高中數學（二）

(1)

18 – 1

3－2 和角公式

高中數學（二）

隨堂評量卷 ^{第　18　回}

範圍

計算題（共 100 分）

1 設3π

2 < α < 2π﹐π

2 < β < π﹐試求 cosα = 3

5﹐sinβ = 12

13﹐試求 sin（α − β）之值﹒（20 分）

x：由3π

2 < α < 2π﹐cosα = 3

5 ⇨ sinα = −√^{1 − cos}²^α^{= −}

√

^{1 −}^（³⁵^）²^{= −} ⁴⁵

又π

2 < β < π﹐sinβ = 12

13⇨ cosβ = −√^{1 − sin}²^β^{= −}

√

^{1 −}^（¹²¹³^）²^{= −}¹³⁵

∴ sin（α − β）= sinα cosβ − cosα sinβ =（− 4

5）×（− 5 13）− 3

5 × 12 13 = 20

65 − 36

65 = −16

65 即為所求

2 試求 tan22° + tan23° + tan22°tan23°之值﹒（20 分）

x：由 tan（22° + 23°）= tan22° + tan23° 1 − tan22°tan23°

⇨ tan22° + tan23°

1 − tan22°tan23° = tan45° = 1

⇨ tan22° + tan23° = 1 − tan22°tan23°　

∴ tan22° + tan23° + tan22°tan23° = 1 即為所求

(2)

18 –

3 設 A﹐B﹐C 均為銳角且 tanA = 4﹐tanB = 2﹐tanC = 13﹐試求∠A +∠B +∠C 之值﹒（20 分）

x：由 tan（A + B） = tanA + tanB

1 − tanA tanB = 4 + 2

1 − 4 × 2 = 6

1 − 8 = − 6 7 < 0

⇨∠A +∠B > 90°………（✽）

tan（A + B + C）= tan〔（A + B）+ C〕

=

− + 13

1 −（− ）× 13 6

7 6 7

= 85

7 85

7

= 1 = tan π

4 = tan 5π 4 > 0

⇨∠A +∠B +∠C 為第一或第三象限角但由（✽）知∠A +∠B +∠C 為第二象限角故∠A +∠B +∠C = π + π

4 = 5π

4 = 225°即為所求

4 右圖中由三個正方形緊鄰接成一個矩形﹐試求：

1 α + β + γ之值﹒（20 分）

2 tan∠FAH 之值﹒（20 分）

x：1 由題圖可得 tanα = 1

3﹐tanβ = 1

2﹐γ = π 4

⇨ tan（α + β）= tanα + tanβ 1 − tanα tanβ =

+ 1 − ×

1 3

1 2

= 1 −

5 6 1 6

= 1

⇨α + β = π

4﹐又γ = π

4　∴α + β + γ = π 4 + π

4 = π

2 = 90°即為所求

2 由題圖可得∠FAH = β − α

⇨ tan∠FAH = tan（β − α）= tanβ − tanα 1 + tanβ tanα =

− 1 + ×

1 2

1 3

= 1 +

1 6 1 6 = 1

7 即為所求

高中數學（二）

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√

√

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