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2008 ̈ጯᇴጯᚮᔈᏴ٥ᔈՙᔈ(˟)ྏᗟ

ௐ! ˘! ྏ ᑕ ϡ ᗟ (҂ྏॡม 90 ̶ᛗ)

◎ ኛ૟ඍ९๱ˢඍ९ס၆ᑕᗟཱི۞۩ॾ̰ĂΪื๱ᆷඍ९Ă̙ืࢍზ࿅඀Ąώ ᗟϫסϒͅࢬ۩Ϩ఍Ξࠎүႊზਨቇ৽ĄՏᗟ10̶ĂВ 120̶

1. 今年（西元2008 年）的中國農曆年生肖屬鼠。請問西元3000年的中國農曆 年生肖是什麼？(註：中國農曆年有十二生肖，鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、

馬、羊、猴、雞、狗、豬12年一輪)

因中國農曆年的生肖週期為12 年，而3000－2008＋1＝993＝12×82＋9，所 以西元3000 年的生肖為第9 個，即是猴。

ANS：猴 2. 有一個長方體的封閉容器，經使用多年後，在AE、

AD、AB 邊上分別有P、Q、R 三個破洞，如圖所示。

已知AE＝70 cm、AB＝50 cm、AD＝40 cm、AR＝30 cm、AP＝20 cm、DQ＝10 cm，若這個容器可用任何 部位及方向支撐，請問這個封閉容器最多可蓄水多少 cm³？

若調整此長方體的方向使點P、Q、R三點所在之平 面為水平面時，蓄水最多，可蓄水量為長方體的體積

減去點A、P、Q、R所形成之直角柱體的體積，即最

多可蓄水量為

1 1

70 50 40 30 20 (40 10) 140000 3000 137000

2 3

× × − × × × − × = − = cm³

ANS：137000 cm³ 3. 有一個數列0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、…，從第二項開始

每個數都出現二次後增加1。令S(n)表示此數列前n 項之和，請問 S(100)－S(20)之值是什麼？

因S(n)表示此數列前n項之和，故 S(100)－S(20) 之值為第21 項至第100 項的和。由該數列規律可知第21 項至第100項為

10、11、11、12、12、13、13、14、14、15、15、…、48、48、49、49、50，

此時若從第100項開始倒序寫出來到第21項為止，則得到：

50、49、49、48、48、47、47、46、46、45、45、…、12、12、11、11、10，

所以可知S(100)－S(20) 之值為60×80÷2＝2400。

ANS：2400 4. 等差數列a₁、a₂、a₃、…、a₁₈、a₁₉共有 19 項。已知a₁+a₇ +a₁₄ +a₁₈ =200，

請問a₁+a₂ + +" a₁₈ +a₁₉等於多少？

令該等差數列的公差為d，則有：

1 7 14 18 1 1 6 1 13 1 17 4 1 36 4( 1 9 )

a +a +a +a = + +a a d + +a d+ +a d = a + d = a + d

P

G H

F E

C D

B A

R

Q

即a₁+9d =50，而

1 2 18 19 19 1 (1 2 3 18) 19 1 9 19 19( 1 9 )

a +a + +" a +a = a + + + + +" d = a + × d = a + d

故a₁+a₂ +"+a₁₈+a₁₉ = ×19 50=950

ANS：950 5. 將矩形ABCD分成四個全等的矩形，如圖所示。若 AE＝29 cm，AF＝41 cm，

請問AC的長度是多少 cm？

令AD的長度為 a cm而 DE、EF的長度為b cm，故可知CD的長度為4b cm。 由勾股定理可知：

2 2 2 2

29 841

a +b = AE = = (1)

( )

2 2 2 2 2

2 4 41 1681

a + b =a + b =AF = = (2)

( )

2 2 2 2

4 16

a + b =a + b =AC (3)

由(1)、(2)兩式可知3b² =840，而由(3)式可知AC² =a² +16b² =a² +b² +15b²， 因此AC² =841 15 280+ × =5041 71= ²，所以AC的長度為 71 cm。

ANS：71 cm 6. 已知n 是一個三位數，且(n＋1)(n＋2)(n＋3)可被7整除。請問滿足上述條件

的n 共有多少個？

因(n＋1)(n＋2)(n＋3)可被7整除且n＋1、n＋2、n＋3為連續的 3個整數，

故可知n＋1、n＋2、n＋3恰有一數為7的倍數。因此只須找出三位數中被 7除分別餘6、5、4的數之個數。因1000＝7×142+6、100＝7×14+2，故被7 除餘6的三位數有142－14＝128個、被7除餘5的三位數有142－14＋1＝ 129個、被 7除餘 4的三位數有 142－14＋1＝129個。所以滿足條件的n 共 有128＋129＋129＝386個。

