ x

2 5 y＝－ x

2

答　　案 5

命題出處 第一冊第四章　直線與圓、第二冊第二章　數據分析

測驗目標 利用兩直線的垂直解決二維數據問題

難 易 度 中

詳　　解 由題圖可知，

這組二維數據分布在 y＝2x 附近 而 y＝－1

2 x 和 y＝2x 垂直 且過點（0c0）

若將二維數據投影至 y＝－1 2 x 上 如右圖所示

7

這些新的數據會聚集在（0c0）附近，

所得到的變異數會是最小 故選5

4　 設等差數列〈a_n〉之首項 a₁ 與公差 d 皆為正數，且 log a₁，log a₃，log a₆ 依序 也成等差數列。試選出數列 log a1，log a3，log a6的公差。

1 log d 2 log 2

3 3 log 3

2 4 log 2d 5 log 3d

答　　案 3

命題出處 第二冊第一章　數列與級數、第三冊 A 第二章　指數與對數函數

測驗目標 對數律結合等差數列的應用

難 易 度 中

詳　　解 ∵log a₁，log a₃，log a₆成等差

∴log a₁＋log a₆＝2 log a₃

即 log a₁＋log（a1＋5d）＝2 log（a1＋2d） log a（₁ a1＋5d）＝log（a1＋2d）²

a（₁ a₁＋5d）＝（a₁＋2d）² a₁²＋5a₁d＝a₁²＋4a₁d＋4d² a1d＝4d²

又 d＞0　∴a1＝4d

因此，數列 log a₁，log a₃，log a₆的公差為

log a₃－log a₁＝log

（

）

（

）

（

）

5　已知某地區有 30 ％的人口感染某傳染病。針對該傳染病的快篩試劑檢驗，有陽 性或陰性兩結果。已知該試劑將染病者判為陽性的機率為 80 ％，將未染病者判 為陰性的機率則為 60 ％。為降低該試劑將染病者誤判為陰性的情況，專家建議 連續採檢三次。若單次採檢判為陰性者中，染病者的機率為 P；而連續採檢三 次皆判為陰性者中，染病者的機率為 P'。試問 P

