答案 解析 n n n k k k C − C C

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：100.05.08 範

圍

2-2,3乘法、加法原

理、排列(2)

班級 二年____班 姓 座號 名

一、填充題(每題10分)

1、 (1)若C_n⁸₊₁ =C₂⁸_n−5，則n=_______.

(2)若13×C₂ⁿ⁻¹=C₄ⁿ⁺¹，則n=_______.

答案：(1)4, 6 (2)12

解析：(1) n+ =1 2n−5 ∴n=6 或n+ +1 2n− =5 8 ∴n=4

(2)13 ^{( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 2)}

2 4 3 2 1

n− n− n+ n n− n−

× =

× × ×

∴n n( + = ×1) 13 12 ∴n=12或13(不合)

2、 已知n及k為正整數，且n>k,若C_kⁿ₋₁:C_kⁿ:C_kⁿ₊₁=1: 2 : 3,則n=______,k=______.

答案 解析：∵

：14, 5

1 1

1 2 3

n n n

k k k

C ₋ C C ₊

= = ! ! !

( 1)!( 1)! 2 !( )! 3( 1)!( 1)!

n n n

k n k k n k k n k

⇒ = =

− − + − + − −

! !

( 1)!( 1)! 2 !( )!

! !

2 !( )! 3( 1)!( 1)!

n n

k n k k n k

n n

k n k k n k

 =

 − − + −

⇒  =

− + − −



2 1

3( 1) 2( )

k n k

k n k

= − +

⇒  + = − , 得n=14,k=5.

3、 如下圖，共九格，今以黃色塗一格，藍色塗兩格，紅色塗三格(其餘三格不 塗色)，則有______種不同的塗法.(每格有編號，以示位置固定)

答案：5040

解析：C₁⁹×C₂⁸×C₃⁶ =5040.

4、 一列火車從第一車到第十車共十節車廂，要指定其中三節車廂准許吸菸，則共有______

種指定的方法，若更要求此三節准許吸菸的車廂兩兩不相銜接，則共有______種指定 方法.

答案：120, 56

解析：(1)C₃¹⁰ =120(種).

(2) Ⅹ⃝^Ⅹ⃝^Ⅹ⃝^Ⅹ⃝^Ⅹ⃝^Ⅹ⃝^Ⅹ⃝^Ⅹ

三節抽菸車廂安排於其餘7節車廂所產生的8個空隙Ⅹ上，即8個Ⅹ取3個為吸菸 區C₃⁸ =56(種).

5、 某次測驗有10道題，規定由10題中選作7題，則以下各有幾種不同方式？

(1)任意選作有_________種.

(2)前3題必作答有________種.

(3)前5題中至少選作4題有________種.

答案：(1)120, (2)35, (3)60

1 2 3 4 5 6 7 8 9

解析：(1)C₇¹⁰ =210.

(2)C₃³×C₄⁷ =35.

(3)C₄⁵×C₃⁵+C₅⁵×C₂⁵ =60.

6、 五位男同學，三位女同學，如果從八位同學中選五人圍圓桌而坐，其中女同學至少兩 位，且選出的女同學全相鄰的坐法有______種.

答案：480

解析：環狀排列：

3男2女時, ₃⁵ ₂^{3 4!} 2! , C C × ×4  2男3女時, ₂⁵ ₃^{3 3!} 3! ,

C C × ×3 

 + 得 ₃⁵ ₂^{3 4!} 2! 3!₂⁵ ₃^{3 3!} 480.

4 3

C C × × +C C × × =

7、 自“cocacola”一字中的字母，任取三個字母排成一列，則有______種不同的排法.

答案：52

解析：c：3個， o：2個， a：2個， l：1個

選法 排列 三同 C₁¹=1 3!

1 1

× =3!

二同一異 C₁³⋅C₁³=9 3!

9 27

×2!= 三異 C₃⁴ =4 4 3!× =24

∴方法共有1 27 24+ + =52(種).

8、 將9件不同的玩具，依下述條件，分別求其分法個數：

(1)平分給甲、乙、丙三人，有______種.

(2)平分成三堆有______種.

(3)分給甲4件，乙3件，丙2件有______種.

(4)按4件，3件，2件分成三堆有______種.

(5)按4件，3件，2件分給三人有______種.

(6)分給甲4件，乙4件，丙1件有______種.

(7)按4件，4件，1件分成三堆有______種.

答案：(1)1680, (2)280, (3)1260, (4)1260, (5)7560, (6)630, (7)315 解析：(1)

9 6 3

3 3 3

3! 1680.

