高中數學（二）

19 – 1 3－3

倍角與半角公式（1）

高中數學 （二）

隨 堂 評 量 卷 ^{第　19　回}

範圍

計算題（共 100 分）

1 1 設θ為第二象限角﹐且 cscθ = 3﹐試求 tan2θ之值﹒（10 分）

2 設θ為第三象限角﹐且 sinθ + cosθ = −√2﹐試求θ之值﹒（15 分）

x：1 由θ為第二象限角﹐且 cscθ = 3

⇨ sinθ = 1

3﹐cosθ = −√^{1 − sin2θ = −}

√

⇨ tanθ = sinθ cosθ =

1 3

−2√2 3

= −√2 4

∴ tan2θ = 2 tanθ

1 − tan²θ =

2 ×（− ） 1 −（−√2）²

4

√2 4 =

√2 2 7 8

−

= −4√2

7 即為所求

2 sinθ + cosθ = −√2 ⇨（sinθ + cosθ）² =（−√2）²

⇨ 1 + 2 sinθ cosθ = 2 ⇨ 1 + sin2θ = 2 ⇨ sin2θ = 1 又π < θ < 3π

2 ⇨ 2π < 2θ < 3π

∴ 2θ = 2π + π 2 = 5π

2 = 450°﹐故θ = 5π

4 = 225°即為所求

2 設π

4 < θ < π

2﹐且 sin2θ = 3

5﹐試求 cosθ之值﹒（25 分）

x：π

4 < θ < π 2 ⇨π

2 < 2θ < π﹐即θ在第一象限﹐2θ在第二象限

由 sin2θ = 3

5 ⇨ cos2θ = −√^{1 − sin2 2θ = −}

√

又由 cos2θ = 2 cos²θ − 1 ⇨ 2 cos²θ − 1 = − 4

5 ⇨ cos²θ = 1 10

∴ cosθ = +

√

19 – 3 設 0 < θ < π

2﹐且 cot2θ = 3

4﹐試求 cosθ之值﹒（25 分）

x：0 < θ < π

2 ⇨ 0 < 2θ < π﹐又 cot2θ = 3

4 > 0﹐故 2θ在第一象限

由 cot2θ = 3 4 = x

y ⇨ sin2θ = 4

5﹐cos2θ = 3 5

∴ cosθ =

√

√

^√

4 設 3π

2 < θ < 2π﹐且 tanθ = − 4

3﹐試求 sin 3θ

2 之值﹒（25 分）

x：由θ在第四象限﹐且 tanθ = −4 3 = y

x ⇨ r = √^{x2 + y2 =} √^{32 +（−4）2 = 5}

⇨ sinθ = y r = −4

5 ﹐cosθ = x r = 3

5 又 3π

2 < θ < 2π⇨ 3π 4 < θ

2 < π﹐即θ

2 在第二象限

⇨ sin θ

2 = +

√

√

∴ sin 3θ

2 = sin（3 × θ

2）= 3 sin θ

2 − 4 sin³θ

2 = 3（ 1

√5）− 4（ 1

√5）³ = 3

√5 − 4

5√5 = 15√5 − 4√5

25 = 11√5

25 即為所求