高中數學（三）

12 – 1

2－4  平面方程式（2）

高中數學 （三）

隨 堂 評 量 卷 ^{第　12　回}

範圍

計算題（每題 25 分﹐共 100 分）

1 試求通過點 A（1﹐−2﹐1）且與 E1：x + 2y − z + 1 = 0 及 E2：x − y + z = 1 兩平面 皆垂直之平面方程式•

x：令 n⇀

1=（1﹐2﹐−1）﹐n⇀

2=（1﹐−1﹐1）分別為 E1與 E2之一法向量 如右圖﹐⇀n

1 × n⇀

2 =（1﹐−2﹐−3）

取 n⇀=（1﹐−2﹐−3）為所求平面 E 之一法向量 設 E：x − 2y − 3z = k﹐又 A（1﹐−2﹐1）∈ E

⇨ k = 1 + 4 − 3 = 2 故得 E：x − 2y − 3z = 2

2 設平面 E 含 3x + y = 3 及 y − 3z = 4 之交線且與平面 3x − 3y − 4z + 5 = 0 垂直﹐試

求 E 之方程式•

x：可設 E：（3x + y − 3）+ k（y − 3z − 4）= 0

⇨ 3x +（1 + k）y − 3kz +（−3 − 4k）= 0 取 n⇀

1=（3﹐1 + k﹐−3k）為 E 之一法向量 令 n⇀

2 =（3﹐−3﹐−4）為 F：3x − 3y − 4z + 5 = 0 之一法向量 E⊥F ⇨ n⇀

1⊥⇀n

2 ⇨ n⇀

1•⇀n

2 = 0

⇨ 3•3 +（1 + k）•（−3）+（−3k）•（−4）= 0

⇨ 9 − 3 − 3k + 12k = 0 ⇨ k = − 2 3 E：（3x + y − 3）− 2

3（y − 3z − 4）= 0

⇨ 3（3x + y − 3）− 2（y − 3z − 4）= 0 故得 E：9x + y + 6z − 1 = 0

2 −1 1 2

−1 1 1 −1 2 −1 1 2

−1 1 1 −1

12 – 2

3 試求連接 A（4﹐−3﹐−2）﹐B（−6﹐5﹐−4）兩點之線段的垂直平分面（中垂 面）之方程式•

x：設 M（x﹐y﹐z）為 AB 中點﹐

則 M（4 − 6

2 ﹐−3 + 5

2 ﹐−2 − 4

2 ）= （−1﹐1﹐−3） A⇀B =（−10﹐8﹐−2）= −2（5﹐−4﹐1）

取 n⇀=（5﹐−4﹐1）為所求平面 E 之一法向量 設 E：5x − 4y + z = k﹐又 M（−1﹐1﹐−3）∈ E

⇨ k = −5 − 4 − 3 = −12 故得 E：5x − 4y + z = −12

4 △ ABC 之三頂點分別為 A（−2﹐3﹐6）﹐B（1﹐−3﹐8）﹐C（x﹐y﹐0）﹐試求：

1 △ ABC 周長之最小值• 2 使△ ABC 周長為最小值之 C 點坐標•

x：1 C 點在 xy 平面（E：z = 0）上

A﹐B在 xy 平面之同側且 AB =

√

d2 = d（B﹐E）= 8

當 C 位在 A'B 與 E 之交點時

可使 AC + BC = A'C + CB = A'B 為最小值

此時△ ABC 周長亦為最小值

而 A'B =

√

2 當 C 位在 A'B 與 E 之交點時﹐可使 AC + BC = A'C + CB = A'B 為最小值 △ ABC 周長亦為最小值﹐此時△ A'PC ∼△ BQC

⇨ A'C：BC = A'P：BQ = d1：d2 = 6：8 = 3：4 ∴ C（3•1 + 4•（−2）

3 + 4 ﹐ 3•（−3）+ 4•3

3 + 4 ﹐3•8 + 4•（−6） 3 + 4 ） = （− 5

7﹐3 7﹐0）