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International Mathematics Tournament of Towns
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1. 小王將一些餅乾放入數個盒子內，並記錄下每個盒子內餅乾的數量，如果某 個數目重複出現，則只記錄一次。小丁從每個盒子內各取出一塊餅乾放入第 一個盤子內，接著從非空的盒子內各取出一塊餅乾放入第二個盤子內；繼續 此動作直到所有盒子內的餅乾都拿光為止。接著小丁記錄下每個盤子內餅乾 的數量，同小王一樣，如果某個數目重複出現，則只記錄一次。試證小王所 記錄的數目之個數與小丁所記錄的數目之個數相同。（三分）
2. 已知n為大於2的整數，請找出非負實數x1、x2、…、xn使得x1−x2 =1且當 1≤ ≤k n、S = +x1 x2 + +L xn時， xk + S −xk 之值全都相等。（三分）
3. 有一個三十邊形A A A1 2 3LA30內接於半徑為2的圓內。試證恆可以在弧A Ak k+1
（其中1≤ ≤k 29）上找出一個點Bk；在弧A A30 1上找一個點B30，使得六十邊 形A B A B A B1 1 2 2 3 3LA B30 30的面積之數值等於三十邊形A A A1 2 3LA30的周長之數 值。（四分）
4. 有五個相異正整數構成一個等差數列，請問它們的乘積可不可能等於a2008
（其中 a為正整數）？（四分）
5. 在一個無限大的方格表上有許多個矩形，它們的邊都落在格線上，它們之間 也互相都沒有共同的內點，且每個矩形的內部都包含有奇數個小方格。試證 可以用四種顏色將這些矩形塗色，使得任意兩個塗上相同顏色的矩形都沒有 共同的邊界點。（四分）
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