ANS：386 個 7. 小丁在捷運站搭一座電扶梯下樓。如果他向下走14階，則需時 30秒即可由 電扶梯頂到達底部；如果他向下走28階，則需時 18秒即可由電扶梯頂到達 底部。請問這座電扶梯有幾階？

<解法一>

由「小丁向下走 14階，則需時30秒可由電扶梯頂到達底部」以及「小丁向 下走28 階，則需時18秒可由電扶梯頂到達底部」可知小丁每向下走28－ 14＝14階時，可節省30－18＝12 秒，此即每向下走7階可節省 6秒，可視 為此電扶梯每6秒向下7階，故 30秒可向下7×(30÷6)＝35 階，再加上小丁 走的14 階，一共有35＋14＝49階。

<解法二>

「小丁向下走14 階，則需時30秒可由電扶梯頂到達底部」，把它加倍即：「小 丁向下走28 階，則需時60 秒可由電扶梯可走二趟由梯頂到達底部」。與「小

E F

D C

B A

丁向下走28 階，則需時18秒可由電扶梯頂到達底部」比較，得知電扶梯由 梯頂到達底部運行需時60－18=42秒，又知 12秒走14階，故共 49階。

ANS：49階 8. 在十二進制中，有兩個二位數aa(12)、bb(12)。若

( ) ( )

請問aabb(12)之值是什麼？

令十二進制中的 12個「個位數碼」由小至大依序為0、1、2、3、4、5、6、 7、8、9、A、B，其中 A代表10、B代表11。

可知aa(12) =12a+ =a 13a、bb(12) =12b+ =b 13b及

3 2

(12) 12 12 12 144 13 13 aabb = a+ a+ b+ =b × a+ b。

因

( ) ( )

^{( ) ( )}

2 2

13(a +b ) 144= a+ = ×b 13 11a+ +a b

所以a＋b 是13的倍數且144a+ = ×b a 12² + =b a b0 (12)，故可知a＋b＝13，

此時有以下幾種可能：

(i) 若a 與b 中一數為B、另一數為2：此時

2 2

2 (12)

13( ) 13 (121 4)

(12 1) (10 12 5) 11 12 3 12 5 35 a b

B

+ = × +

= + × × + = × + × + = 故不合；

(ii) 若a 與b 中一數為A、另一數為3：

2 2

2

(12)

13( ) 13 (100 9)

(12 1) (9 12 1) 9 12 10 12 1 9 1 a b

A

+ = × +

= + × × + = × + × + = 故不合；

(iii) 若a 與b 中一數為9、另一數為4：

2 2

2

(12)

13( ) 13 (81 16)

(12 1) (8 12 1) 8 12 9 12 1 891 a +b = × +

= + × × + = × + × + = 故不合；

(iv) 若a 與b 中一數為8、另一數為5：

2 2

2

(12)

13( ) 13 (64 25)

(12 1) (7 12 5) 8 12 5 805 a +b = × +

= + × × + = × + = 故a＝8、b＝5；

(v) 若a 與b 中一數為7、另一數為6：

2 2

2

(12)

13( ) 13 (49 36)

(12 1) (7 12 1) 7 12 8 12 1 781 a +b = × +

= + × × + = × + × + = 故不合；

因此aabb(12)的值為8855₍₁₂₎。

ANS：8855₍₁₂₎ 9. 有一位修錶師傅誤把手錶的時針裝成與分針一樣的零件，導致這個手錶無法

判別哪個是時針與哪個是分針，除此之外手錶的一切功能完全正常。師傅在 中午12：00 整時校正手錶，將兩針重合在數字12上。假設我們可以百分之 百地精確讀出兩針所指的時刻，請問第一次我們無法從這個手錶正確地判斷 出的時間是在什麼時刻？（即手錶的兩針所指的時刻有兩種可能）