P' 最接近哪一選項？

1 7 2 8 3 9 4 10 5 11

答　　案 2

命題出處 第四冊 A 第三章　機率

測驗目標 貝氏定理的應用

難 易 度 中偏難

8

詳　　解

P ＝P（染病 |單次採檢陰性）

＝ P（染病且單次採檢陰性）

P（單次採檢陰性）

＝ 0.3×0.2 0.3×0.2＋0.7×0.6

＝ 0.06 0.48 ＝1

8

P' ＝P（染病 | _{三次採檢皆陰性）}

＝ P（染病且三次採檢皆陰性）

P（三次採檢皆陰性）

＝ 0.3×（0.2）³

0.3×（0.2）³＋0.7×（0.6）³

＝ 0.0024 0.1536 ＝ 1

64 P

P' ＝8 故選2

6　設坐標平面上兩直線 L₁，L₂的斜率皆為正，且 L₁，L₂有一夾角的平分線斜率 為 11

9 。另一直線 L 通過點

（

）

試問 L 的方程式為下列哪一選項？

1 11x－9y＝19 2 9x＋11y＝25 3 11x＋9y＝25 4 27x－33y＝43 5 27x＋33y＝65

答　　案 5

9

命題出處 第一冊第四章　直線與圓

測驗目標 兩直線垂直關係的應用

難 易 度 中偏難

詳　　解 設直線 M 為直線 L1，L2之角平分線

已知 L1，L2的斜率皆為正，且與直線 L 所圍的有界區域為正三角形 如右圖所示

此時直線 M 為正三角形之角平分線

∴ L⊥M

得 m_L．m_M＝－1 m_L＝－ 1

m_M＝－ 9 11 又 L 過點

（

）

11（x－2） 即 27x＋33y＝65

故選5

二、多選題（占 30 分）

說明：第 7 題至第 12 題，每題 5 分。

7　 設整數 n 滿足 |_5n－21|M7|_n|。試選出正確的選項。

1|_5n－7n|M21 2－1N 7n

5n－21N1 3 7nN5n－21 4（5n－21）²M49n² 5滿足題設不等式的整數 n 有無窮多個

答　　案 24

命題出處 第一冊第一章　數與式

測驗目標 求絕對值不等式的解

難 易 度 中

詳　　解 1　×：當 n＝1 時滿足|_5n－21|M7|_n| 但|_5n－7n|＝2＜21

2　○：由|_5n－21|M7|_n| 7|_n|

|_5n－21| ^N1

|

|

∴－1N 7n

5n－21N1

10

3　×：當 5n－21＜0 時 承2，由 7n

5n－21N1 可推得 7nM5n－21 例如當 n＝1 時滿足 |_5n－21|M7|_n|

但 7n＞5n－21

4　○：由|_5n－21|M7|_n|M0

兩邊平方可得|_5n－21|²M（7|_n|）²

∴（5n－21）²M49n²

5　×：承4，25n²－210n＋441M49n²

24n²＋210n－441N0 8n²＋70n－147N0

（4n－7）（2n＋21）N0

－21

2 NnN7 4

又 n 為整數　∴n＝－10，－9，－8，……，1 共 12 個 即滿足不等式的整數為有限個

故選24

8　坐標平面上，△ABC 三頂點的坐標分別為 A（0c2），B（1c0），C（4c1），試選 出正確的選項。

1△ABC 的三邊中，AC 最長 2 sin A＜sin C

3△ABC 為銳角三角形 4 sin B＝ 7 2

10

5△ABC 的外接圓半徑比 2 小

答　　案 14

命題出處 第二冊第四章　三角比

測驗目標 利用正弦定理及餘弦定理解決三角形的邊角關係

難 易 度 中

詳　　解 1　○： AB＝ （0－1）²＋（2－0）² ＝ 5 BC＝ （1－4）²＋（0－1）² ＝ 10 AC＝ （0－4）²＋（2－1）² ＝ 17

∴AC 最長

2　×：由 AC＞BC＞AB 可得∠B＞∠A＞∠C 又∠A、∠C 必為銳角

∴sin A＞sin C

11

3　×：cos B ＝AB ²＋BC²－AC²

2 AB×BC ＝（ 5 ）²＋（ 10 ）²－（ 17 ）² 2× 5 × 10

＝－ 1 5 2 ＜0

∴∠B 為鈍角，故△ABC 為鈍角三角形 4　○：∵cos B ＝－ 1

5 2

∴sin B ＝ 1－

（

）

2R ＝ AC

sin B＝ 17 7 2 10

＝ 10 17 7 2

＞ 10 16

7 2 ＝ 10 8

7 ＝ 20 2 7

~ 20×1.414

7 ＝4.04＞4

∴R＞2

〈另解〉

如右圖

∵△ABC 為鈍角三角形，且∠B 為鈍角

∴2R＞AC，得 R＞1

