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(1)

臺北市立建國高級中學第 120 期通訊解題題目解答與評析

已知

x

是十進位制的正整數，並且它的各位數字的乘積為P(x)，試求滿足

22 10 )

(x  x²  x

P 的所有正整數

x

。

【簡答】x12

【詳解】[方法1]

若

x

是一個十進位制且滿足本題條件的n⁽n¹^,²^,³^,⁾位正整數，

則¹⁰ⁿ^¹  ^x，且^P⁽^x⁾⁹ⁿ，

以下分n 1，n2和n3討論滿足的正整數

x

： (1)當n 1時，x P x ( )x²10x22

2 11 22 0

x x

    這個二次方程式沒有整數解。

(2)當n2時，P(x)x² 10x22(x5)² 479² 81

(x 5)2 128

   |x 5 | 128 12 ，又因_x_₁₀²^¹ _₁₀，故有10 x16。

但此數要滿足P(x)47(x5)²，所以，只有x 12滿足所有條件。

(3)當n3時，0 10 ⁿ^¹  5 x 5^⁽¹⁰ⁿ^¹^⁵⁾²^⁽^x^⁵⁾²，所以，P(x) x² 10x22(x5)² 47(10ⁿ^¹5)² 47，

22 10 10

47 ) 5 10 ( )

(x  ⁿ^¹ ²   ²ⁿ^²  ⁿ 

P ，

由10ⁿ 10³ 1000和10ⁿ^²28，得10ⁿ(10ⁿ^² 2)10²ⁿ^² 210ⁿ 8000。

因此，P(x)10²ⁿ^² 10ⁿ 2210²ⁿ^² 210ⁿ 10ⁿ 22

800010ⁿ2210ⁿ。但這和不等式P(x)9ⁿ矛盾。

綜上所述，本題只有一解x12。

[方法2]改編自臺中市明道國中方宣詠同學作法

(1)由於P x( ) 0 且x 0 P x x( )+  0 x²9x22 0 (x 11)(x 2) 0 x 11 x 2( ) x 12

      或不合    。 (2)證明P x( )x：

若

x

是一個十進位制且滿足本題條件的n⁽n¹^,²^,³^,⁾位正整數，

設x a a a _{1 2 3}a_n，其中a a a₁, , , ,₂ ₃  a_n分別為

x

的各位數字，

且1a₁ 9，0a a₂, , ,₃  a_n 9。故 n 1，

1 1

1 2 3 _n 1 10ⁿ 1 9ⁿ 1 2 3 _n ( )

x a a a a  a ^  a ^     a a a  a P x 。 (3)P x( ) x x²10x22 x x²11x22 0

11 209 11 209

2 13 1 12

2 x 2 x

 

         。

綜上所述，本題只有一解x 12，檢查後滿足所有條件，故x12。

【評析】1.本題徵答人數比預期踴躍共有17人，其中有13位獲7分滿分，平均得

分6.12分，得分及名單如下。

得7分者，13人：

臺中市明道國中方宣詠、臺北市延平國中郭軒語、

12001

(2)

臺北市麗山國中江子新、臺北市麗山國中鍾承燁、

新北市文山國中石博允、新北市江翠國中李可非、

新北市江翠國中邱奕維、新北市江翠國中董甄茵、

新北市江翠國中蔡旻諺、新北市江翠國中蕭明、

桃園市復旦國中傅彥綱、新竹市光華國中張原嘉、

新竹市光華國中黃翊展。

臺北市民生國中詹詠傑、新北市江翠國中高瑋伯。

新北市南山國中洪英修。

2.本題大部分同學都掌握了題意，且使用了[方法1]或[方法2]其中之一，

或兩種方法都使用了部分，而得出了正確答案。得5分同學答案雖然正確，可惜說理不夠清楚而扣分；得滿分7分同學在數學符號的表達與論證計算的過程都表現得完整清楚，值得肯定。

3.新北市江翠國中蕭明同學，用同餘討論出

x

只會由1,2所組成，是個

有趣的結論，將其作法摘錄如下：

(1)由於十進位制中各位數字必定介於0 ~ 9之間，故P x( )的質因數

只有2,3,5,7。

(2)P x( )x²10x22x²(mod 2)，所以P x( )可以有質因數2。 (3)P x( )x²10x22 x²2x 2 (x1)²1(mod 3)，

由於，(x1)² 2(mod 3)不可能發生，所以P x( )不會有質因數3。 (4)P x( )x²10x22x²3(mod 5)，

由於，x² 2(mod 5)不可能發生，所以P x( )不會有質因數5。 (5)P x( )x²10x22 x²4x 6 (x2)²2(mod 7)，

由於，(x2)² 5(mod 7)不可能發生，所以P x( )不會有質因數7。綜上所述，

x

只會由1,2所組成。

若方程式x²pxq0的正根小於4，其中 p,q為正整數，則滿足上述條件的數對⁽^p^,^q⁾共有幾組解？

【簡答】21組解

【詳解】因為判別式 p²4q0，所以方程式有實根。

又q為正整數，兩根之積  q 0，因此得到原方程式兩根為一正一負。

設 f x( )x²px q ，則 f(4) 16 4  p q 16 (4 p q ) 0 ，故⁴^p^^q^¹⁶ ，由此可知^p^⁴。

而當 ^p^¹時，⁰^^q^¹¹，當^p^²時，⁰^^q^⁷，當^p^³時，⁰^^q^³｡故一共有21組解。

【評析】本題為全國數學能力競賽試題改編，屬於方程式根的性質判定問題，同學不僅能確切掌握代換性質，且能正確計算符合條件的解答數，更重要的是能透過對於不等式性質的掌握及簡潔完整的表達相關的計算過程。本題徵答人數極為踴躍共有18人，其中有16位獲7分滿分。整體 12002