「手錶兩針所指的時刻有二種可能」這件事即與初賽應用題第12題「時針 與分針對換位置」同義。

可知分針一分鐘走360°÷60＝6°、時針一分鐘走360°÷12÷60＝0.5°。

若第一次無法判斷的時刻在中午12：00 到下午1：00之間，則此時一針在 12與 1之間而另一針在 1與 2之間。

令上左圖為下午0 時x 分，上右圖為下午1 時y 分，則有x>y。

(i) 上左圖中，時針所走的角度等於上右圖中分針所走的角度，故有 0.5x=6y （1）

(ii) 上左圖中，分針所走的角度等於上右圖中時針所走的角度，故有 6x=30+0.5y （2）

將（1）、（2）是化簡得：

x=12y （3）

12x=60+y （4）

將（3）式代入（4）式可得143y=60，即 60

y=143、 720 5 143 5143

x= = ，故第一

次無法判斷的時刻為中午12時 5

5143分或下午 0時 5

5143分。

ANS：中午 12時 5

5143分或下午0 時 5 5143分 10. 在下面的數字謎題中，不同的字母代表不同的數碼。請問TEMUR之值是什

麼？

9 E T 9 0 M E M 0 R E

＋ 9 U M 9 T E 9 T 9

因T＋E＋E＋9 的個位數為9，所以 T＋2E 為10的倍數，即 T為偶數；

1 2

3 4 6 5

7 8 9

10

11 12

1 2

3 4 6 5

7 8 9

10

11 12 時針

分針 時針

分針

因數字謎為1 個三位數與3 個四位數相加而得到和是1 個五位數的算式，故 T≦3，所以 T＝2 而E為 4或 9；

由百位數的部分為9＋U＋（十位數進位之數）＝9 可知：

(i) 若U＝0，則百位數與十位數都沒進位且9＋M＋9＝T×10＋E＝24 或29，因 M＜10，故 E＝4、M＝6；

(ii) 若U≠0，則百位數與十位數都有進位且9＋M＋9＋1＝T×10＋E

＝24或 29，因M＜10，故 E＝4、M＝5；

因此可知E必為 4、M＝5 或6；此時算式為：

9 4 2 9 0 M 4

M 0 R 4

＋ 9 U M 9 2 4 9 2 9

當U＝0、M＝6 時，十位數並沒有進位，但由算式的十位數部分可知 4＋M

＋R＋M＋1 的個位數為2，此時必有進位，矛盾，因此U≠0而 M＝5，此 時算式為

9 4 2 9 0 5 4

5 0 R 4

＋ 9 U 5 9 2 4 9 2 9

可知4＋M＋R＋M＋1的個位數為2，故R＝7而U＝8，所以TEMUR＝24587 而算式為

9 4 2 9 0 5 4

5 0 7 4

＋ 9 8 5 9 2 4 9 2 9

ANS：24587 11. 甲、乙二人由A 地同時出發朝向B地前進，A、B兩地之距離為 36公里。

甲步行之速度為每小時4 公里，乙步行之速度為每小時5 公里。現有一輛自 行車，甲騎車速度為每小時10 公里、乙騎車速度為每小時8 公里。出發時 由甲先騎車，乙步行，為了要使兩人都儘速抵達目的地，騎自行車在前面的 人可以將自行車留置在途中供後面的人繼續騎。請問他們從出發到最後一人 抵達目的地最少需要多少小時？

<解法一>

設甲騎車至離A 地x公里處後停車，且剩餘 36－x公里改為步行，則乙步行

了x 公里後，剩餘36－x 公里為騎車。因要求同時出發且儘速抵達目的地，

故花費的時間應相同，因此可得：

36 36

10 4 5 8 x + −x = +x −x 4x+360 10− x =8x+180 5− x

180=9x 20=x 故共花費 36 20 16

10 4 10 4 6

x + −x = + = 小時。

<解法二>

由題意可得下圖：

可知甲、乙兩人騎車共騎了36 公里，而兩人步行合計也是36公里，因此可 視為：

為了要使兩人都儘速抵達目的地，最佳狀況是兩人同時到達，故所需時間為 兩人騎車時間： 36

10 8 =2

+ 小時，兩人步行時間： 36 4 5 =4

+ 小時

因此至少需 2+4＝6小時。

ANS：6 小時 12. 質數P₃是一個三位數，它的數碼和為P₂且P₂是一個二位數的質數，而P₂的數

碼和為P₁且P₁是一個大於2 的質數。請問滿足上述條件所有可能的P₃之和是 什麼？

因P₂是P₃的數碼和且P₂為二位數，故10<P₂ <27，因此P₂可能為11、13、

17、19、23。又因P₁是大於2的質數，故P₂為23。

因23＝9＋9＋5＝9＋8＋6＝9＋7＋7＝8＋8＋7 且P₃是質數，

995=5×199；959=7×137；689=13×53：869=11×79；779=19×41 。

故P₃可為599、977、797、887，因此所求之和為 599＋977＋797＋887＝3260。 ANS：3260 甲

乙

A 騎車 B

騎車 步行 步行

乙 騎車

步行

A 甲 B

甲 乙

2008 ̈ጯᇴጯᚮᔈᏴ٥ᔈՙᔈ(˟)ྏᗟ

ௐ! ˟! ྏ: ტЪਕ˧ീរ (҂ྏॡม 60 ̶ᛗ)