2 AC＝ 17

2 ＞ 16 2 ＝2 故選14

9　已知 P 為△ABC 內一點，且 AP ＝a AB ＋b AC ，其中 a，b 為相異實數。

設 Q，R 在同一平面上，且 AQ ＝b AB ＋a AC ，AR ＝a AB ＋（b－0.05）AC 。 試選出正確的選項。

1 Q，R 也都在△ABC 內部

2|_AP |＝|_AQ |

3△ABP 面積＝△ACQ 面積 4△BCP 面積＝△BCQ 面積 5△ABP 面積＞△ABR 面積

答　　案 34

命題出處 第三冊 A 第三章　平面向量

12

測驗目標 行列式代表的面積意義、向量線性組合與克拉瑪公式的幾何意義

難 易 度 難

詳　　解 ∵P 為△ABC 內一點　∴a＞0 且 b＞0

1　×： 當 a＝0.5，b＝0.04 時，AR ＝0.5 AB －0.01 AC 此時 R 在△ABC 外部

2　×：|_AP |²＝a²|_AB |²＋2ab AB ．AC ＋b²|_AC |²

|_AQ |²＝b²|_AB |²＋2ab AB ．AC ＋a²|_AC |²

|_AP |²－|_AQ |² ＝a²|_AB |²＋b²|_AC |²－b²|_AB |²－a²|_AC |²

＝（a²－b²）|_AB |²＋（b²－a²）|_AC |²

＝（a²－b²）（|_AB |²－|_AC |²）

當|_AB |≠|_AC |時，|_AP |²≠|_AQ |²，即|_AP |≠|_AQ | 3　○：設|

|

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由

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＝

|

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|

|

|

|

且

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|

＝

|

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|

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∴ |

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|

|

|

可得△ABP 面積＝1

2|

|

|

|

|

4　○：由 PQ ＝AQ －AP

＝（b AB ＋a AC ）－（a AB ＋b AC ）

＝（b－a）AB ＋（a－b）AC

＝（b－a）（AB －AC ）

＝（b－a）CB

∴←→

PQ 7←→

BC ，得△BCP 面積＝△BCQ 面積（同底等高）

5　×：承3，

|

|

|

|

＝

|

|

|

|

|

|

13

△ABP 面積＝b

2 |

|

|

△ABR 面積＝ |_b－0.05|

2 |

|

|

但不確定 b、|_b－0.05|的大小關係

∴無法確定△ABP 面積、△ABR 面積的大小關係 故選34

〈另解〉

35：利用克拉瑪公式的幾何意義 由 AP ＝a AB ＋b AC 可得

b＝ AB 、AP 所張成平行四邊形面積

AB 、AC 所張成平行四邊形面積 ＝ △ABP 面積

△ABC 面積 又 AQ＝b AB ＋a AC 可得

b＝ AQ、AC 所張成平行四邊形面積

AB 、AC 所張成平行四邊形面積 ＝ △ACQ 面積

△ABC 面積

∴△ABP 面積＝△ACQ 面積

由 AR ＝a AB ＋（b－0.05）AC 可得

|_b－0.05|＝ AB 、AR 所張成平行四邊形面積

AB 、AC 所張成平行四邊形面積 ＝ △ABR 面積

△ABC 面積 但不確定 b、|_b－0.05|的大小關係

∴無法確定△ABP 面積、△ABR 面積的大小關係

0　 給定一實係數三次多項式函數 f（x）＝ax³＋bx²＋cx＋3。令 g（x）＝f（－x）－3，

已知 y＝g（x）圖形的對稱中心為（1c0）且 g（－1）＜0。試選出正確的選項。

1 g（x）＝0 有三相異整數根 2 a＜0

3 y＝f（x）圖形的對稱中心為（－1c－3） 4 f（100）＜0

5 y＝f（x）的圖形在點（－1cf（－1））附近會近似於一條斜率為 a 的直線

答　　案 12

命題出處 第一冊第三章　多項式函數

