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2008 年青少年數學國際城市邀請賽

參賽代表遴選決賽

個人數學競賽試題

編號:___________校名:_____________ 國中 姓名:________________

үඍॡม: ˟ ̈ ॡ

第一部分：填充題，每小題 5 分，共 60 分

(注意：請將答案直接填入各題預留空白處，不須列出計算過程)

1. 設正整數a a₁, ₂,...,a₄₉的和為999，令d為a a₁, ₂,...,a₄₉的最大公因數，則d可能的最大值為 ___9___。

【參考解法】

因d為a a₁, ₂,...,a₄₉的最大公因數且a₁+a₂+ +... a₄₉ =999，故知d必為999的因數。令

k k

a =db ，其中1≤ ≤k 49。因a a₁, ₂,...,a₄₉皆為正整數，故知b b₁, ₂,...,b₄₉也必為正整數，因 此b₁+ + +b₂ ... b₄₉ ≥49。因d b( ₁+ + +b₂ ... b₄₉)=999= ×3³ 37，故知b₁+ + +b₂ ... b₄₉至少為

3 37× ，也因此d可能的最大值為9。

2. 設

2008 9

9 99 999 999 99

a= + + + ⋅⋅⋅ +1424⋅⋅⋅3

共有 個

，則a這個數中出現數碼”1”的次數共有__2005__次。

【參考解法】

2008 9

2008 0

2008 1

2004 1

9 99 999 999 99

(10 1) (100 1) (1000 1) (1000 00 1) 111 110 2008

111 1109102

a= + + + ⋅⋅⋅ + ⋅⋅⋅

= − + − + − + ⋅⋅⋅ + ⋅⋅⋅ −

= ⋅⋅⋅ −

= ⋅⋅⋅

14243

14243 14243

14243

共有 個

共有 個

共有 個

共有 個

因此a這個數中出現數碼”1”的次數共有2004+1＝2005次。

3. 已知實數a,b,c滿足a= 2+b,2ab+2 2 c² +1=0，則a+ + =b c 0 。

【參考解法】

由a= 2+b可知a b− = 2，兩邊平方後可得2ab=a²+b²−2，代入2ab+2 2c²+ =1 0 後可知1=a²+b²+2 2c²，再代入2ab+2 2c²+ =1 0後可得(a b+ )²+4 2c² =0，據此可 判斷出a=-b與c=0，故a b c+ + =0。

4. 設a為實數，已知方程式4x² −4( a−1)x+a² −7=0的二根之差為2,則a＝＿＿2＿＿。

【參考解法】

由根與係數的關係可知二根之積為

2 7

4 a −

、二根之和為a−1，故可得

2

2 2 ( 7)

2 ( 1) 4

4

a a −

= − − × 解方程式後可算得a=2。

5. 如圖，長方形ABCD中，AB=4, BC=8，將此長方形沿著對角線 BD摺疊使得A點落在E點上（即ΔABD與ΔEBD全等），且DE交 BC於F 點，則ΔCEF面積為 3.6 。

【參考解法】

由∠BEF＝90°＝∠DCF、∠EFB＝∠CFD、BE= =4 DC可知△BEF

與△DCF全等，因此BF =DF 。令BF =DF =a，則CF = −8 a且由勾股定理可知

2 2 2

(8−a) +4 =a ，解方程式可知a=5、CF =3。因△BEF與△CEF的面積比為 : 5 : 3

BF CF = ，故△CEF的面積為1 3 18

3 4 3.6

2× × × =5 5 = 。

6. 有一組連續的正整數a a a₁, ₂, ₃,...,a_n其總和為1000，那麼這組數最多的個數為 25 。

【參考解法】

已知a₁+a₂+ + +a₃ L a_n =1000= ×2³ 5³。若n為奇數，則 _{1 2 3 1}

2

n n

a +a + + +a L a = ×n a ₊ ： (i) n=125，則 _{1 63}

2 n 8

a ₊ =a = ，即a a a₁, ₂, ₃,...,a₅₅皆不是正整數，故不合；

(ii) n=25，則 _{1 13}

2 n 40

a ₊ =a = ，即a₁ =28,a₂ =29,a₃ =30,L,a₂₅ =52； (iii) n=5，則 _{1 3}

2 n 200

a ₊ =a = ，即a₁=198,a₂ =199,a₃ =200,a₄ =201,a₅ =202； 若n為偶數，則 _{1 2 3}

2 2 1

2(a a a a_n) n a_n a_n

+

⎛ ⎞

+ + + + = ×⎜ + ⎟

⎝ ⎠

L 且

2 2 1

n n

a a

+ + 必為奇數：

(i)