縣市 國民小學 年級 編號： 姓名： 性別：__

ኛ૟ඍ९๱ˢ҂ס̚၆ᑕᗟཱི۞۩Ҝ̰Ăௐ 2ă3ă4 ᗟυืྎ௟ᆷ˭ຐڱٕந ϤĂՏᗟ 36 ̶ĂВ 211 ̶Ą

1. 在下面的等式中不同的字母代表不同的數碼，其中M≠0：

(

)

請問MATHS之值是什麼？

Я21³ =9261 10000< <22³ =10648ͷM + + +A T H + ≤ + + + + =S 5 6 7 8 9 35

，故22≤M + + +A T H + ≤S 35；(完成此步驟給十分) 223 =10648Ăҭ1+0+6+4+8Ŷ19Ź22Ă߇̙Ъć 233 =12167Ă1 ࢦኑĂ߇̙Ъć

243 =13824Ăҭ1+3+8+2+4Ŷ18Ź24Ă߇̙Ъć 253 =15625Ă5 ࢦኑĂ߇̙Ъć

263 =17576Ă7 ࢦኑĂ߇̙Ъć

273 =19683Ă1+9+6+8+3Ŷ27Ă߇MATHS =19683ć 283 =21952Ă2ࢦኑĂ߇̙Ъć

293 =24389Ăҭ2+4+3+8+9Ŷ26Ź29Ă߇̙Ъć 303 =27000Ă0ࢦኑĂ߇̙Ъć

313 =29791Ă9ࢦኑĂ߇̙Ъć

323 =32768Ăҭ3+2+7+6+8Ŷ26Ź32Ă߇̙Ъć 333 =35937Ă3 ࢦኑĂ߇̙Ъć

343 =39304Ă3ࢦኑĂ߇̙Ъć

353 =42875Ăҭ4+2+8+7+5Ŷ26Ź35Ă߇̙Ъć

ٙͽMATHS =19683。(完成此步驟再給十五分)

ANS：19683

2. 如下圖，有一個矩形可以被分割為11 個正方形，其中最小的正方形（陰影 部分）面積為81 cm²，請問這個矩形之面積為多少cm²？

令a、b、c、d、e、f、g、h、i、j分別為所在正方形之邊長，由最小的正方

形面積為81 cm²可知陰影正方形的邊長為 9 cm。

可知： b=a＋9

c=b＋9=a＋18 d=a＋b=2a＋9 e=c＋9=a＋27 f=a＋d=3a＋9

g=f＋d－e－c=3a－27 h=c＋e=2a+45

j=f＋g=6a－18 i=h＋e－g=99 i=j＋g=9a－45

由i值可得 99＝9a－45，即a＝16。(完成此步驟給十五分) 而矩形的長與寬分別為

i＋h＝99＋2a+45＝176、

i＋j＝99+6a－18＝177，

所以矩形面積為176×177＝31152 cm²。(完成此步驟再給十分)