測驗目標 三次函數圖形的對稱性、函數圖形的平移及對稱

難 易 度 難

14

詳　　解 1　○：g（x）＝f（－x）－3

＝a（－x）³＋b（－x）²＋（－c x）＋3－3

＝－（x ax²－bx＋c）

∴y＝g（x）通過點（0c0）

又 y＝g（x）的對稱中心為（1c0） 可得 y＝g（x）通過點（2c0）

∴g（x）＝0 有三相異整數根 0，1，2 2　○：承1，g（x）＝－ax（x－1）（x－2）

又 g（－1）＝－a（－1）（－2）（－3）

＝6a＜0

∴a＜0

3　×：由 g（x）＝f（－x）－3 可得 f（－x）＝g（x）＋3 即 f（x）＝g（－x）＋3

y＝f（x）的圖形為 y＝g（x）的圖形先對 y 軸作對稱，

再向上平移 3 單位所得

又 y＝g（x）圖形的對稱中心為（1c0）

∴y＝f（x）圖形的對稱中心為（－1c3） 4　×：承2、3

f

（x）＝－a（－x）（－x－1）（－x－2）＋3

＝ax（x＋1）（x＋2）＋3 f（100）＝a×100×101×102＋3 但不確定 a 值　∴無法確定正負 5　×：承4，

f

（x）＝ax（x＋1）（x＋2）＋3

＝a〔（x＋1）－1〕（x＋1）〔（x＋1）＋1〕＋3

＝a（x＋1）〔（x＋1）²－1〕＋3

＝a（x＋1）³－a（x＋1）＋3

y＝f（x）的圖形在（－1cf（－1））

附近的近似直線為 y＝－a（x＋1）＋3，其斜率為－a 故選12

15

q　右圖為一個積木的示意圖，其中 ABC 為一直角三角形，

∠ACB＝90n，AC＝5、BC＝6，且 ADEB 與 ADFC 皆為 矩形。試選出正確的選項。

1將此積木沿平面 ACE 切下，可切得兩個四面體 2平面 ADEB 與 ADFC 所夾銳角大於 45n

3∠CEB＜∠AEB

4 tan∠AEC＜sin∠CEB 5∠CEB＜∠AEC

答　　案 234

命題出處 第四冊 A 第一章　空間向量

測驗目標 空間概念與兩面角

難 易 度 難

詳　　解 1　×：沿平面 ACE 切下，可得以下兩個積木

一個五面體及一個四面體

2　○： ∵ADEB 與 ADFC 皆為矩形

∴AD⊥AB 且 AD⊥AC

因此平面 ADEB 與 ADFC 所夾銳角為∠BAC 又 tan∠BAC＝ BC

AC ＝6

5＞1＝tan 45n

∴∠BAC＞45n 3　○： tan∠CEB＝ BC

BE ，tan∠AEB＝ AB BE

∵BC＜AB

∴tan∠CEB＜tan∠AEB

∠CEB＜∠AEB 4　○：tan∠AEC＝ AC

CE ＜ BC

CE ＝sin∠CEB 5　×：∵tan∠AEC＝ AC

CE ＜ BC

CE ＜ BC

BE ＝tan∠CEB

∴∠AEC＜∠CEB 故選234

16

w　設 f（x），g（x）皆為實係數多項式，其中 g（x）是首項係數為正的二次式。已知

（g（x））²除以 f（x）的餘式為 g（x），且 y＝f（x）的圖形與 x 軸無交點。試選出 不可能是 y＝g（x）圖形頂點的 y 坐標之選項。

1 2

2 2 1 3 2 4 2 5π

答　　案 12

命題出處 第一冊第三章　多項式函數

測驗目標 除法原理連結多項式函數特徵的應用

難 易 度 難

詳　　解 設（g（x））²＝f（x）q（x）＋g（x）

其中 q（x）為實係數多項式且 deg f（x）＞deg g（x） 又（g（x））²－g（x）＝f（x）q（x）

∴f（x）可能為 3 次或 4 次多項式 但 y＝f（x）的圖形與 x 軸無交點

∴f（x）必為 4 次多項式，q（x）為常數多項式 令 q（x）＝k＞0

f（x）＝1

k〔（g（x））²－g（x）〕＝1

k g（x）（g（x）－1）＞0 恆成立 g（x）＞1 或 g（x）＜0 恆成立

但 g（x）的首項係數為正　∴g（x）＞1 恆成立

即 y＝g（x）之最小值為 y＝g（x）圖形頂點的 y 坐標，必大於 1 當 q（x）＝k＜0 同理可得相同結論

故選12

三、選填題（占 25 分）

說明：第 13 題至第 17 題，每題 5 分。

e　有一款線上遊戲推出「十連抽」的抽卡機制，「十連抽」意思為系統自動做十 次的抽卡動作。若每次「十連抽」需用 1500 枚代幣，抽中金卡的機率在前九次 皆為 2 ％，在第十次為 10 ％。今某生有代幣 23000 枚，且不斷使用「十連 抽」，抽到不能再抽為止。則某生抽到金卡張數的期望值為　13-1.13-2　張。

