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臺北市立建國高級中學第133期通訊解題題目解答與評析

13301

設^p為質數。如果p²11之正因數個數少於11個，試求所有滿足這樣條件的質數^p。

【簡答】2, 3, 5

【詳解】若p2，則p²11 15 3 5   有4個正因數。

若p3，則p²11 20 2  ²5有6個正因數。

若p5，則p²11 36 2  ²3²有9個正因數。

接下來說明^p^⁵無解。

因為^p為質數，故^p^⁶^k^¹或^p^⁶^k^¹ Case 1、^p^⁶^k^¹，k N

因為p²11 2 ² 3 (3k² k 1)

且3k²  k 1 2、₃_k²_{  }_k _{1 2}²、₃_k²_{  }_k _{1 3}皆無正整數解所以p²11之正因數必超過11個

Case2、^p^⁶^k^¹，k N

因為p²11 2 ² 3 (3k² k 1)

且3k²  k 1 2、₃_k²_{  }_k _{1 2}²皆無正整數解，

3k²  k 1 3僅有一組正整數解k1 所以當k 1，p5之正因數不超過11個由Case1與Case2知p5無解。

【評析】

此題為簡單的整數論問題，重點在整數標準分解式與其正因數個數間的關係。在討論的過程中有一個關鍵技巧是將大於5的質數分成p6k1二種形式，

因為(6k1)²11 36 k²12k12 12( k² k 1)，其中因數_{12 2}_ ²_₃保證

2 11

p  的正因數個數必為6的倍數，大大的簡化了討論的過程。當然同學不一定要將質數依mod 6的餘數作分類，但討論的過程可能會稍加冗長。

本題徵答的同學有8位，其中得到滿分7分的有：

台北市仁愛國中鐘景翰同學、台北市石牌國中陳湋昱同學、台北市師大附中簡駿騏同學、新北市文山國中石博允同學、新竹市實驗高中鄭百里同學。

得到6分的有：台北市麗山國中江子新同學。

得到5分的有：新北市中山國中王　勻同學。

此外尚有新北市江翠國中李原誌同學參加徵答。

13302

已知 f x( )為RR的函數，滿足 f(1x) 1 2 ( )  f x ，求 1

( )

f 2016 之值。

1

(2)

【簡答】1 3

【詳解】 f(1x) 1 2 ( )  f x  f(1 (1 x)) 1 2 (1  f x) ^ ^{f x}^{( ) 1 2 (1}^{ } ^f ^^x⁾

 

( ) 1 2 1 2 ( ) 1 4 ( )

f x f x f x

      

( ) 1 f x 3

 

1 1

( )

2016 3

 f 

【評析】

此題應注意(1  x) x 1，故將 f(1x)中的^x以(1x)代入，會得到 f x( )，從而導出一個 f x( )與 f(1x)的二元一次聯立方程組。

本題參與徵答的有8位同學，其中得到滿分7分的有台北市石牌國中陳湋昱同學、台北市麗山國中江子新同學、新北市中山國中王　勻同學、新北市江翠國中洪榮盛同學、新北市江翠國中張程凱同學。此外尚有台北市仁愛國中鐘景翰同學、新北市文山國中石博允同學、新竹市實驗高中鄭百里同學參加徵答。

13303

設D為△ABC邊_AB上的一點，作DE BC// 交AC於點E，作DF AC// 交BC於點F。已知△ADE、△DBF的面積分別為³2、³4，求四邊形DECF 的面積。

【簡答】2 2

【詳解】連接CD，令△△CDE  CDF x

由△ADE△DBF 可知 ( ACD)² (AD)² ADE BCD  BD  DBF

△△

3 3

2

3 3 3

2 2 1

( )

4 4 2

x x

   



 x²2 4³ x2 2³  ³2(x²2 2³ x³4)  ( 2 1)³  x² 2( 2 1)³ 

 x² 2, x 2 故四邊形DECF 的面積2x2 2

2

(3)