ANS：31152 cm² 3. ៍ி૟4 ښർ။ٸдॸࢬ˯ଵј˘ЕĂՏ˘ښർ။ഈ˯ٕഈ˭Ξᐌ៍ிಈр

ٸཉĄ៍ி˵ТॡЇຍᏴ1 Ҍ4 ̚۞˘࣎ϒፋᇴĂᅅᓏӘ෦ᜲఙर۞ӄ͘Ă ତ඾ᜲఙर۞ӄ͘ΪਕޫрᏴፄॸࢬ˯۞˘࣎ർ။૟ιᖙࢬĄᜲఙर̙ۢ྽

ӄ͘ᖙ۞ߏࣹ˘࣎ർ။Ăҭ࠻˘࠻ॸࢬ˯۞ർ။Ăౣਕ໤ቁгட΍៍ிٙᏴ

۞ᇴĄኛયᜲఙरᄃӄְ͘Аࡗؠ̦ᆃᇴጯඉரĂֹ଀ᜲఙरਕ༱൑˘εг ட̚ĉ

a

c b d

e

f g

h i

j

因是將4 枚硬幣排成一列，故若將正面朝上看成1，反面朝上看成0，則硬 幣排列狀況便可看成16 個二進制的數，如下表：

二進制的數 十進制的數

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 2

0 0 1 1 3

0 1 0 0 4

0 1 0 1 5

0 1 1 0 6

0 1 1 1 7

1 0 0 0 8

1 0 0 1 9

1 0 1 0 10

1 0 1 1 11

1 1 0 0 12

1 1 0 1 13

1 1 1 0 14

1 1 1 1 15

Я៍ிଵЕർ။ॡ˵ТॡЇຍᏴ1 Ҍ4 ̚۞˘࣎ϒፋᇴĂ߇ᜲఙरְАࢋᄃ ӄ͘ࡗؠԯ఺16 ჌ଐڶ̶ј4 ௡Ă̶Ҿ΃ܑ1ă2ă3 ٕ4Ăͷ൑ኢ៍ிт ңଵЕ఺α࣎ർ။̈́߄Ᏼࣹ࣎ᇴĂӄ͘ౌѣᏱڱޫᖙજ˘࣎ർ။ֹ଀ർ။ଵ Еېڶޫརˢ៍ிᏴؠᇴфٙ΃ܑ۞௡Ă݋ᜲఙरΪࢋ੃˭ࣹ჌ଐڶдࣹ˘

௡ӈΞĄ

៍၅ଵЕېڶĂтڍ૟˭Ηొ۞0ă1၆አĂ݋˯˭׌ొ̶ޫࠎ၆Ⴭ۞ଐԛĄ ߇ࡶ૟˯Ηొֶ໰జ4 ੵ۞ዶᇴ̶ᙷĂԯ˭Ηొ྆ᄃ˯Ηొ̢࠹၆ᑕ۞ٸז Т˘ᙷĂ݋Ξ̶ࠎͽ˭α჌Ĉ

二進制的數 十進制的數 ᜲఙरᄃӄ͘

ࡗؠ΃ܑ۞ᇴ

0 0 0 1 1

0 1 0 1 5

1 0 1 0 10 1 1 1 0 14

1

0 0 1 0 2

0 1 1 0 6

1 0 0 1 9

1 1 0 1 13

2

0 0 1 1 3

0 1 1 1 7

1 0 0 0 8

1 1 0 0 12

3

0 0 0 0 0

0 1 0 0 4

1 0 1 1 11

1 1 1 1 15

4

ΞڦຍזࡶȈซט྆׌ᇴ̝׶ࠎ15Ă݋υдТ˘ᙷĄѩॡ൑ኢ៍ிଵјң

჌ଐڶĂ༊΁ᏴؠᇴфޢĂӄ͘࠰Ξޫᖼೱ˘࣎ർ။۞͞Шֹർ။۞ଵЕ͞

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ർ။ଵЕېڶ ᖙ˘࣎ർ။

ܑϯ1

ᖙ˘࣎ർ။

ܑϯ2

ᖙ˘࣎ർ။

ܑϯ 3

ᖙ˘࣎ർ။

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ְ၁˯Ăᜲఙरᄃӄ͘ࡗؠ۞̶௡͞ڱ̙Ϊ˯ࢗ఺˘჌Ăҭυื႕֖൑ኢർ

။тңଵЕĂӄ͘ޫᖙ˘࣎ർ။ӮΞ̶Ҿܑϯ1ă2ă3ă4 ӈΞĄ҃Ӏϡѩ

͞ڱᜲఙरྵр੃ጸĂࣧЯࠎĈᜲఙरΞ૟΁ٙ࠻זॸࢬ˯ർ။ଵЕᖼࠎȈ ซטޢ۞ᇴĂ઄నࠎxĂ༊xŴ8Ă݋Ϊࢋზx ੵͽ4 ̝ޢ۞ዶᇴӈΞՐ΍៍

ி所Ᏼؠ的ᇴфć༊x≧8Ă݋ࢍზ(15ůx) ੵͽ4 ̝ޢ۞ዶᇴӈΞՐ΍៍ி

所Ᏼؠ的ᇴфĄ

(策略正確給十五分，證明策略符合要求給十分)

4. ఺ߏ˘Ҝޙ᎝րጯϠٙ൪۞ޙ᎝᐀ሇඕၹဦĂି଱൴ன׎̚ѣ˛఍ᖱᄱĄኛ ԯᖱᄱ఍઻੓ֽĂՏඍ၆˘఍଀3 ̶ĂБొඍ၆଀25̶ĂՏඍ᏾˘఍ࣆљ 3 ̶ۡז0 ̶ࠎͤĄĞොĈϤٺෛ֎۞ᙯܼĂѣֱ᐀ሇ࠻੓ֽΞਕࢦᝑд˘

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