答　　案 4.2

命題出處 第二冊第三章　排列組合與機率

測驗目標 期望值在生活情境的應用

難 易 度 中

17

詳　　解 每次「十連抽」，抽到金卡張數的期望值為 1×2 ％×9＋1×10 ％＝0.28 張

23000 枚代幣可進行 15 次「十連抽」

故抽到金卡張數的期望值為 0.28×15＝4.2 張

r　已知 a、b 為實數，且方程組

ax＋5y＋　12　z＝4 　x＋ay＋ 8

3 z＝7 3x＋8y＋　a　z＝1

恰有一組解，又此方程組經過

一系列的高斯消去法運算後，原來的增廣矩陣可化為

1　2　b　 7 0　b　5　－5 0　0　b　 0

。

則 a＝　14-1 　，b＝

　14-2 　

　14-3 　。（化為最簡分數）

答　　案 a＝2，b＝1 2

命題出處 第四冊 A 第四章　矩陣

測驗目標 高斯消去法解三元一次聯立方程式

難 易 度 中

詳　　解

1　2　b　 7 0　b　5　－5 0　0　b　 0

所對應的方程組為

x＋2y＋bz＝7 　　by＋5z＝－5 　　　　bz＝0

∴z＝0 代入 x＋2y＋bz＝7 及 3x＋8y＋az＝1

可得 x＋2y＝7 ………1

3x＋8y＝1………2 2－1×3 得 2y＝－20 y＝－10 代入1得 x＝27

將 x＝27，y＝－10，z＝0 代入 ax＋5y＋12z＝4 得 27a－50＝4 a＝2

再將 y＝－10，z＝0 代入 by＋5z＝－5 得－10b＝－5 b＝1

2 故 a＝2，b＝1

2

18

t　如右圖，王家有塊三角形土地△ABC，其中 BC＝16 公尺。政府 擬徵收其中梯形 DBCE 部分，開闢以直線 DE，BC 為邊線的馬 路，其路寬為 h 公尺，這讓王家土地只剩原有面積的 9

16。經協 商，改以開闢平行直線 BE，FC 為邊線的馬路，且路寬不變，

其中∠EBC＝30n，則只需徵收△BCE 區域。依此協商，王家剩 餘的土地△ABE 有　15-1 15-2 15-3　平方公尺。

答　　案 192

命題出處 第二冊第四章　三角比

測驗目標 三角比的應用

難 易 度 中

詳　　解 ∵△ADE 面積＝ 9

16×△ABC 面積

∴DE ＝3 4 BC

＝3

4×16＝12 h ＝BC×sin 30n

＝16×1 2＝8

梯形 DBCE 面積為 1

2（12＋16）×8＝112（平方公尺）

故△ABE 面積＝△ADE 面積＋△BDE 面積

＝9

7×梯形 DBCE 面積＋1

2×DE×h

＝9

7×112＋1

2×12×8

＝192（平方公尺）

y　坐標空間中，平面 x－y＋2z＝3 上有兩相異直線 L：x

2－1＝y＋1＝－2z 與 L'。 已知 L 也在另一平面 E 上，且 L' 在 E 的投影與 L 重合。則 E 的方程式為 x＋　16-1 16-2　 y＋　16-3 16-4　 z＝　16-5　。

19

答　　案 x－3y－2z＝5

命題出處 第四冊 A 第二章　空間中的平面與直線

測驗目標 利用空間中直線與平面的關係求平面方程式

難 易 度 中偏難

詳　　解 如右圖

設 A 為 L' 上的點，投影至 E 上的點為 A'