(3)

而言參與徵答學生的推理思考與表達方法均十分優異，值得肯定。許多同學亦採用組合計算模式而解出正確數值。其中新北市江翠國中李可非、吳翰霖同學、臺中市私立明道高中國中部方宣詠同學、臺北市麗山國中江子新、鍾承燁同學均獲得滿分7分且書寫品質佳。

在梯形ABCD中，^BC^{/ /}^{AD BC}



^^AD



^，^{ }^D ⁹⁰⁰^，^{BC CD}^ ^⁶^，已知點^E

在線段CD 上，且ABE45，若AE5，試求CE的長。

【簡答】2或3

【詳解】如下圖所示：

延長_DA至M，使_BE__BM，過B作BGAM ，

因為BC CD ，所以四邊形BCDG為正方形，則BC BG ，

由CBE EBG90  EBG GBM ，可得CBE GBM ，



△BEC ^ △BMG ，則BM BE,ABE ABM 45⁰，



△ABE ^ △ABM ，則AM AE5,

設CE x GM  ，則AG 5 x，且^AD^{  }⁶



⁵ ^x



^{ }¹ ^x^，DE 6 x，在△ADE中，_AE² __AD²__DE²，即⁵² ^{ }



¹ ^x

 

²^{ }⁶ ^x



²^，

可得方程式^x²^⁵^x^{  }^{6 0}



^x^²

 

^x^{   }³



⁰ ^x ²^或3，

故CE的長為2或3。

【評析】1、本題徵答人數共13人，全部答對得7分者有11人。

2、答對的同學大部份皆如詳解畫輔助線的方法解出。

3、此題屬於較簡單的幾何試題，同學於解法中都能利用三角形全等的性質說清楚一些關係。

2015個都不等於119的正整數a a₁, ,₂ ,a₂₀₁₅排成一數列，其中任意連續若干項之和都不等於119，求的最小值。

【簡答】3919

【詳解】首先證明：對於任意119個正整數，其中一定存在若干連續項的和是

119的倍數。

考慮如下119個正整數：，

12003

12004

(4)

若其中有一個是119的倍數，則結論成立。

若其中沒有一個是119的倍數，則它們除以119所得之餘數只能為1,2,

…,118這118種情況，所以其中一定有兩個除以119所得之餘數相同。

不妨設為和 ( )，

於是，從而結論成立。

對於中的任意119個正整數，由上述結論得知必有若

干連續項的和是119的倍數，但其不等於119，所以它。

又因為，

所以 ……(*)，

取，其餘的數都為1時，(*)式等號成

立。

所以的最小值為3919 。

【評析】本題屬於中偏難的題目，一種做法是利用鴿籠(抽屜)原理。有些同學以為這些整數都相異，有些則一廂情願的列出某情況即宣稱其為解，疏忽了其中的謬誤。希望同學們以後不論遇到什麼樣的題目，都要抱著耐心謹慎、不視為理所當然的態度。

本題共11人參與徵答，有7人獲得滿分。

設^x為正實數，且_n_ ³₃_ _x _³₃_ _x ，而ⁿ為正整數，求^x之值。

【簡答】368 242 27 27,

【詳解】令_a_ ³₃_ _{x b}_, _ ³₃_ _x ，則a b n  ，

3 3 ( )3 3 ( )

a b  a b  ab a b  3 x 3 x n³3abn6 ^

3 6

3 ab n

n

  ^

2

3 2 3

9 9 3

3 x n

   n  又ⁿ為正整數，則n1, 2,3

(1) n1，則 5 ³ 3 9

ab  x

   ，則 368 x 27 (2) n2，則 1 ³

3 9

ab  x，則 242 x 27

(3) n3，則 7 ³

3 9

ab  x，則 100 x 27

 (不合) 12005

(5)

368 242 27 27,

 x

【評析】此題屬於數論問題。不少同學誤以為「ⁿ為正整數且n m 6，則 1,2,3,6

n 」即無形中認定「^m也為正整數」，事實上這是錯誤的！

12, 1

n m 2即為一個反例。因此必須借由「^x為正實數」之條件確定正整數ⁿ之範圍，才算是完整作答。有些同學相當細心的推導出正整數ⁿ 之範圍且算出正確答案，獲得7分的滿分；有些同學雖然得到正確答案，卻犯了上述錯誤，獲得5分；有些同學差點得到正確答案卻也犯了上述錯誤，獲得3分；有同學思考方向錯誤，獲得1分。

本題徵答人數共13人

獲得7分的同學共有5人，名單如下：

台北市延平國中郭軒語同學新北市江翠國中李可非同學新北市江翠國中高瑋伯同學新北市文山國中許崇淵同學新竹市光華國中張原嘉同學

台北市麗山國中江子新同學新北市江翠國中蔡旻諺同學新北市江翠國中蕭明同學

台北市民生國中詹詠傑同學新北市江翠國中劉建亨同學新北市光復國中張語彤同學台中市明道國中方宣詠同學

新北市永和國中蔣矩任同學