3!

C C C

× = (2)

9 6 3

3 3 3

3! 280.

C C C =

(3)C C C₄⁹ ₃⁵ ₂²× × × =1 1 1 1260.

(4)C C C₄⁹ ₃⁵ ₂² =1260.

(5)C C C₄⁹ ₃⁵ ₂²× =3! 7560. (6)

9 5 1

4 4 1 2! 630.

2!

C C C

× = (7)

9 5 1

4 4 1

2! 315.

C C C =

9、 某人給5封信及5個信封，今將5封信任意分別裝入5個信封(每封信裝入一個信封)，

求下列各問題的方法數：

(1)恰有2封信裝錯有______種.

(2)恰有3封信裝錯有______種.

(3)恰有4封信裝錯有______種.

(4)5封信全部裝錯有______種.

答案：(1)10, (2)20, (3)45, (4)44 解析：(1)C₃⁵×(2! 2 1! 0!)− × + =10.

(2)C₂⁵×(3! 3 2! 3 1! 0!)− × + × − =20.

(3)C₁⁵×(4! 4 3! 6 2! 4 1! 0!)− × + × − × + =45.

(4) 5! 5 4! 10 3! 10 2! 5 1! 0! 44.− × + × − × + × − =

10、有橘子5個，蘋果4個，將此9個水果全部分給甲、乙兩人，求下列各方法數：

(1)每人至少一個有______種方法.

(2)每人每種水果至少一個有______種方法.

答案：(1)28, (2)12 解析：

(1) H₅²×H₄²−H₅¹×H₄¹−H₅¹×H₄¹=28.

甲 乙 未 未 分 分 到 到 (2)H_{5 1 1}²_{− −} ×H_{4 1 1}²_{− −} =12.

11、 試回答下列小題：

(1)將6件相異物，放入三個相異的箱子，每箱各放3件，2件，1件，其放法_____種.

(2)將7件相異物，放入三個相異的箱子，每箱各放2件，2件，3件，其放法有___種.

(3)將9件相異物，放入三個相異的箱子，每箱各放3件，其放法有______種.

答案：(1)360, (2)630, (3)1680 解析：(1)C C C₃⁶ ₂³ ₁¹× =3! 360.

(2)

7 5 3

2 2 3

3! 630.

2!

C C C

× =

(3)

9 6 3

3 3 3 3! 1680.

3!

C C C

× =

12、將7件相異物，放入三個相異的箱子，則 (1)可有空箱子的放法有______種.

(2)恰有一個空箱有______種放法.

(3)每箱至少放1件有______種放法.

答案：(1)2187, (2)378, (3)1806 解析：(1)3⁷ =2187.

(2)C₁³×(2⁷− × +2 1⁷ 0 )⁷ =378.

(3)3⁷− ×3 2⁷ + × −3 1⁷ 0⁷ =1806.

13、將甲、乙……等10人分為3人，3人，4人等三組住入A, B, C三室，其中甲、乙兩人

需住同一室，則住法有______種.

答案：3360

解析：(甲、乙與三人同住) (甲、乙與四人同住)

8 6 3

8 7 4 2 3 3

1 3 4 3! 3! 3360.

2!

C C C

C C C × + × =

14、將4枝相同的鉛筆及5本相同的筆記本分給甲、乙、丙三位小朋友，物必分完，

若(1)每人可兼得，則有______種分法.

(2)每人每樣至少得一件，又有______種分法.

答案：(1)315, (2)18

解析：(1)H₄³×H₅³ =C₄⁶×C₅⁷ =315.

(2)H_{4 1 1 1}³_{− − −} ×H_{5 1 1 1}³_{− − −} =C₁³×C₂⁴ =18.

15、試依下列給定條件求分配法：

(1)6件相異物品分給四人，每人可兼得或不得.______

(2)6件相同物品分給四人，每人可兼得或不得.______

(3)6件相異物品分給四人，每人至少得1件.______

(4)6件相同物品分給四人，每人至少得1件.______

(5)4件相異物品分給六人，每人至多得1件.______

(6)4件相同物品分給六人，每人至多得1件.______

答案：(1)4096, (2)84, (3)1561, (4)10, (5)360, (6)15 解析：(1)4⁶ =4096.

(2)H₆⁴ =C₆⁹ =84.

(3)4⁶− × + × − × +4 3⁶ 6 2⁶ 4 1⁶ 0⁶ =1561. (4)H_{6 1 1 1 1}⁴_{− − − −} =C₂⁵ =10.