【評析】

1. 本題為簡易的幾何關係，大部份的同學能夠利用△ADE△DBF △ABC 的相似關係，找出邊的平方比為面積比而求出答案，少數同學在根號的計算上出錯，相當可惜。

2. 得到滿分的同學有：

台北市仁愛國中鐘景翰、台北市石牌國中陳湋昱、台北市師大附中簡駿騏、

台北市麗山國中江子新、新北市中山國中王勻、新北市文山國中石博允、

新竹市實驗高中鄭百里。

13304

設_abcd是一個四位數（_abcd代表1000a100b10c d ），其中a b c d, , , 彼此互異且都不為0。將_abcd各位數字重新排列後可得一個最大數和一個最小數，例如將9527重新排列後，可得一個最大數9752和最小數2579。若將如此產生之最大數與最小數相減後恰得到原來的四位數，試求此四位數。

【簡答】6174

【詳解】設最大數為x x x x4 3 2 1，則最小數為x x x x1 2 3 4，

4 3 2 1

1 2 3 4

x x x x

a b c d



1 4

2 3

3 2

4 1

10

10 1

1

x x d

x x c

x x b

x x a

  

    

   

  



3 2

4 1 3 2

10 8

1 2

2 4 a d

b c x x b

a x x x x

  

  

     

      



滿足上式之( , , , ) (1, 2, 6,9)x x x x1 2 3 4  , ^(1,3,5,9), ^{(1, 2,7,8)}, ^(2,3,5,8), (2,3,6,7), (1, 4,6,7)

驗算後可得_abcd_₆₁₇₄。

【評析】

此題屬於組合問題，只要把最大數和最小數相減，所得到的幾條代數式，

加上彼此間的大小關係，以及每個數碼都只能是1到9，這些資訊統整起來，再仔細耐心地討論刪除錯誤情況即可。此次參與作答本題的同學們，雖然各走不同的討論路線，但是都能得到正確一致的結果，相當不錯！

3

(4)

每位參與作答的同學於此題都有寫出正確答案，都可以獲得7分的滿分，

包括台北市仁愛國中鍾景翰同學、台北市師大附中國中部簡駿騏同學、台北市麗山國中江子新同學、新北市文山國中石博允同學、新北市江翠國中張程凱同學、

新竹市實驗高中鄭百里同學。

13305

設函數 f x( )ax²bx c ，對一切x [ 1,1]都有| ( ) | 1f x  。求證：對一切x [ 1,1]都有| 3ax2 | 6b  。

【證明】由 (0) (1) ( 1)

f c

f a b c

 

   

    



 

1 (1) ( 1) 2 (0) 2

1 (1) ( 1) 2

(0)

a f f f

b f f

c f

    



    

 



因為對一切x [ 1,1]都有| ( ) | 1f x  ，所以| (0) | 1f  , ^{| (1) | 1}^f ^ ,

| ( 1) | 1f  

令^{g x}^{( ) 3}^ ^ax^²^b，當^x^{ }^{[ 1,1]}時，其圖形是一線段。

而 | ( 1) | | 3 2 | |³



(1) ( 1) 2 (0)

 

(1) ( 1) |



g   a b  2 f  f   f  f  f 1 5

| (1) ( 1) 3 (0) |

2 f 2 f f

    1 5

| (1) | | ( 1) | 3 | (0) | 6

2 f 2 f f

    

| (1) | | 3 2 | |³



(1) ( 1) 2 (0)

 

(1) ( 1) |



g  a b  2 f  f   f  f  f

5 1

| (1) ( 1) 3 (0) |

2 f 2 f f

    5 1

| (1) | | ( 1) | 3 | (0) | 6

2 f 2 f f

    

故對一切^x^{ }^{[ 1,1]}都有^{| 3}^ax^^{2 | 6}^b ^ 。

【評析】

本題有3人參與徵答，得到7分滿分的有2人，分別是台北市麗山國中江子新同學與新北市文山國中石博允同學，解題過程闡明詳盡，敘事條理分明，

值得讚許；此題關鍵在於用函數值表示係數，再利用三角不等式與一次函數的單調性去找出所求。

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