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2014 年青少年數學國際城市邀請賽
參賽代表遴選初賽個人賽試題
________縣市________國民中學____年級 編號：________ 姓名：_________
作答時間: 二 小 時 性別: □男 □女
第一部分：填充題，每小題 5 分，共 60 分
(注意：請在每題試題後所附的空格上填入答案，只需填寫答案。若答案為數 值，請用阿拉伯數字；若答案為分數，請化為最簡分數)
1. 某一個班級20位男生的平均體重為62 Kg，而該班 15位女生的平均體重
為55 Kg，則這個班級35位學生的平均體重為 Kg。
答： Kg
2. 設B=1032 −1022 +1012 −1002 +"+32 −22 +12，則B的最大質因數為 。
答：
3. 設A=22014 −1，則 A的末二位數碼為 。
答：
4. 設P 為正整數，已知P被 3除時所得的餘數為1；被5除時所得的餘數為 3；被7除時所得的餘數為5，則P的最小值為 。
答：
5. 設a、b均為正整數，已知2ax2 +3bx+ =1 0有相異的實數根且二根的絕對 值均小於1，則2a+3b的最小值為 。
答：
6. 若x1、x2、x3、x4為互不相等的正奇數，且滿足
2
1 2 3 4
(103−x )(103−x )(103−x )(103−x )=24 ， 則x1+x2+ +x3 x4 =_________。
答：
7. 設α、β是方程x2 − − =x 1 0的二根，若α2013 −β2013 =t且α2011−β2011 =s， 則以s與t表示 α2014 −β2014 之值為 。
答：
8. 在平行四邊形ABCD中，點E、F分別為AB、BC的中點，若CE與 DF相 交於點G，如下圖所示。則三角形CGF的面積與四邊形 ABCD的面積之 比為 ： 。
答： ： 9. 設n為正整數，若數列
{ }
xn 的前n項之和Sn =n3。今造一個新數列{ }
yn ，其中y1 =1，而對n≥2的正整數， 1
n 1
n
y = x
− 。令y101+ y102 + y103 + +" y2014
之值的最簡分數為q
p ，則p−q之值為 。 答：
10. 設直角三角形的三邊長a、b、c為正整數，其中a≥ ≥b c；若此直角三角形 的周長為30，則a2012 +b2013+c2014的個位數碼為 。
答：
11. 自圓O外一點 P作割線PA、PC分別交圓於點B、D，如下圖所示。已知 32
∠APC= °，則∠AOC− ∠BOD=_______°。
答：
12. 已知BC與CD為正方形ABCD相鄰的兩個邊，若點M、N分別為BC、
CD邊上的點且滿足3DN =AD及∠MAN = °45 ，則AM
AN = 。
答：
F E
D
B C
A
G
N
B C A D
M B P
C
D A
O
°
第二部分：計算證明，每題 20 分，共 60 分
(注意：請在每題試題後空白處作答，須詳列過程及說明理由)
1. 已知正方形ABCD的邊長為 2 cm，以點C為圓心並以CB為半徑所作的圓與 以AB為直徑所作的圓交於點E與點 B，如圖所示。試求線段 AE之長。
答： cm
2. 將n個不同的正整數a1、a2、…、an−1、an按順時針方向放在一個圓周上，
若對於1、2、3、…、10 這十個正整數中的任意一個數b，均能找到一個正
整數i，使得ai =b或ai +ai+1 =b，並規定an+1 =a1，試求正整數n的最小值。
答：
D C
B A
E
3. 現有27枚砝碼，重量分別為12克、22克、…、272克，將它們分成砝碼枚數 相同且總重量相等的三堆，已知12、112、212與252克的砝碼在同一堆，請 問同在這一堆的砝碼還有哪些？
答：