(5)P₄⁶ =360. (6)C₄⁶ =15.

16、從6名男人, 5名女人中選取4人，其中至少2名男人, 1名女人的選法有______種.

答案：250 解析：

2 2 3 1

6 5 6 5

2 2 3 1 250.

C C^{男 女}+C^{男 女}×C =

17、有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸10人，選其中5人上場參加籃球比賽，

則

(1)若甲、乙、丙三人中至少選1人上場，則選法有______種.

(2)若甲、乙、丙三人中至多選1人上場，則選法有______種.

答案：(1)120, (2)51

解析：(1)全－(沒選甲乙丙)：C₅⁹−C₅⁶ =120. (2) (甲乙丙選1) (沒選甲乙丙) C₁³×C₄⁸+C C₀³ ₅⁶ =51.

18、有6男4女共10名學生擔任本週值日生.導師規定在本週5個上課日中，每天兩名值 日生，且至少須有1名男生.試問本週安排值日生的方式共有______種.

答案：43200

解析：

6

2 4! 5! 43200

C × × =

男男男男男 男女女女女

(挑2男) ( 4女4男) (排日期)

19、啦啦隊競賽規定每隊8人，且每隊男、女生均至少要有2人，某班共有4名男生及7

名女生想參加啦啦隊競賽.若由此11人中依規定選出8人組隊，則共有____種不同的 組隊方法.

答案：161

解析：2男6女＋3男5女＋4男4女

4 7 4 7 4 7

2 6 3 5 4 4 161

C ×C +C ×C +C ×C =

20、自5雙尺寸不同的鞋子中選出4隻，則

(1)此4隻均不成雙的選法有______種. (2)此4隻恰含1雙的選法有______種.

答案：(1)80, (2)120 解析：(1)C₄⁵×2⁴ =80.

(2)C₁⁵×C₂⁴×2² =120.

21、(1)投擲三顆不同的骰子，其點數出現情形有______種.

(2)投擲三顆相同的骰子，其點數出現情形有______種.

答案：(1)216, (2)56 解析：(1)6³ =216.

(2)H₃⁶ =C₃⁸ =56.

22、由五對夫妻中任選三人組成委員會，但規定夫妻不得同時當選，共有_______種選法，

若五對夫妻中恰有一對李姓夫妻，則李先生或李太太至少有一人當選的方法有____種.

答案：(1) 80 (2)64 解析：(1)C₃⁵×2³ =80

(2)李姓夫妻恰有一人當選：C C₁² ₂⁸ =56， 李姓夫妻都當選：C C₂² ₁⁸ =8

共56 8+ =64種

23、一平面上有相異10點，任3點不共線，以這些點為頂點的三角形共有_______個，用

這些點共可決定_______條直線.

答案：(1)120 (2)45

解析：(1)C₃¹⁰ =120 (2)C₂¹⁰ =45

24、甲、乙、丙等六位同學排成兩排拍照，每排3人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在

後排，則共有_______種排法.

答案：108

解析：甲、乙、丙以外3位同學挑1排前排，其餘3位排後排：C₁³× × =3! 3! 108 25、將”freeze”一字中的字母全取而排列之，其中三個”e”字母不完全相鄰的排列法有

_______種，又三個”e”字母不完全分開亦不完全相鄰的排列法共有_______種.

答案：(1)96 (2)72

解析：(1)全－(eee完全相鄰) 6 3!

4! 96

3 3!

⇒ − × =！

！ (2)全－(eee完全分開)－(eee完全相鄰)

4

6 3 3!

3! 4! 72

3 3! 3!

⇒ − ×！ P − × =

！ 26、將6名學生分配住進完全相同的兩間寢室，

(1)每室住3人，則共有_______種住法，

(2)若將寢室編號為101室與102室，則共有_______種住法.

答案：(1)10 (2)20 解析：(1)

6 3 3 3

2 10 C C =

！ (2)

6 3

3 3 2! 20

2!

C C × =

27、(1)5個相同的球，在地上分成三堆，則其分法有_______種.

(2)5個不同的球，在地上分成三堆，則其分法有_______種.

(3)5個相同的球，任意分給甲、乙、丙三人，則其分法有_______種.

(4)5個不同的球，任意分給甲、乙、丙三人，則其分法有_______種.

答案：(1)5 (2)41 (3)21 (4)243

解析：(1)5⇒(5, 0, 0); (4,1, 0); (3, 2, 0); (3,1,1); (2, 2,1)，5種 (2)

5 2 1 5 3 1

5 5 1 5 2 3 1 1 2 2 1

5 4 1 3 2 41

2! 2!