平面 x－y＋2z＝3 的法向量 n ＝（1c－1c2）， 平面 E 的法向量為 nE

n_E7AA' 又 L： x－2

2 ＝ y＋1

1 ＝ z

－1 2

，

可得 L 的方向向量 v ＝

（

）

∵AA' ⊥v 且 AA' ⊥n 　∴AA' 7（v ×n ）

∵v ×n ＝

（

）

　＝

（

）

取 nE＝（1c－3c－2）

又 L 上一點（2c－1c0）必在 E 上 故平面 E 的方程式為 x－3y－2z＝5

u　坐標空間中一平行六面體，某一底面的其中三頂點為（－1c2c1），

（－4c1c3），（2c0c－3），另一面之一頂點在 xy 平面上且與原點距離 為 1。滿足前述條件之平行六面體中，最大體積為　17-1 17-2　。

答　　案 21

命題出處 第三冊 A 第三章　平面向量、第四冊 A 第一章　空間向量

測驗目標 結合柯西不等式求平行六面體體積的最大值

難 易 度 難

詳　　解 設 A（－1c2c1），B（2c0c－3），C（－4c1c3）， 則 AB ＝（3c－2c－4），AC ＝（－3c－1c2） D（xcyc0）在 xy 平面上，其中 x²＋y² ＝1 即 x²＋y²＝1

20

AB ×AC ＝（3c－2c－4）×（－3c－1c2）

＝（－8c6c－9）7（8c－6c9）

故 A、B、C 所在平面 E 的方程式為 8x－6y＋9z＝－11 平行六面體體積為

（AB ，AC 所張成的平行四邊形面積）×（D 到平面 E 的距離）

＝|_AB ×AC |× |_8x－6y＋11| 8²＋（－6）²＋9²

＝|_8x－6y＋11| 利用柯西不等式可得

（8x－6y）²N（x²＋y²）〔8²＋（－6）²〕

（8x－6y）²N100

－10N8x－6yN10 故最大體積為 10＋11＝21

第貳部分、混合題或非選擇題（占 15 分）

說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號的作答區內作 答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮 擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題請由左而右橫式書寫，作答時必 須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

18－20 題為題組

　　坐標平面上有一環狀區域由圓 x²＋y²＝3 的外部與圓 x²＋y²＝4 的內部交集而成。某甲欲用一支長度為 1 的筆 直掃描棒來掃描此環狀區域之 x 軸上方的某區域 R。他設 計掃描棒黑、白兩端分別在半圓 C₁：x²＋y²＝3（yM0）、 C2：x²＋y²＝4（yM0）上移動。開始時掃描棒黑端在點 A（ 3 c0），白端在 C2的點 B。接著黑、白兩端各沿著 C1、C2逆時針移動，直至白端碰到 C2的點 B'（－2c0） 便停止掃描。

i　試問點 B 的坐標為下列哪一選項？（單選題，3 分）

1（0c2）

2（1c 3 ） 3（ 2 c 2 ） 4（ 3 c1） 5（2c0）

答　　案 4

命題出處 第一冊第四章　直線與圓

21

測驗目標 利用圓方程式求滿足條件的點坐標

難 易 度 中

詳　　解 設 B（acb）

∵AB 長為 1，且 B 在 x²＋y²＝4 上

∴ （a－ 3 ）²＋b²＝1 ………1 a²＋b²＝4………2 2－1得 a²－（a－ 3 ）²＝3

2 3 a－3＝3 2 3 a＝6 a＝ 3

代入2得 b＝±1（－1 不合）

∴B（ 3 c1） 故選4

o　令 O 為原點，掃描棒停止時黑、白兩端所在位置分別為 A'，B'。試在右側作圖區中以斜線標示掃描棒掃過的區 域 R；並求 cos∠OA'B' 及點 A' 的極坐標。

