演算法 與 資料結構 Algorithm and Data Structure
- Tree樹
Tree，樹
大家都知道種樹是非常有益於人體健康的，但在程式中卻不是這麼一回事……啊！我要說的 不是這個。總之樹是一種很特別的圖（acyclic connected graph），因此有很特殊的性質方便 我們對他做探討。除此之外，非常多資料結構也是以樹的型態呈現的，方便我們處理各種問 題。
這次探討的主要是有根樹（rooted tree）。
Definition
‧節點node：樹中的點（vertex）。
‧根（根節點）root node：在有根樹中特別指定的一個點，是「深度為0的點」。
‧有根樹rooted tree：有定出根節點的樹。
‧葉子leaf node：沒有任何子節點的節點。
‧子節點child：若u和v相連且v的深度比u的深度多1，則v是u的child
‧子樹subtree：在原本的tree中，以某一節點為根，並取所有在它之下的邊得到的樹。
‧父節點parent node：若v是u的child，則v是u的parent node。
‧兄弟節點sibling：v和u有相同的parent node則稱v和u互為sibling。
‧祖先ancestor：若v位於u到root的路徑上或v是root，則稱v為u的ancestor。
‧後代descendant：若u是v的ancestor，則v是u的descendant。
‧度數degree：Deg(v)代表v的child數。
‧深度depth：一個節點v深度就是root到v的距離。
‧高度height：所有節點的depth中最深的一個就是這棵樹的height。
‧k元樹k-ary tree：若一個樹每個non-leaf node的degree都k，則稱之k元樹。特別地，
2-ary tree就是我們所謂的binary tree。
‧叢林forest：若干個樹。（其實也就是acyclic graph）
‧tree的等價定義：
1. G是一tree。
2. G中的任兩個點恰有一條simple path相連。
3. G是connected graph，但若任一條邊被移除，G變為disconnected。
4. G是connected graph，且| E | = | V | 1。
5. G是acyclic graph，且| E | = | V | 1。
6. G是acyclic graph，但如果任一條邊被加到G中，則G變成cyclic。
樹的表示法 Representation
要儲存一棵tree的資料，一般會考慮這顆樹的特性，再決定要以什麼要的資料結構儲存他。
首先考慮最單純的二元樹binary tree，二元樹中每個點的degree都小於等於2，所以我們可
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以在每個點中用兩個指標*LeftChild和*RightChild來儲存binary tree的資料。
struct BinaryTreeNode { DataType Data;
struct BinaryTreeNode *ParentNode;
struct BinaryTreeNode *LeftChild;
struct BinaryTreeNode *RightChild;
};
除此以外，若知道這棵binary tree是complete binary tree，或只要是不歪斜的或者深度不深，
可以直接用陣列來模擬binary tree。可以以A[1]為root node，對於每個節點A[x]，A[2x]是其 left child，A[2x+1]是其right child，A[ x/2 ]則是其parent node。
比較一般地，若已知是k-ary tree，可以用一個陣列儲存child的資料：
struct KaryTreeNode { DataType Data;
struct TreeNode *ParentNode;
struct TreeNode *Child[1…k];
};
更一般地，如果這棵樹沒有特別的規範，只好用left-child-right-sibling的方法來紀錄它，也 就是紀錄每個節點其最「左邊」的child node，以及緊鄰於其右邊的sibling。這樣雖然沒有這麼 方便，卻是紀錄任意的樹時最合理的方法（尤其就memory usage來說）。
struct TreeNode { DataType Data;
struct TreeNode *ParentNode;
struct TreeNode *LeftChild;
struct TreeNode *RightSibling;
};
至 於 若 不 是 rooted tree， 只 是 一 般 connected acyclic graph， 只 需 要 用 普 通 的 graph representation即可，而且通常用的是adjacency list，因為| E | = | V | 1的性質，使得使用 adjacency list時的一些O(m)複雜度，顯著地勝過使用adjacency matrix的O(n2)。
Traversing a Binary Tree 二元樹的走訪
對於binary tree，我們可以用以下三種特定方式來traverse（走訪、遍歷）這棵樹。
‧前序表示法pre-order：root -> left-subtree -> right-subtree
‧中序表示法in-order：left-subtree -> root -> right-subtree
‧後序表示法post-order：left-subtree -> right-subtree -> root 而有趣的是，給定任兩個表示法，我們可以
思考：1. 給定pre-order和in-order，如何求出post-order？
2. 給定post-order和in-order，如何求出pre-order？
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3. 給定pre-order和post-order，如何求出in-order？
Binary Search Tree 二元搜尋樹
Binary search tree（BST）是一種樹狀資料結構，每個node都存有一個元素的資料。它的特性
是對每個node，其left subtree中所有元素都小於等於該node中儲存的元素值，而right
subtree中的所有元素都大於該node中儲存的元素值。這樣的性質可以幫助它進行幾種操作：
‧搜尋 - O(h), h為BST高度
可以利用遞回的方式，（當然也是可以用while寫成），從root node開始搜尋，若所搜尋 元素比當前node中元素小便往右走，若比較大則往左走，若相等則搜尋完成。
‧新增資料 - O(h)
和搜尋時的方法類似，從root node開始往下traverse，並把新的node新增在最終的leaf下。
‧刪除資料 - O(h)
刪除節點比較麻煩一點，需要考慮三種情況（假設欲刪除節為x）：
1. 當x為leaf node時，直接刪去即可。
2. 當x只有一個child，直接把x的parent連到x的child，並把x刪去。
3. 當x有兩個children時，我們選取x之左子樹中最右邊的一個元素y（亦可用右子樹中
最左邊的元素）替代x，並把原本的y刪除。（想想看為什麼可以這樣替換？）
但普通的BST有個很大的問題，就是假設不是預先對所有資料建立好的，而是把元素一個 一個新增到BST的，會造成BST的不平衡，變成skew tree，也就是各個葉子的深淺差距很 大，而最差的情況自然就是當輸入的資料是由小到大或由大到小，全部的點都會在同一條鏈 上，變成一個深度為n的樹。這樣會使得搜尋的複雜度變高，而失去原有的O(lgn)性質。
為了解決這個問題，除了先對要建立成BST的資料random過以外（可以證明random建立的 BST，其表現還算接近O(lgn)），有所謂的平衡樹balanced tree（例如AVL tree, red black
tree），可以保證各個葉子的深度相差不會太大，這樣可以保證資料結構的O(lgn)搜尋性質。
但這些資料結構較為困難，這邊就不介紹。（其實是我自己也不會寫哈哈哈哈……）
Binary Search Tree 二元計算樹
我們在做的四則運算其實可以用tree來表示，例如右圖就是計算式(1+
((2+3)*4))的表示方式。
能夠發現我們平常的表示方法其實是in-order tree walk得到的。但若要 方便計算的話可以把它改以表示為post-order。
例如這個例子中post-order表示就會是：123+4*+
想想看：給定一個in-order的算式，要怎麼表示為post-order呢？
啊啊
其實tree的應用非常多，很多資料結構為了能進行一些O(lgn)的操作，都會使用這樣的樹狀 資料結構，其中很重要的包括heap, segment tree, suffix trie, tournament tree等等……總之，
tree看似基本，其實卻有很多很實用（而且往往超難code = =）的應用！
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總之想要成為資料結構魔人的話，tree無疑是最重要的之一！（嘖嘖，好可怕的志向）
[完]
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