C C C C C C C +C C +C C + + = (3)H₅³=C₅⁷ =21

(4)3⁵ =243

28、有3艘不同的渡船，今有6位朋友想乘船，則 (1)有_______種乘坐方式，

又(2)若每艘船至多可載4人，則有_______種安全的乘坐方式.

答案：(1)729 (2)690

解析：(1)3⁶ =729

(2)3⁶−C₆⁶×P₁³−C C₅⁶ ₁¹× =3! 690

全－(6人同船)－(5人同船)

29、有3艘不同的渡船，今有10位朋友想乘船，若每艘船至多可載4人，則有_______種 安全的乘坐方式，若3艘船完全相同，則有_______種安全的乘坐方式.

答案：(1)22050 (2)3675 解析：(1)10=(4, 4, 2)=(4, 3, 3),

10 6 3 10 6 2

4 3 3

4 4 2 3 3 22050

2 2

C C C C C C × +！ × =！

！ ！

(2) 22050 3! 3675÷ =

30、在(a b c+ + +d)⁵的展開式中，(1)共有_______項，(2)其各項係數和為_______，(3)與abc³ 同型的項有_______項. 又(4)與a b^{3 2}同型的項有_______項.

答案：(1)21 (2)1024 (3)12 (4)12

解析：(1)一般項a b c d^{α b γ δ}⇒其中α + β + γ + δ =5,共H₅⁴ =C₅⁷ =21項 (2)代a= = = = ⇒b c d 1 4⁵ =1024

(3)□□□³⇒C C₂⁴ ₁² =12 (4)□³□²⇒P₂⁴ =12

31、有3個罐子及四種不同的調味醬，每個罐子，只能選一種調味醬倒入，任一種調味醬 均有足夠的份量倒3罐，則

(1)若罐子不同，每罐內調味醬也不同，則其方法有_______種.

(2)若罐子不同，每罐內調味醬可以相同，則其方法有_______種.

(3)若罐子相同，每罐內調味醬也不同，則其方法有_______種.

(4)若罐子相同，每罐內調味醬可以相同，則其方法有_______種.

答案：(1)24 (2)64 (3)4 (4)20

解析：(1)P₃⁴ = × × =4 3 2 24 (2)4³ =64 (3)C₃⁴ =4 (4)H₃⁴ =C₃⁶ =20 32、滿足(1)8< < < <x y z 20的整數x, y, z共有_______組

(2)8≤ ≤ ≤ ≤x y z 20的整數x, y, z共有_______組.

答案：(1)165 (2)455

解析：(1)自9,10,11,……,18,19共11個數字選3個⇒C₃¹¹=165

(2)自8,9,10,……,,19,20共13個數字可重複選3個⇒ H¹³₃ =C¹⁵₃ =455 33、下圖的方格皆為正方形且間隔均等長，求圖中大大小小的

(1)矩形有______個. (2)正方形有______個.

答案：(1)210 (2)50

解析：(1)水平5條直線選2條且垂直7條直線選2條即是一矩形：

共C₂⁵×C₂⁷ =210個矩形。

(2)面積1 1× ：有4 6× =24個 2 2× ：有3 5 15× = 個 3 3× ：有2 4× =8 個

4 4× ：有1 3× =3 個 ⇒24 15 8 3+ + + =50 個

34、將a, b, c, d, e, f六件不同的禮物分給甲，乙，丙三人，則 (1)每人各得二件的方法有______種.

(2)若a, b禮物只能分給同一人，且每人各得2件，則分法共有______種.

答案：(1)90(2)18

解析：(1)平分成三堆，再分給三人

6 4 2

2 2 2 3! 90 3!

C C C × =

(2) a, b一堆、c, d, e, f分成二堆，再分給三人

4 2

2 2 3! 18 2!

C C × =

35、求C₂⁶+C₃⁷+C₄⁸+ + C₈¹²+C¹³₉ 之值為______.

答案：1996

解析：利用巴斯卡定理，補一個C₁⁶

∴C₂⁶+C₃⁷+C₄⁸+ + C₈¹²+C¹³₉ =(C1⁶+C2⁶+C3⁷+C4⁸+ + C8¹²+C¹³9 )−C1⁶

7 7 8 12 13 6

2 3 4 8 9 1

(C C C C C ) C

= + + + + + −

8 8 12 13 6

3 4 8 9 1

(C C C C ) C

= + + + + −

=

13 13 6

8 9 1 1996

C C C

= + − =

14 6

9 1 1996

C C

= − = (種).