（非選擇題，6 分）

答　　案 圖略，cos∠OA'B'＝0，A' 3 c5π 6

命題出處 第二冊第四章　三角比、第三冊 A 第三章　平面向量

測驗目標 極坐標與餘弦定理的應用、兩向量的夾角

難 易 度 中偏難

詳　　解 設 A'（ccd）

∵A'B' 長為 1，且 A' 在 x²＋y²＝3 上

∴ （c＋2）²＋d²＝1 ………1 c²＋d²＝3………2 1－2得（c＋2）²－c²＝－2

4c＋4＝－2 4c＝－6 c＝－3 2 代入2得 d＝± 3

2

（

）

∴A'

（

）

22

又 OA'＝

（

）

（

）

得 A'

（

（

）

）

（

）

故 A' 的極坐標為 3 c5π 6 又 B'（－2c0）

故 cos∠OA'B' ＝ A'O ．A'B'

| _A'O || _A'B' |

＝

（

2

）

（

）

3 ×1

＝0 區域 R 如下所示：

〈另解〉

在△OA'B' 中，OA'＝ 3 ，A'B'＝1，OB'＝2

OB' ²＝OA' ²＋A'B' ²，由畢氏定理可知△OA'B' 為直角三角形

∴∠OA'B'＝π

2 ，∠A'OB'＝π 6 又 B' 的極坐標為 2cπ

故 A' 的極坐標為 3cπ－π

6 ＝ 3 c5π 6

p　 （承o題）令 表示掃描棒在第一象限所掃過的區域，試分別求 與 R 的面 積。（非選擇題，6 分）

答　　案 ＝ 3 2 －π

12，R＝5π 12

命題出處 第三冊 A 第一章　三角函數

測驗目標 求扇形面積

難 易 度 中偏難

23

詳　　解 設 C（0c 3 ），D（0c2） 由 B（ 3 c1）可知∠AOB＝π

6 ，∠BOD＝π 3

∴ 的面積

　＝扇形 OBD 面積＋△OAB 面積－扇形 OAC 面積

＝1

2×2²×π 3 ＋1

2× 3 ×1－1

2×（ 3 ）²×π 2

＝ 3 2 －π

12

同理，第二象限所掃過的區域面積為

扇形 OB'D 面積－△OA'B' 面積－扇形 OA'C 面積

＝1

2×2²×π 2 －1

2× 3 ×1－1

2×（ 3 ）²×π 3

＝π

2 － 3 2

∴R 的面積為

（

12

）

（

2

）

24

參考公式及可能用到的數值

1　首項為 a，公差為 d 的等差數列前 n 項之和為 S＝n（2a＋（n－1）d） 2

首項為 a，公比為 r（r≠1）的等比數列前 n 項之和為 S＝ a（1－rⁿ） 1－r 2　 三角函數的和角公式： sin（A＋B）＝sin A cos B＋cos A sin B

cos（A＋B）＝cos A cos B－sin A sin B tan（A＋B）＝ tan A＋tan B

1－tan A tan B 3　△ABC 的正弦定理： a

sin A＝ b

sin B＝ c

sin C＝2R（R 為△ABC 外接圓半徑）

△ABC 的餘弦定理：c²＝a²＋b²－2ab cos C 4　一維數據 X：x1，x2，……，xn，

算術平均數 _X＝1

n（x1＋x2＋……＋xn） 標準差 _X ＝ 1

n〔（x₁－ _X）²＋（x₂－ _X）²＋……＋（x_n－ _X）²〕

＝ 1

n〔（x₁²＋x₂²＋……＋x_n²）－n _X²〕

5　二維數據（XcY）：（x1cy1），（x2cy2），……，（xncyn），

相關係數 rXcY＝（x1－ _X）（y1－ _Y）＋（x2－ _X）（y2－ _Y）＋……＋（xn－ _X）（yn－ _Y） n X Y

迴歸直線（最適合直線）方程式 y－ _Y＝r_XcY Y X

（x－ _X）

6　參考數值： 2 ~1.414， 3 ~1.732， 5 ~2.236， 6 ~2.449，π~3.142 7　對數值：log 2~0.3010，log 3~0.4771，log 5~0.6990，log 7~0.8451

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