2 2 1

n n

a a

+ + =125，則n=16，即a₈+a₉ =125，可得a₈ =62、a₉ =63，即

1 55, 2 56, 3 57, , 16 70

a = a = a = L a = ； (ii)

1

2 2

n n

a a

+ + =25，則n=80，即a₄₀+a₄₁=25，可得a₄₀ =12、a₄₁=13，即a a a₁, ₂, ₃,...,a₂₈ 皆不是正整數，故不合；

(iii)

1

2 2

n n

a a

+ + =5，則n=400，即a₂₀₀+a₂₀₁=5，可得a₂₀₀ =2、a₂₀₁=3，即a a a₁, ₂, ₃,...,a₁₉₈ 皆不是正整數，故不合。 故可知最多有25個連續正整數其總和為1000。

7. 若一個數只由0、6、8、9四個數碼組成稱為荷里藍數，前16個正的荷里藍數由小到大

依序為6、8、9、60、66、68、69、80、86、88、89、90、96、98、99、600。則第2008

個正的荷里藍數是 699680 。

【參考解法】

將2008化為四進制後為1331204，由前16個正的荷里藍數可知若把6視為四進制的1、

8視為四進制的2、9視為四進制的3、0仍視為四進制的0，則可得到第2008個正的荷 里藍數為699680。

8. 有四隻小蟲分別沿著如圖所示的四個相交於一點的圓環爬行，它們同時由O點出發，爬 行的速度分別為每小時爬6圈、9圈、12圈及15圈。則這四隻小蟲第一次同時在O點相 遇的時間是在多少小時之後___1

3小時___。

【參考解法】

設k小時後第一次相遇，此時可知四隻小蟲分別爬了6k圈、

9k圈、12k圈及15k圈。因圈數必為整數，故知若k＜1時，

則k必同時整除6、9、12、15。因6、9、12、15的最大公 因數為3，故k=1/3。

O

9. 小珍約她的朋友小妮出去玩，小妮的父親規定她至多只能出門8個小時。她們從小妮家 門口跳上一輛時速為20公里的巴士，在某處下車後再以時速為5公里步行回家。如果要 使得小妮可以依父親規定之前回到家，則她們下車處最遠可以距離小妮家__32___公里。

【參考解法】

因步行與巴士的速度比為 5：20＝1：4，故步行與搭巴士的時間比應為 4：1，即搭巴士 的時間應為 1 8

8×1 4=5

+ 小時，即最遠距離為8

20 32

5× = 公里。

10. 設G為ΔABC的重心，已知GA=2 3，GB=2 2且GC=2，則ΔABC的面積=_6 2_。

【參考解法1】

由題意可畫出右圖，令 D為AB中點、GE⊥ AB。因G為 重心，可知 1

2 1

GD= GC= 。

由勾股定理可知

2 2 2

2 2 2

2 2 2

(1) (2) (3) GE GB EB

GE GA EA GE GD DE

⎧ = −

⎪⎪ = −

⎨⎪

= −

⎪⎩

LL LL

LL 令AD=BD=c。

由(1) 式與(2) 式可得

( )

^{2 3 2− +}

(

^{c DE}

)

^{2 =}

( )

^{2 2 2− −}

(

^{c DE}

)

^{2，化簡後可得c DE× =1，即}

DE 1

= c，代入(3) 式後得 ² 1₂ 1

GE = −c ，再代入(1)式可得

2 2

1 1

1 8 c

c c

⎛ ⎞

− = −⎜ − ⎟

⎝ ⎠ ，解方程式可 得c=3、 2 2

GE= 3 ，故△ABC的面積＝6×△GBD的面積＝ 1 2 2

6 3

2 3

× × × ＝6 2

【參考解法2】

由題意可畫出右圖，令D為AB中點。在GD的延長線上 取E點使得GD=DE，因此△GBD之面積為△AEG之面 積的一半。此時因AB與GE互相平分，可知四邊形AEBG 為平行四邊形，也因此可知AE=GB=2 2，即△AEG的 三邊長為2、2 2、2 3，故可知△AEG為直角三角形，