36、欲將8位新生平均分發到甲、乙、丙、丁四班，共有______種分法.

答案：2520

解析：每班各2人，∴方法有

8 6 4 2

2 2 2 2 4! 2520

4!

C ⋅C ⋅C ⋅C × = (種).

37、如右圖所示，某摩天輪等分為6個全等區域.為了夜間的燈光造景，6個

區域分別採用不同顏色的燈光裝飾.若有7種不同顏色的燈光可供使用，

則此摩天輪正面的夜間燈光造景共有________種不同的顏色排列方式.

答案：840

解析：先從7種顏色中選6種，再燈光裝飾，得

7 7

6 6! 6 7 6 5 4 3 2

6 6 6 840

C × P × × × × ×

= = =

38、趙氏與錢氏兩對夫婦、以及孫先生、李先生圍坐一個六人座圓桌吃飯，其中趙先生和 孫先生已在兩個相鄰的位子坐定。若限夫妻不相鄰，則其他四人就座方法有 種。

答案：10 解析：SOL一

根據題意，趙先生和 孫先生已在兩個相鄰的位子坐定(如下圖)，

直接考慮另外四人在其餘①②③④做直線排列。

夫妻不得相鄰，錢氏夫妻二人必須分坐  、 、 。

錢氏夫妻分坐①③的坐法有2×2＝4種；

錢氏夫妻分坐①④的坐法有2×2＝4種；

錢氏夫妻分坐②④的坐法有2×1＝2種，因為趙太太不能選①。 故另外四人就座的方法共有4＋4＋2＝10

SOL二

全－(趙太太坐①)－(錢氏夫婦相鄰)＋(趙太太坐①且錢氏夫婦相鄰) 4! 1 3! 3! 2! 1 2! 2! 10− × − × + × × =

39、數字和為12的五位數，共有______個.

答案：1330

解析：x₁+x₂+ +x₃ x₄+x₅ =12,

∵萬位數x₁不得為0,故設x₁ = +x′₁ 1,則x₁′ + +x₂ x₃+ +x₄ x₅ =11， 非負整數解有H₁₁⁵ =C₁₁¹⁵,

剔除有一數為11另4個為0,0,0,0者共^5!

4!=5種；

有一數為10另4個分別為1,0,0,0者共^5! 20 3!= ,

因為x′ ≠₁ 9剔除者x₁′ = ⇒ +9 x₂ x₃+ +x₄ x₅ =2，共有H₂⁴ =C₂⁵ =10,

∴共C₁₁¹⁵− −5 20 10− =1365 35 1330− = 個.

40、擲四個大小不同之骰子，點數和為8之情形有_____種，點數和為18之情形有____種.

答案：35, 80

解析：設四顆骰子點數分別為x y z u, , , ,則x+ + + =y z u 8的正整數解有H_{8 1 1 1 1}⁴_{− − − −} =C₄⁷ =35.

又點數和為18與點數和為10者相同，

故x+ + + =y z u 10的正整數解有H_{10 1 1 1 1}⁴_{− − − −} =C₆⁹ =84, 剔除1顆骰子點數為7點另三個為1,1,1，共有^4!

3!=4種，

∴點數和為18之情形有84 4− =80種.

41、方程式x+ + + =y z u 12，則：

(1)非負整數解有______組. (2)x>2, 3, 1, 1y≥ z> u≥ 時，正整數解有______組.

答案：(1)455；(2)20

解析：(1)非負整數解有H₁₂⁴ =C₁₂¹⁵ =455(組).

(2)x>2, 3, 1, 1y≥ z> u≥ ⇒ ≥x 3, 3, 2, 1y≥ z≥ u≥ (x先得3, y先得3, z先得2, u先得1)

∴正整數解有H_{12 3 3 2 1}⁴_{− − − −} =C₃⁶ =20(組).

42、x+ + + ≤y z u 10之整數解中，求：(1)非負整數解有______組.(2)正整數解有______組.

答案：(1)1001, (2)210

解析：(1) ^{x+ + + ≤y z u 10⇒}設t≥0, x+ + + + =y z u t 10非負整數解H₁₀⁵ =C₁₀¹⁴ =1001.

(2)x+ + + + =y z u t 10的正整數解為,有H_{10 1 1 1 1}⁵_{− − − −} =C¹⁰₆ =210.