故△GBD的面積為1 1

2 2 2 2

2× ×2 × = ， 所以△ABC的面 積＝6×△GBD的面積＝6 2。

11. 設四位數a a a a_{1 2 3 4}大於5000，當此四位數的左邊寫上400後成為一個平方數，則四位數

1 2 3 4

a a a a = 8004 。

【參考解法】

由題意可假設a a a a_{1 2 3 4}+4000000=A²，即a a a a_{1 2 3 4} =(A−2000)(A+2000)，可知A>2000。

因a a a a_{1 2 3 4}與(A+2000)為四位數，故(A−2000)為個位數，即A=2000+k，其中0<k<10。

此時因(A+2000)=4000+k，故可知k<3。若k=1，則a a a a_{1 2 3 4} =4001，不合，故得 k=2，即a a a a_{1 2 3 4} =8004。

12. 設a b, 為正整數，且使3^a +81=b²，則a b+ 之值為___23___。

G

D C

B

A E

2 2 2 2 3

1

D E

G C

B A

2 2 2 2 3

1 2 2

1

【參考解法1】

3^a =b2−81= +(b 9)(b−9)，故可設(b+ =9) 3^k、(b− =9) 3^h，其中a=k+h。因此可得 3^k− = =9 b 3^h+9，即3^k = × +2 3² 3^h =3 (2 3² + ^h−2)，所以可知h=2、k=3，故a=5、b=18，

a+b=23。

【參考解法2】

2 4 2 4 4 2

3^a+81=b ⇒3^a +3 =b ⇒3 (3^a− + =1) b ，故a=5、b=18，a+b=23。

第二部分：計算證明，每題 20 分,共 60 分

(注意：請在本試卷正反面空白處依題號作答，須詳列計算過程及說明理由)

1.

建志中學的校車在距離學校10公里處拋錨了，車上一共有12位學生。路旁只有一輛可載4 人的小汽車可以協助來回穿梭接駁，開始時8人步行，而小汽車先載4人至途中把他們放下 再折返接4人，在途中又把他們放下再折返接另外的4人，最後這12位學生全部同時抵達 學校。假設小汽車的時速為20公里，所有學生的步行時速均為4公里，請問從開始出發到 抵達學校這輛小汽車共行駛多少公里？

【參考解法】

如圖，假設 A點為巴士拋錨處、B點為學校、小汽車第一次載 4個人在C點放下他們自 行走路去學校 B 點，折回後在 D 點載另外 4 人，在 E 點放下他們自行走路去學校 B 點，再折回後在F點載最後4人回到學校B點。

令CB＝x公里、AD＝y公里、EB＝z公里、DF＝w公里。

由於小汽車速度為步行的20

4 =5倍，故可知：(給5分)

(i) AC+CD＝5AD，即AC+CD＝5y。因AC＝AD+CD＝y+CD，故CD＝2y、AC＝3y；

(ii) DE+EF＝5DF，即DE+EF＝5w。因DE＝DF+EF＝w+EF，故EF＝2w、DE＝3w；

(iii) EF+FB＝5EB，即EF+FB＝5z。因FB＝EF+EB＝EF+z，故EF＝2z、FB＝3z。

由(ii)、(iii)可得w=z。(給5分)

汽車由第一次到達C點至抵達B點所需的時間與第一批人下車後至抵達B點所需的時間 相同，故有5x＝2y+3z+2z+3y，即5x＝2y+8z；

由於對稱關係（10 10

20 4 20 4

x x AF AF

AF x

− + = − + ⇒ = ）可知 AF＝CB，即 x＝y+w＝y+z，

故可得y＝z、x＝2y。(給5分)

因此有 10＝AB＝AC+CB＝3y+2y＝5y，即 y＝2、x＝4，可得 AC＝6 公里、CD＝4 公

里、DF＝6公里、EF＝4公里、FB＝6公里，所以小汽車共行駛6+4+6+4+6＝26公里。

ANS：26公里(給5分，只給正確答案共給5分)

2. 若一個質數的各位數碼經任意排列後仍然是質數，則稱它是一個“絕對質數”。例如：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991,…都是絕對 質數。求證：絕對質數的數碼中不可能同時含有三個數碼 a 且有二個數碼 b，其中 a≠b，且a,b∈{1, 3, 7, 9}。

A BD F C E

拋錨處 學校

y

z w

x

【參考解法】

設N是同時含有三個數碼a且有二個數碼b的絕對質數，其中a≠b，a, b∈{1, 3, 7, 9}。則N可表示為c_mLc aaaaa₅ + −(b a)(10ⁱ+10 )^j ，其中4≥ ≥ ≥i j 0。(給5分) 令K0 = 10⁴+10¹， K1 = 10³+10²， K2 = 10³+10¹， K3 = 10²+10⁰， K4 = 10¹+10⁰， K5

=10⁴+10⁰， K6 = 10⁴+10²被7除所得的餘數分別是0，1，2，3，4，5，6，因為b－a≠0 或7，故(b－a) K₀，(b－a)K₁，(b－a) K₂，(b－a) K₃，(b－a) K₄，(b－a) K₅，(b－a) K₆被 7除所得的餘數也分別是0，1，2，3，4，5，6，所以，如下的7個正整數(給10分)

0 _m 5 ( ) 0,

N =c Lc aaaaa+ b−a K

1 _m 5 ( ) 1,

N =c Lc aaaaa+ b−a K M

6 _m 5 ( ) 6,

N =c Lc aaaaa+ b−a K

中一定有一個能被7整除，這個數就不是質數，這與N是絕對質數矛盾。(給5分) 故絕對質數不可能同時含有三個數碼a且有二個數碼b，其中a≠b，a, b∈{1, 3, 7, 9}。

3. 將一個101×99的方格表如西洋棋盤那樣黑白相間塗色，連接它的對角線，此對角線被分割 成許多落在黑色或白色小方格內的線段。已知每個小方格的邊長為1，試求此對角線落在黑 色小方格內的線段長度之總和與落在白色小方格內的線段長度之總和的比值。

【參考解法 1 】

若將101×99的矩形從中分成上下兩個部分，由於矩形是中心對稱圖形且

該矩形為101×99，可知在上半部的對角線與在下半部的對角線落在黑色

小方格內的線段長度之總和相等。(給5分) 如右圖，L為101×99的矩形之對角線：

令L的長度為m，則

101 AC=CG=GK =L= m 。

(i) 因AB=1，可知 99 99

101 101

BC = AB= ，因此

99 2

1 101 101 CD= − = ； (ii) 因GF =1，可知 99

CF =101，故

99 2 97

101 101 101

DF = − = ，即 97

EG=99CG、

97 4

1 101 101 GH = − = ； (iii) 因JK=1，可知 99

GJ =101，故 99 4 95 101 101 101

HJ = − = ，即 95

IK =99GK；(給5分)

重複以上步驟，可知在上半部的對角線落在黑色小方格內之線段長度以等差數列的方式遞減

至0，因此整條對角線落在黑色小方格內的線段長度之總和為

( )

97 95 93 1

2 101 101 99 101 99 101 99 101 99

2 5000

99 97 95 93 1

9999 9999

m m m m m

m m

⎛ ⎞

×⎜ + × + × + × + + × ⎟

⎝ ⎠

= × + + + + + =

L L

(給5分)。因此對角線落在白色小方格內的線段長度之總和為 5000 4999 9999 9999

m m

m− = ，故比值

為5000

4999。(給5分，只給正確答案共給5分)

A

F G

E D

C

J K

I H

L B

● ● ●

●

●

●

●

●

●

● ● ●

【參考解法 2 】

因計算對角線白色和與黑色線段長度之和的比值等價於這些白黑線段投 影到一個邊上來計算;

在 101×99矩形方格板中,對角線和100條水平網格線有100個交點,它們 的橫坐標依次為:

101 202 303 9900 9999

0, , , ,...., ,

99 99 99 99 99 (給4分)

利用100個交點在橫軸上的投影計算各黑色小線段 的投 影長度依次為:

99 101 97 202 95 97 99

1 0 , 2 , 3 ,..., ,

99 99 99 99 99 99 99

− = − = − =

(給4分) 算出黑色線段投影長度之和

5000

B 99

L = ， (給4分) 因此，白色線段投影長度之和

4999

101 99

w B

L = −L = (給4分)

故所求黑色線段長度之總和與白色線段長度之總和的比值為5000

4999 (給4分)

● ● ●

●

●

●

●

●

●

● ● ●

● ● ●

●

●

●

●

●

●

● ● ●